九年级数学上册第24章解直角三角形24.4解直角三角形第3课时坡度问题教案新版华东师大版

第3课时 坡度问题

1．使学生掌握测量中坡角、坡度的概念．

2．掌握坡度与坡角的关系,能利用解直角三角形的知识,解与坡度有关的实际问题．

重点

解决有关坡度的实际问题．

难点

解决有关坡角的实际问题．

一、情境引入

教师展示图片,引出问题．

读一读

在修路、挖河、开渠和筑坝时,设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．

如图,坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作i,即i ＝h l

.坡度通常写成1∶m 的形式,如i ＝1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α,有i ＝h l

＝tan α.

显然,坡度越大,坡角α就越大,坡面就越陡．

二、探究新知

教师利用课件展示例1,例2,结合前面所学知识,可由学生自主完成,小组讨论,教师适当给予分析,最后作出点评．

例1 如图,一段路基的横截面是梯形,高为4.2米,上底宽为12.51米,路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°,求路基下底的宽．(精确到0.1米)

解:作DE⊥AB ,CF ⊥AB,垂足分别为点E,F. 知DE ＝CF ＝4.2,EF ＝CD ＝12.51,

在Rt △ADE 中,

∵DE AE ＝4.2AE

＝tan 32°, ∴AE ＝ 4.2tan 32°

≈6.72. 在Rt △BCF 中,同理可得

BF ＝ 4.2tan 28°

≈7.90. ∴AB ＝AE ＋EF ＋BF

≈6.72＋12.51＋7.90

≈27.1(米)

答:路基下底的宽约为27.1米．

例2 学校校园内有一小山坡AB,经测量,坡角∠ABC＝30°,斜坡AB 长为12米,为方便学生行走,决定开挖小山坡,使斜坡BD 的坡比是1∶3(即CD 与BC 的长度之比)．A,D 两点处于同一铅垂线上,求开挖后小山坡下降的高度AD.

解:在Rt △ABC 中,∠ABC ＝30°, 则易求得AC ＝6,BC ＝6 3.

在Rt △BDC 中,i ＝DC BC ＝13

, 易得DC ＝13

BC ＝23, ∴AD ＝AC －DC ＝(6－23)米．

三、练习巩固

教师利用课件展示练习,可由学生独立完成,其中第1,2,3,4题由学生抢答,第5题教师点名上台展示,再给予点评．

1．已知一坡面的坡度i ＝1∶3,则坡角α为( )

A ．15°

B ．20°

C ．30°

D ．45°

2．彬彬沿坡度为1∶3的坡面向上走50米,则他离地面的高度为( )

A ．25 3 米

B ．50米

C ．25米

D ．50 3 米

3．某水库大坝某段的横断面是等腰梯形,坝顶宽6米,坝底宽126米,斜坡的坡比是1∶3,则此处大坝的坡角和高分别是________米．

4．如图,一束光线照在坡度为1∶3的斜坡上,被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线,则这束光线与坡面的夹角α是________．

5．如图,已知在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为45°,沿着坡角为30°的斜坡前进400 m 到点D 处,测得点A 的仰角为60°,求AB 的高度．

四、小结与作业

小结

1．本节学习的数学知识:利用解直角三角形的知识解决实际问题．

2．本节学习的数学方法:数形结合的思想和数学建模的思想．

布置作业

从教材相应练习和“习题24.4”中选取．

本节课以实际情境,引导学生将实际问题抽象为数学问题,构造几何模型,应用三角函数

的知识解决问题．在整体设计上,由易到难,难度层层推进,尽量满足不同层次学生的学习需要．在教学过程中,让学生经历知识的形成过程,体会数形结合的数学思想,进一步培养学生应用数学的意识．

解直角三角形(坡度、坡角)

解直角三角形（坡度、坡角）第七-九课时 ◆随堂检测 1、某斜坡的坡度为i=1，则该斜坡的坡角为______度． 2、以下对坡度的描述正确的是（ ）． A ．坡度是指斜坡与水平线夹角的度数; B ．坡度是指斜坡的铅直高度与水平宽度的比; C ．坡度是指斜坡的水平宽度与铅直高度的比; D ．坡度是指倾斜角的度数 3、某人沿坡度为i=1：3 的山路行了20m ，则该人升高了（ ）． A ．．40.33 m C D 4、斜坡长为100m ，它的垂直高度为60m ，则坡度i 等于（ ）． A ．35 B ．45 C ．1：43 D ．1：0.75 5、在坡度为1：1.5的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为6m ，?则斜坡上相邻两树间的坡面距离为（ ）． A ．4m B ．．3m D ．◆典例分析 水库拦水坝的横断面为梯形ABCD ，背水坡CD 的坡比i=1?已知背水坡的坡长CD=24m ，求背水坡的坡角α及拦水坝的高度． 解：过D 作DE ⊥BC 于E ． ∵该斜边的坡度为1， 则tan α α=30°， 在Rt △DCE 中，DE ⊥BC ，DC=24m ． ∴∠DCE=30°，∴DE=12（m ）． 故背水坡的坡角为30°，拦水坝的高度为12m ． 点评：本题的关键是弄清坡度、坡角的概念，坡度和坡角的关系：坡度就是坡角的正切值，通过做高构造直角三角形，再利用三角函数值求出坡角即可. ◆课下作业

●拓展提高 1、如图，沿倾斜角为30°的山坡植树，?要求相邻两棵树间的水平距离 AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为_______m（精确到0．1m）． （?≈1.73） 1题图 2如图，防洪大堤的横断面是梯形， 坝高AC=6米，背水坡AB的坡度i=1：2， 2题图 则斜坡AB的长为_______米． 3、如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地砖，?地毯的长度至少需________米（精确到0.1米）． 3题图 4题图 4、如图，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i=1：3，坡高BC为2米，则斜坡AB的长是（） A．米 B． C．米 D．6米 5、为了灌溉农田，某乡利用一土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出深为1.2m，下底宽为2m，坡度为1：0.6的渠道（其横断面为等腰梯形），并把挖出的土堆在两旁，使土堤的高度比原来增加了0.6m，如图所示，求：（1）渠面宽EF；（2）修400m长的渠道需挖的土方数． 6、一勘测人员从A点出发，沿坡角为30°的坡面以5km/h的速度行到点D，?用了10min，然后沿坡角为45°的坡面以2.5km/h的速度到达山顶C，用了12min，?求山高及A，B两点间的距离（精确到0.1km）． 7、某村计划开挖一条长为1600m的水渠，渠道的横断面为等腰梯形，渠道深0.8m，下底宽1.2m，坡度为1：1．实际开挖渠道时，每天比原计划多挖土方20m3，结果比原计划提前4天完工，求原计划每天挖土多少立方米．（精确到0.1m3） ●体验中考

公开课：植树问题教案

植树问题 ------ 两端都栽 教学内容：义务教育五年级上册第七单元植树问题第一课时两端都栽。 教学目标： 1、理解在线段上植树（两端要栽）的情况中“棵数 =间隔数 +1”的关系。 2、使学生经历和体验复杂问题简单化的解题策略和方法。 3、让学生感受数学在日常生活中的广泛应用，尝试用数学的方法来解 决实际生活中的简单问题，培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。 教学重点 : 引导学生发现植树棵树与间隔数之间的关系。 教学难点 : 理解间隔与棵树之间的规律并运用规律解决问题。 教法与学法：教法：创设情境，质疑引导 学法：自主探究，发现规律 教学过程： 一、情境导入 1、教学“间隔”的含义和间隔数。 师：我们人有两件宝贝，是双手和大脑，今天这节课，我们就要用到这两样 宝贝。请你伸出你的右手，观察你有几根手指？几个手指缝？ 生： 5 个手指， 4 个手指缝。 师：减掉 1 根手指，现在你有几根手指？几个手指缝？ 生： 4 个手指， 3 个手指缝。 师：再减掉 1 根手指，现在你有几根手指？几个手指缝？ 生： 3 个手指， 2 个手指缝。 师：通过刚才的观察，想一想，手指和手指缝之间存在着怎样的关系呢？

生： ,, 手指比手指缝多1，手指缝比手指少1。 师：这两根手指之间的手指缝，用数学语言来说就叫间隔，间隔的个数就叫 间隔数。 师：其实这个手指数与间隔数的关系属于我们数学上非常有名的“植树问 题”，这节课我们就来探讨植树问题。 （板书课题：植树问题） 二、探索规律 （一）课件出示主题图。 同学们在全长 20 米的小路一边植树，每隔 5 米栽一棵（两端要栽）。一共要栽多少棵树？ 1、学生读题，分析题意。 师：说一说植树都有什么要求？ 预设：生：每隔 5 米种一棵。 师：这个要求很重要，那么 5 米指的是什么？ 预设：间隔。 师：间隔指的是什么？ 预设：生：两棵树之间的距离。 师：指数间隔是多少？ 生：5 米。 师：还有别的要求吗？ 预设：生：两端都要栽。 师：这个要求也很重要，两端都要栽是什么意思？谁来比划一下？

坡度坡比问题

第3课时坡度问题 【知识与技能】 1.使学生掌握测量中坡角、坡度的概念； 2.掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解与坡度有关的实际问题. 【过程与方法】 经历利用解直角三角形的知识解与坡度有关的实际问题的过程，进一步培养分析问题、解决问题的能力. 【情感态度】 渗透数形结合的思想方法，进一步培养学生应用数学的意识. 【教学重点】 解决有关坡度的实际问题. 【教学难点】 解决有关坡度的实际问题. 一、情境导入，初步认识 读一读 在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度. 如图，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）， 记作i，即i=h l .坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.坡面与水平面的夹角叫做 坡角，记作α，有i=h l =tanα. 显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡. 二、思考探究，获取新知 例1如图，水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的

坡度i=1:3，斜坡CD 的坡度i=1:2.5，求坝底AD 的长。 F E D C A B 解：分别过点B 、C 作BE AD 于点E ，CF AD 于点F ，则四边形BEFC 为矩形 ∴EF=BC=6 BE=CF=23 在Rt △ABE 中，∠AEB=90° tanA=i=1/3 ∴AE=BE/tanA=69 在Rt △CDF 中，∠CDF=90° tanD=i=1/2.5 ∴DF=CF/tanD=57.5 ∴AD=AE+EF+DF=132.5 答：坝底AD 的长为132.5m 。 二、运用新知，深化理解 水库大坝横断面为梯形ABCD ，坝顶BC 为10米，坝底AD 为30米，斜坡AB 的坡度i=1:3，斜坡CD 的坡度i=1:2，求坝高。 F E D C A B 解：分别过点B 、C 作BE AD 于点E ，CF AD 于点F ，则四边形BEFC 为矩形，设BE=x 米

植树问题优秀教案

第七单元：数学广角——植树问题 不封闭路线的植树问题 教学内容：教材P106～107例1、例2及练习二十四。 教学目标： 知识与技能：通过学生熟悉的生活情境，学生会用线段图来表示植树问题中的三种植树情况，培养学生分析问题的能力。 过程与方法：学生能够初步建立植树问题的数学模型，能根据这个模型将生活中类似的问题进行分类，并试着应用模型中间隔与棵数的关系来解决问题。 情感、态度与价值观：培养学生认真审题的良好学习习惯。 教学重点：能理解不封闭路线的植树问题中间隔数与棵数之间的关系并应用到生活中去。 教学难点：理解间隔数与棵数之间的规律（总长÷间距=间隔数+1=植树棵数），并能运用规律解决问题。 教学方法：自主探索、合作交流。 教学准备：多媒体。 教学过程 一、情境导入 1．出示：公路两旁的树。（课件1） 师：为什么要在公路的两旁栽上树呢？学生自由发言。 教师讲解：树木能够涵养水分减少水分的流失，还能净化空气，因此植树造林有助于环境的改善。（渗透植树造林的环保意识。） 2、揭题：师：植树是一项环保活动，希望每个同学都积极响应，做到：保护环境，人人有责。今天我们就主要来研究有关植树的问题。 （ 板书课题：植树问题） 二、探究新知： （一） 提出问题——两端都栽、 一端栽 、两端不栽。 出示公告(为了迎接开放日的到来,学校将进行校园环境美化，特诚聘小设计师一名，请看招聘启示。)（出示课件1） 出示招聘启示和校园图片 1．出示教学例1：同学们在全长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵树。一共需要多少棵小树？ 2、学生动手在纸上设计植树方案。（同学们，请发挥你们的设计天份）（出示课件2） 3、学生汇报其设计的植树方案。 A 、我按要求每隔5米种一棵，我是按两头都种来设计的，所以我种了21棵。 B 、我是只种一头的。所以我只种了20棵。 C 、我是两头都不种的，我只种了19棵。

九年级数学上册-解直角三角形及其应用第3课时方位角与方向角坡度与坡角2坡度与斜率问题教案沪科版

23.2 解直角三角形及其应用 第3课时方位角与方向角、坡度与坡角 2.坡度与斜率问题 【知识与技能】 1.了解测量中坡度、坡角的概念； 2.掌握坡度与坡角的关系,能利用解直角三角形的知识,解决与坡度有关的实际问题. 【过程与方法】 通过对例题的学习,使学生能够利用所学知识解决实际问题. 【情感态度】 进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. 【教学重点】 能利用解直角三角形的知识,解决与坡度、与弧长有关的实际问题. 【教学难点】 能利用解直角三角形的知识,解决与坡度的有关的实际问题. 一、情景导入,初步认知 在本章第一节的内容中,我们对坡度的有关知识有了一定的了解.本节课我们继续学习与坡度有关的计算. 【教学说明】 引入新课,告诉学生本节课所学习的内容. 二、思考探究,获取新知 如图:铁路路基的横断面是四边形ABCD,AD∥BC,路基顶宽BC=9.8m,路基高BE=5.8m,斜坡AB的坡度i=1∶1.6,斜坡CD的坡度i=1∶2.5,求铁路路基下底宽AD的值（精确到0.1m)与斜坡的坡角α和β（精确到1°）的值. 解:过点C作CF⊥AD于点F,得 CF=BE,EF=BC,∠A=α,∠D=β

∴AE=1.6×5.8=9.28m, DF=2.5×5.8=14.5m, ∴AD=AE+EF+DF=9.28+9.8+14.5≈33.6m. 由tanα=1/1.6, tanβ=1/2.5,得 α≈32°,β=22° 答:铁路路基下底宽33.6m,斜坡的坡角分别为32°和22°. 【教学说明】 教师引导学生分析题目中的已知条件分别代表的是什么,将图形中的信息转化为图形中的已知条件,再分析图形求出问题. 三、运用新知,深化理解 1.教材P130例7. 2.如图,在山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m,测得斜坡的倾斜角是24°,求斜坡上相邻两树的坡面距离(精确到0.1m). 【分析】 引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形.已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5.5米,∠A=24°,求AB. 答:斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米. 3.同学们,如果你是修建三峡大坝的工程师,现在有这样一个问题请你解决:如图水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6m,坝高23m,斜坡AB的坡度i=1∶3,斜坡CD的坡度i=1∶2.5,求斜坡AB的坡面角α,坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m).

2013中考全国100份试卷分类汇编 解直角三角形(仰角俯角坡度问题)

2013中考全国100份试卷分类汇编解直角三角形（仰角俯角坡度问题） 1、（德阳市2013年）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为300，看这栋高楼底部C的俯角为600，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为 A. 40 D. 160 答案：D 解析：过A作AD⊥BC于D，则∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，AD＝120。 BC＝BD＋CD＝120tan30°＋120tan60°＝D。 2、（2013?衢州）如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为（）（结果精确到0.1m，≈1.73）． AD=

x ﹣ ， 3、（2013聊城）河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB 的长为（） A．12 B．4米C．5米D．6米 考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 分析：根据迎水坡AB的坡比为1：，可得=1：，即可求得AC的长度，然后根据勾股定理求得AB的长度． 解答：解：Rt△ABC中，BC=6米，=1：， ∴则AC=BC×=6， ∴AB===12． 故选A． 点评：此题主要考查解直角三角形的应用，构造直角三角形解直角三角形并且熟练运用勾股定理是解答本题的关键． 4、（2013?宁夏）如图是某水库大坝横断面示意图．其中AB、CD分别表示水库上下底面的水平线，∠ABC=120°，BC的长是50m，则水库大坝的高度h是（）

m 5、（2013成都市）如图，某山坡的坡面AB=200米，坡角BAC 30∠= ，则该山坡的高BC 的长为_____米。 答案：100 解析：BC=AB ·sin30°= 1 2 AB=100m 6、（2013?十堰）如图，在小山的东侧A 点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C 处，此时热气球上的人测得小山西侧B 点的俯角为30°，则小山东西两侧A 、B 两点间的距离为 750 米．

解直角三角形的应用(坡度、坡角等)

《解直角三角形的应用》 教学设计 米 玲 玲 霍州市三中

《解直角三角形的应用（坡度、坡角等）》教学设计 教学目标 1.掌握坡度，坡角等概念，把坡度、坡角等实际问题转化为解直角三角形的问题来解决。 2.能够借助辅助线解决实际问题，掌握数形结合，抽象归纳的思想方法。 3.感知本节知识与现实生活的联系，体会数学来源于生活，又服务于生活。 4.通过本节课的学习，一方面增强学生对解直角三角形的应用意识，另一方面培养学生耐心、细致、认真的学习态度． 教学重点 理解坡度和坡角的概念． 教学难点 利用坡度和坡角等条件，解决有关的实际问题． 教师准备 幻灯片、三角板 学生准备 预习新课，完成导学案“温故互查”和“设问导读” 教学过程 一、导入新课 在我们的生活中有很多的山坡，有的山坡很陡，有的山坡比较缓，那么我们如何从数量上来描述山坡的陡缓程度呢？这就是我们今天要学习的内容。 二、明确目标 学生齐读学习目标 学习目标： 1.掌握坡度，坡角等概念，把坡度、坡角等实际问题转化为解直角三角形的问题来解决． 2.能够借助辅助线解决实际问题，掌握数形结合，抽象归纳的思想方法。 3.感知本节知识与现实生活的联系，体会数学来源于生活，又服务于生活。

重点、难点 1.利用坡度、坡角解直角三角形； 2.解直角三角形在实际中的应用及辅助线的添加方法。 三、自学检查 小组活动：互相检查导学案“温故互查”和“设问导读”两部分内容。 发现问题和疑问，教师及时指导，师生共同解决。 四、新知梳理 学生齐读 知识点：坡角与坡度(坡比) 概念：如图，坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡 比)，记作i，即i＝h l .坡度通常写成1∶m的形式．坡面与水平面的夹角叫做坡角， 记作α，有i＝h l ＝tanα. 坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡。 五、自学检测 1.一段坡面坡角为0 60，则坡度i=_______。 2.小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000米，则他升高了________米。 A B.500 C.D.1000 3.一水库迎水坡坡度i=1，则该坡坡角α=_______。 4.随着社会的发展，人们对防洪的意识越来越强，今年为提前做好防洪准备工作，某市正在长江边某处常出现险情的河段修建一防洪大坝，其横断面为梯形ABCD，如图所示，你能求出DC的长吗？（结果保留根号）

五年级上册数学广角植树问题第一课时教案

《数学广角——植树问题》第一课时（两端都种） 【学习内容】人教课标版小学数学五年级上册P106页例1。 【课程标准描述】 1.经历有目的、有设计、有步骤、有合作的实践活动。 2.结合实际情境，体验发现和提出问题、分析和解决问题的过程。 3.通过应用和反思，进一步理解所用的知识和方法，了解所学知识之间的联系，获得数学活动经验。 【学习目标】 1.动手观察，理解“间隔、间隔数、两端都栽的含义，发现并理解间隔数、棵数、总长之间的关系。 2.会解决生活中两端都种的植树问题，会根据间隔数、总长求棵数。 3.学会猜测、讨论、验证发现解决问题的规律，感悟构建数学模型（线段图）是解决实际问题的重要方法之一，激发研究的兴趣。 【学习重点】理解种树棵数与间隔数之间的关系。 【学习难点】会应用植树问题的模型解决一些相关的实际问题。 【评价活动方案】 1．通过观察手指间的间隔，初步了解“间隔”，说一说生活中的间隔，加强对“间隔”的理解，通过“在全长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽）。一共需要栽多少棵树苗”这一情境进一步理解间隔数、两端都栽含义，通过猜想、验证“20米，每5米栽一棵（两端都栽），一共要栽几棵”发现并理解间隔数、棵数、总长之间的关系，以评价目标1。 2．通过应用规律，解决生活中的实际问题评价目标2。 3．通过经历探讨交流、猜想验证，画线段图发现规律解决“植树问题”的过程以及通过规律解决实际问题，评价目标3。 【学习过程】 一、创设情景、生成问题（评价目标1） 请同学们举出左手张开五指，每两个手指之间都有一条指缝。 师：在数学上，我们把这个指缝叫“间隔”。那么5个手指之间有几个间隔？（课件出示）师：生活中的“间隔”到处可见，说一说生活中还有哪些“间隔”？（两棵树之间、两个同学之间、楼梯等都有间隔。）出示课本106页例题1的图片，引出课题。（板书：植树问题） 二、探索交流、解决问题（评价目标1、2） 师出示完整问题：例1：同学们在全长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽）。一共需要栽多少棵树苗？ 1.理解信息。 （1）从题中你知道了哪些信息 （2）说一说：“一边”、“两端要栽”的含义（板：两端要栽） （3）每隔5米是什么意思

解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

利用三角函数测高导学案 姓名: 一、相关定义 二、典型题型 1、如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60米的点D（点D与楼底C在 同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1：的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处 测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值）． 2、某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥， 有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（1）求新坡面的坡角a；（2）原天桥底部正前方8米处（PB的长）的文化墙PM是否需要拆桥？请说明理由． 3、如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800（1+）米，小军和小明同时分别从A处和B处 向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？

4、5、

6、同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽12m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=3 1：，斜坡CD的坡度i=1∶3，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m参考数据：3≈1.732） 7、如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横截面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i=1：2． （1）求加固后坝底增加的宽度AF的长； （2）求完成这项工程需要土石多少立方米？

最新人教版五年级数学上册第七单元第一课时《植树问题》教学设计

植树问题（1） 学习目标： 1、通过探究发现一条线段上“两端都种”植树问题的规律。 2、经历和体验“复杂问题简单化”的解题策略和方法。 学习重、难点： 1、在探究活动中发现规律，并能够用发现的规律来解决生活中的一些简单实际问题。 2、理解“两端都种”情况下棵数和间隔数之间的规律。 使用说明及学法指导： 自学课本第106页，独立完成自主学习任务，针对自主学习中的疑惑点，课上小组讨论交流总结规律方法。 一、自主学习，了解“间隔”的含义。 1、伸出自己的一只手，张开五指。仔细观察，手指与手指之间出现了什么？这4个“空隙”也可以说成4个“间隔”，5个手指之间有4个间隔，那么4个手指之间有几个间隔？3个手指呢？2个呢？（在自己的手指上指一指，说一说） 2、手指数与间隔数之间存在着什么样的关系？ 3、想一想：生活中还有类似的现象吗？ 二、合作探究，学习例1。 1、你认为例1中哪些词语要引起我们的注意？ 2、用什么办法可以知道一共需要多少棵树苗？ 3、全长、间隔与棵数之间有什么关系？把公路看做一条线段画图看一看，并完成下面的表格。（两端都栽）

4、运用你发现的规律解决例1的问题。 三、自我总结 这节课你有哪些收获？ 四、过关测评 1、（课本107页做一做第1题） 在一条全长2km的街道两旁安装路灯（两端也要安装），每隔50m安一盏。一共要安装多少盏路灯？ 2、在花园小区一条320米的小路的一边上栽树，从起点到终点每隔16米栽一棵，可以栽多少棵？ 3、兰兰家住在七楼，芳芳到她家玩耍，从底楼爬到三楼用了18分钟，她从底楼到兰兰家需要多长时间？ 4、园林工人沿公路的一侧植树（两端都植），每隔6米种一棵，一共种了36棵。从第一棵到最后一棵的距离有多远？ 五、整理学案

华师大版2020-2021年九年级数学上册导学案：24.4 第3课时 坡度问题【含答案】

华师大版2020-2021年九年级数学上册导学案 第24章 解直角三角形 24.4解直角三角形 第3课时 坡度问题 学习目标： 1.理解坡度、坡角的概念（重点）. 2.能够解决与坡度、坡角有关的实际问题（难点）. 自主学习 一、新知预习 在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度. 如图，坡面的铅垂高度h 和水平长度l 的比叫做坡面的______（或坡比），记作i ，即 i= l h .坡度通常写成1：m 的形式，如i=1:6.坡面与水平面的夹角叫做______，记作α，有i=l h =tan α.显然，坡度越大，坡角α就越____，坡面就越____. 合作探究 一、探究过程 探究点1：利用坡度、坡角解决实际问题 【典例精析】 例 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m ，坝高23 m ，斜坡AB 的坡度i=1∶3 ，斜坡CD 的坡度i ’=1∶2.5 ， 则斜坡CD 的坡面角α，坝底宽AD 和斜坡AB 的长应设计为多少(参考数据：tan18.4°≈ 3 1)？

【归纳总结】根据坡度的定义i ＝h l ，解题时需先求得水平距离l 和铅直高度h . 【针对训练】 1.（1）一斜坡的坡角为30°,则它的坡度为 ; （2）如果一个坡度为1∶2.5,则这个坡角为 （用计算器计算，结果精确到0.1°）; （3）等腰梯形的较小底长为3,腰长为5,高为4,则另一个底长为 ,坡度为 ; （4）堤坝横断面是等腰梯形（如图所示）. 若AB=10 m,CD=4 m,高h=4 m,则坡度i= ,AD= m. 第1题图 第2题图 2如图，在平面上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m ，如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为( ) A ．5m B ．6m C ．7m D ．8m 二、课堂小结 坡度、坡比问题 图解 坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比值叫做坡面的坡度（或坡比），坡面与水平面的夹角α叫做坡角，显然tan α=_______. 当堂检测 1．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB 的水平宽度AC 为6米，斜面坡度为1：3，则斜坡AB 的长为（ ） A ．210米 B ．3 米 C ．6 米 D ．12米 第1题图 第2题图 2．如图，在坡度为1：2的山坡上种树，要求相邻两棵树的水平距离是6m ，则斜坡上相邻两棵树的坡面距离是（ ） A ．3m B ．3m C ．12m D ．6m 3．小明沿着坡度为1：的斜坡向上行走了10米，则他的垂直高度上升了 米．

植树问题教学设计与反思

植树问题教学设计与 反思 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

植树问题教学设计与反思 基本信息名称植树问题 执教者李忠课时 1 所属教材目录新人教版五年级上册 教材分析在本节课里，学生第一次接触到“植树问 题”。解决植树问题的思想方法是实际生活中应用 比较广泛的“复杂问题简单化”的数学方法。让学 生能够理解植树问题中两端都栽的情况下数量之间 的关系，并能解决生活中的一些简单实际问题。 学情分析“植树问题”原本属于经典的奥数教学内容，说明这一教学内容本身具有很高的数学思维含量和很 强的探究空间，既需要教师本身的有效引领，也需 要学生的自主探究。从学生的思维特点看，五年级 的学生仍以形象思维为主，但抽象逻辑思维有了初 步的发展，具备了一定的分析综合、抽象概括、归 类梳理的数学活动经验。教学时可以从实际的问题 入手，引导学生在分析、思考问题的过程中，逐步 发现隐含于不同情形中的规律，经历抽取出数学模 型的过程，体验数学思想方法在解决问题中的应 用。 教学目标知识与能 力目标 使学生经历将实际问题抽象出数学模型的过程，掌握植树问题中棵数与间隔数之间的关系,并能利用这一关系解决简单的新的实际问题。 过程与方法目标 通过观察、猜想、验证、推理等活动，使学生经历和体验“复杂问题简单化”、“一一对应”等解题策略和数学思想方法。 情感态度与价值观目标 感受数学在日常生活中的广泛应用，体会数学的价值，激发热爱数学的情感。 教学重难点重点让学生探究发现植树问题的规律，经 历数学建模的过程，体验“复杂问题简单 化”的解题策略和数学思想方法 难点在探究活动中发现规律，抽取数学模 型，并能够用发现的规律来解决生活中的 一些简单实际问题。 教学策略与设计说明 新课标指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”同时指出：“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。”结合新课标的要求，教学中力求发挥学生的主体地位，让他们动脑、动手、合作探究，经历分析、思考、解决问题的全过程，体会

坡度和方位角问题(第课时)

第2课时坡度和方位角问题 【知识与技能】 1.了解测量中坡度、坡角的概念； 2.掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题. 【过程与方法】 通过对例题的学习，使学生能够利用所学知识解决实际问题. 【情感态度】 进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. 【教学重点】 能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长有关的实际问题. 【教学难点】 能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题. 一、情景导入，初步认知 如图所示，斜坡AB和斜坡A1B1，哪一个倾斜程度比较大?显然，斜坡A1B1 ＞∠A. 的倾斜程度比较大，说明∠A 1

＞tanA. 即tanA 1 【教学说明】通过实际问题的引入，提高学生学习的兴趣. 二、思考探究，获取新知 1．坡度的概念，坡度与坡角的关系. 如上图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平前进的距离的比叫作坡度(或坡比)，记作i，即i＝AC/BC，坡度通常用l∶m的形式，例如上图中的1∶2的形式.坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作α.从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡. 2.如图，一山坡的坡度为i＝1∶2,小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240米到达点C，这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米？（角度精确到0.01°，长度精确到0.1米）

3.如图，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C的四周30km内有暗礁.问这艘船继续向东航行是否安全？ 【教学说明】教师引导学生分析题目中的已知条件分别代表的是什么，将图形中的信息转化为图形中的已知条件，再分析图形求出问题.学生独立完成. 三、运用新知，深化理解 1.如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)． 分析：引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形． 解：已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB． 在Rt△ABC中，cosA=AC/AB, ∴AB=AC/cosA=5.5/0.9135≈6.0（米） 答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．

部编版五年级上册数学 第7单元 数学广角——植树问题：植树问题(3课时)

植树问题 第1课时植树问题(一) 课时目标导航 植树问题(一)。(教材第106页例1) 1．理解并掌握“植树问题”的基本解题方法，并能解决一些实际生活中存在的与“植树”有关的问题。 2．掌握“植树问题”的第一种情况：两端都栽(即间隔数比棵数少1的情况)。 3．培养学生认真审题的好习惯。 重点：两端都栽的植树问题的解题方法。 难点：间隔数与棵数之间的规律。 一、情景引入 春天是植树的季节，同学们，你们每年都参加植树造林的活动吗？你们可曾注意到植树中也有很多学问，由于植树的线路不同，植树的情况也就不同，你们想了解植树中的学问并学会怎样解决植树问题吗？这个单元我们共同来研究你们想要解决的问题。 二、学习新课 教学教材第106页例1。 同学们在全长100 m的小路一边植树，每隔5 m栽一棵(两端要栽)。一共要栽多少棵树？ (1)思考：用画线段图探究棵数与间隔数的关系。 (2)解决问题。 因为植树总数比间隔数多1，这样我们就可以先求出树与树之间一共有多少个间隔，而

每个间隔的长度是已知的，就可以求出一共植树多少棵。 在100米长的小路上共有20个间隔，那么就可以栽21棵树。 100÷5＝20 20＋1＝21(棵) 答：一共要栽21棵树。 三、巩固反馈 1．有一根绳子，每隔2米挂一盏灯笼，起点和终点都挂，共挂了14盏灯笼。这根绳子长多少米？ 14－1＝13 2×13＝26(米) 2．.新建小区要在一条长1000米的路两旁安装路灯，每隔8米装一盏(两端都装)。一共需要多少盏路灯？ 1000÷8＝125 125＋1＝126(盏) 126×2＝252(盏) 四、课堂小结 谈谈在解决植树问题时有哪些需要注意或不太懂得地方？ 植树问题(一) 两端都种：棵数＝间隔数＋1 例1100÷5＝20 20＋1＝21(棵) 1．体验是学生从旧知识向隐含的新知识迁移的过程。教学中，创设游戏情境，向学生提供多次体验的机会，为学生创设一种民主、宽松、和谐的学习氛围，给学生充分的时间与空间。 2．学生的认知起点与知识结构逻辑起点存在差异。学生之间的差异是学习的资源，这种资源应在小组交流的平台上得到充分的展示与合理的利用。 备课资料参考 【例题】一座桥长116米，在桥的两侧栏杆上各安装16块花纹图案，图案的长为2米，

公开课：植树问题教案

植树问题------两端都栽 教学内容：义务教育五年级上册第七单元植树问题第一课时两端都栽。 教学目标： 1、理解在线段上植树（两端要栽）的情况中“棵数=间隔数+1”的关系。 2、使学生经历和体验复杂问题简单化的解题策略和方法。 3、让学生感受数学在日常生活中的广泛应用，尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题，培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。 教学重点:引导学生发现植树棵树与间隔数之间的关系。 教学难点:理解间隔与棵树之间的规律并运用规律解决问题。 教法与学法：教法：创设情境，质疑引导 学法：自主探究，发现规律 教学过程： 一、情境导入 1、教学“间隔”的含义和间隔数。 师：我们人有两件宝贝，是双手和大脑，今天这节课，我们就要用到这两样宝贝。请你伸出你的右手，观察你有几根手指？几个手指缝？ 生：5个手指，4个手指缝。 师：减掉1根手指，现在你有几根手指？几个手指缝？ 生：4个手指，3个手指缝。 师：再减掉1根手指，现在你有几根手指？几个手指缝？ 生：3个手指，2个手指缝。 师：通过刚才的观察，想一想，手指和手指缝之间存在着怎样的关系呢？

生：……手指比手指缝多1，手指缝比手指少1。 师：这两根手指之间的手指缝，用数学语言来说就叫间隔，间隔的个数就叫间隔数。 师：其实这个手指数与间隔数的关系属于我们数学上非常有名的“植树问题”，这节课我们就来探讨植树问题。 （板书课题：植树问题） 二、探索规律 （一）课件出示主题图。 同学们在全长20米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽）。一共要栽多少棵树？ 1、学生读题，分析题意。 师：说一说植树都有什么要求？ 预设：生：每隔5米种一棵。 师：这个要求很重要，那么5米指的是什么？ 预设：间隔。 师：间隔指的是什么？ 预设：生：两棵树之间的距离。 师：指数间隔是多少？ 生：5米。 师：还有别的要求吗？ 预设：生：两端都要栽。 师：这个要求也很重要，两端都要栽是什么意思？谁来比划一下？

五年级上册数学第3课时植树问题(3)讲解学习

第7单元数学广角——植树问题 第2课时植树问题（3） 教学目标： 1．运用转化的方法，使学生理解在一条首尾封闭的曲线上植树所需棵数与间隔数“一一对应”的数学模型。 2．进一步培养学生在解决实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力，以及抽取数学模型的能力。 教学重点：理解在一条首尾相接的封闭曲线上植树的基本数学模型。 教学难点：培养学生在解决实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力。 教学过程： 一、谈话引入，复习旧知 教师：在前面两节课中，我们共同探讨了在一条线段上植树的问题，还运用发现的规律解决了许多生活中的实际问题。谁来帮助大家一起回顾这些知识？ 预设：在一条线段上植树可以分成三种情况：两端都栽时，棵数比间隔数多1；两端都不栽时，棵数比间隔数少1；一端栽一端不栽时，棵数和间隔数相等。 教师：在解决复杂问题时，我们是怎么做的？ 预设：可以先给出一个猜测，要判断这个猜测对不对，可以从简单的事例中发现规律，再应用找到的规律来解决原来的问题。 教师：同学们对已学知识掌握得很好！今天这节课，我们要一起来研究植树问题中的另一种情况。 二、自主探索，学习新知 1．出示情境，展开探索 例3：张伯伯准备在圆形池塘周围栽树。池塘的周长是120 m，如果每隔10 m栽一棵，一共要栽多少棵树？ 教师：这道题与前面学习的植树问题相比，有什么相同和不同的地方？

预设：不同之处在于前面学习的是在线段上植树的问题，这道题是在一个圆形周围植树。（教师追问1：线段是怎样的？圆形又是怎样的？）线段是直的，圆形是一条曲线。（教师追问2：一条什么样的曲线？） 逐步引导得出：一条首尾相接的封闭曲线。 预设：相同之处是，都是已知长度和间隔距离。 教师：你能联系已经学过的知识，自主解决“一共要栽多少棵树”的问题吗？ 学生独立思考，讨论汇报。 2．概括归纳，得出模型 教师：大家想到了用什么方法来解决问题？（画图）120 m的长度太长了，怎么办？（先用简单的数据试一试） （1）以周长为40 m的圆为例，通过下图得知，能栽4棵树。 （2）如果把圆拉直成线段，你能发现什么？ 预设：相当于在线段上植树的问题中“一端栽一端不栽”的情况。 （3）我们还可以用这样的方式来理解。 引导得出：植树的棵数与间隔数“一一对应”。 教师：利用发现的知识，你能解决例3的问题吗？（出示：池塘的周长是120 m？）120÷10=12（棵） 答：一共要栽12棵树。 教师：谁能完整地概括一下刚才的发现？ 预设：在一条首尾相接的封闭曲线上植树，所需棵数与间隔数“一一对应”，相当于在线段上植树的一端栽一端不栽的情况。 三、课堂练习，巩固强化 教师：运用刚才的发现，解决以下实际问题。

植树问题 例1教学设计

《植树问题》教学设计 南华县龙川小学黄文纪 教学目标 知识技能：通过观察、操作及交流活动，探索并认识不封闭线路上间隔排列中的简单规律，并能将这种认识应用到解决类似的实际问题之中。 数学思考：渗透数形结合的思想，培养学生借助图形解决问题的意识。问题解决：能够借助图形，利用规律来解决简单的植树问题。 情感态度：让学生在积极参与的过程中获得成功的体验，在学会与人分享的过程中体验学习数学的乐趣，同时也培养学生爱护环境的意识。 学情分析 由于学生初次接触“植树问题”，这部分的学习内容学生一定会很感兴趣，学习的热情也会比较高涨，但根据以往的教学经验，这部分内容对于学生来说是不容易理解和掌握的。学生已经掌握了关于线段的相关知识，也具备了一定的生活经验和分析思考能力与计算能力，因此为了让学生能更好地理解本单元的教学内容，在教学过程中点对教材进行适当的整合，并充分利用学生原有的知识和生活经验，来组织学生开展各个环节的教学活动。 重点难点 能理解间隔数与棵数之间的关系并应用到生活中去 教学过程 教学目标 通过观察、操作及交流活动，探索并认识不封闭线路上间隔排列中的简单规律，知道两端栽间隔数与棵数之间的规律（总长÷间距=间隔数+1=植树棵数），并能运用规律解决问题。 学时重点 能理解间隔数与棵数之间的关系并应用到生活中去。 学时难点

理解间隔数与棵数之间的规律（总长÷间距=间隔数+1=植树棵数），并能运用规律解决问题。 教学活动 一、情境导入 1、出示：公路两旁的树。 师：为什么要在公路的两旁栽上树呢？（学生自由回答） 教师讲解：树木能够涵养水分减少水分的流失，还能净化空气，因此植树造林有助于环境的改善。（渗透植树造林的环保意识） 2、揭题：今天我们就来研究有关植树的问题。（板书课题：植树问题） 二、互动新授 （一）提出问题——两端都栽。 1、(多媒体）出示教材第106页例1：同学们在全长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵树（两端都栽）。一共需要多少棵小树苗？ 引导：请同学们先在纸上用线段图画一画你的种法，再在小组中交流、讨论。 2、（多媒体出示线段图）问题分析：两端都栽 （二）探索棵数与间隔数之间的关系（公式） 提问：刚才同学们用线段图表示了植树情况，现在同学们能否用算式来表示这两种植树情况呢？ 1、假设小路长10米，小树之间的距离为2米，那么可以栽几棵？ （1）画一画 （2）算一算：10÷2=5，要栽6棵。 2、假设小路长20米，小树之间的距离为5米，那么可以栽几棵？ （1）画一画 （2）算一算：20÷5=4，要栽5棵。 3、假设小路长40米，小树之间的距离为4米，那么可以栽几棵？（1）画一画 （2）算一算：40÷4=10，要栽11棵。 4、例1如果用算式计算怎么算呢？

(人教版)数学五年级上册《植树问题》教学设计

（人教版）数学五年级上册《植树问题》教学设计 鄂城区杨叶镇团山小学：袁国齐 【教学内容】 义务教育课程标准实验教科书（人教版）数学五年级上册第117页例1及有关练习。 【教材、学生分析】 这节课主要是渗透有关植树问题的一些思想方法，通过现实生活中一些常见的实际问题，让学生从中发现一些规律，抽取出其中的数学模型，然后再用发现的规律来解决生活中的一些简单问题。 学生在二年级时，初步积累了一些探索规律的经验，对这类现象也有所发现。但是，因为小学生的抽象思维能力和理解文字的能力还较弱。所以，在这节课中，我主要是通过直观的演示，让学生充分理解植树问题中的术语“间距”“间隔数”；通过学生的自主画图，抽象出规律“间隔数+1=棵数”，而后，利用规律解决生活中的类似问题。 【教学目标】 【知识目标】 （1）使学生理解植树问题中的数学术语：间隔数、间距。 （2）使学生在理解植树问题的概念的同时，通过画图，理解和掌握在一条线段上两端都栽的植树问题的规律，形成公式。 （3）使学生在理解的基础上，会正确应用公式解决类似的数学问题。 【过程与方法】 让学生经历在一条线段上两端都栽的植树问题的规律的形成过程，初步体会解决植树问题的思想方法。 【情感、态度、价值观】 （1）初步培养学生从实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力。 （2）让学生感受数学知识在日常生活中的广泛应用，尝试用数学的方法解决实际生活中的简单问题，培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。 【教学重点】理解和掌握植树问题的规律。

【教学难点】能运用植树问题的规律解决实际问题。 【教学准备】课件、实验纸，学生准备直尺和铅笔。 【教学过程】 一、创设情境，导入新课 1、出示图片，引发思考 谈话提问：同学们，这张图片是哪儿？（学校院墙外沿河马路）从图上你看到了什么？（一排整齐的绿化树） 为了美化乡村，环卫工人在沿河马路上植树。你们知道吗？植树不仅美化环境，其中还有许多数学问题呢，这节课老师将和你们一起来研究植树问题。 2、整体感知，揭示课题 课件出示：如果在全长12米的一条路上，每隔4米种一棵树，可以怎样种？ 学生摆小棒（由于题目中的条件没有特别的限定的，同学们从3个不同角度考虑，出现了3种可能种植的情况。） 学生上台演示（3把米尺、4个学生） 课件展示学生的植树方法： （两端都栽，4棵）（只栽一端，3棵）（两端都不栽，2棵） 师：在实际的植树过程中，“两端都栽”、“只栽一端”和“两端都不栽”三种情况都存在，我们必须仔细审题，弄清是哪一种情况。今天，我们主要研究两端都栽的植树问题。 板书：“植树问题（两端都栽）” 3、利用课件介绍概念 师问：这里的12是什么？（师：我们称为“全长”） 这里的“4”是什么？（师：我们也可以称为“间距”） 每两棵树间的这一段叫什么（师指着“间隔”说：这是“间隔”）？

九年级数学上册第24章解直角三角形24.4解直角三角形第3课时坡度问题教案新版华东师大版

第3课时 坡度问题 1．使学生掌握测量中坡角、坡度的概念． 2．掌握坡度与坡角的关系,能利用解直角三角形的知识,解与坡度有关的实际问题． 重点 解决有关坡度的实际问题． 难点 解决有关坡角的实际问题． 一、情境引入 教师展示图片,引出问题． 读一读 在修路、挖河、开渠和筑坝时,设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度． 如图,坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作i,即i ＝h l .坡度通常写成1∶m 的形式,如i ＝1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α,有i ＝h l ＝tan α. 显然,坡度越大,坡角α就越大,坡面就越陡． 二、探究新知 教师利用课件展示例1,例2,结合前面所学知识,可由学生自主完成,小组讨论,教师适当给予分析,最后作出点评． 例1 如图,一段路基的横截面是梯形,高为4.2米,上底宽为12.51米,路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°,求路基下底的宽．(精确到0.1米) 解:作DE⊥AB ,CF ⊥AB,垂足分别为点E,F. 知DE ＝CF ＝4.2,EF ＝CD ＝12.51, 在Rt △ADE 中, ∵DE AE ＝4.2AE ＝tan 32°, ∴AE ＝ 4.2tan 32° ≈6.72. 在Rt △BCF 中,同理可得 BF ＝ 4.2tan 28° ≈7.90. ∴AB ＝AE ＋EF ＋BF

≈6.72＋12.51＋7.90 ≈27.1(米) 答:路基下底的宽约为27.1米． 例2 学校校园内有一小山坡AB,经测量,坡角∠ABC＝30°,斜坡AB 长为12米,为方便学生行走,决定开挖小山坡,使斜坡BD 的坡比是1∶3(即CD 与BC 的长度之比)．A,D 两点处于同一铅垂线上,求开挖后小山坡下降的高度AD. 解:在Rt △ABC 中,∠ABC ＝30°, 则易求得AC ＝6,BC ＝6 3. 在Rt △BDC 中,i ＝DC BC ＝13 , 易得DC ＝13 BC ＝23, ∴AD ＝AC －DC ＝(6－23)米． 三、练习巩固 教师利用课件展示练习,可由学生独立完成,其中第1,2,3,4题由学生抢答,第5题教师点名上台展示,再给予点评． 1．已知一坡面的坡度i ＝1∶3,则坡角α为( ) A ．15° B ．20° C ．30° D ．45° 2．彬彬沿坡度为1∶3的坡面向上走50米,则他离地面的高度为( ) A ．25 3 米 B ．50米 C ．25米 D ．50 3 米 3．某水库大坝某段的横断面是等腰梯形,坝顶宽6米,坝底宽126米,斜坡的坡比是1∶3,则此处大坝的坡角和高分别是________米． 4．如图,一束光线照在坡度为1∶3的斜坡上,被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线,则这束光线与坡面的夹角α是________． 5．如图,已知在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为45°,沿着坡角为30°的斜坡前进400 m 到点D 处,测得点A 的仰角为60°,求AB 的高度． 四、小结与作业 小结 1．本节学习的数学知识:利用解直角三角形的知识解决实际问题． 2．本节学习的数学方法:数形结合的思想和数学建模的思想． 布置作业 从教材相应练习和“习题24.4”中选取． 本节课以实际情境,引导学生将实际问题抽象为数学问题,构造几何模型,应用三角函数