常用的数学思想和方法(1)
常用的数学思想和方法： 常用的数学思想和方法：
1．配方法、待定系数法、换元法:
配方法、待定系数法、换元法是几种常用的数学基本方法.这些方法是数学思想的具体体现,是解决问题的手段,它不仅有明确的内涵,而且具有可操作性,有实施的步骤和作法.
配方法是对数学式子进行一种定向的变形技巧,由于这种配成“完全平方”的恒等变形,使问题的结构发生了转化,从中可以找到已知与未知之间的联系,促成问题的解决.
待定系数法的实质是方程的思想,这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中,从而通过解方程(或方程组)求得未知数.
换元法是一种变量代换,它是用一种变数形式去取代另一种变数形式,从而使问题得到简化,换元的实质是转化.
例1．已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为( ).
(A )32
(B )14
(C )5
(D )6
分析及解：设长方体三条棱长分别为x ,y ,z ,则依条件得： 2(xy +yz +zx )=11, 4(x +y +z )=24.
而欲求的对角线长为222z y x ++,因此需将对称式222z y x ++写成基本对称式x +y +z 及xy +yz +zx 的组合形式,完成这种组合的常用手段是配方法.
故： )(2)(2222xz yz xy z y x z y x ++-++=++=62
-11=25
∴ 5222=++z y x ,应选C .
例2．设F 1和F 2为双曲线14
22
=-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2=90°,则ΔF 1PF 2的面积是( ).
(A )1 (B )
2
5 (C )2 (D )5
分析及解：欲求||||2
1
2121PF PF S F PF ?=
? (1),而由已知能得到什么呢？ 由∠F 1PF 2=90°,得20||||2221=+PF PF
(2),
又根据双曲线的定义得|PF 1|-|PF 2|=4 (3),那么(2)、(3)两式与要求的三角形面积有何联系呢？我们发现将(3)式完全平方,即可找到三个式子之间的关系.
即16||||2||||||||||212221221=?-+=-PF PF PF PF PF PF ,
故242
1
)16|||(|21||||222121=?=-+=?PF PF PF PF ∴ 1||||2
1
2121=?=
?PF PF S F PF , ∴ 选(A ).
注：配方法实现了“平方和”与“和的平方”的相互转化. 例3．设双曲线的中心是坐标原点,准线平行于x 轴,离心率为2
5
,已知点P (0,5)到该双曲线上的点的最近距离是2,求双曲线方程.
分析及解：由题意可设双曲线方程为122
22=-b
x a y ,∵25=e ,∴a =2b ,因此所
求双曲线方程可写成：2224a x y =- (1),故只需求出a 可求解.
设双曲线上点Q 的坐标为(x ,y ),则|PQ |=22)5(-+y x (2),∵点Q (x ,y )在双曲线上,∴(x ,y )满足(1)式,代入(2)得|PQ |=
22
2)5(4
4-+-y a y (3),此时|PQ |2表示为变量y 的二次函数,利用配方法求出其最小值即可求解.
由(3)式有4
5)4(45||22
2
a y PQ -+-=(y ≥a 或y ≤-a ).
二次曲线的对称轴为y =4,而函数的定义域y ≥a 或y ≤-a ,因此,需对a ≤4与
a >4分类讨论.
(1)当a ≤4时,如图(1)可知函数在y =4处取得最小值,
∴令44
52
=-a ,得a 2=4 ∴所求双曲线方程为14
22
=-x y . (2)当a >4时,如图(2)可知函数在y =a 处取得最小值,
∴令44
5)4(4522
=-
+-a a ,得a 2=49, ∴所求双曲线方程为
149
4492
2=-x y . 注：此题是利用待定系数法求解双曲线方程的,其中利用配方法求解二次函数的最值问题,由于二次函数的定义域与参数a 有关,因此需对字母a 的取值分类讨论,从而得到两个解,同学们在解答数习题时应学会综合运用数学思想方法解题.
例4．设f (x )是一次函数,且其在定义域内是增函数,又124)]([1
1-=--x x f
f ,
试求f (x )的表达式. 分析及解：因为此函数的模式已知,故此题需用待定系数法求出函数表达式. 设一次函数y =f (x )=ax +b (a >0),
可知 )(1
)(1b x a x f -=-,
∴124)(1
1])(1[1)]([2211-=+-=--=--x b ab a
x a b b x a a x f f .
比较系数可知：
??????
?=+>=)
2(12)(1)
1()0(41
2
2
b ab a a a 且
解此方程组,得 2
1
=
a ,
b =2, ∴所求f (x )=22
1
+x .
例5．如图,已知在矩形ABCD 中,C (4,4),点A 在曲线
922=+y x (x >0,y >0)上移动,且AB ,BC 两边始终分别平行于
x 轴,y 轴,求使矩形ABCD 的面积为最小时点A 的坐标.
分析及解：设A (x ,y ),如图所示,则=ABCD S (4-x )(4-y )
(1)
此时S 表示为变量x ,y 的函数,如何将S 表示为一个变量x (或y )的函数呢？有的同学想到由已知得x 2+y 2=9,如何利用此条件？是从等式中解出x (或y ),再代入(1)式,因为表达式有开方,显然此方法不好.
如果我们将(1)式继续变形,会得到S =16-4(x +y )+xy (2)
这时我们可联想到x 2+y 2与x +y 、xy 间的关系,即(x +y )2=9+2xy .
因此,只需设t =x +y ,则xy =29
2-t ,代入(2)式得
S =16-4t +2
7
)4(212922+-=-t t (3)
S 表示为变量t 的二次函数,
∵0 ∴当t =4时,S ABCD 的最小值为 2 7. 此时?? ? ??==+,27 , 4xy y x )222,222()222,222(-++-或的坐标为得A 注：换元前后新旧变量的取值范围是不同的,这样才能防止出现不必要的错误. 例6．已知ΔABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A +C =2B ,B C A cos 2 cos 1cos 1-=+,求2 cos C A -的值. 分析及解：依条件可知 B =60°,A + C =120°,再由换元思想,令 α=-2 C A ,则 ?? ?=-?=+. 2, 120αC A C A 可知A =60°+α,C =60°-α,这种换元是一种“对称”的代换,它将为解题带来方便. ∵) 60cos(1)60cos(1cos 1cos 1αα-?++?=+C A =4 3cos cos 2- αα 由已知 2260cos 2 43cos cos 2-=? - =- αα 整理得：023cos 2cos 242=-+αα ∴0)3cos 22)(2cos 2(=+-αα ∵03cos 22≠+α ∴02cos 2=-α,即2 2 cos = α, 因此2 2 2cos =-C A . (能力训练题 1．方程x 2+y 2-4kx -2y -k =0表示圆的充要条件是( ). (A )141< 1或k =1 2．在直角坐标系内有两点A (-1,m ),B (-1,3),点A 在抛物线x 2 =2py 上,F 为 抛物线的焦点,若|AB |+|AF |= 2 7 ,则m 的值为( ). (A )2 1- (B ) 2 1 (C )1 (D )不能确定 3．已知)0(lg )(3>=x x x f ,则f (4)的值是( ). (A )2lg 2 (B )2lg 31 (C )2lg 32 (D )4lg 3 2 4．关于x 的方程0349|2||2|=-?-----a x x (a R ∈)有实根的充要条件为( ). (A )a ≥-4 (B )-4≤a <0 (C )-3≤a <0 (D )以上都不对 5．设函数m x x x x y ++?+=22cos 6cos sin 3sin 5能表示成y =Asin (ωx +?)的形式(0≤θ<π),则实数m 的值为____________. 6．3)2| |1 |(|-+ x x 的展开式中的常数项_________. 7．设方程x 2+2kx +4=0的两实根为x 1,x 2,若21 2221)()( x x x x +≥3,求k 的取值范围. 8．已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的一个顶点A 的坐标为(0,-1),且右焦点 F 到直线x -y +22=0的距离为3,试问能否找到一条斜率为k (k ≠0)的直线,使l 与已知椭圆交于不同两点M ,N 且满足|AM |=|AN |. 9．双曲线以原点为中心,坐标轴为对称轴,且与圆1722=+y x 交于点A (4,-1),如果圆在点A 的切线与双曲线的渐近线平行,求双曲线的方程. 10．已知a >0,且a ≠1,解关于x 的不等式：2|2log ||2log |<---x x a a . 11．设关于x 的函数13612222+-+-+=a a x a x y (1)求函数y 的最大值M (a )； (2)是否存在正常数b (b ≠1),使a ∈(1,+∞)时,)(log a M y b =的最大值是 3 4 - . 12．若关于x 的方程01 2lg 21lg 8)1(lg 22 2 23322 =-+-+-+a a a a a a x x 有模为1的虚根,求实数a 的值及方程的根. 13．点P (x ,y )在椭圆14 22 =+y x 上移动时,求函数u =x 2+2xy +4y 2+x +2y 的最大 值. 14．过坐标原点的直线l 与椭圆 12 6)3(2 2=+-y x 相交于A ,B 两点,若以AB 为直径的圆恰好通过椭圆的左焦点F ,求直线l 的倾斜角. 15．设集合A ={R x a x x x ∈=+-+,024|1} (1)若A 中有且只有一个元素,求实数a 的取值集合B ； (2)当a ∈B 时,不等式x 2-5x -6 点拨与解答 1．C ∵由02422=---+k y kx y x 化简得014)1()2(222>++=-+-k k y k x ,∴k ∈R . 2．B 根据抛物线定义及|AB |+|AF |= 2 7 ,得2723=+p ,∴p =1,于是x 2=2y ,故可解得 m =2 1 . 3．C 设t =x 3,则t x 3=,∴t t f lg 31)(=,∴2lg 3 2 4lg 31)4(==f . 4．C 设|2|3--=x t ,则0 由t 2-4t -a =0,得4)2(422--=-=t t t a ∵0 注：这里将a 视为变量t 的二次函数,求值域得解. 5．m =-2 11 . m x x x y +++?+=22cos 1cos sin 35 = m x x +++2cos 2 12sin 23211 =m x +++2 11 )62sin(π 与)sin(θω+=x A y 比较,知m =- 2 11 . 6．视2)||1||(2||1||x x x x -=-+ 为一个整体,则原式=6 )| |1||(x x -, 由T r +1=r r r x x C )| |1()||(66--=r r r x C 266)||()1(--, 6-2r =0,r =3, ∴T 4=-20为常数项. 7．∵2]2)([2)()()(22 12 2121221212221--+=-+=+x x x x x x x x x x x x ≥3, 以k x x 221-=+,421=x x 代入整理得(k 2-2)2≥5,又∵Δ=4k 2-16≥0, ∴?????≥-≥-0 45|2|22 k k 解得k ∈(-52,+-∞]∪[52+,+∞). 8．由题意知A (0,-1),b =1,设右焦点F (c ,0),则 32 | 22|=+c ,得c =2. ∴a 2=3,∴椭圆方程为13 22 =+y x . 设存在直线l :y =kx +m (k ≠0),显然m ≠0,代入椭圆方程得： 0)1(36)31(222=-+++m kmx x k (*) 则MN 的中点P (2 231, 313k m k km ++- ), 由于|AM |=|AN |,故点A 在MN 的垂直平分线上,∴1-=?MN AP k k , 即 1031313122 -=?-+-++k k km k m , 即 )0(313)131(2 2≠+=?++k k km k k m , 解得 )31(2 12 k m +=. 由(*)的判别式Δ=36k 2m 2-12(1+3k 2)(m 2-1)=9(1+3k 2)(1-k 2)>0, 解得 -1 ∴存在满足条件的直线l ,斜率为-1 9．圆在点A 的切线方程为4x -y -17=0,∴双曲线的一条渐近线为4x -y =0, 可设双曲线方程为16 2 2 y x -=λ, 将A (4,-1)代入双曲线方程得λ= 16 255 . ∴双曲线方程为 1255 255162 2=-y x . 10．原不等式可化为2|2log ||1log |2<---x x a a 令 t =x a log ,则原不等式化为2|t -1|-|t -2|<2, 利用零点分段法解此不等式可得-2 a x a <<-； 当0 2