2020年浙江省杭州二中高考模拟数学试题(附答案解析)
2020年浙江省杭州二中高考模拟数学试题
一、单选题
1．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 交BD 于点O ，则AB DO AO +-等于（ ）
A ．2AO
B ．2OA
C ．2OB
D ．2BO
2．已知复数1cos15sin15z i =+和复数2cos 45sin 45z i =+，则12z z ?=（ ）
A ．1322i +
B ．332i -+
C ．1322i -+
D ．312
+ 3．已知集合1lg 1x A x y x ?
?-==??+??，{}
11B x x =->，则A B =（ ） A ．(,1)
(2,)-∞-+∞ B ．(,1)(1,)-∞-+∞ C ．(,0)(2,)-∞+∞ D ．(,0)(1,)-∞?+∞
4．已知定义在R 上的奇函数2()ax b f x x c
+=+的图象如右图所示，则,,a b c 的大小关系是（ ）
A ．a b c >>
B ．c a b >>
C ．b a c >>
D ．a c b >>
5．如果{a n }为递增数列，则{a n }的通项公式可以为( )．
A ．a n ＝－2n ＋3
B ．a n ＝－n 2－3n ＋1
C ．a n ＝12n
D ．a n ＝1＋log 2 n 6．已知抛物线2y mx =与2
213
y x -=双曲线有相同的焦点，点00(2,)(0)P y y >在抛物线上，则点P 到该抛物线的准线的距离为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．若函数2,0()54,0
x e e x f x x x x ??=??++
h x f f x f x =-的零点个数为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
8．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）
A ．8+4√6
B ．4+2√6
C ．43
D ．23 9．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2
分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23
， 乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望()ξE 为（ ）
A ．24181
B ．26681
C ．27481
D ．670243
10．设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1
和a ，且长为a
的棱异面，则a 的取值范围是（ ）
A
．
B
． C
．
D
．
二、双空题
11．cos15?=______
，)cos50tan10??=______.
12．若复数z 满足()()2212z -=+i i ，其中i 为虚数单位，则z =___________，z =___________．
13．若实数x ，y 满足4440x y x y y +≤??+≥??≥?
，则2x y +的最大值是____；最小值是
_____.
14．若56542123()(2)x y x y a x a x y a x y +-=++3324564567a x y a x y a xy a y ++++，则4a =
__________，1234567a a a a a a a ++++++=__________．
三、填空题
15．用数学0，1，2，3，4可组成__________个无重复数字的偶数三位数.
16．已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>，A 为左顶点，B 为短轴端点，F 为右焦点，且AB BF ⊥，则椭圆的离心率等于_________________.
17．已知函数f (x )＝22log (1),02,0x x x x x +>??
--≤?若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是_________.
四、解答题
18．已知函数()3sin 216f x x π?
?=-+ ???
，求： （1）函数()f x 最小正周期和单调递减区间；
（2）函数()f x 在区间0,2x π??∈????
的最大值和最小值，并且求出取得最值时x 的值. 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，BC//平面PAD ，PBC ∠90=,90PBA ∠≠．
求证：（1）//AD 平面PBC ；
（2）平面PBC ⊥平面PAB ．
20．已知:抛物线m 2:2y px =焦点为F ，以F 为圆心的圆F 过原点O ，过F 引斜率为k 的直线与抛物线m 和圆F 从上至下顺次交于A 、B 、C 、D .若AB CD ?4=.
(1) 求抛物线方程.
(2)当为k 何值时,AOB ?、BOC ?、COD ?的面积成等差数列；
(3)设M 为抛物线上任一点，过M 点作抛物线的准线的垂线，垂足为H .在圆F 上是否存在点N ，使MH MN -的最大值，若存在，求出MH MN -的最大值；若不存在，说明理由.
21．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，37S =，663S =.
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n n a b -是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{}n b 的通项公式和前n 项和n T . 22．已知函数()()ln(1)f x x a x ax =++-.
（1）若2a =，求()f x 的单调区间；
（2）若2a ≤-，10x -<<，求证：()2(1)x f x x e ->-.
【答案与解析】
1．C
根据相等向量及平面向量的线性运算,化简即可得解.
平行四边形ABCD
则由向量的线性运算, DO AO DO OA DA -=+=
所以AB DO AO +-
AB DA =+
2DB OB ==
故选:C
本题考查了向量线性运算在几何中的应用,属于基础题.
2．A
利用复数的乘法运算法则结合两角和的正弦、余弦公式可计算出12z z ?的值.
()()
12cos15sin15cos 45sin 45z z i i ?=++()()cos15cos 45sin15sin 45sin15cos 45cos15sin 45i
=-++()()cos 1545si 013cos 6sin 6145052n 2i i i ==+=
++++. 故选：A.
本题考查复数的乘法运算，同时也考查了两角和的正弦、余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.
3．A
解不等式确定集合,A B ，再求交集．
由101x x ->+，得1x <-或1x >，即(,1)(1,)A =-∞-+∞， 由11x ->，得2x >或0x <，即(,0)
(2,)B =-∞+∞， ∴(,1)(2,)A B =-∞-+∞．
故选：A.
本题考查集合的交集运算，考查对数函数的定义域，掌握集合运算的概念是解题基础． 4．D
根据函数的定义域为R ，得到0c >，根据函数过原点得到0b =，根据()11f =，判断a ，c 的关
系，进而可得结果.
∵函数过原点，∴()00b f c
==，∴0b =， 由图象知函数的定义域为R ，则0c >，
又()11f =，即()111a f c
==+，则1a c c =+>， ∴a c b >>，故选D ．
本题主要考查函数图象的识别和应用，根据函数图象的特点转化为函数的性质是解决本题的关键，其性质主要包括函数的定义域，值域，奇偶性，单调性，周期性，对称性等，同时过某点也是常用方法，属于中档题.
5．D
A 选项是n 的一次函数，一次系数为-2，所以为递减数列；
B 选项是n 的二次函数，开口向下，且对称轴为32n =-
，所以为递减数列； C 选项是n 的指数函数，且底数为，是递减数列；
D 选项是n 的对数函数，且底数为2，是递增数列．故选D
考点：数列的函数特性.
6．D
先求得双曲线的焦点，由此可得抛物线的焦点坐标，进而求得m 的值，根据抛物线的定义求得P 到准线的距离.
双曲线的右焦点为()2,0，故24
m =，8m =，故抛物线的准线为2x =-，点P 的横坐标为2，故P 到准线的距离为224+=.故选D.
本小题主要考查双曲线的几何性质，考查抛物线的方程的求解，考查抛物线的定义，属于基础题. 7．D
()h x 零点的个数转化为两个函数的交点问题，求出交点(2,2)--和(,)e e 后，再分别计算()2f x =-和()f x e =的解得个数即可.
根据题意，()h x 零点的个数等价于(())()f f x f x =解的个数，
且(())()f f x f x =的解等价于()f x x =的解，
∴函数()y f x =与y x =有(2,2)--和(,)e e 两个公共点，
∵()f x 在5,02x ??∈- ???
，(0,)x ∈+∞上为增函数，在5(,)2x ∈-∞-上为减函数， 59()224
f -=-<-，∴()2f x =-有两个解， (0)1f =，且0lim (0)4x f e -
→=>，∴()f x e =有三个解， ∴函数()h x 的零点共有5个.
故选：D
本题主要考查零点问题的转化，一元二次函数和指数函数的图像性质，考查学生的转化和数形结合的思想，属于中档题.
8．B
由三视图可知该棱锥的一个侧面与底面垂直，且该侧面与底面是全等的等腰三角形，另外两个侧面是全等的等腰三角形，根据三视图中数据，利用三角形面积公式可得结果.
由三视图可知，该三棱锥的直观图如下：
其中三棱锥的高为2，底面等腰三角形ABC 的底边AC =2，高为2，
由勾股定理，得PB =√22+22=2√2，PA =PC =BA =BC =√5，
则该三棱锥的表面积是S =12×2×2×2+12
×2√2×√(√5)2?(√2)2×2=4+2√6. 故选B .
本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.
9．B
【解析】依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为9531322
2=??
? ??+??? ??．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，
该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有()952=
=ξP ，()812095944=?==ξP ，()81169462=??
? ??==ξP ，故()812668116681204952=?+?+?=ξE ，故选B. 考点：离散型随机变量的数学期望.
10．A
先在三角形BCD 中求出a 的范围，取BC 中点E ，，再在三角形AED 中求出a 的范围，二者相结合即可得到答案．
设四面体的底面是BCD ，BC a =，1BD CD ==，顶点为A ，AD =
在三角形BCD 中，因为两边之和大于第三边可得：02a <<，①
取BC 中点E ，E 是中点，直角三角形ACE 全等于直角DCE ，
所以在三角形AED 中，AE ED ==
两边之和大于第三边
∴
<0a <<，（负值0值舍）②
由①②得0a <<．
故答案为．
本题主要考查了三角形三边关系以及异面直线的位置．解决本题的关键在于利用三角形两边之和大于第三边这一结论．
11 1 利用两角差的余弦公式即可求出()cos15cos 4530?=-；利用切化弦以及两角差的正弦公式可求解