一、填空题
1.
1
1
1
11111
---x 是关于x 的一次多项式,该式中一次项的系数是
2
1
1
11)1(3
2=--+。
2. 已知四阶行列式
D 中第三列元素依次为1-,2,0,1,它们的余子式依次分别为5,3,7-,4,则
1502)1(433323134343333323231313-=-+--=+++=M M M M A a A a A a A a D 。
3.
已知a b
c d c b d a D d
b
c a a b d
c
=
,则
14243444A A A A +++=
1101
1
a b
c c b
d d
b
c a b
d =。
4.
已知矩阵
n s ij c C B A ?=)(,,满足CB AC =,则A 与B 分别是
n
s ,阶矩阵。
5.
已知???
?
? ??=40060852b A 是奇异阵,则=
b 0
。
6.
设方阵
A 满足0322=--E A A ,则=
-1A )2(3
1
E A -。 7.
设??
?
??
??
?
?-=11002100
001200
25A ,则=
-1
A ?
?
????
?? ?
?---31310032310
0005
20021。 8. ?
??
? ??-=1011A ,k 为自然数,则=k
A ???
?
??-101k 。 9.
若
A 为n 阶方阵,且E AA T =,则=
A 1
1-或。 10. 若n 阶方阵A 的秩小于n ,则A 的行列式等于
零
。
11. 设
A 为3阶方阵,且3=A ,则*1A A -+=3
64
43111=
=+---A A A 。
12.
已知???
?? ??=200020002A ,满足B A AB +=,则=
B A =????
?
??200020002。
13. 设A 为n 阶方阵,且2=A ,则=
A 21
2+n ,
=*A 1
2-n 。
14. 若A 为n 阶方阵,且E AA T =,1-=A 则=+E A 0
。
15. 设
A 为5阶方阵,且2
1=
A ,试求=--1
*)3(A A A A A 3
231)(311*-=-=--。
16.
已知矩阵???
?
?
??=054032100A ,则()r A =
3
。
17. 设向量组T )1,2,1,1(1=α,T )2,0,0,1(2=α,T k ),8,4,1(3---=α线性相关,则参数k =
2
。
18. 设()n m ij a A ?=,若n m <,则A 的列向量组线性
相关
。
19. 设
A 为n m ?矩阵,非齐次线性方程组b AX =有解的充分必要条件是
)
()()(B r b A r A r == 。
20. 线性方程组0321
=++x x x 的一个基础解系是
??
??
? ??-=????? ??-=101,01121ξξ。
21.
设??????
?
??=5364425313421111A ,则齐次线性方程组0=AX 的基础解系包含的向量个数为1)(=-A r n 。
22.
设A 是秩为r 的n m ?阶矩阵,则齐次线性方程组0=AX 的任一基础解系所含解向量的个数均为r
n -。
二、计算题
1. 计算行列式 (1)1
333313333133
331=
D
; (2)
1
0012
473
1322618
4
--;
(3)
c
c b b a a ------11
110011001
; (4)
n
...222 (2)
(32)
2
2...2222...221。
解:(1)8020
0200002
0111110
133331333313111110
1
333
3133331310
1010101333313333133
3311134
,3,24
,3,2-=---===
=
-=+=r r i r r i i i D
解:(2)
4529
227
5
5
1081
292203525010811
2357
41081612
3157
420001
481622
3137421001
3
2311
434-==----==-=
----+r r r r c c
解:(3)
c
c
b c
c b
b c
c b
b a c
c
b b a a r r r r --=----=----=
------++1101
0111
110111
110010001
11
110011001
1
21
2
1111=--=
c
c
解:(4)
n
...222 (2)
(32)
2
2 (22)
22 (221)
)!2(22
0000
1
222200012,,4,3,1--=--=
-=n n r r n
i i
2. 设
A,B 均为n 阶矩阵,3||2||-==B ,A ,求|2|1-B A T 。
解:11
123
1122|2|+--?-=?=?=n n T n T B A B
A B A 3. 设
A 为3阶方阵,31=
A ,求行列式1
*)2(3--A A 的值,其中*A 为A 的伴随矩阵。 解:
8
3
827)23(23213)2(313*3*1*1
*====-=----A A A A A A A
4. 已知()T
A 321=,T
B ??
? ??=31211,T AB C =,求3C ,n
C
解:T
AB C = ,T T T T T T B A B A B A AB AB AB C ))(())()((3==∴
3321312
1
1
=????? ????? ??=A B T ,???????
?
??=???
??????
? ??==1233
321
2312119312113219323T
AB C 个n T T T n AB AB AB C )())((=???????
?
?
?===---123
3321
231211
33])())([(111n T n T n T T T AB B A B A B A B A 个 5.
设n 阶方阵A 和B 满足条件E AB A =-2
,且已知????
? ??--=10011
0111A ,求矩阵B 。 解:E AB A =-2
????
?
??=????? ??----????? ??--=-=?-00000012010011021110011
01111A A B 6. 设???
?
? ??-=101011
324A ,且有关系式X A AX 2+=,求矩阵X 。 解:
X A AX 2+=A X E A =-?)2( A E A X 1)2(--=
构造223423100346(2)110110~~010236101101001247A E A ??
??
? ?-=-
? ? ? ?------????
????? ??---=∴742632643
X
7. 已知????? ??---=23104
3210A ,????
?
?
?----=251041214B ,求X ,Y 使???=-=+B Y X A Y X 3。
解:????
?
??--=?????
??--=+=120001101
48000
440441)(41B A X , ???
?
? ??----=-=111042111X A Y
8. 已知矩阵????
??
?
??=4553251101413223211a A 的秩是3,求a 的值。
解:??
?
?
?
?
?
?
?-??????? ????????? ??=020002310
00421
051
1
01~~3211455324132251101~4553251101413223211a a a A
所以,当2=a 时,3)(=A r 。
9. 设1234012300120001A ?? ?
?= ? ???
,求1A -。 解:()??
?
?
?
??
?
?---??????? ??=100010001100
11000110
111000
111111~10001000010021000010321000014321E A
??
?
?
?
?
?
??----??????? ??-----100
01000210001001210001011110011~
10001000210001001110011010110111~
??????? ?
?---100
1000210001001210001001
210001~,所以???
??
?
? ??---=-10002100121001211
A
10. 设?
?
??
??
? ??=1111t α,???????
??=1112t α,试确定t 的范围,使1α,2α线性无关。
解:????
??
? ??-??????? ??--??????? ????????? ??==00001011~00101011~001111~111111),(21t t t t t t t A αα,当01≠-t ,即1≠t 时,
2)(=A r ,从而1α,2α线性无关。
11.
判别向量组??????? ??=12011α,??????? ??=10212α,??????? ??=03123α,????
??
? ??-=41524α的线性相关性,求它的秩和它的一个最大线性无关
组,并把其余向量用这个最大线性无关组表示。
解:??????? ??-=4011130251202211A ?????
?
? ??-??????? ??----0000220051202211~22005120512
0221
1~
3)(=A r ,3),,,(4321=ααααr ,所以4321,,,αααα线性相关,321,,ααα为一最大无关组。
继续化行阶梯形为最简形
??
??
?
?
?
??-???????
??-??????? ??-??????? ??-0000
11003010
10
01
~0000
11006020
40
11~00001100512022
11~0000220051202211 32143αααα-+=∴
12. 讨论对于
b
的不同取值,向量组
T )1,4,3,1(1--=α,
T b ),5,4,1(2--=α,
T
)3,3,1,2(3-=α,
T )0,3,2,1(4--=α的秩,并求出对应该值的一个最大线性无关组。
解:?????
?? ??-------??????? ??-------==151015101510
121
1~031335421431211),,,(4321b b A αααα
?????
?
? ??-----??????? ??-----00002
)2(50015101211~2)2(5000000151
0121
1~b b b b
∴当2≠b 时,3)(=A r ,最大无关组:0A 321,,ααα;
当2=b 时,2)(=A r , 而最大无关组:0
A '21,αα。 13. 已知向量组1α,2α,3α线性无关,向量组211
ααβk -=,322ααβ+=,133ααβk +=线性相关,求k
值。 解: 考虑033221
1=++βββx x x
0)()()(332221131=+++-++?αααx x x kx kx x ,
由向量组1α,2α,3α线性无关???
??=+=+-=+?0
00
32
2131x x x kx kx x ,
而321,,
βββ线性相关?线性方程组有非零解01
100101
=-?k k
012=-k 1±=?k
14.
求齐次线性方程组1234123412
3400220
x x x x x x x x x x x x -+-=??
--+=??--+=?的基础解系及通解。
解:11111111111111001111~0022~0011~00111122003300000000A A -------????????
? ? ? ?
=-----= ? ? ? ? ? ? ? ?---????????
由00Ax Ax =?=,得到123400x x x x -=??-=?12
34
x x x x =???=? 取24,x x 为自由未知量
令2410,01x x ??????
= ? ? ???????,1310,01x x ???????= ? ? ?????
??,得到基础解系121010,0101???? ? ? ? ?ξ=ξ= ? ? ? ?????
因此,原方程组的通解为:1122121010
,0101x k k k k ????
? ? ? ?=ξ+ξ=+ ? ? ? ?????
其中12,k k R ∈。
15. 讨论a 取何值时,线性方程组???
??=++=++=++1
222321
321321x ax x x ax x x x ax (1)有唯一解;(2)无解;(3)有无穷多解,并求通解。
解:()????
?
??----?????
?
?????? ??=)1(2110100211~2111121211~1121211
2112a a a a a a a a
a a a
b A
???
?
?
??+----????? ??---????? ??---)13)(1()1(0032110211~10032110211~32110100211~a a a a a a a a a a a a a a a
(1)当0≠a
且1≠a 时,n B r A r ===3)()(,原方程组有唯一的解;
(2)当0=a 时,)(32)(B r A r =≠=,原方程组无解;
(3)当1=a 时,n B r A r =<==32)()(,原方程组有无穷多解,将1=a 代入阶梯形矩阵,继续化阶梯形为最简
形
?
???
? ??-????? ??-000010103101~000010102111? 同解方程组??
?-==+13231x x x ? 通解???
?
? ??-+????? ??-=????? ??=013101321k x x x x R k ∈
16.
求非齐次线性方程组x x x x x x x x x x x x 123412341
2342433623221
+++=+++=-+-+=???
??的通解。
解:()?
???
?
?
?
? ??
????
? ??---????? ??--=+-211000210
010210201~~4503061002034211~11221326133421113123r r r r r r b A ?????
??
?
? ??+??????
? ??-=?210212101
02k x R k ∈
17. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知123,,ηηη是它的三个解向量,
且??????? ??=20141η,??????
? ??=+210132ηη,求该方程组的通解。
解:b Ax =,3)(==r A r ,4=n ,0=Ax 的基础解系只含134=-=-r n 个解向量。
令02127210120142)(2321≠????
??
? ??-=??????? ??-??????? ??=+-=ηηηξ,
A A =ξ022)](2[321321=--=--=+-b b b A A A ηηηηηη
即ξ为0=Ax 的基础解系。所以通解为R k k k x ∈????
??
? ??+??????? ??-=+=,201421271ηξ
三、证明题
1. 设α为n 维列向量,1=ααT
,2T n H E αα=-,证明:H 是对称的矩阵。
证明:
2T n H E αα=-,
T n T T n T E E H αααα2)2(-=-=H =,所以H 是对称的矩阵。
2. 设()()1212
33111111x A x y y y x ???? ? ?
=+ ? ? ? ?????,其中123123,,,,,x x x y y y 为任意常数,证明0≡A 。 证明:()1)(,111111=????? ??=B R B ,()1)(,321
321≤???
?
? ??=C R y y y x x x C ,则C B A += 211)()()()(=+≤+≤+=C R B R C B R A R ,所以0≡A
3. 设
A,B 是n 阶方阵,如果B 可逆且满足022=++B AB A ,证明A 和B A +均可逆。
证明:由O B AB A =++2
22)(B B A A -=+?
?0)1(2
2≠-=-=+?B B B A A n ?0≠A ,0≠+B A ?A 和B A +均可逆。
4. 如果
2A A E =+,证明A 可逆并求1A -。
证明:2A A E =+E A A =-?2E E A A =-?)(,所以A 可逆,E A A -=-1
5. 设向量组321,,ααα线性无关,11αβ=,2122ααβ+=,321332αααβ++=,证明321,,βββ也线性
无关。 解: 考虑
0332211=++βββx x x
123123233()(22)30x x x x x x ααα?+++++=,
由向量组1α,2α,3α线性无关,得到??
?
??==+=++030220332321x x x x x x 0321===?x x x
所以,321,,βββ也线性无关。
6. 设向量组1α,2α,┅,n α线性相关,且它的任意1-n 个向量线性无关,证明向量组1α,2α,┅,n α中任一向
量都可以由其余向量线性表示。
证明:因为向量组1α,2α,┅,n α线性相关,所以存在不全为零的数n k k k ,,,21 使得
02211=+++n n k k k ααα ,
从向量组1α,2α,┅,n α任意1-n 个向量线性无关
),,2,1(,0n i k i =≠?
i
n i i i i i i i i k k k k k k k k ------
=?++-- 111111
αααα),,2,1(n i = 因此,向量组1α,2α,┅,n α中任一向量都可以由其余向量线性表示。
精品文档 线性代数试题精选与精解(含完整试题与详细答案,2020 考研数学基础训练) 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 1.设3阶方阵A =(α1,α2,α3),其中αi (i =1,2,3)为A 的列向量,若| B |=|(α1+2α2, α2,α3)|=6,则| A |=( ) A.-12 B.-6 C.6 D.12 【答案】C 【解析】本题考查了矩阵行列式的性质。有性质可知,行列式的任意一列(行)的(0)k k ≠倍加至另一列(行),行列式的值不变。本题中,B 是由A 的第二列的2倍加到了第一列形成的,故其行列式不变,因此选C 。 【提醒】行列式的性质中,主要掌握这几条:(1)互换行列式的两行或两列行列式要变号;(2)行列式的任意一行(列)的(0)k k ≠倍加至另一行(列),行列式的值不变;(2)行列式行(列)的公因子(公因式)可以提到行列式的外面。 【点评】本题涉及内容是每年必考的,需重点掌握。热度:☆☆☆☆☆;可出现在各种题型中,选择、填空居多。 【历年考题链接】 (2008,4)1.设行列式D=3332 31 232221 131211a a a a a a a a a =3,D 1=33 32 3131 2322212113 12 1111252525a a a a a a a a a a a a +++,则D 1的值为( ) A .-15 B .-6 C .6 D .15 答案:C 。 2.计算行列式3 2 3 20 2 0 0 0 5 10 2 0 2 0 3 ----=( ) A.-180 B.-120
精品文档 C.120 D.180 【答案】A 【解析】本题考查了行列式的计算。行列式可以根据任意一行(列)展开。一般来说,按含零元素较多的行或列展开计算起来较容易。本题,按第三列展开,有: 44 1424344433 313233 3 0 2 0 302 2 10 5 000033(1)2105 0 0 2 000 2 2 3 2 3 3 3(002)6(1) =630180. 210 A A A A A A A ++--=?+?+?+?=-----=?+?-=---?=- 【提醒】还要掌握一些特殊矩阵的行列式的计算,如对角矩阵,上(下)三角矩阵,还有分块矩阵。 【点评】行列式的计算是每年必考的,常出现在选择、填空和计算中,选择、填空居多。近几年,填空题的第一题一般考察这个内容。需重点掌握。热度:☆☆☆☆☆。 【历年考题链接】 (2008,1)11.若,02 11 =k 则k=_______. 答案:1/2。 3.若A 为3阶方阵且| A -1 |=2,则| 2A |=( ) A.21 B.2 C.4 D.8 【答案】C 【解析】本题考查了逆矩阵行列式的计算,和矩阵行列式的运算性质。由于1 1,A A -= 由已知| A -1 |=2,从而12A = ,所以3 122842 A A ==?=。
《线性代数》重点题 一. 单项选择题 1.设A 为3阶方阵,数 = 3,|A | =2,则 | A | =( ). A .54; B .-54; C .6; D .-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵,λ为实数,则|λA |=( ) A 、λ|A |; B 、|λ||A |; C 、λn |A |; D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =( ). 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0; B. ()2,2-; C. 22?? ?-??; D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量,矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4,则|-2A |=( ). A 、-32; B 、-4; C 、4; D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是( ). A .一个零向量一定线性无关; B .一个非零向量一定线性相关; C .含有零向量的向量组一定线性相关; D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关;不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关;不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关;对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极 大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα
2014年10月高等教育自学考试全国统一命题考试 04184线性代数(经管类)试卷 本试卷共8页,满分100分,考试时间150分钟。 说明:本试卷中,T A 表示矩阵A 的转置矩阵,*A 表示矩阵A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵, A 表示方阵A 的行列式,()A r 表示矩阵A 的秩。 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题2分,共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设3阶行列式1 1 1 232221 13 1211 a a a a a a =2,若元素ij a 的代数余子公式为ij A (i,j=1,2,3),则=++333231A A A 【 】 A.1- B.0 C.1 D.2 2.设A 为3阶矩阵,将A 的第3行乘以2 1 -得到单位矩阵E , 则A =【 】 A.2- B.2 1- C.21 D.2 3.设向量组321,,ααα的秩为2,则321,,ααα中 【 】 A.必有一个零向量 B. B.任意两个向量都线性无关 C.存在一个向量可由其余向量线性表出 D.每个向量均可由其余向量线性表出 4.设3阶矩阵??? ? ? ??---=466353331A ,则下列向量中是A 的属于特征值2-的特征向量为 【 】 A.????? ??-011 B.????? ??-101 C.????? ??201 D.???? ? ??211 5.二次型212 322213214),,(x x x x x x x x f +++=的正惯性指数为 【 】 A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错误、不填均无分、
线性代数期末考试试卷 答案合集 文档编制序号:[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
×××大学线性代数期末考试题 一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分) 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ,则=χ__________。 2.若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。 3.已知矩阵n s ij c C B A ?=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。 4.矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5.n 阶方阵A 满足032=--E A A ,则=-1A 。 二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。每小题2分,共10分) 1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0?D 。( ) 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。( ) 3. 向量组m a a a ,, , 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。( ) 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ,则A A =-1。( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1-A 的特征值为λ。 ( )
三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题2 分,共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα,, , 21(3 s n )线性无关的充要条件是( )。 ① s ααα,, , 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,, , 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα,, , 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα,, , 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ,B 均为n 阶方阵,下面结论正确的是( )。 ① 若A ,B 均可逆,则B A +可逆 ② 若A ,B 均可逆,则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆,则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆, 则 A ,B 均可逆 5. 若4321νννν,,,是线性方程组0=X A 的基础解系,则4321νννν+++是0=X A 的( ) ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量 四、计算题 ( 每小题9分,共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。
线性代数(A 卷) 一﹑选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+ 2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( ) (A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8-- 4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ?? ??= ? ?-???? 的矩阵为A ,那么( ) (A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ? -?? (D) 1001A ?? = ??? 5. 若方阵A 的行列式0A =,则( ) (A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题(每小题3分,共30分) 1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ; 2. 设100210341A -?? ? =- ? ?-?? ,*A 是A 的伴随矩阵,则*1()A -= ; 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ; 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ; 5. 设A 为正交矩阵,则A = ;
第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).
(4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为2) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个)
2009年7月高等教育自学考试全国统一命题考试 线性代数试题 课程代码:02198 试卷说明:在本卷中,A T 表示矩阵A 的转置矩阵;A * 表示A 的伴随矩阵;R (A )表示矩阵 A 的秩;|A |表示A 的行列式;E 表示单位矩阵。 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设A ,B ,C 为同阶方阵,下面矩阵的运算中不成立...的是( ) A .(A +B )T =A T +B T B .|AB |=|A ||B | C .A (B +C )=BA +CA D .(AB )T =B T A T 2.已知3332 31 232221 131211 a a a a a a a a a =3,那么33 32 31 23222113 12 11222222a a a a a a a a a ---=( ) A .-24 B .-12 C .-6 D .12 3.若矩阵A 可逆,则下列等式成立的是( ) A .A = | |1A A * B .|A |=0 C .(A 2)-1=(A -1)2 D .(3A )-1=3A -1 4.若 A =?? ????-25 1 21 3 ,B =??? ? ????-12 32 14 ,C =?? ???? --21 312 ,则下列矩阵运算的结果为3×2的矩 阵的是( ) A .ABC B .AC T B T C .CBA D .C T B T A T 5.设有向量组A :4321,,,αααα,其中α1,α2,α3线性无关,则( ) A .α1,α 3线性无关 B .α1,α2,α3,α4线性无关 C .α1,α2,α3,α4线性相关 D .α2,α3,α 4线性无关 6.若四阶方阵的秩为3,则( ) A .A 为可逆阵 B .齐次方程组Ax =0有非零解 C .齐次方程组Ax =0只有零解 D .非齐次方程组Ax =b 必有解 7.已知方阵A 与对角阵B =??? ? ????---20 020 00 2 相似,则A 2 =( ) A .-64E B .-E
线性代数试卷及答案-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
《线性代数A 》试题(A 卷) 试卷类别:闭卷考试时间:120分钟 考试科目:线性代数考试时间:学号:姓名: 2
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《线性代数A》参考答案(A卷)一、单项选择题(每小题3分,共30分) 5
6 二、填空题(每小题3分,共18分) 1、 256; 2、 132465798?? ? --- ? ???; 3、112 2 11221122 00 0?? ?- ? ?-?? ; 4、 ; 5、 4; 6、 2 。 三. 解:因为矩阵A 的行列式不为零,则A 可逆,因此1X A B -=.为了求1A B -,可利用下列初等行变换的方法: 2312112 01012 010******* 12101 141103311033102321102721 002781 002780 11410 101440 10144001103001103001103---?????? ? ? ? -??→-??→-- ? ? ? ? ? ?--? ?? ?? ?-?????? ? ? ? ??→--??→-??→-- ? ? ? ? ? ??????? ―――――(6分) 所以1278144103X A B -?? ? ==-- ? ??? .―――――(8分) 四.解:对向量组12345,,,,ααααα作如下的初等行变换可得: 12345111431114311 32102262(,,,,)21355011313156702262ααααα--???? ? ? ----- ? ? =→ ? ?--- ? ? ? ?---? ???
第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分)在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m, a a a a 1311 2321 =n,则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于() A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ,则A-1等于() A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ,A*是A的伴随矩阵,则A *中位于(1,2)的元素是() A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有() A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩(A T)等于() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则() A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1+β1)+λ2(α2+β2)+…+λs(αs+βs)=0 C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1-β1)+λ2(α2-β2)+…+λs(αs-βs)=0 D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r,则A中() A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是() A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2η1+1 2 η2是Ax=b的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 9.设n阶方阵A不可逆,则必有()
×××大学线性代数期末考试题 一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分) 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ,则=χ__________。 2.若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。 3.已知矩阵n s ij c C B A ?=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。 4.矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5.n 阶方阵A 满足032 =--E A A ,则=-1A 。 二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。每小题2分,共10分) 1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0?D 。( ) 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。( ) 3. 向量组m a a a ,, , 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。( ) 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ,则A A =-1。( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题2分,共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα,,, 21(3 ≤ s ≤ n )线性无关的充要条件是( )。 ① s ααα,, , 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,, , 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα,, , 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示
模拟试卷 线性代数模拟试卷(一) 班级________ 姓名_______ 学号_______ 成绩 ________ 一、填空题(每小题3分,共6小题,总分18分) 1、四阶行列式 44 434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a 展开式中,含有因子3214a a 且带正号的项为 ___________ 2、设A 为n 阶可逆方阵,将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为B ,则 AB -1=_________ 3、已知向量组)2- 5, 4,- ,0( , )0 t,0, ,2( , )1 1,- 2, ,1(321'='='=ααα线性相关,则 t =_________ 4、设三阶方阵) , ,(B ), , ,(2121γγβγγα==A ,其中 , ,,21γγβα都是三维列向量 且2B 1, ==A ,则=- 2B A _________ 5、A 为n 阶正交矩阵, , ,,21n ααα 为A 的列向量组,当i ≠j 时, )2 1 ,31(j i αα=_________ 6、三阶方阵A 的特征值为1,-2,-3,则 A =_______; E+A -1的特征值为______ 二、单项选择题(每小题2分,共6小题,总分12分) 1、 设齐次线性方程组AX=0有非零解,其中A=()n n ij a ?,A ij 为a ij (i,j=1,2,…n) 的 代数余子式,则( ) (A) 0111 =∑=n i i i A a (B) 0111 ≠∑=n i i i A a (C) n A a n i i =∑11 (D) n A a n i i ≠∑11
全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题答案 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 1.已知2阶行列式 m b b a a =2 1 21, n c c b b =2 1 21,则 =++2 21 121c a c a b b ( B ) A .n m - B .m n - C .n m + D .)(n m +- 2.设A , B , C 均为n 阶方阵,BA AB =,CA AC =,则=ABC ( D ) A .ACB B .CAB C .CBA D .BCA 3.设A 为3阶方阵,B 为4阶方阵,且1||=A ,2||-=B ,则行列式||||A B 之值为( A ) A .8- B .2- C .2 D .8 4.??? ? ? ??=3332 312322 211312 11a a a a a a a a a A ,????? ??=3332312322 211312 11333a a a a a a a a a B ,????? ??=100030001P ,??? ? ? ??=100013001Q ,则=B ( B ) A .PA B .AP C .QA D .AQ 5.已知A 是一个43?矩阵,下列命题中正确的是( C ) A .若矩阵A 中所有3阶子式都为0,则秩(A )=2 B .若A 中存在2阶子式不为0,则秩(A )=2 C .若秩(A )=2,则A 中所有3阶子式都为0 D .若秩(A )=2,则A 中所有2阶子式都不为0 6.下列命题中错误..的是( C ) A .只含有1个零向量的向量组线性相关 B .由3个2维向量组成的向量组线性相关 C .由1个非零向量组成的向量组线性相关 D .2个成比例的向量组成的向量组线性相关 7.已知向量组321,,ααα线性无关,βααα,,,321线性相关,则( D )
线性代数期末考试试题含 答案 The final edition was revised on December 14th, 2020.
江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题(每空3分,共15分) 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的,则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵,且2 1=A ,则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵,n βββ ,,21为A 的n 个列向量,若方程组0=AX 只有零解,则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题(每题3分,共15分) 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ,则下列结论正确的是( ) (A)当c b a ,,取任意实数时,方程组均有解 (B)当a =0时,方程组无解 (C) 当b =0时,方程组无解 (D)当c =0时,方程组无解 7. 同为n 阶方阵,则( )成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ,??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则( )成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵,则AB 的伴随矩阵=*)(AB ( ) (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵,r A r =)(<n ,那么A 的n 个列向量中( )
线性代数习题和答案 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分)在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m, a a a a 1311 2321 =n,则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于() A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ,则A-1等于() A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ,A*是A的伴随矩阵,则A *中位于(1,2)的元素是() A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有() A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩(A T)等于() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则() A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1+β1)+λ2(α2+β2)+…+λs(αs+βs)=0 C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1-β1)+λ2(α2-β2)+…+λs(αs-βs)=0 D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r,则A中() A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是() A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解
江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题(每空3分,共15分) 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的,则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵,且2 1=A ,则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵,n βββ ,,21为A 的n 个列向量,若方程组0=AX 只有零解,则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题(每题3分,共15分) 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ,则下列结论正确的是( ) (A)当c b a ,,取任意实数时,方程组均有解 (B)当a =0时,方程组无解 (C) 当b =0时,方程组无解 (D)当c =0时,方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵,则( )成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ,??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则( )成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵,则AB 的伴随矩阵=*)(AB ( ) (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵,r A r =)(<n ,那么A 的n 个列向量中( ) (A )任意r 个列向量线性无关
线性代数经典试题4套及答案 试卷1 一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分)在每小题列出的四个选项中只 有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m, a a a a 1311 2321 =n,则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于() A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ,则A-1等于() A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ,A*是A的伴随矩阵,则A *中位于(1,2)的元素是() A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有() A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩(A T)等于() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则() A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λs βs=0 B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1+β1)+λ2(α2+β2)+…+λs(αs+βs)=0 C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1-β1)+λ2(α2-β2)+…+λs(αs-βs)=0
本科生2010——2011学年第 一 学期《线性代数》课程期末考试试卷(B 卷) 草 稿 区 专业: 年级: 学号: 姓名: 成绩: 一 、选择题(本题共 28 分,每小题 4 分) 1.设n 阶方阵A 为实对称矩阵,则下列哪种说法是错误的 ( B ) (A) A 的特征值为实数; (B) A 相似于一个对角阵; (C) A 合同于一个对角阵; (D) A 的所有特征向量两两正交。 2.设n 维列向量组)(,,21n m m <ααα 线性无关,则n 维列向量组m βββ ,,21线性无关的充要条件是 ( D ) (A)向量组m ααα ,,21可由向量组m βββ ,,21线性表示; (B) 向量组m βββ ,,21可由向量组m ααα ,,21线性表示; (C) 矩阵),,(21m ααα 与矩阵),,(21m βββ 等价; (D) 向量组m ααα ,,21与向量组m βββ ,,21等价。 3.设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*A ,则 ( C ) (A) *A 为可逆矩阵; (B) 若0||=A ,则0||*=A ; (C) 若2)(*-=n A r ,则2)(=A r ; (D) 若0||≠=d A ,则d A 1||*= 。 4.设A 为n 阶非零方阵,E 为n 阶单位矩阵,30A =则 ( ) (A)()E A -不可逆,()E A +不可逆; (B) ()E A -不可逆,()E A +可逆; (C) ()E A -可逆,()E A +可逆; (D) ()E A -可逆,()E A +不可逆. 第 1页,共 6 页
5.实数二次型T f X AX =为正定二次型的充分必要条件是 ( ) (A) 负惯性指数全为零; (B) ||0A >; (C) 对于任意的0X ≠,都有0f >; (D) 存在n 阶矩阵U ,使得T A U U =. 6.设12,λλ为A 的不同特征值,对应特征向量为12,αα,则112,()A ααα+线性无关的充要条件为 ( ) (A)10λ≠; (B) 20λ≠; (C) 10λ=; (D) 20λ=. 7.设211100121,010112000A B --???? ? ? =--= ? ? ? ?--???? ,则 ( ) (A) A 与B 合同,但不相似;(B) A 与B 相似,但不合同; (C) A 与B 既合同又相似; (D) A 与B 既不合同也不相似. 二 、填空题(本题共 24分,每小题 4 分) 1.二次型2221231231213(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++是正定的,则t 的取值范围是 . 2.设01000 01000010 000A ?? ? ? = ? ? ?? ,则3A 的秩3()r A 为 . 3.设三阶矩阵A 的特征值为,2,3λ,若|2|48A =-,则λ= . 4.设向量123(1,2,1,0),(1,1,0,2),(2,1,1,)T T T a ααα=-==,若123,,ααα构成的向量组的秩为2, 则a = . 5.设3阶矩阵123(,,)A ααα=,123123123(,24,39)B ααααααααα=++++++,且已知||1A =,则||B = . 第 2页,共 6 页
《 线性代数A 》试题(A 卷) 试卷类别:闭卷 考试时间:120分钟 考试科目:线性代数 考试时间: 学号: 姓名: 题号 一 二 三 四 五 六 七 总 分 得分 阅卷人 一.单项选择题(每小题3分,共30分) 1.设A 经过初等行变换变为B ,则( ).(下面的(),()r A r B 分别表示矩阵,A B 的秩)。 () A ()()r A r B <; () B ()()r A r B =; ()C ()()r A r B >; () D 无法判定()r A 与()r B 之间的关系。 2.设A 为 (2)n n ≥阶方阵且||0A =,则( )。 () A A 中有一行元素全为零; () B A 有两行(列)元素对应成比例; () C A 中必有一行为其余行的线性组合; () D A 的任一行为其余行的线性组合。 3. 设,A B 是n 阶矩阵(2n ≥), AB O =,则下列结论一定正确的是: ( ) () ;A A O B O ==或 ()AX B B 的每个行向量都是齐次线性方程组=O 的解. ();C BA O = ()()().D R A R B n +≤ 4.下列不是n 维向量组12,,...,s ααα线性无关的充分必要条件是( ) () A 存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++≠;
() B 不存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++= 12(),,...,s C ααα的秩等于s ; 12(),,...,s D ααα中任意一个向量都不能用其余向量线性表示 5.设n 阶矩阵(3)n ≥1...1................1a a a a a a A a a a ?? ? ? ?= ? ? ???,若矩阵A 的秩为1n -,则a 必为( )。 ()A 1; () B 11n -; () C 1-; () D 11 n -. 6.四阶行列式 1 1 2 2334 4 0000 000 a b a b b a b a 的值等于( )。 ()A 12341234a a a a b b b b -; ()B 12341234a a a a b b b b +; () C 12123434()()a a b b a a b b --; () D 23231414()()a a b b a a b b --. 7.设A 为四阶矩阵且A b =,则A 的伴随矩阵* A 的行列式为( )。 ()A b ; () B 2b ; () C 3b ; () D 4b 8.设A 为n 阶矩阵满足23n A A I O ++=,n I 为n 阶单位矩阵,则1 A -=( ) () n A I ; ()3n B A I +; ()3n C A I --; ()D 3n A I + 9.设A ,B 是两个相似的矩阵,则下列结论不正确的是( )。 ()A A 与B 的秩相同; ()B A 与B 的特征值相同; () C A 与B 的特征矩阵相同; () D A 与B 的行列式相同;
第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2 221 11c b a c b a
解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆 序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1
解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6