高中数学三角函数专题专项练习非常好
【三角函数疑难点拔】 一、 忽略隐含条件
例3． 若01cos sin >-+x x ，求x 的取值范围。
正解：1)4sin(2>+πx ，由22)4sin(>+πx 得)(432442Z k k x k ∈+<+<+πππππ∴)(2
22Z k k x k ∈+
<<π
ππ
二、 忽视角的范围，盲目地套用正弦、余弦的有界性 例4． 设α、β为锐角，且α+β?=120，讨论函数βα22cos cos +=y 的最值。
错解
)cos(2
1
1)cos()cos(1)2cos 2(cos 211βαβαβαβα--=-++=++=y ，可见，当1)cos(
-=-βα时，
2
3max =
y ；当1)cos(=-βα时，21min =y 。分析：由已知得?<
1)cos(2
1≤-<βα，∴当1)cos(=-βα，即?==60βα时，21
min =y ，最大值不存在。
三、 忽视应用均值不等式的条件
例5． 求函数)20,0(sin cos 2
222π
<<>>+=x b a x
b x a y 的最小值。 错解 )12sin 0(42sin 4cos sin 2sin cos )2()
1(2222≤<≥=≥+=x ab x ab x x ab x
b x a y Θ，∴当12sin =x 时，ab y 4min =
分析：在已知条件下，（1）、（2）两处不能同时取等号。正解： 2
222
222222222)(2)cot tan ()cot 1()tan 1(b a ab b a x b x a b a x b x a y +=++≥+++=+++=，
当且仅当x b x a cot tan =，即a
b x =
tan ，时，
2min )(b a y +=
【经典题例】
例4：已知b 、c 是实数，函数f(x)=c bx x ++2
对任意α、β∈R 有：,0)(sin ≥αf 且,0)cos 2(≤+βf
（1）求f （1）的值；（2）证明：c 3≥；（3）设)(sin αf 的最大值为10，求f （x ）。
[思路]（1）令α=2
π
，得,0)1(≥f 令β=π，得,0)1(≤f 因此,0)1(=f ；（2）证明：由已知，当11≤≤-x 时，,
0)(≥x f 当31≤≤
x 时，,0)(≤x f 通过数形结合的方法可得：,0)3(≤f 化简得c 3≥；
（3）由上述可知，[-1，1]是)(x f 的减区间，那么
,10)1(=-f 又,0)1(=f 联立方程组可得4,5=-=c b ,所以45)(2+-=x x x f
例5：关于正弦曲线回答下述问题：
（1）函数)43sin(log 2
1x
y ππ-=的单调递增区间是？ Z k k x k ∈+<≤-]348328[；
（2）若函数x a x y 2cos 2sin +=的图象关于直线8
π
=x 对称，则a 的值是 1 ；
（3）把函数)4
3sin(π+=x y 的图象向右平移8π
个单位，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），则所得
的函数解析式子是 )8
sin(π
-=x y ；
例6：函数x
x x
x f cos sin 12sin )(++=，（1）求f(x)的定义域；（2）求f(x)的最大值及对应的x 值。
[思路]（1）{x|x 2
22π
πππ-
≠-≠
k x k 且 }Z k
∈(2)设t=sinx+cosx,则y=t-14
2,12max π
π+=-=k x y Z k ∈
例7：在ΔABC 中，已知B A C C A sin 2
3
2cos sin 2cos sin
22
=+（1）求证：a 、b 、c 成等差数列；
（2）求角B 的取值范围。 [思路]（1）条件等式降次化简得
Λ
Λb c a B C A 2sin 2sin sin =+?=+（2）
Λ
ΛΘ,2
182682)(32)
2(
cos 22222=-≥-+=+-+=
ac ac ac ac ac c a ac c a c a B ∴……，得B 的取值范围]3
,
0(π
14．设ααsin cos +=x
，且0cos sin 33>+αα，则x 的取值范围是 ]2,0( ；
19．已知)2
,
0(π
∈x ，证明不存在实数)1,0(∈m 能使等式cos x +msin x =m(*)成立；
（2）试扩大x 的取值范围，使对于实数)1,0(∈m ，等式(*)能成立； （3）在扩大后的x 取值范围内，若取3
3
=m ,求出使等式(*)成立的x 值。
提示：可化为1)42tan(>+=πx m （2）)2
,2(ππ-∈x （3）6π-
=x
最值问题典型错例
例5. 求函数
y x
x
=
-s i n c o s 1342的最大值和最小值。
错解：原函数化为4902y x x y s i n s i n -+=，关于s in x 的二次方程的判别式?=--??≥()144902
y y ，即-≤≤112112y ，所以y y max min ==-112112
，。剖析：若取y =±112，将导致sin x =±32的错误结论，此题错在忽视了隐含条件|s i n |x ≤1。正解：原函数化为4
902
y x x y s i n s i n -+=，当y =0时，解得s i n x =0，满足s in x ≤1 当
y ≠0
时，解得
s i n x y y
=
±-1114482
，又
s i n |s i n |x R x ∈≤，1
，则有114401111448122
-≥-≤
+-≤?
??
?
?y y
y 或
114401111448122-≥-≤
--≤????
?y y
y ，解得-≤≤1131
13y ，所以y y max min =
=-1131
13
， 难点 化简与求值
【例】已知
2
π＜β＜α＜
43π,cos(α－β)=13
12,sin(α+β)=－53
,求sin2α的值_________.
［例1］不查表求sin 220°+cos 2
80°+3cos20°cos80°的值.
解法一：sin 220°+cos 280°+3sin 2
20°cos80°=21 (1－cos40°)+2
1 (1+cos160°)+ 3sin20°cos80°
=1－21cos40°+21cos160°+3sin20°cos(60°+20°)=1－21cos40°+2
1 (cos120°cos40°－sin120°
sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)=1－21cos40°－4
1
cos40°－43sin40°+43sin40°－
2
3sin 2
20° =1－43cos40°－43(1－cos40°)= 4
1
解法二：设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°，y =cos 220°+sin 2
80°－3cos20°sin80°，则
x +y =1+1－3sin60°=2
1
，x －y =－cos40°+cos160°+3sin100°=－2sin100°sin60°+3sin100°=0
∴x =y =41，即x =sin 220°+cos 2
80°+3sin20°cos80°=4
1.
［例2］关于x 的函数y =2cos 2
x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )=2
1的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值.
解：由y =2(cos x －2
a )2－22
42+-a a 及cos x ∈［－1，1］得：
f (a )??
?
????≥-<<-----≤)2( 41)22( 122
)
2( 12a a a a a
a ，∵f (a )=21,∴1－4a =21?a =81?［2,+∞)，故－22a －2a －1=21，解得：a =－1，此时， y =2(cos x +
21)2+2
1
，当cos x =1时，即x =2k π，k ∈Z ，y max =5. 难点训练
1.(★★★★★)已知方程x 2
+4ax +3a +1=0(a ＞1)的两根均tan α、tan β，且α，β∈(－2,
2π
π)，则tan
2
β
α+的值是( )
A.
2
1
B.－2
C.
34 D. 2
1
或－2 3.设α∈(43,4ππ)，β∈(0，4π)，cos(α－4π)=53，sin(43π+β)=13
5
，则sin(α+β)=_________.
4.不查表求值:
.10cos 1)
370tan 31(100sin 130sin 2?
+?+?+? 5.已知cos(4π+x )=53，(
12
17π
＜x ＜4
7π
)，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值.
7.扇形OAB 的半径为1，中心角60°，四边形PQRS 是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P 的位置，并求此最大面积.
8.已知cos α+sin β=
3，sin α+cos β的取值范围是D ，x ∈D ，求函数y =10
43
2log 2
1
++x x 的最小值，并求取得最小值时x 的值.
参考答案
难点磁场
解法一：∵2π＜β＜α＜43π,∴0＜α－β＜4π.π＜α+β＜4
3π,∴sin(α－β)=.5
4)(sin 1)cos(,135)(cos 122
-=+--=+=--βαβαβα∴sin2α=sin ［(α－β)+(α+β)］=sin(α－
β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β).6556)53(1312)54(135-=-?+-?=。解法二：∵sin(α－β)=13
5,cos(α+β)=－54
,
∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－6572sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－65
40
∴sin2α=65
56
)65406572(21-=--
难点训练
一、1.解析：∵a ＞1，tan α+tan β=－4a ＜0。tan α+tan β=3a +1＞0,又α、β∈(－
2π,2π)∴α、β∈(－2π
,θ),则2
βα+∈(－2π,0),又tan(α+β)=
342
tan 12tan
2)tan(,34)13(14tan tan 1tan tan 2
=β+α-β+α=β+α=+--=βα-β+α又a a ,整理得2tan 222tan 32-β+α+β+α=0.解得tan 2
β+α=－2.答案：B 3.解析：α∈(43,4ππ),α－4π∈(0, 2π),又cos(α－4π)=5
3
.
65
56
)sin(.
6556
13554)1312(53)43sin()4sin()43cos()4cos()]
43()4cos[(]2
)43()4sin[()sin(.
13
12
)43cos(,135)43sin().,43(43).4,0(,54)4sin(=
β+α=?+-?-=β+π?π-α+β+π?π-α-=β+π
+π-α-=π
-β+π+π-α=β+α∴-=β+π∴=β+πππ∈β+π∴π∈β=π-α∴即答案：
65
56
三、4.答案：275285
3)54(25
7)
4cos()
4sin(2sin sin cos cos )cos (sin sin 2cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 54
)4sin(,2435,471217.25
7)4(2cos 2sin ,53)4cos(
:.522=-?=++=-+=
-
+=-+-=+∴<+<∴<<=+-=∴=+x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x x ππ
ππππππππ
又解Θ
7.解：以OA 为x 轴.O 为原点，建立平面直角坐标系，并设P 的坐标为(cos θ,sin θ)，则
｜PS ｜=sin θ.直线OB 的方程为y =
3x ，直线PQ 的方程为y =sin θ.联立解之得Q (
3
3
sin θ；sin θ)，所以｜PQ ｜=cos θ－33sin θ。于是S PQRS =sin θ(cos θ－33sin θ)=33(3sin θcos θ－sin 2
θ)=33(2
3sin2θ－22cos 1θ-)=33(23sin2θ+21cos2θ－21)= 33sin(2θ+6π)－63.∵0＜θ＜3π,∴6π＜2θ+6π＜6
5π.∴21＜
sin(2θ+6π)≤1.∴sin(2θ+6π)=1时，PQRS 面积最大，且最大面积是63，此时，θ=6
π
，点P 为的中点，P (21,23).
8.解：设u =sin α+cos β.则u 2+(3)2=(sin α+cos β)2+(cos α+sin β)2=2+2sin(α+β)≤4.∴u 2
≤1,－1≤u ≤1.即D =［－
1,1］,设t =
3
2+x ,∵－1≤x ≤1,∴1≤t ≤
5.x =2
32-t ..2
1,232,2,258log 2log 82log ,0log .8
2
,2,42.
8
2
24142142104325.05.05
.0min 5.0max 2-==+==-==∴>=====≤+=+=++=
∴x x t y M M y M t t
t t
t t t x x M 此时时时是减函数在时即当且仅当Θ
[提高训练C 组]
一、选择题 5 已知sin sin α
β>，那么下列命题成立的是（ ） A 若,αβ是第一象限角，则cos cos αβ> B 若,αβ是第二象限角，则tan tan αβ> C 若,αβ是第三象限角，则cos cos αβ> D 若,αβ是第四象限角，则tan tan αβ>
二、填空题
1 已知角α的终边与函数)0(,0125≤=+x y
x 决定的函数图象重合，α
ααsin 1
tan 1cos -
+
的值为_________
2 若α是第三象限的角，β是第二象限的角，则
2
β
α-是第 象限的角
4 如果,0sin tan <αα且,1cos sin 0<+<αα那么α的终边在第 象限
5 若集合|,3A x k x k k Z ππππ??
=+≤≤+∈????
，{}|22B x x =-≤≤，则B A I =_______________________ 三、解答题
1 角α的终边上的点P 与
),(b a A 关于x 轴对称)0,0(≠≠b a ，角β
的终边上的点Q 与A 关于直线x y =对称，求
β
αβαβαsin cos 1tan tan cos sin +
+值 3 求66
44
1sin cos 1sin cos αααα
----的值
参考答案
一、选择题
5 D 画出单位圆中的三角函数线
二、填空题 1 77
13
-
在角α的终边上取点1255(12,5),13,cos ,tan ,sin 131213
P r ααα-==-
=-= 2 一、或三 111222
322,(),222,(),22
k k k Z k k k Z ππππαππαππ+<<+∈+<<+∈ 1212()()422k k k k παβπππ--+<<-+
4 二 2sin tan sin 0,cos 0,sin 0cos α
ααααα
=<<>
三、解答题
1 解：22
22
(,),sin ,cos ,tan b a b P a b a
a b a b ααα--=
=
=-
++ 22
22
(,),sin ,cos ,tan a b a Q b a b
a b a b βββ==
=
++ 222
22
sin tan 110cos tan cos sin b a b a a
ααββ
αβ+∴++
=--+= 3 解：66224224
44221sin cos 1(sin cos )(sin sin cos cos )1sin cos 1(12sin cos )αααααααααααα---+-+=---- 22
221(13sin cos )31(12sin cos )2
αααα--==--
【练习】
一、选
择
1、函数
的值域是
（ ）
A. [－1，
1]
B.[-2,2]
C. [0,2]
D.[0,1]
5
、
二、填
空
3、已知f （x ）＝asinx －bcosx 且x ＝ 为f （x ）的一条对称轴，则a ：b 的值为 .
4、若函数
答案
与
解析 一
、
选
择
题：
1、选B.
，当x ≥0时，－2≤2sinx ≤2即－2≤y ≤2；当x<0时，y ＝0包含于[－2，2].于是可知所求函数
值域为[－2，2]，故应选B. 5、选C.解析：由f(x)在区间[－ ， ]上递增及f （x ）为奇函数，知f(x)在区间[－ ，
]上递增，该区间长度应小于或等于f （x ）的半个周
期. ，应选
二、填空
题
3、答案：a ：b ＝－1。解析：由题设得 ，又x ＝ 为f （x ）的一条对称轴，∴
当x ＝ 时f(x)取得最值，∴即
，
∴
a:b=
－
1
。 4、答案：，解析：
，∴由
①，注意到
，由①得：②，再注意到当且仅当
于是由②及得