2018海淀区高三理科数学二模试题及答案
海淀区高三年级第二学期期末练习
数学（理科）2018.5
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项．
（1）已知全集集合，则= （A）（B）（C）（D）
（2）已知复数在复平面上对应的点为，则
（A）是实数（B）是纯虚数
（C）是实数（D）是纯虚数
（3）已知，则
（A）（B）
（C）（D）
（4）若直线是圆的一条对称轴，则的值为（A）（B）（C）（D）
（5）设曲线是双曲线，则“的方程为”是“的渐近线方程为”
的
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
（6）关于函数，下列说法错误的是
（A）是奇函数
（B）不是的极值点
（C）在上有且仅有个零点
（D）的值域是
（7） 已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是
（A ）求首项为1，公比为2的等比数列的前2017项的和 （B ）求首项为1，公比为2的等比数列的前2018项的和 （C ）求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和 （D ）求首项为1，公比为4的等比数列的前1010项的和
（8）已知集合
，集合满足
① 每个集合都恰有个元素 ② ．
集合中元素的最大值与最小值之和称为集合
的特征数，记为（），
则
的值不可能为（ ）． （A ）
（B ）
（C ）
（D ）
第二部分 （非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）极坐标系中，点到直线
的距离为________. （10）在
的二项展开式中，
的系数为 . （11）已知平面向量，的夹角为
，且满足
，
，则
，
.
（12）在
中，
，则 . （13）能够使得命题“曲线上存在四个点
，
，
，
满足四边
形
是正方形”为真命题的一个实数的值为 .
（14）如图，棱长为2的正方体中，
是
棱的中点，点
在侧面
内，若
垂直于
，则的面积的最小值为_________.
开始S = 0，n = 1
S = S + 2n - 1n = n + 2
n > 2018输出 S 结束
是
否
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
M
P
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题13分）
如图，已知函数
在一个周期内的图象经过
，
，
三点． （Ⅰ）写出，
，
的值； （Ⅱ）若
，且
，求
的值．
16. （本小题共13分）
某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩．记录的数据如下：
1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 10号 第一轮测试成绩 96 89 88 88 92 90 87 90 92 90 第二轮测试成绩
9
96
92
89
92
(Ⅰ)从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率； (Ⅱ)从考核成绩大于等于90分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分的概率；
(Ⅲ)记抽取的10名学生第一轮测试成绩的平均数和方差分别为，
，考核成绩的平均
数和方差分别为
，
，试比较
与
，
与
的大小. （只需写出结论）
17. （本小题共14分）
如图，在三棱柱中，，
⊥
平面，
，
，
分别是
，
的
中点． （Ⅰ）证明：
（Ⅱ）证明：平面；
（Ⅲ）求
与平面
所成角的正弦值.
x
y
D
C
B O A
C 1A 1
C
B 1
B
D
E
18. （本小题共14分）
已知椭圆：，为右焦点，圆：，为椭圆上一点
，且位于第一象限，过点作与圆相切于点，使得点，在两侧. （Ⅰ）求椭圆的焦距及离心率;
（Ⅱ）求四边形面积的最大值.
19. （本小题共13分）
已知函数（）
（Ⅰ）求的极值；
（Ⅱ）当时，设.求证：曲线存在两条斜率为
且不重合的切线.
20. （本小题共13分）
如果数列满足“对任意正整数，，都存在正整数，使得”，则称数列具有“性质P”.已知数列是无穷项的等差数列，公差为.
（Ⅰ）若，公差，判断数列是否具有“性质P”，并说明理由；
（Ⅱ）若数列具有“性质P”，求证：且；
（Ⅲ）若数列具有“性质P”，且存在正整数，使得，这样的数列共有
多少个？并说明理由
海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案及评分标准
数学（理科）2018.5
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项．
1 2 3 4 5 6 7 8
B C D B A C C A
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
（9）1 （10）10
（11）1；（12）
（13）答案不唯一，或的任意实数（14）
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
（15）（本小题13分）
解：（Ⅰ），，．·····································································7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，．
因为，所以．·········································· 8分
因为，所以． ································· 9分
所以， ··································································· 11分
所以， ········································································· 12分
所以．····················································· 13分16. （本小题共13分）
解：（Ⅰ）这10名学生的考核成绩（单位：分）分别为：
93，89.5，89，88，90，88.5，91.5，91，90.5，91．
其中大于等于90分的有1号、5号、7号、8号、9号、10号，共6人. ·········· 1分
所以样本中学生考核成绩大于等于90分的频率为：
， ································································3分从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率为0 .6. ··································································································································4分
（Ⅱ）设事件：从上述考核成绩大于等于90分的学生中再随机抽取两名同学，这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分. ························································ 5分
由（Ⅰ）知，上述考核成绩大于等于90分的学生共6人，其中两轮测试成绩均大于等于90分的学生有1号，8号，10号，共3人. ······················································ 6分
所以，. ························································· 9分（Ⅲ），. ··································································· 13分
17. （本小题共14分）
解：（Ⅰ）因为⊥平面，平面，
所以． ········································································· 1分
因为，，，平面，
所以平面． ······························································ 3分
因为平面，
所以．······································································· 4分（Ⅱ）法一：取的中点，连接、．
因为、分别是、的中点，
所以ME∥，且ME．·················································· 5分
在三棱柱中，，且，
所以ME∥AD，且ME=AD，
所以四边形ADEM是平行四边形，················6分
所以DE∥AM． ········································7分
又平面，平面，
所以平面． ··························9分
注：与此法类似，还可取AB的中点M，连接MD、MB1．
法二：取AB的中点，连接、．
因为D、分别是AC、AB的中点，
所以MD∥BC，且MD BC． ···················5分
在三棱柱中，，且，所以MD∥B1E，且MD=B1E，
A
C
1
A
1
B
1
B
D
E
M
A
C
1
A
1
B
1
D
E
M
A
C 1
A 1
C
B 1
B
D
E y
x
z
所以四边形B 1E DM 是平行四边形， ·············· 6分 所以DE ∥MB 1． ······································· 7分 又平面，
平面
，
所以平面． ·························· 9分 法三：取的中点
，连接
、
．
因为、分别是
、
的中点，
所以，． ···································································· 5分
在三棱柱中，，
，
因为
、
分别是
和
的中点， 所以，，
，
所以，四边形是平行四边形， ··········· 6分 所以，． ··································· 7分
又因为，
，
,
平面MDE ，BB 1,平面
，
所以，平面平面
． ·············· 8分
因为，平面，
所以，平面
． ······················· 9分 （Ⅲ）在三棱柱中，
，
因为，所以． 在平面内，过点作，
因为，平面，
所以，
平面
． ··························· 10分
建立空间直角坐标系C -xyz ，如图．则
,
,
,,
,
，
，
． ···························· 11分
设平面
的法向量为
，则 ，即
，
得
，令
，得
，故． ····························· 12分 设直线DE 与平面所成的角为θ，
则sin θ＝
，
A
C 1
A 1
B 1
B D E
M
x
y
T
F
O
P
所以直线与平面所成角的正弦值为. ·························· 14分
18. （本小题共14分） 解：（Ⅰ）在椭圆
：
中，
，
，
所以， ····························································· 2分
故椭圆的焦距为
， ······················································ 3分
离心率． ··································································· 5分 （Ⅱ）法一：设（
，
），
则，故． ·················· 6分
所以，
所以
， ·································· 8分
． ··········· 9分
又，，故． ···················· 10分 因此
································ 11分
．
由，得，即，
所以， ·········································· 13分
当且仅当，即
，时等号成立. ················· 14分
（Ⅱ）法二：设（
）， ······································ 6分
则，
所以
， ································································ 8分
． ········································· 9分
又，，故． ················ 10分 因此
························· 11分
，·········································· 13分当且仅当时，即，时等号成立．···················· 14分
19. （本小题共13分）
解：（Ⅰ）法一：，················· 1分令，得．······························································ 2分
①当时，与符号相同，
当变化时，，的变化情况如下表：
↘极小↗································································································ 4分
②当时，与符号相反，
当变化时，，的变化情况如下表：
↘极小↗································································································ 6分综上，在处取得极小值. ·································· 7分
法二：， ····························· 1分令，得．······························································ 2分令，则， ······································· 3分易知，故是上的增函数，
即是上的增函数． ················································· 4分所以，当变化时，，的变化情况如下表：
↘极小↗
因此，在处取得极小值. ·································· 7分（Ⅱ）， ····································· 8分故． ······················································· 9分注意到，，，
所以，，，使得．
因此，曲线在点，处的切线斜率均为.
································································································ 11分
下面，只需证明曲线在点，处的切线不重合.
法一：曲线在点（）处的切线方程为，即．假设曲线在点（）处的切线重合，则．·································· 12分
法二：假设曲线在点(，)处的切线重合，则，整理得：． ····························· 12分法一：由，得，则
．
因为，故由可得．
而，，于是有，矛盾！
法二：令，则，且.
由（Ⅰ）知，当时，，故．
所以，在区间上单调递减，于是有，矛盾！
因此，曲线在点()处的切线不重合．········· 13分
20. （本小题13分）
解：（Ⅰ）若，公差，则数列不具有性质． ···················· 1分理由如下：
由题知，对于和，假设存在正整数k，使得，则有，解得，矛盾！所以对任意的，．··· 3分（Ⅱ）若数列具有“性质P”，则
①假设，，则对任意的，.
设，则，矛盾！ ·············································· 4分
②假设，，则存在正整数，使得
设，，，…，，，，则，但数列中仅有项小于等于0，矛盾！···························································································· 6分
③假设，，则存在正整数，使得
设，，，…，，
，，则，但数列中仅有项大于等于0，矛盾！ ·············································································· 8分综上，，．
（Ⅲ）设公差为的等差数列具有“性质P”，且存在正整数，使得．若，则为常数数列，此时恒成立，故对任意的正整数，