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复变函数综合练习题及答案

第一部分习题

一. 判断下列命题是否正确,如正确, 在题后括号内填√,否?.(共20题)

1. 在复数范围内31有唯一值1.

( ) 2. 设z=x+iy , 则

z z 22y x +.

(

)

3. 设,2

21i z -=则.32arg π=z ( ) 4. z cos =ω是有界函数.

( ) 5. 方程1=z

e 有唯一解z=0.

( ) 6.

设函数z g z f (),()在0z 处可导,则)

()

(z g z f 在点0z 处必可导.

(

)

设函数

)

,(),()(y x iv y x u z f +=在

000iy x z +=处可导,则

)(00,0)(

)(y x y

i y v z f ??-??='.

(

)

8. 设函数)(z f 在区域D 内一阶可导,则)(z f 在D 内二阶导数必存在. ( ) 9.

设函数)(z f 在0z 处可导, 则)(z f 在0z 处必解析.

( ) 10. 设函数)(z f 在区域D 内可导, 则)(z f 在D 内必解析.

(

)

11. 设),(),,(y x v y x u 都是区域D 内的调和函数,则),(),()(y x iv y x u z f +=是D 内的解析函数.

( ) 12. 设n 为自然数,r 为正实数,则

(00=-?=-r z z n z z dz

(

)

13. 设)(z f 为连续函数,则??

'=1

)()]([)(t t c

dt t z t z f dz z f ,其中10,),(t t t z z =分别为曲

线c 的起点,终点对应的t 值.

( )

14. 设函数)(z f 在区域D 内解析,c 是D 内的任意闭曲线,则

0)(=?c

dz z f .

( )

15. 设函数)(z f 在单连通区域D 内解析, c 是D 内的闭曲线,则对于c D z ∈0有

)(2)

(00z if dz z z z f c

π=-?. ( )

16. 设幂级数

∑+∞

n n n

z c

在R z ≤(R 为正实数)内收敛,则R 为此级数的收敛半径. ( )

17. 设函数)(z f 在区域D 内解析,D z ∈0,则n n n z z n z f z f )(!

)

()(00

0)(-=

∑

+∞

=. ( )

18. 设级数

n n n

z z c

)(0-∑+∞

-∞

=在园环域)(0R r R z z r <<-<内收敛于函数)(z f ,则它

是)(z f 在此环域内的罗朗级数.

( ) 19. 设0z 是)(z f 的孤立奇点,如果∞=→)(lim 0

z f z z ,则0z 是)(z f 的极点.

(

)

20. 设函数)(z f 在圆周1

==1

].0),([Re 2)

(z z f s i z f dz

π ( )

二. 单项选择题.(请把题后结果中唯一正确的答案题号填入空白处,共20题)

1. 设复数3)22(i z -=,则z 的模和幅角的主值分别为____________. A. 4

5,8π

B. 4

24π

C. 4

22π

2.)Re(1z z -<是__________区域.

A. 有界区域

B. 单连通区域

C. 多连通区域

3.下列命题中, 正确的是_____________. A. 零的幅角为零

B. 仅存在一个z 使

z z

-=1

iz z i

4.在复数域内,下列数中为实数的是__________.

A. i cos

B. 2

)1(i -

5.设i z +=1,则=)Im(sin z _________.

A. sin1ch1

B. cos1sh1

C. cos1ch1

6.函数)(z f =2

z 将区域Re(z)<1映射成___________.

A. 4

v u -<

B. 4

v u -≤

C. 2

14v u -<

7.函数)(z f =z 在0=z 处____________. A. 连续 B. 可导

C. 解析

8. 下列函数中为解析函数的是_____________.

A. )(z f =iy x -2

)(z f =xshy i xchy cos sin +

C.)(z f =3332y i x -

9. 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=且),(y x u 是区域D 内的调和函数,则当)

,(y x v 在D 内是_____________时, )(z f 在D 内解析.

A. 可导函数

B. 调和函数

C. 共轭调和函数

10. 设0z 是闭曲线c 内一点, n 为自然数,则?-c

n z z dz

)(0=________________. A. 0

i π2

C. 0或i π2

11. 积分

dz z z

z ?=-2

2)1(sin =_______________. A. 1cos B. i π21cos C. i π2sin1

12. 下列积分中,其积分值不为零的是___________________.

A. ?=-2

3z dz z z

B. 1

sin z z

dz z =? C.

?=15z z

dz z

e 13. 复数项级数∑+∞

=13n n

z 的收敛范围是________________.

A. 1≤z

1>z

14. 设函数)(z f 在多连域D 内解析,210,,c c c 均为D 内闭曲线且210c c c ??组成

复合闭路Γ且D D ?Γ,则___________________. A. 0)()()(2

=++???c c c dz z f dz z f dz z f

B. 0)(=?

dz z f

???

-=2

)()()(c c c dz z f dz z f dz z f

15.函数)(z f =2

21z

e z

-在z=0的展开式是_______________________. A. 泰勒级数

B. 罗朗级数

C. 都不是

16. 0=z 是4)(z

shz

z f =

的极点的阶数是_____________. A. 1

B. 3

C. 4

17. 0=z 是4

11)(z

z f z

的____________________. A. 本性奇点

B. 极点

C. 可去奇点

18. 设)(z f 在环域)0(0R r R z z r <<<-<内解析,则n n n

z z c

z f )()(0∑+∞

-∞

=-=

其中系数n c =______________________.

(0)

(n z f

n , ,2,1,0=n

)

(0)

(n z f

n ,

,2,1,0±±=n

,,2,1,0,)

()

(2110 ±±=-?+n d z f i c n ζζζπc 为环域内绕0z 的任意闭曲线. 19. 设函数)(z f =

1-z

e z

,则]2),([Re i z f s π=__________________. A. 0

B. 1

C. i π2

20. 设函数)(z f =

)

1(cos -z e z z

,则积分

?=1

)(z dz z f =________________.

A. i π2

]0),([Re 2z f s i π C. .2,0,]),([23

i z z

z f i

k k k

ππ±=∑=

三. 填空题 (共14题)

1. 复数方程31i e z -=的解为____________________________________.

2. 设i z 22-=,则z arg =_____________,z ln =___________________________.

411<++-z z 表示的区域是___________________________________.

4. 设,sin )(z z z f =则由)(z f 所确定的 ),(y x u =____________________,

),(y x v =_______________________.

5. 设函数)(z f =???=≠+-0

,00

,sin z z A e z z 在0=z 处连续,则常数A=____________.

6. 设函数)(z f =ζζζζd z z ?=-++221

73,则)1(+'i f =________________________. 若)(z f =ζζζ

ζd z z ?

=-+2

353,则)(i f ''=________________________. 7. 设函数)(z f 在单连域D 内解析,G(z )是它的一个原函数,且D z z ∈10,,则

)(z z dz z f =_______________________.

8. 当a =________时,x

iarctg

y x a z f ++=)ln()(2

在区域x>0内解析. 9. 若z=a 为f(z )的m 阶极点,为g(z)的n 阶极点(m>n ),则z=a 为f(z)g(z)的

__________阶极点,为

)

()

(z g z f 的____________阶极点. 10. 函数)(z f =tgz 在z=0处的泰勒展开式的收敛半经为_________________. 11. 函数)(z f =

sin 在z=0处的罗朗展开式的最小成立范围为_____________.

12. 设∑+∞

-∞

==n n n z c z z

3sin ,则______________________,02==-c c .

13. 积分

dz ze

z z

?=1

=________________________.

14. 留数__________]0,1

[Re _,__________]0,1[Re 2

sin sin =-=-z e s z e s z z . 四. 求解下列各题

(共6题)

1. 设函数)(z f =)(2323lxy x i y nx my +++在复平面可导,试确定常数l n m ,,并

求)(z f '.

2. 已知,33),(22y x y x u -=试求),(y x v 使),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函

数且满足i f =)0(.

3. 试讨论定义于复平面内的函数2

)(z z f =的可导性. 4. 试证2

2),(y x y

y x u +=

是在不包含原点的复平面内的调和函数, 并求)

,(y x v 使),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数且满足1)(=i f . 5. 证明z e z f =)(在复平面内可导且z z e e =')(. 6. 证明

???

?>==-c n n n i z z dz

,01,2)(0π,其中n 为正整数,c 是以0z 为圆心,半径为r 的圆周.

五. 求下列积分 (共24题)

1. 计算dz z c

sin ,其中c 是从原点沿x 轴至)0,1(0z ,然后由0z 沿直线x=1至

)1,1(1z 的折线段.

?+c

dz z z )]Re(2[,其中c 是从点A(1,0)到点B(-1,0)的上半个圆周.

?+-c

dz z z

)652(2

, 其中c 为连接A(1,-1),B(0,0)的任意曲线.

dz ze i

z ?+π11

. 5.

dz z z i z ?=

-++1)4)(1(1

22 6.

dz z z z

z ?

=--π

1(cos 2.

?=-23

2)(sin z dz z z

π. 8.

-+=c z z dz

I )

2()1(2

,其中c 为r r z ,=为不等于1,2的正常数. 9.

++=c

z z dz

I )

1)(12(2

,其中曲线c 分别为 1)

1=-i z

+i z 10. 设c 为任意不通过z =0和z =1的闭曲线,求dz z z e c

?-3

)1(. 11. 23

cos sin [](2)z

z e z e I dz z z z ==+-? . 12.

?=--2

)1(1

2z dz z z z . 用留数定理计算下列各题.

13. dz z z e z z

?=-13

02)(,其中0z 为10≠z 的任意复数.

14. dz z e z z

?=+22

1(π.

15.

?=-24)

1(sin z dz z z

π. 16.

dz z z z

z ?=-+1

2)12)(2(sin π. 17.

?=1

z zdz tg π.

18.

dz z z

z ?=2

2sin . 19.

?=+-122521

z dz z z . 20.

dz z z z ?=+-14141

. 21.

dz iz z z ?=-+122

521

22. dz z z z c ?++)4)(1(2

,其中c 为实轴与上半圆周)0(3>=y z 所围的闭曲线.

23. dz z z c ?++1

142,其中c 同上.

24.

?++c dz z z )

1)(9(1

22,其中c 为实轴与上半圆周)0(4>=y z 所围的闭曲线. 六. 求下列函数在奇点处的留数 (共8题)

421)(z e z f z

-=.

2. 1

sin

)(-=z z z f .

)

1(sin )(z z

z f +=

)

1(1)(++=z z z f . 5.

)(-=

z e z

z f . 6.

)

1()(-=z z e z f z

. 7. 11

)(2

+--=

z z z z f .

z z f sin 1)(+=.

七. 将下列函数在指定区域内展成泰勒级数或罗朗级数 (共10题)

)2()1(1

)(22z z z z f --=

110<-

2. 1

3232)(2+--=

z z z

z f

31<

+z 3.

1)(-=z e z f z

+∞<-<10z

4. 2

)(2

--=

z z z f

2). 1

3). 2<∞

)

1(1

)(2z z z f -=

110<-

z z f cos )(=

+∞<-πz 7.

)1(1

)(z z f +=

8. z

z f sin 1)(+=

π<

)

1(cos )(2

z e z z z f

+∞<

10. z

z z f sin )(=

π<

第二部分

解答

一、判断题.(共20题)

1. ×

2. √

3. ×

4. ×

5. ×

6. ×

7. √

8. √

9. × 10. √ 11. × 12. × 13. √ 14. × 15. √ 16. × 17. × 18. √ 19. √ 20. √

二、单项选择题.(共20题)

1. A.

2. B.

3. C.

4. A.

5. B.

6. A.

7. A.

8. B.

9. C. 10. C. 11. B. 12. C. 13. A. 14. B. 15. B. 16. B. 17. A. 18. C. 19. C. 20. B.

三、填空题 1.

,210)(23

2ln ±±=++，，k k i ππ

) 2.

47π ，i 4

72ln 23π

3. 13

2<+y x 4. xshy y xchy x cos sin - ， xchy y xchy x sin cos + 5. 1

6. i ππ2612+- ，π36-

)()(01z G z G -

1 9.

n m + ，n m - 10.

π 11. π<

12. 1 ，-6

1 13. i π

14. 0 ，1

四、求解下列各题

1. 由题意得?????+=+=2

3),(),(lxy

x y x v y

nx m y y x u 利用

v nxy x u ??==??2 ，得l n =

222233ly x x

nx my y u --=??-=+=??，得3-=n ，3-=l ，1=m 则 )33(6)(22y x i xy x

i x u z f -+-=??+??='

23iz =

2. 由于

x x

u y v 6=??=?? 所以 ?+==)(66),(x xy xdy y x v ?，

)(6x y x

?'+=?? 又由

x v ??-=??，即y x y 6)(6='+? 所以 0)(='x ?，C x =)(?（C 为常数）

故 c xy y x v +=6),(，ci z i c xy y x z f +=++-=2223)6(33)(

将条件 i f =)0(代入可得1=C ，因此，满足条件i f =)0(的函数i z z f +=2

3)(

3. 由题意知???=+=0

),(),(22y x v y x y x u ，由于

02=??==??y v x x u ，02=??-==??x v

y y u 可得??

?==0

0y x 由函数可导条件知，2

)(z z f =仅在0=z 处可导。

4. 由于222)(2y x xy x u +-=??，3

223222)

(26y x y y x x u +-=?? )0(2

2≠+y x 22222)(y x y x y v +-=??，3223

222)(26y x y y x y v ++-=

?? 即02222=??+??y

x u 所以 2

2),(y

x y y x u +=

是调和函数 )0(2

2≠+y x )()

()(2),(22222x g y x x dy y x xy dy y v y x v ++=+-=??=??

， 2

222222)

()()(y x x y y u x g y x x y x v +-=??-='++-=?? 故有

0)(='x g ，C x g =)( （C 为常数）

所以 C y x x

y x v ++=

)

(),(2

2 ci z i

c y x x i y x y z f +=++++=

))

(()()(2222

由于 1)(=i f 代入上式可求得0=C ，故满足条件1)(=i f 的函数z

z f =)(

5. 因为 )sin (cos y i y e e

e x iy

x z

+==+，有

y e y x u x cos ),(=，y e y x v x sin ),(= 且可微，同时有

y v y e x u x ??==??cos ，x

v y e y u x ??-=-=??sin 所以， z

e 在全平面处处可导且

z x x x z e y i y e y ie y e x

i x u e =+=+=??+??=

')sin (cos sin cos )(

6. 设C 的复数方程为 it re z z +=0，不妨设C 的起点对应的参数值为0，有终点对

应的参数值为 π2，则

??-+'+=-C n o it o t

it o n o dt z re z re z dz z z π20)()()(1

---=π

)1(1

dt e r

t n i n

?????==>=-=---12|10|)

1(120

20)1(1n i it n e n r t n i n ，，πππ

即

???

?>==-C n o n n i z z dz

012)(，，π

五、求下列积分 1. ?

+==

sin sin sin dz z dz z dz z I

21I I +=

其中

0OZ ：t z =

)10(≤≤t

1cos 1|cos sin 101

1-=-==?t tdt I

10Z Z ：it z +=1 )10(≤≤t

1cos )1cos(

|)1cos()1()1sin()1()1sin(101

2--=-=---=+-=??i it it d it it d it I 11sin 1cos 11cos sh i ch --= 所以 11sin )21(1cos 1sh i ch I --+=

2. ?+C

dz z z )]Re(2[

(令)0sin cos π≤≤+=t t i t z ，

?+-+=π

)cos sin )(sin 2cos 3(dt ti t ti t

??-+-=π

π0

220

)sin 2cos 3()cos sin 5(dt t t i dt t t

i t t i t 2

]2sin 452[|2cos 4500π

ππ=++=

3. 由于被积函数在全平面处处解析，积分仅与起、终点有关，所以，原式?

-+-=)

0,0()

1,1(2)652(dz z z

)

0,0()1,1(23

]62

2[-+-

=z z z

)

2(3

7)665)1(34()]

1(6)1(25

)1(32[23i i i i i i i --=-+++--=-+----=

i e z e dz ze i

z z πππ-=-=?

++11

|)1( 5. 根据柯西积分公式，原式?

--++=

4)((1

i z dz i

z z i z

3|)4)((122π

π=++==i

z z i z i

6. 原式?

--=

2222cos 1

cos z z dz z

dz z z

)

11(cos 2]|cos |[cos 22

0212-=-===i z z i z z ππ

7. 由于2

z 为被积函数的三阶极点，所以由高阶导数公式有

原式i z i

z πππ-=''=

|)(sin !22

8. 当10<

2()1(1

)(2

-+=

z z z f 在C 内解析，0=I ；当21<

i z i I x ππ9

2|)21(21-='-=-= 当2>r 时，21=-=z z ，均在C 内，根据柯西积分定理

??=

++=

124

11)()(z z dz z f dz z f I

09292|)1(12)21(

1=+-=++-==-=i i z i z i z z ππππ

9. 1) 当C 为1=-i z 时

I=)21(5

|))(12(12i i z z i

i z -=++=π

2) 当C 为2

=+i z 时 I=

+21

)()(c c dz z f dz z f (其中21,c c 分别以2

,--i 为圆心,21,r r 为半径且互不相

交的两个圆) =]|))((21

|))(12(1[

1-=-=-++-+z i z i z i z i z z i π

)61(5

58)21(5

i i i +-=+

--π

ππ

10. 1). 若1,0==z z 均不在C 内,则I=0 2). 若0=z 在C 内, 1=z 在C 外,则

I=i z e i z z

ππ2|)1(203

=-=

3). 若1=z 在C 内, 0=z 在C 外,则

i e z

e i z z

ππ='=1|)(!22

4). 若1,0==z z 均在C 内,则 I=??-+-2133)

1()1(c z

c z dz z z e dz z z e (其中411,;41,21=-=z c z c )

=i e i ππ+2=(2+e)i π

11. ??==-+=323

)

2(sin cos z z

z z

dz z z e dz z z

e I

=20

|)sin (|)

2(sin |cos [2==='+-+z z

z z z z e z e z e i π

=]sin 4

cos 21sin 41[22223

e e e e i -+

+π 12.

dz z

z z z dz z z z z z )1

2112(

)1(1

----=--?

?== =])12()12[(201==---z z z z i π

=i π4

13. 由于0z 为10≠z 的任意复数,所以当10=∈z z 内时,0z 为被积函数的三阶极点.

此时原式=

,4|)(!

220022i e e i z z z z

ππ=''=当10=?z z 内时, 被积函数在1=z 内为解析函数, 所以原式=0.即

?????

,4)(0

023020

z z z z i e dz z z e z z π 14. 原式=]}),([Re ]),([{Re 2i z f s i z f s i -+π,其中i i -,均为二阶极点.

44)()2(lim ])(lim[]),([Re 3

i z i z e i z e i z f s z i z z i z +=+-+='+=→→πππππ

44)

()2(lim ])([lim ]),([Re 32i

i z i z e i z e i z f s z i z z i z -=---='-=--→-→πππππ 所以,原式=i i

i i 2)4

444

(

2πππ

π=-++

15. 1=z 为)(z f 的三阶极点,将)(z f 在1=z 处展开可得

4)1()

1(sin )1()sin()(---

=-+-=

z z z z z f ππππ

= --+-----!5)1(!3)1()1([)1(15

5334z z z z πππ

= +---+--!5)

1()1(!3)

1(533

z z z πππ 所以

3]1),([Re 3

π=

z f s ,原式i i

324

πππ=

16.

]21

),([Re 2)

12)(2(sin 12z f s i dz z z z z ππ=-+?=

=])

2(4sin [lim 22

'+→z z i z ππ

i z z

z z i

z πππππ25

)2(sin )2(sin lim 2

=+-+→ 17. 令0cos =z π得)(0cos i iLn Arc z ±-==π 求得 ),2,1,0(21 ±±=+

=k k z 在1=z 内仅有奇点2

±=z 且均为简单极点

)]21,(Re )21,([Re 21

-+=?=z tg s z tg s i zdz tg z ππππ,其中

πππ1|)(cos sin )21,(Re 21-='==z z z z tg s

πππ1

)(cos sin )21,(Re 2

1-='=--=z z z z tg s

故有

i i zdz tg z 4)1

(21

-=--

=π

ππ

18. 被积函数z

z f 2

sin )(=

在2=z 内仅有奇点0=z 且为简单极点,故有 )0,sin (Re 2sin 222z z s i dz z

z z π=?= =i z

z i z ππ2sin lim

222

0=→

19.

]21

,)2)(12(1[Re 22

5212--=+-?=z z s i z z dz z π

122lim 2(2)3

z i i z ππ→=--

20.

)]32(,141

[Re 21

4212-+-=+-?=z z s i z z dz z π

=22z i π→=

21.

]2),2)(2(1[Re 22

5212i

i z i z s i iz z dz z -++=-+?=π

=2122lim 2(2)3

z i z i ππ→-=+

22.

]}2),([Re ]),([{Re 2)

4)(1(222

i z f s i z f s i dz z z z c +=++?π

=22222112[lim lim ]2()()(4)(1)(2)633

z i z i z z i i z i z z z i i i π

ππ→→+=-+=

++++

23.

]}),([Re ]),([{Re 21

1434

42i e z f s e z f s i dz z z i c πππ+=++?

=5734

222

2[lim lim ]()()

()()

i i z e z e

z z i z e z i z e z i πππ

π→→+++-+--

=ππ2)221221(

2=+

24.

]}3),([Re ]),([{Re 2)

1)(9(22i z f s i z f s i z z dz

c +=++?π

=22311

2[lim

lim ](9)()(1)(3)

z i

z i i z z i z z i π→→+++++

=12

)481161(

2ππ=-i i i 六. 求下列函数在奇点处的留数

(共8题)

421)(z e z f z

-=的奇点为0,且0=z 为其三阶极点.

22401114Re (,0)lim()2!3z z z e e s z z →--''==-

或

]!3)2(!2)2(21(1[1)(3

24 ++++-=z z z z

z f

= ----

z z

z 34

222

3 有

)0,1(Re 142-==--c z

e s z

2. 1sin

)(-=z z

z f 的奇点为1=z ,且 11s i n 1c o s 11c o s 1s i n )111s i n (1s i n -+-=-+=-z z z z z

=])1(!31

11[1cos ])

1(!41)1(!211[1sin 3

42 +---+--+--

z z z z

复变函数试题及答案

1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w = z 1将Z S 上的曲线()1122 =+-y x 变成W S (iv u w +=)上的曲线是 3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 22 22= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11--的奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得 z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数

4、根式31-的值之一是（） A i 2321- B 2 23i - C 223i +- D i 2321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（） A z 1sin 1 B z 1cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =-12 3z z dz B ? =-1 2 1z z dz C ?=++1242z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（） A ()∑∞ =+-02121n n n n z （z <1） B ()∑∞ =+-0 1221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-012121n n n n z （z <1） D ()∑∞=-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1w 的分式线性变换是（） A )1(1>--=a z a a z e w i β B )1(1<--=a z a a z e w i β C )1(>--=a a z a z e w i β D )1(<--=a a z a z e w i β 三、判断题（每小题2分）

复变函数综合练习

综合练习一 1、设| |1,|| 1.a z <<证明：（i ）| |1; 1z a az -<- （ii ） 22 2 2 (1||)(1||) 1||;1|1| z a a z az az ----= -- （iii ）|||| ||||| || |1 1|||| 1|||| 1z a z a z a a z a z az --+≤≤ <-+- 2、设12 12,,,,,,n n z z z ωωω 是任意2n 个复数，证明复数形式的Lagrange 恒等式： 2 2 2 2 1 1 1 1||(||)(||)|| n n n j j j j j k k j j j j j k n z z z z ωωωω===≤<≤=- -∑∑∑∑ , 并由此推出Cauchy 不等式： 2 2 2 1 1 1 ||(||)(||). n n n j j j j j j j z z ωω===≤∑∑∑ 不等式中等号成立的条件是什么？ 3、设12,,,n z z z 是任意n 个复数，证明必有{1,2,,}n 的子集E 使得 1 1 ||||. 6 n j j j E j z z ∈=≥ ∑∑ 4、设无穷三角阵 11212231 32 33 a a a a a a 满足（i ）对任意固定的k ，lim nk k n a a →∞ =存在；（ii ） 1 lim n nk n k a →∞ =∑存在；（iii ） 1 ||,. n nk k a M n =≤<∞?∈∑ 证明：若复数列{}n z 收敛，则1lim n nk k n k a z →∞=∑存在。 5、证明：若E ? 即是开集又是闭集，则E =?或.E = 6、设E 是非空点集，0ε>。若对于E 中的任意两个点,a b ，存在E 中的有限个点 01,,,,n a z z z b == 使得 1||k k z z ε--<成立(1)k n ≤≤，则称E 为ε-连通的。证明：紧集连通的充要条件是，对任意0ε>它都是ε-连通的。举例说明将紧集改为闭集后结论不再成立。 7、设D 是中的域，()f H D ∈，f 在D 中不取零值。证明：对任意0,p >有 22 222 22|()||()||()|.p p f z p f z f z x y -????'+= ????? 8、设D 是中的域，1 ()f u iv C D =+∈。证明： 2 2 ||| |. u u x y f f v v z z x y ??????=-?????? 特别地，当()f H D ∈时，有 2 ||. u u x y f v v x y ????'=???? 9、设f 在(0,1){1}B 上全纯，并且 ((0,1))(0,1),(1)1,f B B f ?= 证明(1)0.f '≥ 10、设((0,1)),f H B ∈如果存在0(0,1)\{0}z B ∈，使得 0000|||| ()0,()0,|()|max |()|, z z f z f z f z f z ≤'≠≠=且那么000() 0. () z f z f z '> 11、证明(0,1)B 是 2 ()1z f z z = -的单叶性域，并求出 ((0,1))f B 。 12、求一单叶全纯映射，把 11(,)22B - 和11 (,)22B 的外部除去线段[2,0]i -所成的域映为上半平面。 13、设0,(0,)r R f B r <<在中全纯。证明：（i ） 20 1(0)(); 2i f f re d πθ θπ=? （ii ）2 ||1 (0)(). z r f f z dxdy r π<= ? 14、设 u 是 (0,)B R 中的调和函数， 0.r R <<证明： 20 1(0)(). 2i u u r e d π θ θπ = ? 15 、（ Schwarz 积分公式）设 ((0,) ) (( 0, f H B R C B R f ∈=+ 证明： 20 1Re ()(Re )(0). 2Re i i i z f z u d iv z θ πθ θ θπ += +-? 16、设 f 是域 D 上的连续函数，如果对于任意边界和内部都位于D 中的弓形域G ，总有()0 G f z dz ?=? ，那么f 是D 上的全纯函数。如果把弓形域换成圆盘，结论是否仍然成立？ 17、证明：幂级数 00 () n n n a z z ∞ =-∑在域D 上一致收敛，当且仅

复变函数测试题及答案

第一章复数与复变函数一、选择题 1．当i i z -+= 11时，50 75100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（）（A ）)]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（）（A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（）（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3

７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（）（A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（）（A ）有界区域（B ）无界区域（C ）有界闭区域（D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周（B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周（D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （）（A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（）（A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）（A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续

复变函数课后习题答案(全)

习题一答案 1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1） 1 32i + （2） (1)(2) i i i -- （3）13 1 i i i - - （4）821 4 i i i -+- 解：（1） 132 3213 i z i - == + ，因此： 32 Re, Im 1313 z z ==-， 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ （2） 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- ，因此， 31 Re, Im 1010 z z =-=， 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=-- （3） 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - ，因此， 35 Re, Im 32 z z ==-， 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= （4）821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re1,Im3 z z =-=， arg arctan3,13 z z z i π ==-=-- 2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（1）i（2 ）1 -+（3）(sin cos) r i θθ + （4）(cos sin) r i θθ -（5）1cos sin (02) i θθθπ -+≤≤解：（1）2 cos sin 22 i i i e π ππ =+=

（2 ）1-+23 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22 i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3．求下列各式的值：（1 ）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- （4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 （6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- 2[cos()sin()](cos sin ) 33)sin()][cos()sin()]44 i i i i ππ θθππ θθ-+-+= -+--+- )sin()](cos2sin 2)12 12 i i π π θθ=- +- + (2)12 )sin(2)]12 12 i i π θπ π θθ- =- +- =

复变函数经典习题及答案

练习题一、选择、填空题 1、下列正确的是（ A ）； A 1212()Arg z z Argz Argz =+； B 1212()arg z z argz argz =+； C 1212()ln z z lnz lnz =+； D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是（ B ）； A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件； B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件； C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件； D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=（ 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ），主值为（ 4 5(arctan )3 ln i π+- ）. 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =（ 0 ）. 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛，那么该级数在45 z i =处的敛散性为（绝对收敛）. 6、 311z -的幂级数展开式为（ 30n n z ∞=∑ ），收敛域为（ 1z < ）； 7、 sin z z -在0z =处是（ 3 ）阶的零点； 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是（ 4 ）阶的极点；二、计算下列各值 1．3i e π+； 2．tan()4i π -； 3．(23)Ln i -+； 4 ． 5．1i 。解：（略）见教科书中45页例2.11 - 2.13

【填空题】《复变函数与积分变换》期末练习题

2020届《复变函数与积分变换》练习题填空题 1.若 ()f z u iv =+可导，则()f z ￠ = . 2.设()t d 是单位脉冲函数，则()t d 轾=臌 . 3.复变函数3()z f z e =的周期为 . 4.曲线积分3 4sin ()z z dz z p == -ò? . 5.已知复变函数 22()3326f z x y xyi =--+，若z x iy =+，则()f z 关于变量z 的表达式为 . 6.复变函数()z f z e =的周期为 . 7. 若()f z u iv =+可导，则()f z ￠= . 8.计算乘幂 = . 9.曲线积分24cos ()z z dz z π== -?? . 10. 已知222211()(1)(1)f z x iy x y x y =+ +-++，若z x iy =+，则复变函数()z f 关于变量z 的表达式为 . 11. ()=+51i ________. 12. 当=a ________，函数)72(2)(y x i y ax z f +-++=为复平面上的一个解析函数. 13. 复数6cos 6sin π πi z +-=的指数形式为=z ________________. 14. 函数t t f 7sin )(=的Fourier 变换为________________. 18. =?+∞ -tdt e t 2cos 04________________. 19. =i 1________.

20. 当=a ________，函数)9()(y x i ay x z f ++-=为复平面上的一个解析函数. 21. 复数32cos 32sin ππi z +=的指数形式为=z ________________. 22. 函数t t f 5sin )(=的Fourier 变换为________________. 23. =?+∞-tdt e t 2cos 03________________. 24.公式cos sin ix e x i x =+称为_____________________. 25.函数()f z Lnz =的奇点之集为_____________________. 26. ()+t dt δ∞∞=?— ___________. 27.复变函数3()z f z e =的周期为 . 28.若21(1)1n n n z i n n +=++-，则lim n n z =___________. 29.设34z i =+，则2z e = . 30.函数()cos 6f t t =的傅立叶变换[cos 6]F t = . 31.xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f . 32.已知复变函数 22()3326f z x y xyi =--+，若z x iy =+，则()f z 关于变量z 的表达式为 . 33.=+i i )1(____________________. 34. 当=a _____，=b _____，函数)9()(2y x i ay bx z f ++-=为复平面上的一个解析函数. 35. =-)33(i Ln _______________.

复变函数_期末试卷及答案

一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列复数中，位于第三象限的复数是（） A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（） 3．下列命题中，正确．．的是（） A. 1z >表示圆的内部 B. Re()0z >表示上半平面 C. 0arg 4 z π << 表示角形区域 D. Im()0z <表示上半平面 4．关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是（） A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（） 6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（） A. cos z 是有界函数 B. 2 2Lnz Lnz = 7 ．在下列复数中，使得z e i =成立的是（） 8．已知3 1z i =+，则下列正确的是（） 9．积分 ||342z dz z =-??的值为（） A. 8i π B.2 C. 2i π D. 4i π 10．设C 为正向圆周||4z =, 则10()z C e dz z i π-??等于（） A. 1 10! B. 210! i π C. 29! i π D. 29! i π- 11．以下关于级数的命题不正确的是（） A.级数0327n n i ∞ =+?? ?? ?∑是绝对收敛的 B.级数 212 (1)n n i n n ∞ =??+ ?-??∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛 D.在收敛圆周上，条件收敛 12．0=z 是函数(1cos ) z e z z -的（） A. 可去奇点 B.一级极点 C.二级极点 D. 三级极点

复变函数习题答案第3章习题详解

第三章习题详解 1．沿下列路线计算积分? +i dz z 30 2 。 1) 自原点至i +3的直线段；解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3 () ()()?? +=??????+=+= +1 3 1 332 3 30 2 3313313i t i dt t i dz z i 2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3；解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz = 33 33 2 3 2 33131=??? ???== ? ? t dt t dz z 连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t i d t dz = () ()()33 1 31 2 33 2 3313313313-+=??????+=+= ?? +i it idt it dz z i ()()()33 3 3 1 02 30 2 30 2 33 13 3 133 133 13i i idt it dt t dz z i += - ++ = ++ = ∴ ?? ? + 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t i d t dz = ()()31 31 20 2 3131i it idt it dz z i =??? ???== ? ? 连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz = () ()()33 1 31 2 32 3113131i i i t dt i t dz z i i -+=??????+=+= ?? + ()()33 3 3 32 2 30 2 13 13 113 13 1i i i i dz z dz z dz z i i i i += - ++ = + = ∴ ? ? ? ++ 2．分别沿x y =与2 x y =算出积分()? ++i dz iy x 10 2 的值。解：x y = ix x iy x +=+∴2 2 ()dx i dz +=∴1 ()()()()()??? ??++=? ???? ???? ??++=++=+∴ ? ?+i i x i x i dx ix x i dz iy x i 213112131111 0231 210 2 2 x y = ()2 2 2 2 1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴ ()()()()()? ???? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ +1 1 0432 10 2 2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x i 而()i i i i i 6 5 6121213131213 11+-=-++=??? ??+ +

复变函数试题及标准答案样本

二．判断题（每题3分，共30分） 1．n z z (在0=z解析。【】 f= z )

2．)(z f 在0z 点可微，则)(z f 在0z 解析。【】 3．z e z f =)(是周期函数。【】 4．每一种幂函数在它收敛圆周上处处收敛。【】 5．设级数∑∞=0n n c 收敛，而||0∑∞=n n c 发散，则∑∞ =0n n n z c 收敛半径为1。【】 6． 1tan()z 能在圆环域)0(||0+∞<<<

复变函数与积分变换(A)参照答案与评分原则 (.7.5) 一.填空(各3分) 1.3ln 2i k e +-π； 2. 三级极点； 3. 23z ； 4. 0 ； 5. 0 ； 6. e 1 ；7. 322)1(26+-s s ；8. 0； 9. 0 ；10. )]2()2()2(1)2(1[ 21++-+++-ωπδωπδωωj j 。二.判断1.错；2.错；3.对的； 4. 错；5.对的；6.错； 7.错； 8. 错；9. 对的；10. 错。三(8分) 解：1)在2||1<

复变函数练习册(全套)

第一章复数与复变函数一、选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足arg(2)3z π+=，5arg(2)6z π -=，那么=z （）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 1 23+- 3．一个向量顺时针旋转3 π ，对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数（）（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 4．使得2 2z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数 5．方程232=-+i z 所代表的曲线是（）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周（B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周（D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 6．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）（A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续学号：____________ 姓名:______________ 班级:_____________

二、填空题 1．设) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．复数2 2 )3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为 4．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连接点和的线段的垂直平分线 5．=+++→)21(lim 421z z i z 三、将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（1）i （2）13i -+ 四、求下列各式的值：（1）5( 3)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3）1i + 五、解方程：5 ()1z i +=

《复变函数》-期末试卷及答案(A卷)

《复变函数》试卷第1页（共4页）《复变函数》试卷第2页（共4页） XXXX 学院2016—2017学年度第一学期期末考试复变函数试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，并将其前面的字母填在题中括号内。） 1. =)i Re(z ( ) A.)i Re(z - B.)i Im(z C.z Im - D.z Im 2. 函数2 ) (z z f =在复平面上 ( ) A.处处不连续 B. 处处连续，处处不可导 C.处处连续，仅在点0= z 处可导 D.处处连续，仅在点0=z 处解析 3.设复数a 与b 有且仅有一个模为1，则b a b a --1的值 ( ) A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.无穷大 4. 设x y z f y x z i )(i +-=+=，，则=')(z f ( ) A.i 1+ B.i C.1- D.0 5.设C 是正向圆周 1=z ，i 2sin π=?dz z z C n ，则整数n 等于 ( ) A.1- B.0 C.1 D.2 6.0=z 是2 1 )( z e z f z -=的 ( ) A.1阶极点 B.2阶极点 C. 可去奇点 D.本性奇点 7.幂级数!2)1(0 n z n n n n ∑∞ =-的和函数是 ( ) A.z e - B.2 z e C.2 z e - D.z sin 8.设C 是正向圆周 2=z ，则 =?C z dz 2 ( ) A.0 B.i 2π- C.i π D.i 2π 9.设函数)(z f 在)0( 00+∞≤<<-

复变函数习题答案第2章习题详解

第二章习题详解 1．利用导数定义推出： 1) () 1 -=n n nz z ' （n 为正整数）解： ()()()()()z z z z z n n z nz z z z z z z n n n n n z n n z n ????????-?? ??? ?++-+ += -+= --→→ 2 2 1 12 1lim lim ' ()() 1 1 2 1 12 1----→=?? ? ?? ?++-+ = n n n n z nz z z z n n nz ??? lim 2) 211z z -=?? ? ??' 解： () ()2 11 111 1z z z z z z z z z z z z z z z z z - =+-= +-= - += ?? ? ??→→→?????????lim lim lim ' 2．下列函数何处可导？何处解析？ 1) ()iy x z f -=2 解：设()iv u z f +=，则2x u =，y v -= x x u 2=??， 0=??y u ， 0=??x v ，1-=??y v 都是连续函数。只有12-=x ，即2 1- =x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()iy x z f -=∴2 在直线2 1- =x 上可导，在复平面内处处不解析。 2) ()3 3 32y i x z f += 解：设()iv u z f +=，则3 2x u =，3 3y v = 2 6x x u =??， 0=??y u ， 0=??x v ， 2 9y y v =??都是连续函数。只有2 2 96y x =，即032=± y x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()3 3 32y i x z f +=∴在直线 032=± y x 上可导，在复平面内处处不解析。 3) ()y ix xy z f 2 2 += 解：设()iv u z f +=，则2 xy u =，y x v 2 =

复变函数

1. 一个项目的输入输出端口是定义在 A 。 A. 实体中 B. 结构体中 C. 任何位置 D. 进程体 2. 描述项目具有逻辑功能的是 B 。 A. 实体 B. 结构体 C. 配置 D. 进程 3. 关键字ARCHITECTURE定义的是 A 。 A. 结构体 B. 进程 C. 实体 D. 配置 4. MAXPLUSII中编译VHDL源程序时要求 C 。 A.文件名和实体可以不同 B. 文件名和实体名无关 C. 文件名和实体名要相同 D . 不确定 5. 1987标准的VHDL语言对大小写是 D 。 A. 敏感的 B. 只能用小写 C. 只能用大写 D. 不敏感 6. 关于1987标准的VHDL语言中，标识符描述正确的是 A 。 A必须以英文字母开头B可以使用汉字开头C可以使用数字开D任何字符都可以 7. 关于1987标准的VHDL语言中，标识符描述正确的是 B 。 A下划线可以连用B下划线不能连用 C不能使用下划线 D可以使用任何字符 8. 符合1987VHDL标准的标识符是 A 。 A. A_2 B. A+2 C. 2A D. 22 9. 符合1987VHDL标准的标识符是 A 。 A. a_2_3 B. a_____2 C. 2_2_a D. 2a 10. 不符合1987VHDL标准的标识符是 C 。 A. a_1_in B. a_in_2 C. 2_a D. asd_1 11. 不符合1987VHDL标准的标识符是 D 。 A. a2b2 B. a1b1 C. ad12 D. %50 12. VHDL语言中变量定义的位置是 D 。 A. 实体中中任何位置 B. 实体中特定位置 C. 结构体中任何位置 D. 结构体中特定位置 13. VHDL语言中信号定义的位置是 D 。 A. 实体中任何位置 B. 实体中特定位置 C. 结构体中任何位置 D. 结构体中特定位置 14. 变量是局部量可以写在 B 。 A. 实体中 B. 进程中 C. 线粒体 D. 种子体中 15. 变量和信号的描述正确的是 A 。 A. 变量赋值号是:= B. 信号赋值号是:= C. 变量赋值号是<= D. 二者没有区别 16. 变量和信号的描述正确的是 B A. 变量可以带出进程 B. 信号可以带出进程 C. 信号不能带出进程 D. 二者没有区别 17. 关于VHDL数据类型，正确的是 C 。 A. 数据类型不同不能进行运算 B. 数据类型相同才能进行运算 C. 数据类型相同或相符就可以运算 D. 运算与数据类型无关 18. 下面数据中属于实数的是 A 。 A. 4.2 B. 3 C. ‘1’ D. “11011” 19. 下面数据中属于位矢量的是 D 。 A. 4.2 B. 3 C. ‘1’ D. “11011” 20. 关于VHDL数据类型，正确的是 B 。 A. 用户不能定义子类型 B. 用户可以定义子类型 C. 用户可以定义任何类型的数据 D. 前面三个答案都

复变函数试题与答案

复变函数试题与答案 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-

５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（）（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（）（A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i -- 4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（）（A ）有界区域（B ）无界区域（C ）有界闭区域（D ）无界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（）

复变函数试题及答案

成绩西安交通大学考试题课程复变函数（A）系别考试日期 2007 年 7 月 5 日专业班号姓名学号期中期末 1. 填空（每题3分， 2. 共30分） 1．＝ 2．＝0是函数的（说出类型，如果是极点，则要说明阶数） 3. ,则＝ 4. 5. 函数在处的转动角为 6. 幂级数的收敛半径为 =____________ 7. 8．设C为包围原点在内的任一条简单正向封闭曲线，则 9．函数在复平面上的所有有限奇点处留数的和为___________ 10．二．判断题（每题3分，共30分） 1．在解析。【】 2．在点可微，则在解析。【】 3．是周期函数。【】 4．每一个幂函数在它的收敛圆周上处处收敛。【】 5．设级数收敛，而发散，则的收敛半径为1。【】 6．能在圆环域展开成洛朗级数。【】 7．为大于1的正整数, 成立。【】 8．如果函数在解析，那末映射在具有保角性。【】 9．如果是内的调和函数,则是内的解析函数。【】10．。【】三．（8分）为调和函数，求的值，并求出解析函数。四．（8分）求在圆环域和内的洛朗展开式。五．（8分）计算积分。六．（8分）设，其中C为圆周的正向，求。七．（8分）求将带形区域映射成单位圆的共形映射。

复变函数与积分变换(A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5) 一.填空(各3分) 1. ； 2. 三级极点； 3. ； 4. 0 ； 5. 0 ； 6. ； 7. ； 8. 0； 9. 0 ；10. 。二.判断1.错；2.错；3.正确； 4. 错；5.正确；6.错； 7.错；8. 错；9. 正确；10. 错。三(8分) 解: 1)在 -----4分 2) 在 --4分四.(8分) 解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有一个一级极点 -2+i, 故 --------3分 --------6分故 ---------8分五.(8分) 解: -------3分由于1+i在所围的圆域内, 故 -------8分六. (8分) 解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射,可以得到 (映射不唯一,写出任何一个都算对) 七.(8分) 解:对方程两端做拉氏变换: 代入初始条件,得 --------4分故, ---------8分(用留数做也可以) 复变函数 (A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5) 一.填空(各3分)1. ；2. 三级极点；3. ； 4. 0 ；5. 0 ；6. ；7. ；8. 0 ； 9. 0 ； 10. 0。二.判断1.错；2.错；3.正确；4. 错；5.正确；6.错；7.错；8. 错；9. 正确；10. 错。三.(8分) 解:因为是调和函数,则有 ,即故 ---------2分 1) 当时, , 由C-R方程, , 则 , 又由，故 , 所以。则 ----------3分 2) 当时, , 由C-R方程, , 则 , 又由，故 , 所以。则

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