初中七年级数学培优平行线四大模型.docx

平行线四大模型

平行线的判定与性质

l、平行线的判定

根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．

判定方法 l ：

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．

简称：同位角相等，两直线平行．

判定方法2：

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．

简称：内错角相等，两直线平行，

判定方法3：

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．

简称：同旁内角互补，两直线平行，

如上图：

若已知∠ 1=∠ 2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；

若已知∠ 1=∠ 3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；

若已知∠ 1+ ∠ 4= 180 °，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．

另有平行公理推论也能证明两直线平行：

平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．

2、平行线的性质

利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁

内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．

性质 1：

两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．

简称：两直线平行，同位角相等

性质 2：

两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.

简称：两直线平行，内错角相等

性质 3：

两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．

简称：两直线平行，同旁内角互补

本讲进阶平行线四大模型

模型一“铅笔”模型

点 P 在 EF右侧，在 AB、 CD内部“铅笔”模型结论 1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60 °；

结论 2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360 °，则AB∥CD.

模型二“猪蹄”模型（M模型）

点 P 在 EF左侧，在 AB、 CD内部“猪蹄”模型结论 1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；

结论 2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.

模型三“臭脚”模型

点 P 在 EF右侧，在 AB、 CD外部“臭脚”模型结论 1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP- ∠CFP或∠P=∠CFP- ∠AEP；

结论 2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP- ∠AEP，则AB∥CD.

模型四“骨折”模型

点 P 在 EF左侧，在 AB、 CD外部·

“骨折”模型结论 1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP- ∠AEP或∠P=∠AEP- ∠CFP；

结论 2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP- ∠CFP，则AB∥CD.

巩固练习平行线四大模型证明

已知 AE

（ 1）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．

（ 3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.

已知∠ P=∠ CFP-∠ AEP,求证AE

模块一平行线四大模型应用

例 1

（ 1）如图，a∥b, M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l +∠2+∠3=．

(2) 如图，∥，且∠ =25°，∠ =45°，则∠

E 的度数是．

AB CDA C

(3) 如图，已知AB∥DE，∠ ABC=80°，∠ CDE=140°，则∠ BCD=.

(4)如图，射线AC∥ BD，∠ A= 70°，∠ B= 40°，则∠ P=．

练

(1) 如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C= 20 °，则∠EAB的度数为．

(2)如图， AB∥ CD，∠ B=30°，∠ O=∠ C．则∠ C=.

例 2

如图，已知AB∥ DE， BF、 DF分别平分∠ ABC、∠ CDE，求∠ C、∠F 的关系.练

如图，已知AB∥ DE，∠ FBC=1

∠ ABF，∠ FDC=

1

∠ FDE. n n

(1) 若=2, 直接写出∠、∠

F 的关系；

n C

(2)若 n=3，试探宄∠ C、∠ F 的关系；

(3) 直接写出∠C、∠F的关系（用含n的等式表示）.

例 3

如图，已知AB∥ CD， BE平分∠ ABC， DE平分∠ ADC．求证：∠ E= 2 (∠ A+∠C) .

练

如图，己知AB∥ DE， BF、 DF分别平分∠ ABC、∠ CDE，求∠ C、∠ F 的关系.

例 4

如图，∠ 3==∠ 1+∠ 2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180 °．

练

（武昌七校2015-2016七下期中）如图，AB⊥BC， AE 平分∠ BAD交BC

于

E， AE

⊥ DE，∠ l +∠2= 90°， M、 N分别是平分线相交于点 F 则∠ F 的度数为（BA、CD的延长线上的点，

∠）．

EAM和∠ EDN的

A. 120°

B. 135°

C. 145°

D. 150°模块二平行线四大模型构造

例 5

如图，直线 AB∥ CD，∠ EFA= 30°，∠ FGH= 90°，∠ HMN=30°，∠CNP=50°，则

∠ GHM=.

练

如图，直线AB∥ CD，∠ EFG=100°，∠ FGH=140°，则∠AEF+∠CHG=.

例 6 已知∠B =25 °，∠BCD=45°，∠CDE=30 °，∠E=l 0°，求：AB∥EF．

练

已知 AB∥ EF，求∠ l -∠2+∠3+∠4的度数.

(1)如 ( l ) ，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、?、∠A n，∠B1、∠B2?∠B n-1之的

关系．

(2)如 (2) ，己知MA1∥NA4，探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2之的关系．

(3)如 (3) ，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、?、∠A n之的关系．

如所示，两直AB∥ CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．