高中数学必修2综合测试题及答案
必修2综合检测
时间120分钟 满分150分
一、选择题（每小题5分，共60分） 1.下列叙述中，正确的是（ ）
（A ）因为,P Q αα∈∈，所以PQ ∈α （B ）因为P α∈，Q β∈，所以αβ?=PQ （C ）因为AB α?，C ∈AB ，D ∈AB ，所以CD ∈α
（D ）因为AB α?,AB β?,所以()A αβ∈?且()B αβ∈? 2．已知直线l 的方程为1y x =+，则该直线l 的倾斜角为（ ）．
(A)30 (B)45 (C)60 (D)135 3.已知点(,1,2)A x B 和点(2,3,4),且26AB =,则实数x 的值是（ ）．
}
(A)-3或4 (B)–6或2 (C)3或-4 (D)6或-2
4.长方体的三个面的面积分别是632、、，则长方体的体积是（ ）．
A ．23
B ．32
C ．6
D ．6
5.棱长为a 的正方体内切一球，该球的表面积为 （ ） A 、2a π B 、22a π C 、32a π D 、a π24
6.若直线a 与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a 垂直的直线（ ）
（A ）只有一条 （B ）无数条 （C ）是平面α内的所有直线 （D ）不存在 7.已知直线l 、m 、n 与平面α、β，给出下列四个命题： ①若m ∥l ，n ∥l ，则m ∥n ②若m ⊥ ，m ∥， 则 ⊥ ③若m ∥ ，n ∥ ，则m ∥n ④若m ⊥ ，
⊥
，则m ∥
或m
/
其中假命题．．．
是（ ）
(A) ① (B) ②
(C) ③
(D) ④
8.在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ）．
9．如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积．．．为（ * ）． (A)
4
π
(B) 54π (C) π (D) 32π
'
10.直线03y 2x =--与圆
9)3y ()2x (2
2=++-交于E 、F 两点，则?EOF （O 是原点）的面积为（ ）． A ．52 B ．
4
3 C ．
2
3 D ．
5
5
6 11.已知点)3,2(-A 、)2,3(--B 直线l 过点)1,1(P ，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值k 范围是 （ ）
A 、34k ≥
或4k ≤- B 、34k ≥或14k ≤- C 、434≤≤-k D 、44
3
≤≤k 12.若直线k 24kx y ++=与曲线2x 4y -=有两个交点，则k 的取值范围是（ ）． A ．[)∞+,1 B ． )43,1[-- C ． ]1,4
3( D ．]1,(--∞ 二．填空题（每小题4分，共16分）
13.对任何实数k ，直线(3＋k)x ＋(1-2k)y ＋1＋5k=0都过一个定点A ，那么点A 的坐标是 ．
14.空间四个点P 、A 、B 、C 在同一球面上，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA=PB=PC=a ，那么这个球面的面积是 ．
15．已知2222
12:1:349O x y O x y +=+=圆与圆（
－）（＋），则12O O 圆与圆的位置关系为 ．
16．如图①，一个圆锥形容器的高为a ，内装一定量的水.如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为
2
a
（如图②），则图①中主视图 左视图
俯视图
①
{
a
D
B C A
O
1 x
y
的水面高度为 ． 三．解答题
17．（12分）如图，在OABC 中，点C （1，3）．（1）求OC 所在直线的斜率；（2）过点C 做CD ⊥AB 于点D ，求CD 所在直线的方程。
18．（12分）如图，已知正四棱锥V －ABCD 中，
AC BD M VM 与交于点，是棱锥的高，若6cm AC =，5cm VC =，求
正四棱锥V -ABCD 的体积．
19．（12分）如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点．（1）求证：EF ∥平面CB 1D 1；（2）求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1。
[
20. （12分）已知直线1l ：mx-y=0 ，2l ：x+my-m-2=0。（Ⅰ）求证：对m ∈R ，1l 与 2l 的交点P 在一个定圆上；（Ⅱ）若1l 与定圆的另一个交点为1P ，2l 与定圆的另一交点为2P ，求当m 在实数范围内取值时，⊿21P PP 面积的最大值及对应的m 。
21. （12分）如图，在棱长为a 的正方体ABCD D C B A -1111中， （1）作出面11A BC 与面ABCD 的交线l ，判断l 与线11A C 位置关系，并给出证明；（2）证明1B D ⊥面11A BC ；（3）求线AC 到面11A BC 的距离；（4）若以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，试写出1,B B 两点的坐标。
22．（14分）已知圆O ：221x y +=和定点A(2,1)，由圆O 外一点(,)P a b 向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足PQ PA =。(1) 求实数a 、b 间满足的等量关系；(2) 求线段PQ 长的最小值；(3) 若以P 为圆心所作的圆P 与圆O 有公共点，试求半径
B
[ A
B 1
C 1
D 1
E F
2
2
P
Q
x
y
A
D
V
M
取最小值时圆P 的方程。
参考答案： DBACA BDCCD AB 13. )2,1(- 14. 2
a 3π 15. 相离
16. 3
7(1)a - 17. 解: (1) 点O （0，0），点C （1，3），
∴ OC 所在直线的斜率为30310OC k -==-. （2）在
OABC 中，//AB OC , CD ⊥AB ，∴ CD ⊥OC. ∴ CD 所在直线的斜率为13
CD
k =-. ∴CD 所在直线方程为1
3(1)3
y x -=--，3100x y +-=即.
18. 解法1：正四棱锥V -ABCD 中，ABCD 是正方形，
111
63222MC AC BD ∴=
==?=(cm). 且11
661822ABCD
S AC BD =??=??=(cm 2). VM 是棱锥的高, ∴Rt △VMC 中，2
2
2
2
534VM VC MC =-=-=(cm).
《
∴正四棱锥V －ABCD 的体积为11184243
3
ABCD S VM ?=??=(cm 3).
解法2：正四棱锥V -ABCD 中，ABCD 是正方形，
∴ 111632
2
2
MC AC BD ===?=(cm). 且2
32AB BC AC ==
=(cm) . ∴22(32)18ABCD S AB ===(cm 2).
VM 是棱锥的高,
∴Rt △VMC 中，2222534VM VC MC =-=-=(cm). ∴正四棱锥V -ABCD 的体积为11184243
3
ABCD S VM ?=??=(cm 3).
19. （1）证明:连结BD.在长方体1AC 中，对角线11//BD B D . 又 E 、F 为棱AD 、AB 的中点， //EF BD ∴. 11//EF B D ∴. 又B 1D 1
平面11CB D ，EF ?平面11CB D ，∴ EF ∥平面CB 1D 1.
（2） 在长方体1AC 中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，而B 1D 1 平面A 1B 1C 1D 1，∴ AA 1⊥B 1D 1.
又
在正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，∴ B 1D 1⊥平面
CAA 1C 1. 又 B 1D 1
平面CB 1D 1，∴平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．
20. 解：（Ⅰ）1l 与 2l 分别过定点（0,0）、（2,1），且两
~
D V
M
，
P 2(2,1)
y
x
P
P 1
两垂直，∴ 1l 与 2l 的交点必在以（0，0）、（2，1）为一条直径的圆： 0)1y (y )2x (x =-+- 即 0y x 2y x 22=--+王新敞
（Ⅱ）由（1）得1P （0,0）、2P （2,1），∴⊿21P PP 面积的最大值必为4
5
r r 221=??．
、
此时OP 与12
P P 垂直，由此可得m=3或1
3
-． 21.解：（1）在面ABCD 内过点B 作AC 的平行线BE ，易知BE 即为直线l ， ∵AC ∥11A C ，AC ∥l ，∴l ∥11A C .
（2）易证11A C ⊥面11DBB D ，∴11A C ⊥1B D ，同理可证1A B ⊥1B D ， 又11A C ?1A B =1A ，∴1B D ⊥面11A BC .
（3）线AC 到面11A BC 的距离即为点A 到面11A BC 的距离，也就是点1B 到面11A BC 的距离，记
为h ，在三棱锥111B BA C -中有111111B BA C B A B C V V --=，即11111111
33
A BC A
B
C S h
S BB ???=?，∴h =.
（4）1(,,0),(,,)C a a C a a a 22. 解：（1）连,
OP Q 为切点，PQ OQ ⊥，由勾股定理有
2
2
2
PQ OP OQ =-.
又由已知PQ PA =，故22PQ PA =.
@
即：22222()1(2)(1)a b a b +-=-+-.
化简得实数a 、b 间满足的等量关系为：230a b +-=. （2）由230a b +-=，得23b
a =-+.
PQ
==
=
故当65
a =时，min
PQ =即线段PQ 解法2：由(1)知，点P 在直线l ：2x + y －3 = 0 上.
∴| PQ |min = | PA |min ，即求点A 到直线 l 的距离. ∴ | PQ |min =
| 2×2 + 1－3 |2 2 + 1 2
= 25
5 .
（3）设圆P 的半径为R ，圆P 与圆O 有公共点，圆 O 的半径为1，
1 1.R OP R ∴-≤≤+即1R OP ≥-且1R OP ≤+.
而OP ===，故当65
a =
时，min OP
此时, 3235
b a =-+=
，min 1R .
得半径取最小值时圆P
的方程为22263()()1)5
5
x y -+-=．
解法2： 圆P 与圆O 有公共点，圆 P 半径最小时为与圆O 外切（取小者）的情形，而这
些半径的最小值为圆心O 到直线l 的距离减去1，圆心P 为过原点与l 垂直的直线l ’ 与l 的交点P 0. r =
3
2 2 + 1 2
－1 = 35
5 －1.
又 l ’：x －2y = 0,
解方程组20,230x y x y -=??+-=?，得6,53
5x y ?=????=??
.即P 0( 65 ,35 ).
∴
所求圆方程为22263()()1)5
5
x y -+-=.