《直线和双曲线的交点个数问题》教学设计1
《直线和双曲线的交点个数问题》教学设计
昌黎汇文二中 李小庆
一、教学目的：
1.通过多媒体演示让学生掌握求直线与双曲线的交点个数的方法； 2．使学生认识到数形结合在解决问题中起到的重要作用。
二、教学重点和难点:
1. 直线与双曲线的交点个数的讨论；
2. 数形结合思想方法在解题中的应用 三、教学过程：
双曲线的标准方程
顶点
渐近线
焦点在x 轴上
22
221(0,0)x y a b a b -=>> 12(,0),(,0)A a A a - b y x a
=±
焦点在y 轴上
22
2
21(0,0)y x a b a b
-=>> 12(,0),(,0)B a B a - a y x b
=±
思考问题：求双曲线12
2
=-y x 与下列直线的交点的个数: ①y ＝x+1 ②y ＝ -ｘ＋1 ③12+=
x y ④12+-=x y ⑤y ＝１.２x+1
⑥y ＝ -1.2x+1 ⑦y=１ ⑧y ＝２ｘ+1 ⑨ｙ＝ －２x+1
老师提示：在求双曲线与直线的交点个数时,请说出它们的位置关系。 ① 与②的答案:1 直线与双曲线相交(直线与渐近线平行）。 ③与④的答案:1 直线与双曲线相切。
⑤与⑥的答案：2 直线与双曲线相交，交点在一支上。 ⑦的答案:2 直线与双曲线相交，交点在两支上。 ⑧与⑨的答案:0 直线与双曲线相离。 (以上内容都有多媒体演示）
总结:当直线与双曲线相交(直线与渐近线平行）或直线与双曲线相切时直线与双曲线有一个公共点。 例１：论直线y=kx ＋１与双曲线C:
122=-y x 公共点的个数。
分析：直线y=ｋｘ+1过定点(0，1），解决这个问题的关键在于找什么？就是找与双曲线有一个交点的直线。通过多媒体演示得到答案
解：⑴k=±1或k ＝±2时Ｌ与C 有一个公共点；
⑵有两个交点：在左支上时1＜k ＜2
在右支上时 –2 所以k ∈(–2,－1)∪(-1,１)∪(1, 2)时L 与Ｃ有两个公共点。 ⑶k ∈（-∞,-1）∪(1,+∞）时L 与Ｃ没有公共点。 例2:讨论过(１,1）点的直线与双曲线12 2 =-y x 公共点的个数。 解:⑴直线x ＝１和直线y=-x+2 与双曲线有一个交点; ⑵k ∈（－∞,-１） 时有两个交点在右支上; k ∈(－1，1) 时有两个交点在两支上; ⑶k ∈(１,+∞) 时没有公共点。 例3：讨论直线y=kx 与双曲线 122=-y x 公共点的个数。 解:⑴没有和双曲线只有一个交点的直线； ⑵k ∈（－１,１) 时直线与双曲线有两个交点在两支上 ； ⑶k ∈(-∞,-１)∪（1，+∞)时直线与双曲线没有公共点。 例4：讨论过（１，0）点的直线与双曲线12 2 =-y x 公共点的个数。 解：⑴直线x=1和直线y ＝x －1和直线y ＝-x+１与双曲线有一个公共点； ⑵两个交点 在右下支上k<-1 在两支上-1 (3)(,1)k ∈-∞-时，没有公共点。 例５：已知双曲线1 2222=-b y a x 的右焦点为F,过点F 倾斜角为0 60的直线与双曲线的右支只有一个交点， 则此双曲线的离心率的取值范围是（ ) A ．(]2,1 B.()2,1 C.[)+∞,2 D ()+∞,2 答案：Ｃ 例７: 已知10≠>a a 且试求使方程)(log )(log 2 2 2a x ak x a a -=-有解的ｋ的取值范围。 解：)(log )(log 2 2 2a x ak x a a -=-有解等价于 函数y=x －a ｋ>0与y ＝22a x -＞0图象有交点 所以k ≤-1或 0<ｋ<１ 四、总结：过一点和双曲线只有一个交点的直线的条数 过中心 0 过渐近线上一点且不是中心 2 过双曲线外一点且不在渐近线上 ４ 过双曲线上一点 ３ 过双曲线内一点 2 四、作业:过Ｐ(1,０)的直线与双曲线15 42 2=-y x 有且只有一个公共点，则斜率k 的取值范围。 答案:25± 或3 15 ± 拓展:（１）()的取值范围 则斜率个公共点， 有且只有的直线与双曲线，过k y x P 215 40122=- 答案：2 5,315315±≠<<- k k 且 （2）()的取值范围 则斜率没有公共点， 的直线与双曲线，过k y x P 15 4012 2=- 答案：3 15315〉或k k - < （3)()的取值范围 则斜率交点， 的左、右分支各有一个的直线与双曲线，过k y x P 15 4012 2=- 小结：消元转化为讨论某个一元二次方程解的个数问题。但要注意二次项系数分a=0与ａ≠0两种情形的讨论,只有当ａ≠0时才可以用Δ来确定解的个数。但有时利用数形结合可以简化运算。