近世代数期末考试题库
近世代数模拟试题一
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射?：x →x ＋2，?x ∈R ，则?是从A 到B 的（ ） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射 D 、既非单射也非满射
2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。
A 、2
B 、5
C 、7
D 、10
3、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ ）乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的(两方程解一样)
4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ） A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。
5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（ ） A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=?A B ---------。
2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------。
3、环的乘法一般不交换。如果环R 的乘法交换，则称R 是一个------。
4、偶数环是---------的子环。
5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。
6、每一个有限群都有与一个置换群--------。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------。
8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??，如果I 是R 的最大理想，那么---------。 9、一个除环的中心是一个-------。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、设置换σ和τ分别为：??????=6417352812345678σ，?
?
?
???=2318765412345678τ，判断σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积。
2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
3、设集合)1}(,1,,2,1,0{ m m m M m -??=，定义m M 中运算“m +”为a m +b=(a+b)(modm),则（m M ，m +）是不是群，为什么？
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、设G 是群。证明：如果对任意的G x ∈，有e x =2
，则G 是交换群。
2、假定R 是一个有两个以上的元的环，F 是一个包含R 的域，那么F 包含R 的一个商域。
近世代数模拟试题二
一、单项选择题
二、1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。
A 、{}a
B 、{}e a ,
C 、{}3,a e
D 、
{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群
A 、G 为整数集合，*为加法
B 、G 为偶数集合，*为加法
C 、G 为有理数集合，*为加法
D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）
A 、a*b=a-b
B 、a*b=max{a,b}
C 、 a*b=a+2b
D 、a*b=|a-b|
4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ）
A 、12σ
B 、1σ2σ
C 、22
σ D 、2σ1σ
5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。
3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4
a 的阶等于------。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。
6、若映射?既是单射又是满射，则称?为-----------------。
7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n
n a a a αα 。
8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为---------。
9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G 对于乘法封闭；结合律成立、---------。
10、一个环R 对于加法来作成一个循环群，则P 是----------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、设集合A={1,2,3}G 是A 上的置换群，H 是G 的子群，H={I,(1 2)}，写出H 的所有陪集。
2、设E是所有偶数做成的集合，“?”是数的乘法，则“?”是E中的运算，（E，?）是一个代数系统，问（E，?）是不是群，为什么？
3、a=493, b=391, 求(a,b), [a,b] 和p, q。
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、若
2、设m 是一个正整数，利用m 定义整数集Z 上的二元关系：a ?b 当且仅当m ︱a –b 。
近世代数模拟试题三
一、单项选择题
1、6阶有限群的任何子群一定不是（ ）。 A 、2阶 B 、3 阶 C 、4 阶 D 、 6 阶
2、设G 是群，G 有（ ）个元素，则不能肯定G 是交换群。 A 、4个 B 、5个 C 、6个 D 、7个
3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）。
A 、偶数
B 、奇数
C 、4的倍数
D 、2的正整数次幂 4、下列哪个偏序集构成有界格（ ） A 、（N,≤） B 、（Z,≥） C 、（{2,3,4,6,12},|（整除关系）） D 、 (P(A),?)
5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（ ）
A 、(1)，(123)，(132)
B 、12)，(13)，(23)
C 、(1)，(123)
D 、S3中的所有元素
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。
2、如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f
1
----------。
3、区间[1，2]上的运算},{min b a b a = 的单位元是-------。
4、可换群G 中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。
5、环Z 8的零因子有 -----------------------。
6、一个子群H 的右、左陪集的个数----------。
7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------。
8、无零因子环R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R 的-----------。
9、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n
=，那么m 与n 存在整除关系为--------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？
2、S 1，S 2是A 的子环，则S 1∩S 2也是子环。S 1+S 2也是子环吗？
3、设有置换)1245)(1345(=σ，6)456)(234(S ∈=τ。
1．求στ和στ-1
；
2．确定置换στ和στ-1
的奇偶性。
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、一个除环R 只有两个理想就是零理想和单位理想。
2、M 为含幺半群，证明b =a -1的充分必要条件是aba =a 和ab 2a =e 。
近世代数模拟试题四
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含
有（）个元素。
A.2
B.5
C.7
D.10
2.设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射
?：x→x＋2，?x∈R，
则?是从A到B的（）
A.满射而非单射
B.单射而非满射
C.一一映射
D.既非单射也非满射
3.设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的
所有元素有（）
A.(1)，(123)，(132)
B.(12)，(13)，(23)
C.(1)，(123)
D.S3中的所有元素
4.设Z15是以15为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有（）个。
A.2
B.4
C.6
D.8
5.下列集合关于所给的运算不作成环的是（）
A.整系数多项式全体Z［x］关于多项式的加法与乘法
B.有理数域Q上的n级矩阵全体M n(Q)关于矩阵的加法与乘法
C.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“ ”：?m， n∈Z， m n＝0
D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“ ”：?m， n∈Z， m n＝1
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
6.设“～”是集合A的一个关系，如果“～”满足___________，则称“～”是A的一个
等价关系。
7.设(G，·)是一个群，那么，对于?a，b∈G，则ab∈G也是G中的可逆元，而且(ab)－1＝
___________。
8.设σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S，那么στ＝___________(表示成若干个没有
公共数字的循环置换之积)。
9.如果G 是一个含有15个元素的群，那么，根据Lagrange 定理知，对于?a ∈G ，则元素a 的阶只可能是___________。
10.在3次对称群S 3中，设H ＝{(1)，(123)，(132)}是S 3的一个不变子群，则商群G/H 中的元素(12)H ＝___________。 11.设Z 6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}是以6为模的剩余类环，则Z 6中的所有零因子是___________。
12.设R 是一个无零因子的环，其特征n 是一个有限数，那么，n 是___________。 13.设Z ［x ］是整系数多项式环，(x)是由多项式x 生成的主理想，则(x)＝_____________ ___________。
14.设高斯整数环Z ［i ］＝{a ＋bi|a ，b ∈Z}，其中i 2＝－1，则Z ［i ］中的所有单位是___________ ___________。
15.有理数域Q 上的代数元2+3在Q 上的极小多项式是___________。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
16.设Z 为整数加群，Z m 为以m 为模的剩余类加群，?是Z 到Z m 的一个映射，其中
? ：k →［k ］
，?k ∈Z ， 验证：?是Z 到Z m 的一个同态满射，并求?的同态核Ker ?。 17.求以6为模的剩余类环Z 6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}的所有子环，并说明这些子环都是Z 6的理想。
18.试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系，并举例说明唯一分解环未必是主理想环。
四、证明题（本大题共3小题，第19、20小题各10分，第21小题5分，共25分） 19.设G ＝{a ，b ，c}，G 的代数运算“ ”
由右边的运算表给出，证明：(G ， )作成一个群。
20.设
,Z c ,a 0c 0a I ,Z d ,c ,b ,a d c
b a
R ?
??
???∈???? ??=?
?????∈????
??= 已知R 关于矩阵的加法和乘法作成一个环。证明：I 是R 的一个子环，但不是理想。
21.设(R ，＋，·)是一个环，如果(R ，＋)是一个循环群，证明：R 是一个交换环。
近世代数模拟试题一 参考答案
a b c
a a
b
c b b c a
c c a b
一、单项选择题。
1、C ；
2、D ；
3、B ；
4、C ；
5、D ；
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。
1、()()()()()(){}1,2,0,2,1,21,1,0,1,1,1--；
2、单位元；
3、交换环；
4、整数环；
5、变换群；
6、同构;
7、零、-a ；
8、S=I 或S=R ；
9、域；
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、解：把σ和τ写成不相杂轮换的乘积：
)8)(247)(1653(=σ )6)(57)(48)(123(=τ
可知σ为奇置换，τ为偶置换。 σ和τ可以写成如下对换的乘积： )27)(24)(16)(15)(13(=σ )57)(48)(12)(13(=τ
2、解：设A 是任意方阵，令
)(21A A B '+=
，)(21
A A C '-=，则
B 是对称矩阵，而
C 是反对称
矩阵，且C B A +=。若令有11C B A +=，这里1B 和1C 分别为对称矩阵和反对称矩阵，则C C B B -=-11，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：1B B =，1C C =，所以，表示法唯一。
3、答：（m M ，m +）不是群，因为m
M 中有两个不同的单位元素0和m 。 四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、对于G 中任意元x ，y ，由于e xy =2)(，所以
yx x y xy xy ===---1
11)(（对每个x ，从e x =2可得1
-=x x ）。
2、证明在F 里
)0,,(11≠∈=
=--b R b a b a
a b ab
有意义，作F 的子集)
0,,(≠∈??????
=-b R b a b a Q 所有 -
Q 显然是R 的一个商域 证毕。
近世代数模拟试题二 参考答案
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)。 1、C ；2、D ；3、B ；4、B ；5、A ；
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。
1、变换群；
2、交换环；
3、25；
4、模n 乘余类加群；
5、{2}；
6、一一映射；
7、不都等于零的元；
8、右单位元；
9、消去律成立；10、交换环； 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、解：H 的3个右陪集为：{I,(1 2)}，{(1 2 3 )，(1 3)}，{(1 3 2 )，(2 3 )} H 的3个左陪集为：{I,(1 2)} ，{(1 2 3 )，(2 3)}，{(1 3 2 )，(1 3 )}
2、答：（E ，?）不是群，因为（E ，?）中无单位元。
3、解 方法一、辗转相除法。列以下算式： a=b+102 b=3×102+85
102=1×85+17
由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a ×b/17=11339。
然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b. 所以 p=4, q=-5.
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、证明 设e 是群
若x '∈G 也是a*x ＝b 的解，则x '＝e*x '＝(a －1*a)*x '＝a －1*(a*x ')＝a －1*b ＝x 。所以，x ＝a －1*b 是a*x ＝b 的惟一解。
2、容易证明这样的关系是Z 上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z 记为Zm ，每个整数a 所在的等价类记为[a]=｛x ∈Z ；m ︱x –a ｝或者也可记为a ，称之为模m 剩余类。若m ︱a –b 也记为a ≡b(m)。
当m=2时，Z2仅含2个元：[0]与[1]。
近世代数模拟试题三 参考答案
一、单项选择题1、C ；2、C ；3、D ；4、D ；5、A ；
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1、唯一、唯一；
2、a ；
3、2；
4、24；
5、；
6、相等；
7、商群；
8、特征；
9、n m ； 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等，可得总共8种。
2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b ∈S1∩S2 有a-b, ab ∈S1∩S2： 因为S1，S2是A 的子环，故a-b, ab ∈S1和a-b, ab ∈S2 ， 因而a-b, ab ∈S1∩S2 ，所以S1∩S2是子环。 S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：
3、解： 1．)56)(1243(=στ，)16524(1
=στ-； 2．两个都是偶置换。
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、证明：假定μ是R 的一个理想而μ不是零理想，那么a 0≠∈μ，由理想的定义μ∈=-11a a ，
因而R 的任意元μ∈?=1b b
这就是说μ=R ，证毕。
2、证 必要性：将b 代入即可得。
充分性：利用结合律作以下运算： ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e ， ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e ， 所以b=a-1。
近 世 代 数 试 卷
一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）
1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 （ ）
2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（ ）
3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。 （ ）
4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。 （ ）
5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。 （ ）
6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 （ ）
7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。 （ ）
8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。 （ ）
9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 （ ）
10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。 （ ）
二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分）
1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射，那么（ ） ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同； ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。
2、指出下列那些运算是二元运算（ ）
①在整数集Z 上，ab
b
a b a +=
； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。
3、设 是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,m ax = （即取a 与b 中的最大者），那么 在Z 中（ ）
①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。
4、设() ,G 为群，其中G 是实数集，而乘法k b a b a ++= :，这里k 为G 中固定的常数。那么群() ,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（ ）
①0和x -； ②1和0； ③k 和k x 2-； ④k -和)2(k x +-。 5、设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12，那么=x （ ） ①11--a bc ； ②11--a c ； ③11--bc a ； ④ca b 1-。
6、设H 是群G 的子群，且G 有左陪集分类{}cH bH aH H ,,,。如果6，那么G 的阶=G （ ） ①6； ②24； ③10； ④12。
7、设21:G G f →是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ ）
①f 的同态核是1G 的不变子群； ②2G 的不变子群的逆象是1G 的不变子群；③1G 的子群的象是2G 的子群； ④1G 的不变子群的象是2G 的不变子群。
8、设21:R R f →是环同态满射，b a f =)(，那么下列错误的结论为（ ） ①若a 是零元，则b 是零元； ②若a 是单位元，则b 是单位元； ③若a 不是零因子，则b 不是零因子；④若2R 是不交换的，则1R 不交换。 9、下列正确的命题是（ ）
①欧氏环一定是唯一分解环； ②主理想环必是欧氏环； ③唯一分解环必是主理想环； ④唯一分解环必是欧氏环。 10、若I 是域F 的有限扩域，E 是I 的有限扩域，那么（ ） ①()()()F I I E I E :::=； ②()()()I E F I E F :::=； ③()()()I F F E F I :::=； ④()()()F I I E F E :::=。
三、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。每空1分，共10分）
1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=?A B 。
2、如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1 。
3、设集合A 有一个分类，其中i A 与j A 是A 的两个类，如果j i A A ≠，那么=j i A A 。
4、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为 。
5、凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。
6、给出一个5-循环置换)31425(=π，那么=-1π 。
7、若I 是有单位元的环R 的由a 生成的主理想，那么I 中的元素可以表达为 。
8、若R 是一个有单位元的交换环，I 是R 的一个理想，那么I R 是一个域当且仅当I 是 。
9、整环I 的一个元p 叫做一个素元，如果 。 10、若域F 的一个扩域E 叫做F 的一个代数扩域，如果 。
四、改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线上面。指出错误1分，更正错误2分。每小题3分，共15分）
1、如果一个集合A 的代数运算 同时适合消去律和分配律，那么在n a a a 21里，元的次序可以掉换。
2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G 对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。
3、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??，如果I 是R 的最大理想，那么0≠S 。
4、唯一分解环I 的两个元a 和b 不一定会有最大公因子，若d 和'd 都是a 和b 的最大公因子，那么必有'd d =。
5、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的都不等于零的元n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。
五、计算题（共15分，每小题分标在小题后） 1、给出下列四个四元置换
???
?
??=????
??=????
??=????
??=34124321,43124321,34214321,432143214321ππππ
组成的群G ，试写出G 的乘法表，并且求出G 的单位元及14131211,,,----ππππ和G 的所有子群。
2、设[][][][][][]{}5,4,3,2,1,06=Z 是模6的剩余类环，且[]x Z x g x f 6)(),(∈。如果[][][]253)(3++=x x x f 、[][][]354)(2++=x x x g ，计算)()(x g x f +、)()(x g x f -和)()(x g x f 以及它们的次数。 六、证明题（每小题10分，共40分）
1、设a 和b 是一个群G 的两个元且ba ab =，又设a 的阶m a =，b 的阶n b =，并且1),(=n m ，证明：ab 的阶mn ab =。
2、设R 为实数集，0,,≠∈?a R b a ，令R x b ax x R R f b a ∈?+→,,:),( ，将R 的所有这样的变换构成一个集合{}0,,),(≠∈?=a R b a f G b a ，试证明：对于变换普通的乘法，G 作成一个群。
3、设1I 和2I 为环R 的两个理想，试证21I I 和{}2121,I b I a b a I I ∈∈+=+都是R 的理想。
4、设R 是有限可交换的环且含有单位元1，证明：R 中的非零元不是可逆元就是零因子。 近世代数试卷参考解答
一、判断题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
× × √ √ × √ √ √ × ×
二、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ② ④ ③ ④ ① ② ④ ③ ① ④ 三、填空题
1、()()()()()(){}1,2,0,2,1,21,1,0,1,1,1--。
2、a 。
3、φ。
4、n m 。
5、变换群。
6、()13524。
7、R y x ay x i i i i ∈∑,,。
8、一个最大理想。
9、p 既不是零元，也不是单位，且q 只有平凡因子。 10、E 的每一个元都是F 上的一个代数元。 四、改错题
1、如果一个集合A 的代数运算 同时适合消去律和分配律，那么在n a a a 21里，元的次序可以掉换。
结合律与交换律
2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G 对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。消去律成立
3、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??，如果I 是R 的最大理想，那么0≠S 。
S=I 或S=R 4、唯一分解环I 的两个元a 和b 不一定会有最大公因子，若d 和'd 都是a 和b 的最大公因子，
那么必有d=d ′。
一定有最大公因子；d 和d ′只能差一个单位因子
5、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的都不等于零的元n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。
不都等于零的元
测验题
一、 填空题（42分）
1、设集合M 与M 分别有代数运算 与 ，且M M ~，则当 时， 也满足结合律；当 时， 也满足交换律。
2、对群中任意元素1)(,,-ab b a 有= ；
3、设群G 中元素a 的阶是n ，n|m 则m a = ；
4、设a 是任意一个循环群，若∞=||a ，则a 与 同构；若n a =||， 则a 与 同构；
5、设G=a 为6阶循环群，则G 的生成元有 ；子群有 ；
6、n 次对称群n S 的阶是 ；置换)24)(1378(=τ的阶是 ；
7、设?
??
?
??=????
??=2314432114324321βα，，则=αβ ； 8、设)25)(136()235)(14(==τσ，，则=-1στσ ； 9、设H 是有限群G 的一个子群，则|G|= ； 10、任意一个群都同一个 同构。 二、证明题（24） 1、 设G 为n 阶有限群，证明：G 中每个元素都满足方程e x n =。
2、
叙述群G 的一个非空子集H 作成子群的充要条件，并证明群G 的任意两个子群H
与K 的交K H 仍然是G 的一个子群。
3、证明:如果群G中每个元素都满足方程e
2，则G必为交换群。
x=
三、解答题（34）
1、叙述群的定义并按群的定义验证整数集Z对运算4
b
a
a 作成群。
+
+
=b
2、写出三次对称群
S的所有子群并写出3S关于子群H=｛（1），（23）｝的所有左陪集和所
3
有右陪集。
基础测试参考答案：
一、填空题
1、满足结合律；满足交换律；
2、1
-a
1-
b；
3、e；
4、整数加群；n 次单位根群；
5、5,a a ；{}{}{
}{}5432423,,,,,,,,,,,a a a a a e a a e a e e ； 6、n!;4 7、?
??
?
??23144321 8、(456)(32) 9、|H|:(G:H) 10、（双射）变换群； 二、证明题
1、已知||n G =，|a|=k,则 k|n
令n=kq,则e a a a q k kq n ===)( 即G 中每个元素都满足方程e x n =
2、充要条件：H a H a H ab H b a ∈?∈∈?∈-1;,,； 证明：已知H 、K 为G 的子群，令Q 为H 与K 的交 设H b a ∈,,则K b a H b a ∈∈,,, H 是G 的子群，有H ab ∈ K 是G 的子群，有K ab ∈
Q ab ∈∴
H
a K a H a H a ∈∈∈∈?-11，可知由定理且，则
综上所述，H 也是G 的子群。
ba
a b ab ab a a a a a a a G
ab G b a =====?=?∈∈?-----1111
21)(;,由消元法得
G 是交换群。
三、解答题
1、解：设G 是一个非空集合， 是它的一个代数运算，如果满足以下条件： （1）结合律成立，即对G 中任意元素)()(,,c b a c b a c b a =，有 （2）G 中有元素e ，它对G 中每个元素a a e a = ，都有 （3）对G 中每个元素e a a a G a =-- 11,，使中有元素在 则G 对代数运算 作成一个群。
对任意整数a,b ，显然a+b+4由a,b 唯一确定，故 为G 的代数运算。 （a b ） c=(a+b+4) c=(a+b+4)+c+4=a+b+c+8 a (b c)=a+b+c+8
即（a b ） c= a (b c)满足结合律
?a 均有（-4） a=-4+a+4=a
故-4为G 的左单位元。 （-8-a ） a=-8-a+a+4=-4 故-8-a 是a 的左逆元。
2、解：6||3=S 其子群的阶数只能是1，2，3，6
1阶子群｛（1）｝
2阶子群｛（1）（12）｝｛（1）（13）｝｛（1）（23）｝3阶子群｛（1）（123）（132）｝
6阶子群
S
3
左陪集：（1）H=｛（1）（23）｝=（23）H （12）H=｛（12）（123）｝=（123）H
（13）H=｛（13）（132）｝=（132）H
右陪集：H（1）=｛（1）（23）｝=H（23）
H（13）=｛（13）（23）｝=H（123）
H（12）=｛（12）（132）｝=H（132）