高考数学二轮复习中档题专练四
中档题专练(四)
1.如图,AB为圆O的直径,点E,F在圆O上,且AB∥EF,矩形ABCD所在平面与圆O所在的平面互相垂直,且AB=2,AD=EF=1.
(1)设FC的中点为M,求证:OM∥平面DAF;
(2)求证:AF⊥平面CBF.
2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,cosB=4
5
.
(1)若c=2a,求sin B
sin B
的值;
(2)若C-B=π
4
,求sinA的值.
3.如图,已知椭圆E:B2
B2+B2
B2
=1(a>b>0)的长轴为AB,过点B的直线l与x轴垂直,椭圆E上一点与椭圆E
的长轴的两个端点构成的三角形的最大面积为2,且椭圆E的离心率e=√3
2
.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)设P是椭圆E上异于A、B的任意一点,连接AP并延长交直线l于点M,N为MB的中点.
①若点F1为椭圆的左焦点,点F2为椭圆的右焦点,F1关于直线PN的对称点为Q,当点P的坐标为(4√5
5,√5
5
)
时,求证:点P,Q,F2三点共线;
②试判断直线PN与椭圆E的位置关系,并证明你的结论.
答案精解精析
1.证明 (1)设DF 的中点为N,连接MN,AN,则MN∥12CD,MN=1
2CD,
又∵AO∥12CD,AO=1
2CD,∴MN∥AO,MN=AO,∴四边形MNAO 为平行四边形,∴OM∥AN,又∵AN ?平面DAF,OM ?面DAF,
∴OM∥平面DAF.
(2)∵平面ABCD⊥平面ABEF,CB⊥AB,CB ?平面ABCD,平面ABCD∩平面ABEF=AB, ∴CB⊥平面ABEF,∵AF ?平面ABEF, ∴AF⊥CB.
∵AB 为圆O 的直径,
∴AF⊥BF.∵CB∩BF=B,CB,BF ?平面CBF,∴AF⊥平面CBF. 2.解析 (1)解法一:在△ABC 中,因为cosB=4
5,所以B 2+B 2-B 22BB =4
5.
因为c=2a,所以
(B 2
)2
+B 2-B 22B ×
B 2
=45,即B 2B 2=920,所以B B =3√5
10. 又由正弦定理得sin B sin B =B
B ,所以sin B sin B =3√5
10.
解法二:因为cosB=4
5,B∈(0,π),所以sinB=√1-cos 2B =3
5.
因为c=2a,由正弦定理得sinC=2sinA,所以sinC=2sin(B+C)=6
5
cosC+8
5
sinC,
即-sinC=2cosC.又因为sin 2C+cos 2
C=1,sinC>0,解得sinC=2√55
,
所以sin B sin B =3√5
10.
(2)因为cosB=4
5
,所以cos2B=2cos 2
B-1=7
25
.
又0 5, 所以sin2B=2sinBcosB=2×3 5 ×45=24 25. 因为C-B=π4 ,即C=B+π4 ,所以A=π-(B+C)= 3π4 -2B,所以sinA=sin ( 3π4 -2B )=sin 3π4 cos2B- cos 3π4 sin2B=√22×725-(-√2 2)×2425= 31√2 50 . 3.解析 (1)依题设条件可得:ab=2,B B =√3 2.又a 2-c 2=b 2,解得a 2=4,b 2 =1, 所以椭圆E 的标准方程为 B 24 +y 2 =1. (2)①证明:直线AP 的方程为y= (x+2), 求得点M 的坐标为(2+√5),点N 的坐标为(2+√5),直线PN 的斜率k=-1, ∴直线PN 的方程为y=-x+√5, 设左焦点F 1(-√3,0)关于直线PN 的对称点为 Q(x 1,y 1),则{B 1+√3 =1,B 1 2 =- B 1-√32 +√5, 解得{ B 1=√5, B 1=√5+√3, 即Q(√5,√5+√3), 所以直线PQ 的斜率k 1=4+√15,又直线PF 2的斜率k 2=√554√5 5 -= =4+√15, 所以k 1=k 2,即点P,Q,F 2三点共线. ②直线PN 与椭圆E 相切于点P.证明如下: 设P(x 0,y 0),又A(-2,0),所以直线AP 的方程为y=B 0 B 0 +2 ·(x+2),令x=2,得y=4B 0 B +2 ,即M (2,4B 0 B 0+2 ). 又B(2,0),N 为MB 的中点,所以N (2,2B 0 B 0 +2 ),于是直线PN 的方程为y-y 0=2B 0 B 0+2 -B 02-B 0 ·(x -x 0),即y= B 0B 0 B 02-4 (x-x 0)+y 0. 因为 B 024 +B 02=1,所以B 02-4=-4B 02 ,所以y=B 0B 0-4B 0 2(x-x 0)+y 0,整理得y= 4-B 0x 4B 0 . 由{ B 2 4 +B 2=1, B = 4-B 0x 4B 0 消去y 并整理得(B 02+4B 02)x 2 -8x 0x+16-16B 02=0,即x 2 -2x 0x+B 02 =0,此方程的根的判别式 Δ=(-2x 0)2 -4B 02=0, 所以直线PN 与椭圆E 相切于点P.