第一讲 线性规划基本原理

简单的线性规划第一课时习题(有答案)

第三章不等式 3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划 3.3.2简单的线性规划 测试题 知识点一：简单的线性规划 1．(2013·XX 高考)若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值是() A ．－6 B ．－2 C ．0 D ．2 2．目标函数z ＝2x －y ，将其看成直线方程时，z 的意义是() A ．该直线在坐标轴上的距离 B ．该直线在y 轴上的截距 C ．该直线在y 轴上的截距的相反数 D ．该直线在x 轴上的截距 3．(2013·高考)设D 为不等式组??? x ≥0， 2x －y ≤0， x ＋y －3≤0， 表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0) 之间的距离的最小值为________． 4．已知变量x 、y 满足约束条件??? y ≤x x ＋y ≥2 y ≥3x －6 ，求目标函数z ＝2x ＋y 的最大值． 5．图3－5－3中阴影部分的点满足不等式组??? x ＋y ≤5， 2x ＋y ≤6， x ≥0，y ≥0， 在这些点中，使目标函数 z ＝6x ＋8y 取得最大值的点的坐标是()

图3－5－3 A ．(0,5) B ．(1,4) C ．(2,4) D ．(1,5) 6．(2013·XX 高考)若变量x ，y 满足约束条件??? y ≤2x ， x ＋y ≤1， y ≥－1， 则x ＋2y 的最大值是() A ．－5 2 B ．0 C.5 3 D.52 7．(2014·荆州高二检测)点P (2，t )在不等式组??? x －y －4≤0， x ＋y －3≤0表示的平面区域内，则点 P (2，t )到直线3x ＋4y ＋10＝0距离的最大值为() A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 8．已知x ，y 满足约束条件??? x －2≤0， y －1≤0， x ＋2y －2≥0， 则z ＝x －y 的取值X 围为() A ．[－2，－1] B ．[－2,1] C ．[－1,2] D ．[1,2] 9．某厂拟用集装箱托运甲，乙两种货物，集装箱的体积、质量、可获利润和托运能力限制等数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各被托运的箱数为() 货物 体积/箱(m 3) 质量/箱(50 kg) 利润/箱(百元) 甲 5 2 20 乙 4 5 10

考虑如下线性规划问题

考虑如下线性规划问题： Min z=60 x+402x+803x 1 . 3 x+22x+3x≥2 1 4 x+2x+33x≥4 1 2 x+22x+23x≥3 1 x,2x,3x≥0 1 要求：（1）写出其对偶问题； （2）用对偶单纯形法求解原问题； （3）用单纯形法求解其对偶问题； （4）对比（2）与（3）中每步计算得到的结果。 解：(1)设对应于上述约束条件的对偶变量分别为 y,2y,3y；则 1 由原问题和对偶问题，可以直接写出对偶问题为： Max Z’=2 y+42y+33y 1 3 y+42y+23y≤60 1 2 y+2y+23y≤40 1 y+32y+23y≤80 1 y,2y,3y≥0 1 (2)用对偶单纯形法求解原问题（添加松弛变量 x,5x,6x） 4 MaxZ= -60 x-402x-803x+04x+05x+06x 1 -3 x-22x-3x+4x=-2 1 -4 x-2x-33x+5x=-4 1 -2 x-22x-23x+6x=-3 1

1x ,2x ,3x ≥0 建立此问题的初始单纯形表，可见： 从表中可以看到，检验数行对应的对偶问题的解是可行解。因b 列数字为负，故需进行迭代运算。 换出变量的确定，计算min （-2，-4，-3）=-4，故5x 为换出变量。 换入变量的确定，计算得15,40，80/3,故1x 为换入变量。

由表可知，6x 为换出变量。2x 为换入变量。然后继续画单纯形表： 可得4x 为换出变量，3x 为换入变量。继续做单纯形表：

所以此问题的最优解为X=（11/10,19/30，1/10），此对偶问题的最优解为Y=（16,12,30），原问题的最小值为118/3. （3）MaxZ ’=21y +42y +33y +04y +05y +06y 31y +42y +23y +4y =60 21y +2 y +23y +5y =40 1y +32y +23y +6y =80 1y ,2y ,3y ,4y ,5y ,6y ≥0 然后建立单纯形表，可得 i

线性规划典型例题

例1：生产计划问题 某工厂明年根据合同，每个季度末向销售公司提供产品，有关信息如下表。若当季生产的产品过多，季末有积余，则一个季度每积压一吨产品需支付存贮费O.2万元。现该厂考虑明年的最佳生产方案，使该厂在完成合同的情况下，全年的生产费用最低。试建立模型。 解： 法1 设每个季度分别生产x1,x2,x3,x4 则要满足每个季度的需求x4≥26 x1+ x2≥40 x1+ x2+ x3≥70 x1+ x2+ x3+ x4=80 考虑到每个季度的生产能力 0≤x1≤30 0≤x2≤40 0≤x3≤20 0≤x4≤10 每个季度的费用为：此季度生产费用+上季度储存费用 第一季度15.0x1 第二季度14 x2 0.2(x1-20) 第三季度15.3x3+0.2(x1+ x2-40) 第四季度14.8x4+0.2(x1+ x2+ x3-70)

工厂一年的费用即为这四个季度费用之和, 得目标函数；minf=15.6 x1+14.4 x2+15.5 x3+14.8 x4-26 s.t．x1+ x2≥40 x1+ x2+ x3≥70 x1+ x2+ x3+ x4=80 20≤x1≤30 0≤x2≤40 0≤x3≤20 0≤x4≤10。 法2：设第i季度生产而用于第j季度末交货的产品数量为xij吨 根据合同要求有： xll=20 x12+x22=20 x13+x23+x33=30 x14+x24+x34+x44=10 又根据每季度的生产能力有： xll+x12+x13+x14≤30 x22+x23+x24≤40 x33+x34≤20 x44≤10 第i季度生产的用于第j季度交货的每吨产品的费用cij=dj+0.2(j-i)，于是，有线性规划模型。 minf=15.Oxll+15.2x12+15.4xl3+15.6xl4+14x22+14.2x23+14.4x24+15.3 x33+15.5x34+14.8x44 s．t． xll=20， x12+x22=20， x13+x23+x13=30， x14+x24+x34+x44=10， x1l+x12+x13+x14≤30， x22+x23+x24≤40， x33+x34≤20，

考虑如下线性规划问题

考虑如下线性规划问题

考虑如下线性规划问题： Min z=60 x+402x+803x 1 s.t. 3 x+22x+3x≥2 1 4 x+2x+33x≥4 1 2 x+22x+23x≥3 1 x,2x,3x≥0 1 要求：（1）写出其对偶问题； （2）用对偶单纯形法求解原问题； （3）用单纯形法求解其对偶问题； （4）对比（2）与（3）中每步计算得到的结果。 解：(1)设对应于上述约束条件的对偶变量分别为 y,2y,3y；则由原问 1 题和对偶问题，可以直接写出对偶问题为： Max Z’=2 y+42y+33y 1 s.t 3 y+42y+23y≤60 1 2 y+2y+23y≤40 1 y+32y+23y≤80 1 y,2y,3y≥0 1 (2)用对偶单纯形法求解原问题（添加松弛变量 x,5x,6x） 4 MaxZ= -60 x-402x-803x+04x+05x+06x 1 s.t -3 x-22x-3x+4x=-2 1 -4 x-2x-33x+5x=-4 1 -2 x-22x-23x+6x=-3 1

x,2x,3x≥0 1 建立此问题的初始单纯形表，可见： 从表中可以看到，检验数行对应的对偶问题的解是可行解。因b列数字为负，故需进行迭代运算。 换出变量的确定，计算min（-2，-4，-3）=-4，故 x为换出变量。 5 换入变量的确定，计算得15,40，80/3,故 x为换入变量。 1 由表可知， x为换出变量。2x为换入变量。然后继续画单纯形表： 6

可得 x为换出变量，3x为换入变量。继续做单纯形表： 4 所以此问题的最优解为X=（11/10,19/30，1/10），此对偶问题的最优解为Y=（16,12,30），原问题的最小值为118/3. （3）MaxZ’=2 y+42y+33y+04y+05y+06y 1 s.t 3 y+42y+23y+4y=60 1 2 y+2y+23y+5y=40 1 y+32y+23y+6y=80 1 y,2y,3y,4y,5y,6y≥0 1 然后建立单纯形表，可得

线性规划在运输问题中的应用

线性规划在运输问题中的应用 【摘要】用运筹学的思想探讨运筹学课程的教学方法。运筹学中的指派问题、最短路问题，最小费用流问题可转化为运输问题或转运问题，从而可以统筹安排这些教学内容，为提高教学效果，减少教学时间找出更优的教学方法。 【关键词】运输问题；转运问题；运筹学；线性规划；教学方法 引言： 随着我国国民经济的不断发展，企业之间的交易活动更加频繁,同地区、不同地区、甚至跨国的交易活动也不断发生，运输则成为交易的活动重点了。交通运输作为国民经济的一个重要部门，作为人类进步、社会发展的一个重要推动力，其发展模式正在对环境产生越来越重要的影响。传统的运输方式已经不能满足环境保护、经济发展以及交通运输本身发展的需求，探寻与环境、资源条件相适应的运输是非常重要的一个问题。人们在运输方面趋利避害建立更好的运输方法，让交通运输的方法达到一个更高的水平。 1．线性规划简介 线性规划法是解决多变量最优决策的方法，是在各种相互关联的多变量约束条件下，解决或规划一个对象的线性目标函数最优的问题，即给与一定数量的人力、物力和资源，如何应用而能得到最大经济效益。当资源限制或约束条件表现为线性等式或不等式，目标函数表示为线性函数时，可运用线性规划法进行决策。线性规划法就是在线性等式或不等式的约束条件下，求解线性目标函数的最大值或最小值的方法。其中目标函数是决策者要求达到目标的数学表达式，用一个极大或极小值表示。约束条件是指实现目标的能力资源和内部条件的限制因素，用一组等式或不等式来表示。线性规划是决策系统的静态最优化数学规划方法之一。它作为经营管理决策中的数学手段，在现代决策中的应用是非常广泛的，它可以用来解决科学研究、工程设计、生产安排、军事指挥、经济规划；经营管理等各方面提出的大量问题。 最近几年，我国物流产业快速发展，形成了物流热。在物流作业的管理活动中，有着大量的规划问题，物资的合理调运就是其中一个比较重要的问题。求物资调运的最优调运方案，就是要在满足各种资源限制的条件下，找到使运输总费用最小的调运方案。 2.线性规划在运输中的应用 在现实的生产经营、商品销售、经济建设和物资管理过程中，常常会遇到各类物资的分配和调运问题，即将各种生产资料或生活资料消耗品从供给基地调运到需求基地，这里就需要如何根据现有条件科学、合理的安排调运方案，提高运输经济效益。这就是属于线性规划中网络配送的以最小的成本完成货物的运输问题。运输问题就是讨论有关物资调运的问题，即将数量和单位运价都给定的某种物资从供应站运送到消费站，要求在供给和需求平衡的同时，制定出流量与流向，使总运输成本最低。运输问题是特殊的线性规划问题，根据问题的要求，建立数学模型，用表上作业法或线性规划软件求解，即可得出最佳的调运方案，取得了较好的经济效益。在运输问题中，确定的需求限制占据着重要的地位，即必须确定需求以及相应地确定需求的约束条件。 3.运输问题的特征 运输问题关心的是以最低的总配送成本把供应中心（出发地）的任何产品运送到每一个接收中心（目的地）。每一个出发地都有一定供应量配送到目的地，每一个目的地都需要一定的需求量。运输问题在供应量和需求量两方面都做出了如下的假设：需求假设。每一个出发地都有一个固定的供应量，所有的供应量都必须配送到目的地。与之类似，每一个目的地都有

128499-管理运筹学-第二章线性规划-习题

11（2），12,14,18 习题 2-1 判断下列说法是否正确： （1） 任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题； T （2） 对偶问题的对偶问题一定是原问题；T （3） 根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之， 当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解；F （4） 若线性规划的原问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定具有无穷多最优 解； （5） 若线性规划问题中的b i ，c j 值同时发生变化，反映到最终单纯形表中，不会出 现原问题与对偶问题均为非可行解的情况； （6） 应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量x i <0，又x i 所在行的元素全 部大于或等于零，则可以判断其对偶问题具有无界解。 （7） 若某种资源的影子价格等于k ，在其他条件不变的情况下，当该种资源增加 5个单位时，相应的目标函数值将增大5k ； （8） 已知y i 为线性规划的对偶问题的最优解，若y i >0，说明在最优生产计划中第 i 种资源已经完全耗尽；若y i =0，说明在最优生产计划中的第i 种资源一定有剩余。 2-2将下述线性规划问题化成标准形式。 ????? ? ?≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=无约束 43 214321432143214321,0,,232142224.5243max )1(x x x x x x x x x x x x x x x x st x x x x z 2-3分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基 可行解对应图解法中可行()?????≥≤≤-+-=++-+-=无约束 321 3213213 21,0,06 24 .322min 2x x x x x x x x x st x x x z 域的哪一顶点。 ()??? ??≥≤+≤++=0,8259 43.510max 12 1212121x x x x x x st x x z ()??? ??≥≤+≤++=0,242615 53.2max 22 121212 1x x x x x x st x x z 2-4已知线性规划问题，写出其对偶问题： 5 43212520202410max x x x x x z ++++=

lingo解决线性规划问题的程序

Lingo12软件培训教案 Lingo 主要用于求解线性规划，整数规划，非线性规划，V10以上版本可编程。 例1 一个简单的线性规划问题 0 , 600 2 100 350 st. 3 2max >=<=+=<<=++=y x y x x y x y x z ! 源程序 max = 2*x+3*y; [st_1] x+y<350; [st_2] x<100; 2*x+y<600; !决策变量黙认为非负; <相当于<=; 大小写不区分 当规划问题的规模很大时，需要定义数组(或称为矩阵)，以及下标集(set) 下面定义下标集和对应数组的三种方法，效果相同:：r1 = r2 = r3, a = b = c. sets : r1/1..3/:a; r2 : b; r3 : c; link2(r1,r2): x; link3(r1,r2,r3): y; endsets data : ALPHA = ; a=11 12 13 ; r2 = 1..3; b = 11 12 13; c = 11 12 13; enddata

例2 运输问题 解： 设决策变量ij x = 第i 个发点到第j 个售点的运货量，i =1,2,…m; j =1,2,…n; 记为ij c =第i 个发点到第j 个售点的运输单价，i =1,2,…m; j =1,2,…n 记i s =第i 个发点的产量， i =1,2,…m; 记j d =第j 个售点的需求量， j =1,2,…n. 其中，m = 6; n = 8. 设目标函数为总成本，约束条件为（1）产量约束；（2）需求约束。 于是形成如下规划问题： n j m i x n j d x m i s x x c ij j n i ij i m j ij m i n j ij ij ,...,2,1,,...,2,1,0 ,...,2,1, ,...,2,1, st. z min 11 11==>=<==<==∑∑∑∑==== 把上述程序翻译成LINGO 语言，编制程序如下： ! 源程序

(完整版)简单的线性规划问题(附答案)

简单的线性规划问题 [ 学习目标 ] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念 .2. 了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题． 知识点一线性规划中的基本概念 知识点二线性规划问题 1．目标函数的最值 线性目标函数 z＝ax＋by (b≠0)对应的斜截式直线方程是 y＝－a x＋z，在 y 轴上的 截距是z， b b b 当 z 变化时，方程表示一组互相平行的直线． 当 b>0，截距最大时， z 取得最大值，截距最小时， z 取得最小值； 当 b<0，截距最大时， z 取得最小值，截距最小时， z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即， (1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点 (或边界 )便是最优解． (3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案．

知识点三简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型 (1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大； (2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有： ①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？ ②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C 三种 材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？ ③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？2．解答线性规划实际应用题的步骤 (1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法． (2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解． (3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案． 题型一求线性目标函数的最值 y≤2， 例 1 已知变量 x，y 满足约束条件 x＋y≥1，则 z＝3x＋y 的最大值为 ( ) x－y≤1， A ． 12 B ．11 C ．3 D ．－ 1 答案 B 解析首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点 的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y＝－3x＋z 经 y＝2，x＝ 3，

人教新课标版数学高二必修五练习3.3.1简单线性规划(第一课时)

1．已知点(－1,2)和(3，－3)在直线3x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,6) B ．(－6,1) C ．(－∞，－1)∪(6，＋∞) D ．(－∞，－6)∪(1，＋∞) 解析：依题意得[3×(－1)＋2－a ]·(3×3－3－a )<0， 即(a ＋1)(a －6)<0.∴－10等价于不等式组(Ⅰ)????? x －y >0，x ＋2y －2>0或不等式组 (Ⅱ)????? x －y <0， x ＋2y －2<0. 分别画出不等式组(Ⅰ)和(Ⅱ)所表示的平面区域，再求并集． 答案：B 3．表示图中阴影部分的二元一次不等式组是( )

A.???? ? 2x ＋y －2≤0，x ＋1≥0，－2≤y ≤0 B.???? ? 2x ＋y －2≤0，x ≥－1，y ≤0 C.???? ? 2x －y －2≤0，x －1≥0，－2≤y ≤0 D.???? ? 2x －y －2≤0，x ＋1≥0，－2≤y ≤0 解析：可求得边界方程分别是x ＝－1，y ＝－2,2x ＋y －2＝0和y ＝0将阴影内的点(－1，－1)代入检验知，选A. 答案：A 4．(2012·山东实验中学检测)完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为2∶3，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，请工人数的限制条件是( ) A.? ???? 2x ＋3y ≤5x 、y ∈N ＋ B.???? ? 50x ＋40y ≤2 000x y ＝23 C.????? 5x ＋4y ≤200 x y ＝23x 、y ∈N ＋ D.????? 5x ＋6y <100x y ＝23 解析：排除法：∵x 、y ∈N ＋，排除B 、D.又∵x 与y 的比例为2∶3，∴排除A. 答案：C 5．在平面直角坐标系中，若点(－2，t )在直线x －2y ＋4＝0的上方，则t 的取值范围是________． 解析：对于直线x －2y ＋4＝0，令x ＝－2，则y ＝1，则点(－2,1)在直线x －2y ＋4＝0上．又点(－2，t )在直线x －2y ＋4＝0的上方，则t 的取值范围是t >1. 答案：(1，＋∞) 6．(2012·南京高二模拟)不等式组????? x －y ＋4≥0，x ＋y ≥0， x ≤3所表示的平面区域的面积是 ________． 解析：不等式组??? x －y ＋4≥0， x ＋y ≥0， x ≤3 所表示的平面区域为三条直线所围成的三角形区域

《运筹学》习题线性规划部分练习题及答案

《运筹学》线性规划部分练习题 一、思考题 1．什么是线性规划模型，在模型中各系数的经济意义是什么？ 2．线性规划问题的一般形式有何特征？ 3．建立一个实际问题的数学模型一般要几步？ 4．两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？ 5．求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误？ 6．什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。 7．试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。 8．试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。 9．在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？ 10．大M 法中，M 的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什么？最大化问题呢？ 11．什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情况下，继续第二阶段？ 二、判断下列说法是否正确。 1．线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点达到。 2．线性规划的可行解集是凸集。 3．如果一个线性规划问题有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。 4．线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大。 5．线性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。 6．如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。 7．用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与 > j σ 对应的变量都 可以被选作换入变量。 8．单纯形法计算中，如不按最小非负比值原则选出换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值是负的。 9．单纯形法计算中，选取最大正检验数k σ对应的变量k x作为换入变量，可使目标函数值得到最快的减少。 10．一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。 三、建立下面问题的数学模型 1．某公司计划在三年的计划期内，有四个建设项目可以投资：项目Ⅰ从第一年到 第三年年初都可以投资。预计每年年初投资，年末可收回本利120% ，每年又可以重新将所获本利纳入投资计划；项目Ⅱ需要在第一年初投资，经过两年可收回本利150% ，又可以重新将所获本利纳入投资计划，但用于该项目的最大投资额不得超过20万元；项目Ⅲ需要在第二年年初投资，经过两年可收回本利160% ，但用于该项目的最大投资额不得超过15万元；项目Ⅳ需要在第三年年初投资，年末可收回本利140% ，但用于该项目的最大投资额不得超过10万元。在这个计划期内，该公司第一年可供投资的资金有30万元。问怎样的投资方案，才能使该公司在这个计划期获得最大利润？ 2．某饲养场饲养动物，设每头动物每天至少需要700克蛋白质、30克矿物质、100克维生素。现有五种饲料可供选用，各种饲料每公斤营养成分含量及单 价如下表2—1所示：

线性规划经典例题

线性规划常见题型及解法 由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、 若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤?? ≤??+≥? ，则z=x+2y 的取值范围是 （ ） A 、[2,6] B 、[2,5] C 、[3,6] D 、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将 l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值 2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选A 二、求可行域的面积 例2、不等式组260302x y x y y +-≥?? +-≤??≤? 表示的平面区域的面积为 （ ） A 、4 B 、1 C 、5 D 、无穷大 解：如图，作出可行域，△ABC 的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选B 三、求可行域中整点个数 例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ） A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个 x y O 2 2 x=2 y =2 x + y =2 B A 2x + y – 6= 0 = 5 x ＋y – 3 = 0 O y x A B C M y =2

解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0) 2 (0,0)x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥??-≤≥? ? -+≤≥??--≤? 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整 点个数为13个，选D 四、求线性目标函数中参数的取值范围 例4、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥?? -+≤??≤? ，使z=x+ay(a>0) 取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为 （ ） A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解 有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选D 五、求非线性目标函数的最值 例5、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥?? -+≥??--≤? ，则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是（ ） A 、13，1 B 、13，2 C 、13，4 5 D 、 5 解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为 4 5 ，选C 六、求约束条件中参数的取值范围 例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点 （0,0）和（－ 1,1），则m 的取值范围是 （ ） A 、（-3,6） B 、（0,6） C 、（0,3） D 、（-3,3）

《运筹学》习题线性规划部分练习题及答案.doc

《运筹学》线性规划部分练习题 一、思考题 1． 什么是线性规划模型，在模型中各系数的经济意义是什么？ 2． 线性规划问题的一般形式有何特征？ 3． 建立一个实际问题的数学模型一般要几步？ 4． 两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？ 5． 求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误？ 6． 什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。 7． 试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。 8． 试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。 9． 在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？ 10．大M 法中，M 的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什么？最大化问题呢？ 11．什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情况下，继续第二阶段？ 二、判断下列说法是否正确。 1． 线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点达到。 2． 线性规划的可行解集是凸集。 3． 如果一个线性规划问题有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。 4． 线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大。 5． 线性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。 6． 如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。 7． 用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与0 >j σ对应的变量都可以被选作换入变量。 8． 单纯形法计算中，如不按最小非负比值原则选出换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值是负的。 9． 单纯形法计算中，选取最大正检验数k σ对应的变量k x 作为换入变量，可使目 标函数值得到最快的减少。 10． 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。 三、建立下面问题的数学模型 1． 某公司计划在三年的计划期内，有四个建设项目可以投资：项目Ⅰ从第一年到 第三年年初都可以投资。预计每年年初投资，年末可收回本利120% ，每年又可以重新将所获本利纳入投资计划；项目Ⅱ需要在第一年初投资，经过两年可收回本利150% ，又可以重新将所获本利纳入投资计划，但用于该项目的最大投资额不得超过20万元；项目Ⅲ需要在第二年年初投资，经过两年可收回本利160% ，但用于该项目的最大投资额不得超过15万元；项目Ⅳ需要在第三年年初投资，年末可收回本利140% ，但用于该项目的最大投资额不得超过10万元。在这个计划期内，该公司第一年可供投资的资金有30万元。问怎样的投资方案，才能使该公司在这个计划期获得最大利润？ 2．某饲养场饲养动物，设每头动物每天至少需要700克蛋白质、30克矿物质、 100克维生素。现有五种饲料可供选用，各种饲料每公斤营养成分含量及单 价如下表2—1所示：

第1章线性规划及单纯形法

线性规划及单纯形法 一．选择 1. 运筹学应用分析、试验、（C ）的方法，对经济管理系统中人、财、物等有限资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。 A 统筹 B 量化 C 优化 D 决策 2. 运筹学研究的基本手段是（A ）。 A 建立数学模型 B 进行数学分析 C 进行决策分析 D 建立管理规范 3. 运筹学研究的基本特点是（ C ）。 A 进行系统局部独立分析 B 考虑系统局部优化 C 考虑系统的整体优化 D 进行系统的整体决策 4. 线性规划问题的数学模型包含三个组成要素：决策变量、目标函数、（B ） A 表达式 B 约束条件 C 方程变量 D 价值系数 5. 线性规划问题的基可行解X 对应线性规划问题可行域（凸集）的（ C ） A 边 B 平面 C 顶点 D 内部 6. 目标函数取极小化（Z min ）的线性规划问题可以转化为目标函数取极大化即（C ）的线性规划问题求解 A Z min B )min(Z - C )max(Z - D Z max - 7. 标准形式的线性规划问题，最优解（C ）是可行解 A 一定 B 一定不 C 不一定 D 无法确定 8. 在线性规划问题中，称满足所有约束条件方程和非负限制的解为（ C ）。 A 最优解 B 基可行解 C 可行解 D 基解 9. 生产和经营管理中经常提出任何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，这就是所谓的（D ） A 管理问题 B 规划问题 C 决策问题 D 优化问题 10. 在线性规划问题中，图解法适合用于处理变量（ B ）个的线性规划问题 A 1 B 2 C 3 D 4 11. 求解线性规划问题时，解的情况有:唯一最优解、无穷多最优解、（ C ）、无可行解 A 无解B 无基解 C 无界解 D 无基可行解 12. 在用图解法求解的时，找不到满足约束条件的公共范围，这时问题有（D ），其原因是模型本身有错误，约束条件之间相互矛盾，应检查修正。 A 唯一最优解 B 无穷多最优解 C 无界解D 无可行解 13. 线性规划问题的基可行解()T n X X X ,,1 =为基可行解的充要条件是X 的正分量所对 应的系数列向量是（B ） A 线性相关 B 线性独立 C 非线性独立 D 无法判断 14. 线性规划问题进行最优性检验和解的判别时，如果当0≤j σ时，人工变量仍留在基本量中且不为零，（D ） A 唯一最优解 B 无穷多最优解 C 无界解 D 无可行解 15.如果集合C 中任意两个点21,X X 其连线上的所有点也都是集合C 中的点，称C 为（B ）

线性规划习题

第一章 线性规划习题 1. 将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。 1) min Z ＝－3x 1＋4x 2－2x 3＋5x 4 s.t.???????≥≥+-+-≤-++-=-+-. ,0,,22321432244321432143214321无约束x x x x x x x x x x x x x x x x 2) max S ＝z x ／p k s.t.???? ????? ==≥=-=-=∑∑∑===).,...,2,1;,...,2,1(0),,...,2,1(1, 1 11 m k n i x n i x x a z ik m k ik n i m k ik ik k 2. 分别用单纯法中的大M 法和两阶段法求解下述线性规划问题： min Z ＝2x 1＋3x 2＋x 3 s.t.??? ??≥≥+≥++.0,,,623,8243 212 1321x x x x x x x x 并指出该问题的解属哪一类解。 3. 【表1-6】是某求极大化线性规划问题计算得到单纯形表。表中无人工变量， a 1, a 2, a 3, d , c 1, c 2为待定常数。试说明这些常数分别取何值时，以下结论成立。 1) 表中解为唯一最优解； 2) 表中解为最优解，但存在无穷多最优解； 3) 该线性规划问题具有无界解； 4) 表中解非最优，为对解进行改进，换入变量为x 1，换出变量为x 6。 表1-6 4. 某饲料厂用原料A 、B 、C 加工成三种不同牌号的饲料甲、乙、丙。已知各 种牌号饲料中A 、B 、C 含量，原料成本，各种原料的每月限制用量，三种牌号的饲料的单位加工费及售价如【表1-7】所示。 表1-7

线性规划在运输问题中的应用

线性规划在运输问题中的 应用 Newly compiled on November 23, 2020

线性规划在运输问题中的应用 【摘要】用运筹学的思想探讨运筹学课程的教学方法。运筹学中的指派问题、最短路问题，最小费用流问题可转化为运输问题或转运问题，从而可以统筹安排这些教学内容，为提高教学效果，减少教学时间找出更优的教学方法。 【关键词】运输问题；转运问题；运筹学；线性规划；教学方法 引言： 随着我国国民经济的不断发展，企业之间的交易活动更加频繁,同地区、不同地区、甚至跨国的交易活动也不断发生，运输则成为交易的活动重点了。交通运输作为国民经济的一个重要部门，作为人类进步、社会发展的一个重要推动力，其发展模式正在对环境产生越来越重要的影响。传统的运输方式已经不能满足环境保护、经济发展以及交通运输本身发展的需求，探寻与环境、资源条件相适应的运输是非常重要的一个问题。人们在运输方面趋利避害建立更好的运输方法，让交通运输的方法达到一个更高的水平。 1．线性规划简介 线性规划法是解决多变量最优决策的方法，是在各种相互关联的多变量约束条件下，解决或规划一个对象的线性目标函数最优的问题，即给与一定数量的人力、物力和资源，如何应用而能得到最大经济效益。当资源限制或约束条件表现为线性等式或不等式，目标函数表示为线性函数时，可运用线性规划法进行决策。线性规划法就是在线性等式或不等式的约束条件下，求解线性目标函数的最大值或最小值的方法。其中目标函数是决策者要求达到目标的数学表达式，用一个极大或极小值表示。约束条件是指实现目标的能力资源和内部条件的限制因素，用一组等式或不等式来表示。线性规划是决策系统的静态最优化数学规划方法之一。它作为经营管理决策中的数学手段，在现代决策中的应用是非常广泛的，它可以用来解决科学研究、工程设计、生产安排、军事指挥、经济规划；经营管理等各方面提出的大量问题。 最近几年，我国物流产业快速发展，形成了物流热。在物流作业的管理活动中，有着大量的规划问题，物资的合理调运就是其中一个比较重要的问题。求物资调运的最优调运方案，就是要在满足各种资源限制的条件下，找到使运输总费用最小的调运方案。 2.线性规划在运输中的应用 在现实的生产经营、商品销售、经济建设和物资管理过程中，常常会遇到各类物资的分配和调运问题，即将各种生产资料或生活资料消耗品从供给基地调运到需求基地，这里就需要如何根据现有条件科学、合理的安排调运方案，提高运输经济效益。这就是属于线性规划中网络配送的以最小的成本完成货物的运输问题。运输问题就是讨论有关物资调运的问题，即将数量和单位运价都给定的某种物资从供应站运送到消费站，要求在供给和需求平衡的同时，制定出流量与流向，使总运输成本最低。运输问题是特殊的线性规划问题，根据问题的要求，建立数学模型，用表上作业法或线性规划软件求解，即可得出最佳的调运方案，取得了较好的经济效益。在运输问题中，确定的需求限制占据着重要的地位，即必须确定需求以及相应地确定需求的约束条件。 3.运输问题的特征 运输问题关心的是以最低的总配送成本把供应中心（出发地）的任何产品运送到每一个接收中心（目的地）。每一个出发地都有一定供应量配送到目的地，每一个目的地都需要一定的需求量。运输问题在供应量和需求量两方面都做出了如下的假设：需求假设。每一个出发地都有一个固定的供应量，所有的供应量都必须配送到目的地。与之类似，每一个目的地都有一个固定的需求量，整个需求量都必须由出发地满足成本假设。从任何一个出发地到任何一个目的地的货物配送成本和所配送的数量成线性比例关系。因此，这个成本就等于配送的单位成本乘以所配送的数量。运输问题所需要的数据仅仅是供应量、需求量和单位成本，这些就是模型参数。如果一个问题可以完全描述成

八种经典线性规划例题最全总结(经典)

线性规划常见题型及解法 由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、若x、y满足约束条件 ，则z=x+2y的取值范围是（） A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将 l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值 2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A 二、求可行域的面积

例2、不等式组 表示的平面区域的面积为（） A、4 B、1 C、5 D、无穷大 解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B 三、求可行域中整点个数 例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（） A、9个 B、10个 C、13个 D、14个

解：|x|＋|y|≤2等价于 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D 四、求线性目标函数中参数的取值范围 例4、已知x、y满足以下约束条件 ，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（） A、－3 B、3 C、－1 D、1

解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故 a=1，选D 五、求非线性目标函数的最值 例5、已知x、y满足以下约束条件 ，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（） A、13，1 B、13，2 C、13， D、 ， 解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为

《简单的线性规划问题》(第一课时)教学设计

《简单的线性规划问题》（第一课时）教学设计 一、内容与内容解析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第三章《不等式》中3.3.2《简单的线性规划问题》的第一课时. 主要内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法． 线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，广泛地应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。简单的线性规划关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成. 教科书利用生产安排的具体实例，介绍了线性规划问题的图解法，引出线性规划等概念，最后举例说明了简单的二元线性规划在饮食营养搭配中的应用. 本节内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了优化思想、数形结合思想和化归思想. 本节教学重点：线性规划问题的图解法；寻求有实际背景的线性规划问题的最优解. 二、目标和目标解析 （一）教学目标 1.了解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念. 2. 会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值. 3.培养学生观察、联想、作图和理解实际问题的能力，渗透化归、数形结合的数学思想. 4.结合教学内容培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识. （二）教学目标解析 1. 了解线性规划模型的特征：一组决策变量(,) x y表示一个方案；约束条件是一次不等式组；目标函数是线性的，求目标函数的最大值或最小值．熟悉线性