4. 若f (x )与g (x ) 都是n 次多项式,且在n +1个互异点
n i i x 0}{=上)()(i i x g x f =,则 )()(x g x f ≡。 ( )
5. 用
2
211x
x +
+近似表示x e 产生舍入误差。 ( )
判断题答案
1.×
2.×
3.×
4.√
5.×
得 分 评卷人
三、计算题(70分)
1. (10分)已知f (0)=1,f (3)=
2.4,f (4)=5.2,求过这三点的
二次插值基函数l 1(x )=( ),]4,3,0[f =( ), 插值多项式P 2(x )=( ), 用三点式求得=')4(f ( ).
计算题1.答案
1.1777203(4),,1(3),3
1215126x x x x x --++-由插值公式可求得它们分别为:
和
2. (15分) 已知一元方程02.133
=--x x 。
1)求方程的一个含正根的区间;
2)给出在有根区间收敛的简单迭代法公式(判断收敛性); 3)给出在有根区间的Newton 迭代法公式。
计算题2.答案
2.(1)(0) 1.20 , (2) 1.80 ()(0,2)f f f x =-<=>又连续故在内有一个正根, (2)
收敛
313
2)
2,0(3
23
2.13,12
.11)(max ,)2.13()(,2.13+=∴<≤
''+=''+=+∈-
n n x x x x x x x x φφ
(3)
32
12
3 1.2
'()33,33n n n n x x f x x x x x +--=-=-- 3. (15分)确定求积公式 )
5.0()()5.0()(11
1Cf x Bf Af dx x f ++-≈?- 的待定参数,使其代数精度尽量高,并确定其代数精度.
计算题3.答案
2312
1311
41()1,,,20.50.50
20.250.2530.1250.1250
42
,33
1
()[4(0.5)2(0)4(0.5)],(),
321
56f x x x x A B C A Bx C A Bx C A Bx C A C B f x dx f f f f x x -=++=?
?-++=??
?++=??-++=??===-
≈--+==
=?3.假设公式对精确成立则有解此方程组得 求积公式为
当时 左边 右边 左3≠∴边右边 代数精度为。
4. (15分)设初值问题 1
01
)0(23<?
?=+='x y y
x y .
(1) 写出用Euler 方法、步长h =0.1解上述初值问题数值解的公式; (2) 写出用改进的Euler 法(梯形法)、步长h =0.2解上述初值问题数值解
的公式,并求解21,y y ,保留两位小数。
计算题4.答案
4.1(1) 0.1(32)0.3 1.2n n n n n n y y x y x y +=++=+ 1111120.20.2
(2) (32)3(0.2)22
=0.1(6220.6)
3332440
3336333
1.575,
2.585
240240440n n n n n n n n n n n n n y y x y x y y x y y y y x y y ++++??+=+
++++++++∴=
++=+==+=迭达得
5. (15分)取节点1,5.0,0210===x x x ,求函数x
e y -=在区间]1,0[上的二次插
值多项式)(2x P ,并估计误差。
计算题5.答案
5.
)
5.0)(0(0
10
5.01
5.01)0(0
5.01)(5.05
.015.002------
--+
---+
=----x x e e e x e e x p
=1+2()5.0()12(2)15.015
.0-+-+----x x e e x e
[]
)1)(5.0(!3)
()(,1max ,21,0''3''--'''=
-==-=∈-x x x f x p e y M e y x x x ξ
时10≤≤∴x ,
)1)(5.0(!31
)(2--≤
-x x x x p e x
一、填空题( 每题4分,共20分)
1、数值计算中主要研究的误差有 和 。
2、设
()(0,1,2
)
j l x j n =是n 次拉格朗日插值多项式的插值基函数,则
()j i l x =
(,0,1,2
)i j n =;
()n
j j l x ==
∑ 。
3、设
()(0,1,2
)
j l x j n =是区间[,]a b 上的一组n 次插值基函数。则插值型求积公
式的代数精度为 ;插值型求积公式中求积系数j A =
;且
n
j
j A
==
∑ 。
4、辛普生求积公式具有 次代数精度,其余项表达式为 。
5、
2
()1,f x x =+则[1,2,3]_________,[1,2,3,4]_________f f ==。 填空题答案
1.相对误差 绝对误差
2.1,,0,i j i j =??
≠?
1
3. 至少是n
()b
k
a l x dx
?
b-a
4. 3
4(4)
()(),(,)1802b a b a f a b ζζ---
∈
5. 1 0
二、计算题
1、已知函数()y f x =的相关数据
由牛顿插值公式求三次插值多项式3()P x ,并计算
1
3()
2P =的近似值。 计算题1.答案
解:差商表
由牛顿插值公式:
323332348
()()21,33
141181
3()()2()()12
232232p x N x x x x p ==
-++≈=-++=
2、(10分)利用尤拉公式求解初值问题,其中步长0.1h =,
1,
(0,0.6)
(0) 1.
y y x x y '=-++?∈?
=?。
计算题2.答案
解:010(,)1,1,0.1,0.1(1),(0,1,2,3,)1,
1.000000;1.000000;1.010000;1.029000;
1.056100;1.090490;1.131441.
n n n n k f x y y x y h y y x y n y y η+=-++====++-===
3、(15分)确定求积公式
012()()(0)()
h
h
f x dx A f h A f A f h -≈-++?
。
中待定参数i A 的值(0,1,2)i =,使求积公式的代数精度尽量高;并指出此时求积公式的代数精度。
计算题3.答案
解:分别将2
()1,,f x x x
=,代入求积公式,可得
02114
,33A A h A h
===。 令3()f x x =时求积公式成立,而4
()f x x =时公式不成立,从而精度为3。
4、(15分)已知一组试验数据如下 :
求它的拟合曲线(直线)。
计算题4.答案
解:设y a bx =+则可得
515311555105.5
a b a b +=??
+=?
于是 2.45, 1.25a b ==,即 2.45 1.25y x =+。
5、(15分)用二分法求方程
3
()1f x x x =--在区间[1,1.5]内的根时,若要求精确到小数点后二位,(1) 需要二分几次;(2)给出满足要求的近似根。
计算题5.答案
解:6次;*
1.32x ≈。
6、(15分)用列主元消去法解线性方程组
123
123
123 2346, 3525, 433032.
x x x
x x x
x x x
++=
?
?
++=
?
?++=
?
计算题6.答案
解:
2346433032433032
352535253525
43303223462346 433032433032
011/441/219011/441/219
03/21110002/114/11 433032
0118238
0012
?????? ? ? ?
→→
? ? ? ? ? ???????
???? ? ?→--→-- ? ? ? ?
--
????
??
?
→--
?
?
??
即
1231
232
3
3
433032,13, 118238,8,
2.
2.
x x x x
x x x
x
x
++==
??
??
-=-?=??
??=
=?
?
李庆扬数值分析第五版习题复习资料清华大学出版社
第一章 绪论 1.设0x >,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差。 解:近似值* x 的相对误差为* **** r e x x e x x δ-= = = 而ln x 的误差为()1 ln *ln *ln ** e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2.设x 的相对误差为2%,求n x 的相对误差。 解:设()n f x x =,则函数的条件数为'() | |() p xf x C f x = 又1 '()n f x nx -=Q , 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈?Q 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字:*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,* 57 1.0.x =? 解:* 1 1.1021x =是五位有效数字; *20.031x =是二位有效数字; *3385.6x =是四位有效数字; *456.430x =是五位有效数字; *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4.利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限:(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中**** 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解:
*4 1* 3 2* 13* 3 4* 1 51()1021()1021()1021()1021()102 x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? *** 124***1244333 (1)()()()() 1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? *** 123*********123231132143 (2)() ()()() 111 1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ ** 24**** 24422 *4 33 5 (3)(/) ()() 11 0.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈ ??+??= ?= 5计算球体积要使相对误差限为1,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 解:球体体积为343 V R π= 则何种函数的条件数为 2 3'4343 p R V R R C V R ππ===g g (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=g 又(*)1r V ε=Q
数值分析课后题答案
数值分析 第二章 2.当1,1,2x =-时,()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解: 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+ -+= +- 6.设,0,1,,j x j n =L 为互异节点,求证: (1) 0()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L (2)0 ()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明 (1) 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ,则函数()f x 的n 次插值多项式为0 ()()n k n j j j L x x l x == ∑。 插值余项为(1)1() ()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-= + 又,k n ≤Q
(1)()0 ()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 0 000 (2)()() (())()()(()) n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知 ()n k i j j j x l x x ==∑ ()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证: 21 max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解:令01,x a x b ==,以此为插值节点,则线性插值多项式为 10 101010 ()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =() () x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0()0 f a f b L x ==∴=Q 又 插值余项为1011 ()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-= -- 011 ()()()()2 f x f x x x x x ''∴= --
北师大网络教育 数值分析 期末试卷含答案
注:1、教师命题时题目之间不留空白; 2、考生不得在试题纸上答题,教师只批阅答题册正面部分,若考北师大网络教育——数值分析——期末考试卷与答案 一.填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分) 1.设有节点012,,x x x ,其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ,则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。 2.设()2f x x =,则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。 3.设110111011A -????=--????-??,233x ?? ??=?? ???? ,则1A = ,1x = 。 4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。 二.简答题(本大题共3小题,每小题8分,共24分) 1. 哪种线性方程组可用平方根法求解?为什么说平方根法计算稳定? 2. 什么是不动点迭代法?()x ?满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ?的不动点? 3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥ ,请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。 三.求一个次数不高于3的多项式()3P x ,满足下列插值条件: i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y ' 3 并估计误差。(10分) 四.试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1 01 1I dx x =+? 。(10分) 五.用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。(10分) 六.试用Doolittle 分解法求解方程组:
注:1、教师命题时题目之间不留空白; 2、考生不得在试题纸上答题,教师只批阅答题册正面部分,若考 12325610413191963630 x x x -?????? ??????-=?????? ??????----?????? (10分) 七.请写出雅可比迭代法求解线性方程组1231231 23202324 812231530 x x x x x x x x x ++=?? ++=??-+=? 的迭代格式,并 判断其是否收敛?(10分) 八.就初值问题0(0)y y y y λ'=??=?考察欧拉显式格式的收敛性。(10分)
清华大学高等数值计算(李津)实践题目一(共轭梯度CG法,Lanczos算法与MINRES算法)
高等数值计算实践题目一 1. 实践目的 本次计算实践主要是在掌握共轭梯度法,Lanczos 算法与MINRES 算法的基础上,进一步探讨这3种算法的数值性质,主要研究特征值特征向量对算法收敛性的影响。 2. 实践过程 (一)生成矩阵 (1)作5个100阶对角阵i D 如下: 1D 对角元:1,1,...,20,1+0.1(-20),21,...,100j j d j d j j ==== 2D 对角元:1,1,...,20,1+(-20),21,...,100j j d j d j j ==== 3D 对角元:,1,...,80,81,81,...,100j j d j j d j ==== 4D 对角元:,1,...,40,41,41,...,60,41+(60),61,...,100j j j d j j d j d j j =====-= 5D 对角元:,1,...,100j d j j == 记i D 的最大模特征值和最小模特征值分别为1i λ和i n λ,则i D 特征值分布有如下特点: 1D 的特征值有较多接近于i n λ,并且1/i i n λλ较小, 2D 的特征值有较多接近于i n λ,并且1/i i n λλ较大, 3D 的特征值有较多接近于1i λ,并且1/i i n λλ较大, 4D 的特征值有较多接近于中间模特征值,并且1/i i n λλ较大, 5D 的特征值均匀分布,并且1/i i n λλ较大 (2)随机生成10个100阶矩阵j M : (100(100))j M fix rand = 并作它们的QR 分解,得j Q 和j R ,这样可得50个对称的矩阵T ij j i j A Q DQ =,其中i D 的对角元就是ij A 的特征值,若它们都大于0,则ij A 正定,j Q 的列就是相应的特征向量。结合(1)可知,ij A 都是对称正定阵。
数值分析学期期末考试试题与答案(A)
期末考试试卷(A 卷) 2007学年第二学期 考试科目: 数值分析 考试时间:120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、判断题(每小题2分,共10分) 1. 用计算机求 1000 1000 1 1 n n =∑时,应按照n 从小到大的顺序相加。 ( ) 2. 为了减少误差,进行计算。 ( ) 3. 用数值微分公式中求导数值时,步长越小计算就越精确。 ( ) 4. 采用龙格-库塔法求解常微分方程的初值问题时,公式阶数越高,数值解越精确。( ) 5. 用迭代法解线性方程组时,迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有 关,与常数项无关。 ( ) 二、填空题(每空2分,共36分) 1. 已知数a 的有效数为0.01,则它的绝对误差限为________,相对误差限为_________. 2. 设1010021,5,1301A x -????????=-=-????????-???? 则1A =_____,2x =______,Ax ∞ =_____. 3. 已知5 3 ()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= . 4. 为使求积公式 1 1231 ()()(0)33 f x dx A f A f A f -≈- ++? 的代数精度尽量高,应使1A = ,2A = ,3A = ,此时公式具有 次的代数精度。 5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 . 6. 用迭代法解线性方程组AX B =时,使迭代公式(1) ()(0,1,2,)k k X MX N k +=+=产 生的向量序列{ }() k X 收敛的充分必要条件是 . 7. 使用消元法解线性方程组AX B =时,系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩
数值分析习题集及答案
(适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》) 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2%,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位 有效数字: ***** 123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: * * * * * * * * 12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中* * * * 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 11783 100 n n Y Y -=- ( n=1,2,…) 计算到100Y .若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设2 12S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加, 而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101 n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 (21)f =-,取 2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 6 3 11,(322), ,9970 2. (21) (322) --++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =- -,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等 价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x - -=-+ + 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组{ 10 10 12121010; 2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1sin , 2 s ab c = 其中c 为弧度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证 明面积的误差s ?满足 . s a b c s a b c ????≤ ++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令
数值分析试卷及其答案2
1、(本题5分)试确定7 22作为π的近似值具有几位有效数字,并确定其相对误差限。 解 因为 7 22=3.142857…=1103142857.0-? π=3.141592… 所以 3 12 10 2 110 21005.0001264.07 22--?= ?= <=- π (2分) 这里,3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22作为π的近似值具有3位有效数字。 (1分) 而相对误差限 3 10 2 10005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r (2分) 2、(本题6分)用改进平方根法解方程组:???? ? ??=????? ??????? ??--654131321 112321x x x ; 解 设???? ? ? ?????? ? ?????? ??===????? ? ?--11 1 11113 1321 11232312132 1 32 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得: 5 7,21,21527,25,2323121321- == - == -==l l l d d d (3分) 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23,97,910( ,)5 63, 7,4(== (3分) 3、(本题6分)给定线性方程组??? ? ? ??=++-=+-+=-+-=-+17722238231138751043214321 321431x x x x x x x x x x x x x x 1)写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式; 2)考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性; 解 1)Jacoib 迭代格式为
数值分析课后题答案
数值分析 2?当x=1,—1,2时,f(x)=O, 一3,4,求f(x)的二次插值多项式。解: X 0 =1,x j = — 1,x 2 = 2, f(X。)= 0, f (xj = -3, f (x2)= 4; l o(x)=(x-xi^~x2\=-1(x 1)(x-2) (x o -X/X o _x2) 2 (x -x0)(x -x2) 1 l i(x) 0 2(x-1)(x-2) (x i ~x0)(x i ~x2) 6 (x—x0)(x—x,) 1 l2(x) 0 1(x-1)(x 1) (X2 -X°)(X2 - X i) 3 则二次拉格朗日插值多项式为 2 L 2(X)= ' y k 1 k ( x) kz0 = -3l°(x) 4l2(x) 1 4 =(x_1)(x—2) 4 (x-1)(x 1) 2 3 5 2 3 7 x x - 6 2 3 6?设Xj, j =0,1,||(,n 为互异节点,求证: n (1 )7 x:l j(x) =x k(k =0,1川,n); j=0 n (2 )7 (X j -x)k l j(x)三0 (k =0,1川,n); j £ 证明 (1)令f(x)=x k
n 若插值节点为X j, j =0,1,|l(, n,则函数f (x)的n次插值多项式为L n(x)八x k l j(x)。 j=0 f (n 十)(?) 插值余项为R n(X)二f(X)-L n(X) n1(X) (n +1)!
.f(n1)( ^0 R n(X)=O n 二瓦x k l j(x) =x k(k =0,1川,n); j :o n ⑵、(X j -x)k l j(x) j卫 n n =為(' C?x j(—x)k_L)l j(x) j =0 i =0 n n i k i i =為C k( -x) (、X j l j(x)) i =0 j=0 又70 _i _n 由上题结论可知 n .原式二''C k(-x)k_L x' i=0 =(X -X)k =0 -得证。 7设f (x) c2 la,b 1且f (a) =f (b)二0,求证: max f(x)兰一(b-a) max a $至小一*丘f (x). 解:令x^a,x^b,以此为插值节点,则线性插值多项式为 L i(x^ f(x o) x x f (xj X o —人x -X o X —X o x-b x-a ==f(a) f(b)- a - b x -a 又T f (a) = f (b)二0 L i(x) = 0 1 插值余项为R(x)二f (x) - L,(x) f (x)(x - X Q)(X - xj 1 f(x) = 2 f (x)(x -X g)(X -xj
清华大学贾仲孝老师高等数值分析报告第二次实验
高等数值分析第二次实验作业
T1.构造例子特征值全部在右半平面时, 观察基本的Arnoldi 方法和GMRES 方法的数值性态, 和相应重新启动算法的收敛性. Answer: (1) 构造特征值均在右半平面的矩阵A : 根据实Schur 分解,构造对角矩阵D 由n 个块形成,每个对角块具有如下形式,对应一对特 征值i i i αβ± i i i i i S αββα-?? = ??? 这样D=diag(S 1,S 2,S 3……S n )矩阵的特征值均分布在右半平面。生成矩阵A=U T AU ,其中U 为 正交阵,则A 矩阵的特征值也均在右半平面。不妨构造A 如下所示: 2211112222 /2/2/2/2N N A n n n n ?-?? ? ? ?- ? = ? ? ? - ? ?? ? 由于选择初值与右端项:x0=zeros(2*N,1);b=ones(2*N,1); 则生成矩阵A 的过程代码如下所示: N=500 %生成A 为2N 阶 A=zeros(2*N); for a=1:N A(2*a-1,2*a-1)=a; A(2*a-1,2*a)=-a; A(2*a,2*a-1)=a; A(2*a,2*a)=a; end U = orth(rand(2*N,2*N)); A1 = U'*A*U; (2) 观察基本的Arnoldi 和GMRES 方法 编写基本的Arnoldi 函数与基本GMRES 函数,具体代码见附录。 function [x,rm,flag]=Arnoldi(A,b,x0,tol,m) function [x,rm,flag]=GMRES(A,b,x0,tol,m) 输入:A 为方程组系数矩阵,b 为右端项,x0为初值,tol 为停机准则,m 为人为限制的最大步数。 输出:x 为方程的解,rm 为残差向量,flag 为解是否收敛的标志。 外程序如下所示: e=1e-6; m=700;
数值分析第四版习题及答案
第四版 数值分析习题 第一章绪论 1.设x>0,x得相对误差为δ,求得误差、 2.设x得相对误差为2%,求得相对误差、 3.下列各数都就是经过四舍五入得到得近似数,即误差限不超过最后一位得半个单位,试指 出它们就是几位有效数字: 4.利用公式(3、3)求下列各近似值得误差限: 其中均为第3题所给得数、 5.计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R时允许得相对误差限就是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到、若取≈27、982(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程得两个根,使它至少具有四位有效数字(≈27、982)、 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形得边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g就是准确得,而对t得测量有±0、1秒得误差,证明当t增加时S得绝对误差增 加,而相对误差却减小、 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程 稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到得结果最好? 13.,求f(30)得值、若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果就是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c得误差分别为证明面积得误差满足 第二章插值法 1.根据(2、2)定义得范德蒙行列式,令 证明就是n次多项式,它得根就是,且 、 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)得二次插值多项式、 3. 4., 研究用线性插值求cos x 近似值时得总误差界、
数值分析试题A卷10.1
中国石油大学(北京)2009--2010学年第一学期 研究生期末考试试题A (闭卷考试) 课程名称:数值分析 注:计算题取小数点后四位 一、填空题(共30分,每空3分) 1、 已知x =是由准确数a 经四舍五入得到的近似值,则x 的绝对误差 界为_______________。 2、数值微分公式()() '()i i i f x h f x f x h +-≈ 的截断误差为 。 3、已知向量T x =,求Householder 变换阵H ,使(2,0)T Hx =-。 H = 。 4、利用三点高斯求积公式 1 1 ()0.5556(0.7746)0.8889(0)0.5556(0.7746)f x dx f f f -≈-++? 导出求积分 4 0()f x dx ?的三点高斯求积公式 。 5、4 2 ()523,[0.1,0.2,0.3,0.4,0.5]_____.f x x x f =+-= 若则 6、以n + 1个互异节点x k ( k =0,1,…,n ),(n >1)为插值节点的 Lagrange 插值基函数为l k (x)( k =0,1,…,n ),则 (0)(1)__________.n k k k l x =+=∑ 7、已知3()P x 是用极小化插值法得到的cos x 在[0,4]上的三次插值多项式,则3()P x 的 截断误差上界为3()cos ()R x x P x =-≤_________.
8、已知向量(3,2,5)T x =-,求Gauss 变换阵L ,使(3,0,0)T Lx =。L =_________. 9、设3 2 ()(7)f x x =-, 给出求方程()0f x =根的二阶收敛的迭代格式_________。 10、下面M 文件是用来求解什么数学问题的________________________. function [x,k]=dd (x0) for k=1:1000 x=cos (x0); if abs(x-x0)<, break end x0=x; end 二、(15分)已知矛盾方程组Ax=b ,其中11120,1211A b ???? ????==???????????? , (1)用施密特正交化方法求矩阵A 的正交分解,即A=QR 。 (2)用此正交分解求矛盾方程组Ax=b 的最小二乘解。 三、(10分)已知求解线性方程组Ax=b 的分量迭代格式 1 (1) (1) ()1 +1 /, 121,,i n k k k i i ij j ij j ii j j i x b a x a x a i n n -++===-- =-∑∑(),, (1)试导出其矩阵迭代格式及迭代矩阵; (2)若11a A a ?? = ??? ,推导上述迭代格式收敛的充分必要条件。 四、(15分)(1)证明对任何初值0x R ∈,由迭代公式11 1sin ,0,1,2, (2) k k x x k +=+ = 所产生的序列{}0k k x ∞ =都收敛于方程1 1sin 2 x x =+ 的根。 (2)迭代公式11 21sin ,0,1,2, (2) k k k x x x k +=-- =是否收敛。 五、(15分)用最小二乘法确定一条经过原点(0,0)的二次曲线,使之拟合下列数据
数值分析期末试题
数值分析期末试题 一、填空题(20102=?分) (1)设??? ? ? ??? ??---=28 3 012 251A ,则=∞ A ______13_______。 (2)对于方程组?? ?=-=-3 4101522121x x x x ,Jacobi 迭代法的迭代矩阵是=J B ?? ? ? ??05.25.20。 (3)3*x 的相对误差约是*x 的相对误差的 3 1倍。 (4)求方程)(x f x =根的牛顿迭代公式是) ('1)(1n n n n n x f x f x x x +-- =+。 (5)设1)(3 -+=x x x f ,则差商=]3,2,1,0[f 1 。 (6)设n n ?矩阵G 的特征值是n λλλ,,,21 ,则矩阵G 的谱半径=)(G ρi n i λ≤≤1max 。 (7)已知?? ? ? ??=1021 A ,则条件数=∞ )(A Cond 9 (8)为了提高数值计算精度,当正数x 充分大时,应将)1ln(2 -- x x 改写为 )1ln(2 ++ -x x 。 (9)n 个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为1-n 次。 (10)拟合三点))(,(11x f x ,))(,(22x f x ,))(,(33x f x 的水平直线是)(3 1 3 1 ∑== i i x f y 。 二、(10分)证明:方程组? ?? ??=-+=++=+-1 211 2321321321x x x x x x x x x 使用Jacobi 迭代法求解不收敛性。 证明:Jacobi 迭代法的迭代矩阵为 ???? ? ?????---=05 .05 .01015.05.00J B J B 的特征多项式为
数值分析期末试题
一、(8分)用列主元素消去法解下列方程组: ??? ??=++-=+--=+-11 2123454 321321321x x x x x x x x x 二、(10分)依据下列数据构造插值多项式:y(0)=1,y(1)= —2,y '(0)=1, y '(1)=—4 三、(12分)分别用梯形公式和辛普生公式构造 复化的梯形公式、复化的辛普生公式并利用复化的梯形公式、复化的辛普生公式计算下列积分: ? 9 1dx x n=4 四、(10分)证明对任意参数t ,下列龙格-库塔方法是二阶的。 五、(14分)用牛顿法构造求c 公式,并利用牛顿法求115。保留有效数字五位。 六、(10分)方程组AX=B 其中A=????????? ?10101a a a a 试就AX=B 建立雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法,并讨论a 取何值时 迭代收斂。 七、(10分)试确定常数A,B,C,a,使得数值积分公式?-++-≈2 2 ) (}0{)()(a Cf Bf a Af dx x f 有尽可能多的 代数精确度。并求该公式的代数精确度。 八、{6分} 证明: A ≤ 其中A 为矩阵,V 为向量. 第二套 一、(8分)用列主元素消去法解下列方程组: ??? ??=++=+-=+3 2221 43321 32132x x x x x x x x 二、(12分)依据下列数据构造插值多项式:y(0)=y '(0)=0, y(1)=y '(1)= 1,y(2)=1 三、(14分)分别用梯形公式和辛普生公式构造 复化的梯形公式、复化的辛普生公式,并利用复化的梯形公式、 复化的辛普生公式及其下表计算下列积分: ?2 /0 sin πxdx ????? ? ? -+-+=++==++=+1 3121231)1(,)1(() ,(),()(2 hk t y h t x f k thk y th x f k y x f k k k h y y n n n n n n n n
数值分析整理版试题及复习资料
例1、 已知函数表 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解: (1) 插值基函数分别为 ()()()()()()()()()() 1200102121()1211126 x x x x x x l x x x x x x x ----= ==-------- ()()()()()()()() ()()021******* ()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+---+- ()()()()()()()()()()0122021111 ()1121213 x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+--+- 故所求二次拉格朗日插值多项式为 () ()()()()()()()()()()2 20 2()11131201241162314 121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==?? =-? --+?-+-+?+-????=---++-=+-∑ (2)一阶均差、二阶均差分别为
[]()()[]()()[][][]010********* 011201202303 ,11204 ,412 3 4,,5 2,,126 f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----= = =----=== --- 故所求Newton 二次插值多项式为 ()()[]()[]()() ()()()20010012012,,,35 311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-+ +++-=+- 例2、 设2 ()32f x x x =++,[0,1]x ∈,试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=,{} span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。 解: 若{}span 1,x Φ=,则0()1x ?=,1()x x ?=,且()1x ρ=,这样,有 ()()()()()()()()1 1 200110 1 1 2011000 1 210 1 ,11, ,3 1 23 ,,, ,3226 9,324 dx x dx xdx f x x dx f x x x dx ??????????==== ====++= =++= ????? 所以,法方程为 011231261192 34a a ??????????=?????????? ?????????? ,经过消元得012311 62110123a a ??? ???????=???????????????????? 再回代解该方程,得到14a =,011 6a =
数值分析试题及答案
数值分析试题 一、 填空题(2 0×2′) 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值,则x 有 2 位有效数字。 2. 若f (x )=x 7-x 3+1,则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 , f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设,‖A ‖∞=___5 ____,‖X ‖∞=__ 3_____, ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ,则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时,若所求节点靠近首节点,应该选用等距节点下牛顿差 商公式的 前插公式 ,若所求节点靠近尾节点,应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ;如果要估计结果的舍入误差,应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是:=∑=n i i x a 0)( 1 ;所以 当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ,计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%,至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ,线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…) 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。
清华大学高等数值计算(李津)实践题目二(SVD计算及图像压缩)(包含matlab代码)
第1部分 方法介绍 奇异值分解(SVD )定理: 设m n A R ?∈,则存在正交矩阵m m V R ?∈和n n U R ?∈,使得 T O A V U O O ∑??=?? ?? 其中12(,, ,)r diag σσσ∑=,而且120r σσσ≥≥≥>,(1,2, ,)i i r σ=称为A 的 奇异值,V 的第i 列称为A 的左奇异向量,U 的第i 列称为A 的右奇异向量。 注:不失一般性,可以假设m n ≥,(对于m n <的情况,可以先对A 转置,然后进行SVD 分解,最后对所得的SVD 分解式进行转置,就可以得到原来的SVD 分解式) 方法1:传统的SVD 算法 主要思想: 设()m n A R m n ?∈≥,先将A 二对角化,即构造正交矩阵1U 和1V 使得 110T B n U AV m n ?? =?? -?? 其中1200n n B δγγδ??? ???=?????? 然后,对三角矩阵T T B B =进行带Wilkinson 位移的对称QR 迭代得到:T B P BQ =。 当某个0i γ=时,B 具有形状12B O B O B ?? =? ??? ,此时可以将B 的奇异值问题分解为两个低阶二对角阵的奇异值分解问题;而当某个0i δ=时,可以适当选取'Given s 变换,使得第i 行元素全为零的二对角阵,因此,此时也可以将B 约化为两个低 阶二对角阵的奇异值分解问题。 在实际计算时,当i B δε∞≤或者() 1j j j γεδδ-≤+(这里ε是一个略大于机器精度的正数)时,就将i δ或者i γ视作零,就可以将B 分解为两个低阶二对角阵的奇异值分解问题。
数值分析课后习题答案
第一章 题12 给定节点01x =-,11x =,23x =,34x =,试分别对下列函数导出拉格朗日插值余项: (1) (1) 3 ()432f x x x =-+ (2) (2) 4 3 ()2f x x x =- 解 (1)(4) ()0f x =, 由拉格朗日插值余项得(4)0123() ()()()()()()0 4!f f x p x x x x x x x x x ξ-=----=; (2)(4) ()4!f x = 由拉格朗日插值余项得 01234! ()()()()()() 4! f x p x x x x x x x x x -= ----(1)(1)(3)(4)x x x x =+---. 题15 证明:对于()f x 以0x ,1x 为节点的一次插值多项式()p x ,插值误差 012 10()()()max () 8x x x x x f x p x f x ≤≤-''-≤. 证 由拉格朗日插值余项得 01() ()()()()2!f f x p x x x x x ξ''-= --,其中01x x ξ≤≤, 01 0101max ()()()()()()()() 2!2!x x x f x f f x p x x x x x x x x x ξ≤≤''''-=--≤-- 01210()max () 8x x x x x f x ≤≤-''≤. 题22 采用下列方法构造满足条件(0)(0)0p p '==,(1)(1)1p p '==的插值多项式 ()p x : (1) (1) 用待定系数法; (2) (2) 利用承袭性,先考察插值条件(0)(0)0p p '==,(1)1p =的插值多项式 ()p x . 解 (1)有四个插值条件,故设230123()p x a a x a x a x =+++,2 123()23p x a a x a x '=++, 代入得方程组001231123010231 a a a a a a a a a =? ?+++=?? =? ?++=? 解之,得01230 021 a a a a =??=?? =??=-?
2019年数值分析第二学期期末考试试题与答案A
卷)期末考试试卷(A2007学年第二学期考试科目:数值分析分钟考试时间:120 年级专业学号姓 名 题号一2二三0四总分 分)分,共10一、判断题(每小题210001?n)( 1. 用计算机求时,应按照从小到大的顺序相加。1000n1n?219992001?为了减少误差2. ,应将表达式进行计算。(改写为)19992001?) ( 3. 用数值微分公式中求导数值时,步长越小计算就越精确。) 4. 采用龙格-库塔法求解常微分方程的初值问题时,公式阶数越高,数值解越精确。(系数矩阵及其演变方式有用迭代法解线性方程组时,5. 迭代能否收敛与初始向量的选择、) (关,与常数项无关。 分)二、填空题(每空2分,共36_________. ________,相对误差限为已知数a的有效数为0.01,则它的绝对误差限为1. 0?110??????????xA?Ax,0?21,x??5A?_____. 则设______,_____,2. ????21?????1?130????53f(x)?2x?4x?5x,f[?1,1,0]?f[?3,?2,?1,1,2,3]? 3. 已知则, . 331?)?Af(0)?Af(f(x)dx?Af(?)的代数精度尽量高,应使4. 为使求积公式321331?A?A?A?,此时公式具有,,次的代数精度。312 ?nA)(A的关系是 5. A阶方阵的谱半径与它的任意一种范数. (k?1)(k)BAX??N(k?XMX?0,1,2,)产时,使迭代公式用迭代法解线性方程组6. ??)k(X . 生的向量序列收敛的充分必要条件是
AX?BAL和上三角矩7. 使用消元法解线性方程组系数矩阵时,可以分解为下三角矩阵1 4?2??BAX?.A?LUU?A,则阵若采用高斯消元法解的乘积,即,其中??21??L?U?AX?B,则,______________;若使用克劳特消元法解_______________u?lu BAX?的大小关系为_____(选填:则____;若使用平方根方法解>与,,111111<,=,不一定)。 ??x?yy?8. 以步长为1的二阶泰勒级数法求解初值问题的数值解,其迭代公式为 ?y(0)?1?___________________________. 三、计算题(第1~3、6小题每题8分,第4、5小题每题7分,共46分) 32?x01??3x?xf(x)?2)(1, 1.在区间为初值用牛顿迭代法求方程内的根,要求以0证明用牛顿法解此方程是收敛的;(1),xx,计算结果(2)给出用牛顿法解此方程的迭代公式,并求出这个根(只需计算21位)。取到小数点后4 2 2.给定线性方程组 x?0.4x?0.4x?1?312?0.4x?x?0.8x?2?321?0.4x?0.8x?x?3?312(1)分别写出用Jacobi和 Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组的迭代公式; (2)试分析以上两种迭代方法的敛散性。
数值分析试题及答案汇总
数值分析试题及答案汇 总 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
数值分析试题 一、填空题(2 0×2′) 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值,则x 有 2 位有效数字。 2. 若f (x )=x 7-x 3+1,则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 , f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设,‖A ‖∞=___5 ____,‖X ‖∞=__ 3_____, ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =(x )在有解区间满足 |’(x )| <1 ,则使用该迭代函数 的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时,若所求节点靠近首节点,应该选用等距节点下牛顿差 商公式的 前插公式 ,若所求节点靠近尾节点,应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ;如果要估计结果的舍入误差,应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是:=∑=n i i x a 0)( 1 ;所以当系数 a i (x )满足 a i (x )>1 ,计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%,至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ,线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…) 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 (B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。