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2021届黑龙江大庆铁人中学高三上学期期中理科数学试卷

2021年黑龙江大庆铁人中学高三上学期期中理科数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题 1．已知集合，为整数集，则集合中所有元素的和为

（）

A ．12

B ．15

C ．18

D ．21 2．下列函数中，既是偶函数又存在零点的函数是（） A ．y=sin x B ．y=cos x

C ．y=ln x

D ．

3．sin20°cos10°－cos160°sin170°=（）

A ．

B ．

C ．－

D ．

4．若实数x ，y 满足约束条件，则的最小值为（）

A ．

B ．6

C ．

D ．4 5．知△ABC 和点M 满足＋

＝－

，若存在实数m 使得m

＋m

＝

成立，则m

等于（）

A ．

B ．2

C ．

D ．3

6．若a>0，b>0，且函数f （x ）＝4x 3

－ax 2

－bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于（）

A ．4

B ．8

C ．9

D ．18 7．将函数的图象向左平移

个单位得到函数的图象，则函数（）

A ．一个对称中心是（－，0）

B ．一条对称轴方程为x ＝

C ．在区间[－，0]上单调递减

D ．在区间[0，

]上单调递增

1y x =+3-

??≤≤≤≤≥+2031854y x y x y x z 23+=5315

23()cos 2f x x =3

()g x ()g x 3π

8．函数的图象大致为（）

A ．

B ．

C ．

D ．

9．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若

＝，则=（） A ．

B ．

C ．

D ．

10．设α、β都是锐角，且cos α＝，sin （α＋β）＝，则cos β等于（）

A ．

B ．

D ．以上都不对

11．已知向量a ，b 满足|a|=2|b |≠0，且关于x 的函数f （x ）=2x 3

－3| a |x 2

+6 a ?b x+5在实数集R

上有极值，则向量a ，b 的夹角的取值范围是（） A ．（，π） B ．（

，π] C ．[

，π] D ．（0，

）

12．以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数M ，使得函数的值域包含于区间．例如，当．现有如下命题：

①设函数的定义域为D ，则“”的充要条件是“”；

②函数的充要条件是有最大值和最小值；

③若函数，的定义域相同，且

5041008S S 1

1010082016

S S 1261822510

729134

315315382()x ?()x ?()x ?[],M M -()()()()3

1212,sin x x x x x A x B ????==∈∈时，，()f x ()f x A ∈(),,b R a D f a b ?∈?∈=()f x B ∈()f x ()f x ()g x ()()()(),f x A g x B f x g x B ∈∈+?，则

④若函数有最大值，则．其中的真命题为（）

A ．①③

B ．②③

C ．①②④

D ．①③④

二、填空题

13．已知平面向量a ＝（1,2），b ＝（－2，m ），且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________． 14．在ABC ?中,内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，若()2

26c a b =-+，π

C =，则ABC ?的面积为_________.

15．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝6，S 7＝35，则数列的前100项和

为________．

三、解答题

17．已知，命题“均成立”，命题“函数

定义域为R ”．

（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；

（2）若命题为真命题，命题为假命题，求实数的取值范围． 18．已知向量m ＝（sin ωx ＋

cos ωx ，1），n ＝（2cos ωx，－

）（ω>0），函数

f （x ）＝m·n 的两条相邻对称轴间的距离为．

（1）求函数f （x ）的单调递增区间；（2）当x∈[－

，

] 时，求f （x ）的值域．

19．在底面是矩形的四棱锥P-ABCD 中，PA⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝2，BC ＝4，E 是PD 的中点．

（1）求证：平面PDC⊥平面PAD ；（2）求二面角E-AC-D 的余弦值；

()()()2

ln 22,1

f x a x x a R x =++>-∈+()f x B ∈12n n a a +??

????

a R ∈:p [0,2],240x

x a ?∈-+≤:q 2()ln(2)f x x ax =++p a ""p q ∨""p q ∧a

（3）求直线CD 与平面AEC 所成角的正弦值．

20．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n －2n 对n∈N *

成立．（1）证明数列{a n ＋2}是等比数列，并求出数列{a n }的通项公式；（2）求数列{na n }的前n 项和T n ．

21．如图所示，曲线C 由部分椭圆C 1：＋＝1（a>b>0，y≥0）和部分抛物线C 2：y

＝－x 2＋1（y≤0）连接而成，C 1与C 2的公共点为A ，B ，其中C 1所在椭圆的离心率为．

（1）求a ，b 的值；

（2）过点B 的直线l 与C 1，C 2分别交于点P ，Q （P ，Q ，A ，B 中任意两点均不重合），若AP ⊥AQ ，求直线l 的方程．

22．设函数，其中，曲线恒与轴相切于坐标原点．（1）求常数的值；

（2）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）求证：．

()()()1ln 1f x ax x bx =-+-,a b R ∈()y f x =x b 01x ≤≤x ()0f x ≥a 10000.4

1000.5

100011001100001000e ??

??<< ?

参考答案

1．A 【解析】

试题分析：先将集合化简，，因为整数集，则集合

，所以集合中所有元素的和为，故选A ．

考点：1、集合的交集；2、一元二次不等式． 2．B 【解析】

试题分析：对于A ，由于是奇函数，所以排除A ；对于C ，由于的定义域是，定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶函数，排除C ；对于D ，函数

虽是偶函数，但是由于函数的值域是，所以函数不

存在零点，排除D ；故选B ．

考点：1、奇函数、偶函数；2、函数的零点． 3．D 【解析】

试题分析：由于=

===

，故选D ．考点：1、三角函数诱导公式；2、两角和与差的正弦． 4．C 【解析】

试题分析：作出线性约束条件所对应的可行域，如下图阴影所示：

A {

}

3180

A x x x =--<{}{}(6)(3)036x x x x x =-+<=-<

4581302x y x y +≥??

≤≤??≤≤?

可解得点坐标为，当动直线经过点时，有最小值

，故选C ．考点：线性规划、线性约束条件、可行域、最优解． 5．C 【解析】

试题分析：由，得，知点是的重心，由

，由于是的重心，所以，，故选C ．

考点：平面向量． 6．D 【解析】

试题分析：因为，所以，由于函数在

处有极值，所以，因为，，

所以，当且仅当，即，时取等号，所以的最大值是，故选D ．考点：1、导数在函数研究中的应用；2、函数的极值；3、基本不等式． 7．C 【解析】

试题分析：因为函数的图象向左平移

个单位得到函数的图象，所以，由于，则

不是

E 4(1,)532z x y =+4(1,)5

E z 423

31255

?+?

=MB MC MA +=-0MA MB MC ++=M ABC ?mAB mAC AM +=?()

()0m MB MA m MC MA MA -+-+=?

(12)0m MA mMB mMC -++=M ?ABC 12m m -=1

m =

()42f x x ax bx =-+2

()122f x x ax b '=--()f x 1x =(1)01220212f a b a b '=?--=?+=0a >0b >21122()18222

a b ab a b +=

??≤=26a b ==3a =6b =ab 18()cos 2f x x =3

()g x 2()cos 2()cos(2)33g x x x ππ=+=+()cos 0103g π-==≠(,0)3

的对称中心，排除A ；由于，所以不是的一条

对称轴，排除B ；令，可得，，

所以的单调递增区间是，，从而知在上不是增函数，排除D ；故选C ．

考点：1、函数，的图象及变换；2、函数

、的单调区间．

8．A 【解析】试题分析：函数

是奇函数，所以

的图象应关于原点对称，排除C 、D ；

又当时，排除B ；故选A ．

考点：1、函数的奇偶性；2、奇函数偶函数图象的对称性． 9．B 【解析】

试题分析：因为是等比数列的前项和，且由

知，公比，由等比数列的性质可知，，，…也成等比数列，不妨设

，则，，从而知数列，，，…是首项为，公比为的等比数列，进而求得，，所以

，故选B ．考点：1、等比数列及前项和；2、等比数列的性质． 10．A 【解析】

()g x 41()cos 1332g ππ==-≠±3x π

=()g x 22223k x k ππππ-≤+≤k Z ∈563

k x k ππ

ππ-≤≤-k Z ∈()g x 5,63k k ππππ??--???

?k Z ∈0,3π??

????

()g x sin()y A x ω?=+cos()y A x ω?=+sin()y A x ω?=+cos()y A x ω?=+n S {}n a n 50410081

S S =1q ≠504S 1008504S S -15121008S S -20161512S S -5040S a =≠100810S a =10085049S S a -=504S 1008504S S -15121008S S -20161512S S -a 9151291S a =2016820S a =10082016101

82082

S a S a ==n

试题分析：由是锐角及知且，又是锐角及

，可得，若，则为锐角，又知，又，所以，与矛盾，，可得

，故选 A ．

考点：1、两角和与差的正弦、余弦函数；2、角的变换．

【易错点晴】本题主要考查两角和与差的正弦、余弦函数及角的变换技巧，属于中等难度题，在由，得出时，要注意进行讨论，特别对角的范围要进行限制，否则容易出错,常见角的凑配技巧（原则上用题目中的已知角来表示所需要求的未知角）有：

，，

等．

11．B 【解析】

试题分析：由于在上有极值，则

的值在上有正也有负，所以，即，因

为，得，所以，故选B ．考点：1、导数在研究函数中的应用；2、极值；3、平面向量．

【易错点晴】本题主要考查导数在函数研究中的应用、极值、平面向量、一元二次不等式，属于难题，在解题时要注意若在上有极值，则的值在上有正也有负，导数在函数研究中的应用非常广泛，利用导数可以判断函数的单调性，求函数的极值，函数的最值，含参不等式的恒成立求参数的取值问题等，另外本题还要注意向量夹角的取值范围是

α1cos 3α

sin α=3

α>β4sin()5αβ+=3cos()5αβ+=±3

cos()5αβ+=αβ

+4sin()5αβ+=

<3παβ+<3πα>3παβ+>3

παβ+<3

cos()5

αβ+=-[]cos cos ()βαβα=+-cos()cos sin()sin αβααβα=+++

=314535-?+

=4sin()5αβ+=

cos()5

αβ+=±22

α=?

()αββ=+-(

)(

ββ=++-2

αβ

+-=

()ββα=--2()()ααβαβ=++-()4

αα+=

--3

()2365f x x a x a bx =-+?+R 2()666f x x a x a b '=-+R 0?>2()40a a b -?>20a b =≠1cos 2θ<

,3πθπ??

∈ ???

()f x R ()f x 'R

，否则容易出错．

12．D 【解析】

试题分析：对命题①，若，则的值域为，所以

成立，

即必要性成立，另一方面若，那么的值域是，从而，可知充分性成立，所以命题①正确；对命题②，若，则不一定有最大值或最小值，如，此时存在

使得的值域包含于，但没有最大值也没有最小值，所以

有最大值和最小值不是的必要条件，所以②不正确；对命题③，若，由于，那么必有，这与矛盾，所以③不正

确；对于④不妨设的最小值为,最大值为，此时必存在，使

得的值域包含于区间，所以，命题④正确；综上故选D ．考点：1、命题；2、充分条件与必要条件；3、函数定义域与值域；4、新定义问题．【易错点晴】本题主要考查命题、充分条件、必要条件、定义域、值域，综合性较强，属于较难的题目，其中正确理解集合的定义是解决本题的关键，遇到新定义的问题，要仔细审题，否则容易出错,例如本题，集合的含义是显而易见的，关键是集合，根据题目可知，若，则的值域必然是有界的，例如，，都是有界的，另外，若是上的连续函数，则必有最大值和最小值，那么也是有界的． 13．

【解析】试题分析：由

，得

得，从而可得

．

考点：1、平面向量；2、向量平行的坐标运算．

[]0,π"()"f x A ∈()f x R ",,()"b R a D f a b ?∈?∈=",,()"b R a D f a b ?∈?∈=()f x R ()f x A ∈()f x B ∈()f x ()sin ,(,)22

f x x x ππ

=∈-

1M =()f x (1,1)-]1,1?-?()f x ()f x ()f x B ∈()()f x g x B +∈()g x B ∈()f x B ∈()f x A ∈()f x P T {}max ,M P T

≥()f x ],M M ?-?()f x B ∈,A B A B ()x B ?∈()x ?()sin f x x =()cos f x x =()f x ],a b ??()f x ()f x

【详解】

分析：由()2