高中数学必修一必修四知识点总结(杠杠的)
数学知识点总结
第一章集合与函数概念
〖1.1 〗集合
【1.1.1 】集合的含义与表示
（ 1）集合的概念
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.
（ 2）常用数集及其记法
N 表示自然数集， N或 N 表示正整数集，Z表示整数集， Q 表示有理数集，R表示实数集.（ 3）集合与元素间的关系
对象 a 与集合 M 的关系是a M ，或者 a M ，两者必居其一.
只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。
（ 4）集合的表示法
①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.
②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.
③描述法： { x | x具有的性质 } ，其中x为集合的代表元素 .
④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.
（ 5）集合的分类
①含有有限个元素的集合叫做有限集.
②含有无限个元素的集合叫做无限集.
③不含有任何元素的集合叫做空集().把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。
【 1.1.2 】集合间的基本关系
1、一般地，对于两个集合 A 、 B ，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，则称集合 A 是集合 B 的
子集。记作 A B .
2、如果集合A B ，但存在元素 x B ，且 x A ，则称集合A是集合B的真子集.记作：A B.
3、把不含任何元素的集合叫做空集 .记作：.并规定：空集合是任何集合的子集.
4、如果集合 A 中含有 n 个元素，则集合 A 有2n个子集，2n1个真子集.
5、子集、真子集、集合相等
名称记号意义性质示意图
A B(1)A A
子集
（或 A 中的任一元素都
属于 B
B A)
A B A B，且B中至
真子集少有一元素不属于（或 B A） A
集合
A 中的任一元素都A B属于 B，
B 中的任一
相等
元素都属于A (2)A
A(B)
BA (3)若 A B 且 B C，则A C
(4)若 A B 且 B A，则A B或（ 1） A （A为非空子集）
B A
(2)若A B且B C，则A C
(1)A B
A(B) (2)B A
6、已知集合 A 有 n(n 1) 个元素， 则它有 2n 个子集， 它有 2n 1个真子集， 它有 2n 1个非空子集， 它有 2n 2
非空真子集 .
【 1.1.3 】集合的基本运算
1、 一般地，由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成的集合，称为集合
A 与
B 的并集 .记作： A B . 2、 一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为 A 与 B 的交集.记作： A
B .
3、全集、补集 C U A { x | x
U , 且 x U }
名称
记号
意义
性质
示意图
{ x | x A, 且
（1） A A A
A
（2） A
交集
B
A
B
x
B}
（3） A B
A
A B
B
{ x | x A, 或
（1） A A A
A
（2） A
A
并集
B
A
B
x
B}
（3） A B
A
A B
B
{ x | x U , 且x
A} 痧U (A B) (
U A) (?U B)
1
A (e U A)
补集
e U A
痧(A B) (
A) (? B)
U 2 A (e A) U
U
U
U
【 1.2.1 】函数的概念
1、函数的概念
f ，使对于集合
设 、 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系
A 中的任意一个数 x ，在集合
B 中都有
A B
惟一确定的数 f x 和它对应，那么就称 f : A
B 为集合 A 到集合 B 的一个 函数 ，记作： y f x , x A .
函数的三要素 : 定义域、值域和对应法则．
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称 这两个函数相等
【 1.2.2 】函数的表示法
2、函数的表示方法
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．
解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系
.
3、映射的概念
①设 A 、 B 是两个集合，如果按照某种对应法则
f
，对于集合 A 中任何一个元素，在集合
B 中都有唯一的
元素和它对应，那么这样的对应（包括集合
A ，
B 以及 A 到 B 的对应法则 f
）叫做集合 A 到 B 的映射，记作
f : A B ．
②给定一个集合
A 到集合
B 的映射，且 a A, b B ．如果元素 a 和元素 b 对应，那么我们把元素 b 叫做元
素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象．
〖 1.3 〗函数的基本性质
【 1.3.1 】单调性与最大（小）值
（ 1）函数的单调性
①定义及判定方法
函数的
定义
图象
判定方法
性 质
如果对于属于定义域 I 内
（1）利用定义
某个区间上的任意两个
< y
y=f(X)
f(x 2 )
（2）利用已知函数
自变量的值 1 2 1
的单调性
、
当 x
．．
（3）利用函数图象
x 时，都有 f(x ) 2 1 2 f(x 1 ) ． ．．．．．．．．． （在某个区间图 那么就说 f(x) 在这个区 o x x 象上升为增） 间上是 增函数 ． 1 2 x 函数的 ．．． （4）利用复合函数 单调性 如果对于属于定义域 I 内 （1）利用定义 某个区间上的任意两个 y y=f(X) （2）利用已知函数 自变量的值 x 1、x 2 ，当 x 1 < f(x ) 的单调性 ．． 1 （3）利用函数图象 x 2 时，都有 f(x 1)>f(x 2) ， 2 ． ．．．．．．．．． f(x ) （在某个区间图 那么就说 f(x) 在这个区 o x 1 x 2 x 象下降为减） 间上是 减函数 ． （4）利用复合函数 ．．． ②在公共定义域内， 两个增函数的和是增函数， 两个减函数的和是减函数， 增函数减去一个减函数为增函数， 减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数 y f [ g (x)] ，令 u g ( x) ，若 y f (u) 为增， u g( x) 为增，则 y f [ g( x)] 为增；若 y f (u) 为减， u g( x) 为减，则 y f [ g ( x)] 为增；若 y f (u) 为增， u g( x) 为减， 则 y f [ g( x)] 为 减；若 y f (u) 为减， u g( x) 为增，则 y f [ g (x)] 为减． （ 2）打“√”函数 f ( x) x a (a 0) 的图象与性质 x f ( x) 分别在 ( , a ] 、 [ a , ) 上为增函数，分别在 y [ a,0) 、 (0, a ] 上为减函数． （ 3）最大（小）值定义 ①一般地， 设函数 y f ( x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M o x 满足：（ 1）对于任意的 x I ，都有 f ( x) M ； （ 2）存在 x 0 I ，使得 f ( x 0 ) M ．那么，我们称 M 是函 数 f (x) 的最大值，记作f max ( x)M ． ②一般地，设函数y f ( x) 的定义域为I，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ，都有 f ( x)m ； （ 2）存在x0I ，使得f ( x0)m ．那么，我们称 m 是函数 f (x)的最小值，记作 f max ( x) m ． 【1.3.2 】奇偶性 （4）函数的奇偶性①定 义及判定方法 函数的 性质 定义图象判定方法 如果对于函数f(x) 定义（1）利用定义（要 域内任意一个x ，都有先判断定义域是否 f( － x)= － f(x), 那么函关于原点对称） ．．．．．．．．．．． （2）利用图象（图 数 f(x) 叫做奇函数． ．．．象关于原点对称） 函数的 奇偶性如果对于函数f(x) 定义（1）利用定义（要 域内任意一个x ，都有先判断定义域是否 f( － x)= f(x) , 那么函数关于原点对称） ．．．．．．．．．． （2）利用图象（图 f(x) 叫做偶函数． ．．． 象关于 y 轴对称） ②若函数 f (x) 为奇函数，且在x0 处有定义，则 f (0)0 ． ③奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反． ④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函 数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数． 〖补充知识〗函数的图象 （ 1）作图 ①平移变换 y f ( x)h 0, 左移h个单位 y f ( x h)y f ( x) k 0, 上移k个单位 y f ( x) k h 0,右移 | h|个单位k 0, 下移 | k |个单位 ②伸缩变换 y f ( x)③对称变换01, 伸 y f ( x)y f ( x)0 A 1, 缩 y Af (x) 1, 缩 A 1, 伸 y f ( x)x 轴 f ( x)y f ( x) y 轴 y f (x) y y f ( x)原点 f ( x)y f (x) 直线y x y f 1 (x) y y f ( x) 去掉y轴左边图 象 y f (| x |)保留y轴右边图象，并作其关y轴对称图 第-5-页共17页 第二章基本初等函数 ( Ⅰ) 〖2.1 〗指数函数 【2.1.1 】指数与指数幂的运算 1、根式的概念 （ 1）一般地，如果x n a ，那么 x 叫做 a的 n 次方根。其中 n1, n N . （ 2）当n为奇数时，n a n a ； （ 3）当n为偶数时，n a n a(a0) | a | (a0) a （ 4）我们规定： n a m m a n a 0, m, n N * , m 1 ； a n1n n 0； a （ 5）运算性质： ① a r a s a r s (a0,r , s R)② (a r ) s a rs (a 0, r , s R) ③ (ab)r a r b r (a 0,b 0, r R) 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． 【 2.1.2 】指数函数及其性质 （ 4）指数函数 函数名称指数函数 定义函数 y a x (a0 且a1) 叫做指数函数 a10 a1 y y a x y a x y 图象 y 1y 1(0,1) (0,1) O x O x 定义域R 值域(0,) 过定点图象过定点(0,1) ，即当 x 0 时， y 1． 奇偶性非奇非偶 单调性在 R 上是增函数在R上是减函数 a x 1 ( x 0) a x1(x 0) 函数值的a x 1 ( x 0) a x1(x0) 变化情况 a x a x 1 ( x 0)1(x0) a 变化对图象的影响在第一象限内， a 越大图象越高；在第二象限内， a 越大图象越低． 〖2.2 〗对数函数 【2.2.1 】对数与对数运算 （ 1）对数的定义 ①若 a x N (a 0,且a1)，则 x 叫做以 a 为底N的对数，记作 x log a N ，其中 a 叫做底数，N叫做真数． ②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：x log a N a x N (a 0, a1, N0)． （ 2）几个重要的对数恒等式 log a 10， log a a ， a log a N N ． 1 （ 3）常用对数与自然对数 常用对数： lg N ，即log10N ；自然对数：ln N，即log e N（其中e 2.71828 ,）．（ 4）对数的运算性质如果 a0, a1, M0, N0 ，那么 ①加法： log a M log a N log a (MN )②减法： log a M log a N log a M N ③数乘： nlog a M log a M n (n R)④a log a N N ⑤ log a b M n n log a M (b0, n R)⑥换底公式： log a N log b N (b0, 且 b1) b log b a ⑦倒数关系： log a b 1 a0, a 1, b0, b 1 . log b a 【 2.2.2 】对数函数及其性质 （5）对数函数 函数 名称 对数函数 定义函数 y log a x(a 0 且a1) 叫做对数函数 图象 a 10 a 1 x 1x1 y y log a x y y log a x (1,0) O(1,0)x O x 定义域(0,) 值域R 过定点图象过定点 (1,0) ，即当 x1时， y0． 奇偶性非奇非偶 单调性在 (0,) 上是增函数在 (0,) 上是减函数 log a x0(x1)log a x0(x1) 函数值的 log a x0(x1)log a x0(x1) 变化情况 log a x0(0x1)log a x0(0x1) a 变化对图象的影响在第一象限内， a 越大图象越靠低；在第四象限内， a 越大图象越靠高． (6) 反函数的概念 设函数 y f ( x) 的定义域为A，值域为C，从式子 y f ( x) 中解出x，得式子 x( y) ．如果对于y在 C 中的任何一个值，通过式子x( y) ，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x( y) 表示x是y 的函数，函数x( y) 叫做函数 y f (x) 的反函数，记作x f1 ( y) ，习惯上改写成y f1( x) ．（7）反函数的求法 ①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式y f ( x) 中反解出x f 1 ( y) ； ③将 x f1 ( y) 改写成 y f1 (x) ，并注明反函数的定义域． （ 8）反函数的性质 ①原函数 y f (x) 与反函数y f1( x) 的图象关于直线y x 对称． ②函数 y f (x) 的定义域、值域分别是其反函数y f1 (x) 的值域、定义域． ③若 P(a,b) 在原函数 y f ( x) 的图象上，则P'(b, a)在反函数y f 1( x) 的图象上． ④一般地，函数y f ( x)要有反函数则它必须为单调函数． 〖 2.3 〗幂函数 一般地，函数y x 叫做幂函数，其中x 为自变量，是常数 （ 2）幂函数的图象 （ 3）幂函数的性质 ① 图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限 ( 图象关于y轴对称 ) ；是奇函数时，图象分布在第一、三象限( 图象关于原点对称) ；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在(0,) 都有定义，并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果0 ，则幂函数的图象过原点，并且在[0,) 上为增函数．如果0 ，则幂函数的图象在(0,) 上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与 y 轴． ④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当q （其中 p, q 互质， p p q q 和 q Z ），若p为奇数q为奇数时，则 y x p是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则 y x p是偶函数，若p为 q 偶数 q 为奇数时，则y x p是非奇非偶函数． ⑤图象特征：幂函数y x , x(0,) ，当1时，若 0x1，其图象在直线y x 下方，若x 1 ，其图象在直线 y x 上方，当1时，若 0x 1，其图象在直线y x 上方，若x 1，其图象在直线 y x 下方． 〖补充知识〗二次函数 （ 1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式： f ( x) ax2bx c(a 0)②顶点式： f (x) a( x h)2k( a0) ③两根式： f ( x) a(x x1)( x x2 )(a0) （ 2）二次函数图象的性质 ①对称轴方程为x b, 顶点坐标是 (b, 4ac b2) ． 2a2a4a ②当 a 0 时，抛物线开口向上，函数在(,b] 上递减，在 [b, ) 上递增，当 x b时， 2a2a2a 4ac b2 ；当 a b ] b b f min ( x)0 时，抛物线开口向下，函数在 ( ,上递增，在 [,) 上递减，当 x 4a2a2a2a 4ac b2 时， f max ( x)． 4a ③二次函数 f ( x)ax2bx c(a0) 当b24ac 0时，图象与x 轴有两个交点 （ 3）一元二次方程ax2bx c 0(a0) 根的分布 设一元二次方程 ax2bx c 0(a0) 的两实根为x1, x2，且 x1x2．令 f (x)ax2bx c ，从以下四个 方面来分析此类问题：①开口方向： a ②对称轴位置：x b ③判别式：④端点函数值符号．2a （ 4）二次函数f (x)ax2bx c(a0) 在闭区间[ p, q]上的最值 设 f ( x) 在区间 [ p, q] 上的最大值为M，最小值为m，令 x01 ( p q) ． （Ⅰ）当 a0 时（开口向上） 2 ①若b p，则 m f ( p) ②若 p b q ，则 m f ( b )③若b q ，则 m f (q) 2a2a2a2a f f f f O f O b x b b)f) f (f( f ( 2 a)2a 2 a b x0，则M f (q)b f ( p) ①若 2a ②x0，则 M 2a f x f x 0 O x O x ) f f b f (b f (2 a) 2 a ( Ⅱ) 当a 0时( 开口向下 ) ①若b p ，则 M f ( p)②若 p b q ，则 M f ( b )③若b q ，则 M f (q) 2a2a2a2a f (b) f (b f ( b 2 a)) f f 2 a f 2 a O x O x f f f ①若 b x0，则 m f (q) b x0，则 m f ( p) ．2a ② b 2a b f () f () f 2 a f 2a x0x0 高中数学 必修 4 知识点 第一章 三角函数 正角 : 按逆时针方向旋转形成的角 1、任意角 负角 : 按顺时针方向旋转形成的角 零角 : 不作任何旋转形成的角 2、角 的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 为第几象限角． 第一象限角的集合为 k 360 k 360 90 , k 第二象限角的集合为 k 360 90 k 360 180 , k 第三象限角的集合为 k 360 180 k 360 270 , k 第四象限角的集合为 k 360 270 k 360 360 , k 终边在 x 轴上的角的集合为 k 180 ,k 终边在 y 轴上的角的集合为 k 180 90 , k 终边在坐标轴上的角的集合为 k 90 , k 3、与角 终边相同的角的集合为 k 360 , k 4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度． 5、半径为 r 的圆的圆心角 所对弧的长为 l ，则角 的弧度数的绝对值是 l ． r 6、弧度制与角度制的换算公式： 2360 ， 1 ， 1 180 57.3 ． 180 7、若扇形的圆心角为 为弧度制 ，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ，则 l r ， C 2r l ， S 1 lr 1 r 2 ． y 2 2 P T 8 、设 是一个任意大小的角， 的终边上任意一点 的坐标是 x, y ，它与原点的距 离是 r r x 2 y 2 y ， cos x ， tan y 0 ． O M A x 0 ，则 sin r x r x 9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正， 第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、角三角函数的基本关系： 1 sin 2cos21sin 2 1 cos2,cos 21sin 2； 2sin tan sin tan cos ,cos sin cos tan （ 3）倒数关系：tan cot1 12、函数的诱导公式： 1 sin2k sin， cos 2k cos， tan 2k tan k． 2 sin sin， cos cos， tan tan． 3 sin sin ， cos cos， tan tan． 4 sin sin， cos cos， tan tan． 口诀：函数名称不变，符号看象限． 5 sin 2cos， cos 2 sin． 6sin cos， cos sin ． 22 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 13、①的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数 y sin x的图象；再将函数 y sin x 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1 倍（纵坐标不变），得到函数 y sin x的图象；再将 函数 y sin x的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数y sin x的图象． ②数 y sin x 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1倍（纵坐标不变），得到函数 y sin x 的图象；再将函数 y sin x 的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数y sin x的图象；再将函数y sin x的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数 y sin x的图象． 14、函数y sin x0,0 的性质： ①振幅：；②周期：21 ；④相位：x；⑤初相：．；③频率： f 2 函数 y sin x，当 x x1时，取得最小值为 y min；当 x x2时，取得最大值为 y max，则 1y m a x y m i n ，1y min，x2 x1x1 x2． y max 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： 函 性数y sin x y cos x y tan x 质 y=cotx y y=cotx 图象 定义 域R 值域1,1 当x2k 2 k 时， y max1； 最值 k 当x 2 k2 时，y min1 ． 周期2 性 奇偶奇函数 性 在 2k,2 k 2 2 k上是增函数；在单调 性3 2k, 2k 22 k上是减函数． 对称中心对称 k,0k 性对称轴 x k k 2 -- o 2 32x 22 R x x k, k x x k,k 22 1,1R R 当x2k k时 y max1；既无最大值也无最既无最大值也无最小当 x2k 小值值 k 时，y min1． 2 偶函数奇函数奇函数 在 2k,2k k上在k 2 ,k 是增函数；在 2 2k,2 k k上 k上是增函 数． 是减函数． 对称中心 称中心对称中心 对 k,0k k,0k k ,0k 2 22 对称轴x k k无对称轴无对称轴 第二章 平面向量 16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为 0 的向量． 单位向量：长度等于 1个单位的向量． 平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式： a b a b a b ． ⑷运算性质：①交换律： a b b a ； ②结合律： a b c a b c ；③ a 0 0 a a ． C ⑸坐标运算：设 a x 1 , y 1 ， b x 2 , y 2 ，则 a b x 1 x 2 , y 1 y 2 ． a 18、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． b ⑵坐标运算：设 a x 1 , y 1 ， b x 2 , y 2 ，则 a b x 1 x 2 , y 1 y 2 ． 设 、 两点的坐标分别为 x 1 , y 1 ， x 2 , y 2 ，则 x 1 x 2 ,y 1 y 2 ． a b C C 19、向量数乘运算： ⑴实数 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作 a ． ① a a ； ②当 0 时， a 的方向与 a 的方向相同；当 0 时， a 的方向与 a 的方向相反；当 0 时， a 0 ． ⑵运算律：① a a ；② a a a ；③ a b a b ． ⑶坐标运算：设 a x, y ，则 a x, y x, y ． 20、向量共线定理：向量 a a 0 与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 b a ． 设 a x 1, y 1 ， b x 2 , y 2 ，其中 b 0 ，则当且仅当 x 1 y 2 x 2 y 1 0 时，向量 a 、 b b 0 共线． 21、平面向量基本定理：如果 e 1 、 e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a ，有 且只有一对实数 1 、 2 ，使 a 1 e 1 2 e 2 ．（不共线的向量 e 1 、 e 2 作为这一平面内所有向量的一组基底） 22、分点坐标公式：设点 是线段 1 2 上的一点， 1 、 2 的坐标分别是 x 1, y 1 ， x 2 , y 2 ，当 1 2 时， x x ,y y 1时，就为中点公式。） 23、平面向量的数量积： ⑴ a b a b cos a0, b0,0180．零向量与任一向量的数量积为0 ． ⑵性质：设 a 和 b 都是非零向量，则①a b a b0 ．②当a与b同向时，a b a b ；当 a 与 b 反向时， a b a b ； a a a 2a 2 a a ．③a b a b．或 a ⑶运算律：① a b b a ；②a b a b a b；③ a b c a c b c ． ⑷坐标运算：设两个非零向量a x1 , y1， b x2 , y2，则 a b x1x2y1 y2． 若 a x, y，则 a 2 y2，或 a x2y2．设a x1, y1，b x2 , y2，则 a b xx1 2 yy 1 20 ．x2 设 a 、b 都是非零向量，a x1, y1， b x2 , y2，是 a 与b的夹角，则cos a b x1 x2 y1 y2 ．a b x12y12 x22y22 ⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系． ②设平面的法向量为 n( x, y, z) ． ③求出平面内两个不共线向量的坐标a( a1 ,a2 , a3), b(b1 , b2 , b3 ) ． n a0 ④根据法向量定义建立方程组. n b0 ⑤解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量 . （如图） 1、用向量方法判定空间中的平行关系 ⑴线线平行 设直线l,l 2的方向向量分别是、，则要证明l 1 ∥l 2 ，只需证明a∥ b ，即a kb(k R). 1 a b 即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。 ⑵线面平行 ①（法一）设直线l 的方向向量是 a ，平面的法向量是u ，则要证明l∥，只需证明 a u ，即 a u0 . 即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外 ②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即 可 . ⑶面面平行 若平面的法向量为 u ，平面的法向量为v ，要证∥，只需证u∥ v，即证u v . 即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。 3、用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直 设直线 l1, l2的方向向量分别是 、，则要证明 l1 l2，只需证明 a b ，即 a b 0 . a b 即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。 ⑵线面垂直 ①（法一）设直线l ②（法二）设直线l 的方向向量是 a ，平面的法向量是 u ，则要证明l，只需证明 a ∥ u ，即 au .的方向向量是 a ，平面 a m0 内的两个相交向量分别为m、n ，若, 则 l. a n0 即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的 方向向量都垂直。 ⑶面面垂直 若平面的法向量为 u ，平面的法向量为v ，要证，只需证u v ，即证 u v0 . 即：两平面垂直两平面的法向量垂直。 4、利用向量求空间角 ⑴求异面直线所成的角 已知 a, b 为两异面直线，A， C与 B， D分别是a,b上的任意两点，a, b 所成的角为， AC BD 则 cos. AC BD ⑵求直线和平面所成的角 ① 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角 ②求法：设直线 l 的方向向量为 a ，平面的法向量为u ，直线与平面所成的角为，a与u的夹角为，则 为的余角或的补角 的余角 . 即有： sin cos a u . a u ◆如果是锐角，则 cos cos m n arccos m n ，即；m n m n ◆ 如果是钝角，则 cos cos m n arccos m n m n ,即. m n 第三章三角恒等变换 24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴ cos cos cos sin sin ； ⑵ cos cos cos sin sin ； ⑶ sin sin cos cos sin ； ⑷ sin sin cos cos sin ； tan tan tan tan 1 tan tan ⑸ tan tan （ tan 1 tan tan tan tan tan 1 tan tan ⑹ tan tan （ tan 1 tan 25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ）； ）． ⑴ sin 2 2sin cos ． 1 sin 2 sin 2 cos 2 2 sin cos(sincos )2 ⑵ cos2 cos 2 sin 2 2cos 2 1 1 2sin 2 升幂公式 1 cos 2cos 2 ,1 cos 2 sin 2 2 2 降幂公式 cos 2 cos 2 1 ， sin 2 1 cos2 ． 2 2 26、 万能公式 : 2 tan α 1 tan 2 α sin α 2 ; cos α 2 tan 2 α tan 2 α 1 1 2 2 2 tan ． tan2 tan 2 1 27、 : 半角公式 cos α 1 cos α ; sin α 1 cos α 2 2 2 2 α 1 cos α sin α 1 cos α t an 1 cos α 1 cos α sin α 2 ① 2 是 的二倍； 4 是 2 的二倍； 是 的二倍； 是 的二倍； 2 2 4 ② 15o 45o 30 o 60 o 45o 30o ；问： sin ； cos ； 2 12 12 ③ ( ) ；④ 4 ( 4 ) ； 2 ⑤ 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ；等等 4 4 按住Ctrl 键单击鼠标打开教学视频动画全册播放 1.1．1 任意角 教学目标 （一） 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二） 过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写． （三） 情感与态度目标 1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点 任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点 终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入： 1．回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课： 1．角的有关概念： ①角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称： ③角的分类： ④注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？ 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边 顶点 A O B 例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°； 答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究：教材P3面 终边相同的角的表示： 所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k ·360 ° ， k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意： ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角； ⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差 360°的整数倍； ⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角． 例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角． ⑴－120°；⑵640 °；⑶－950°12＇． 答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角； 例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}． 例5．写出终边在x y =上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类： ③象限角； ④终边相同的角的表示法． 5．课后作业： ①阅读教材P 2-P 5； ②教材P 5练习第1-5题； ③教材P .9习题1.1第1、2、3题 思考题：已知α角是第三象限角，则2α，2 α 各是第几象限角？ 解：α 角属于第三象限， 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 高中数学必修4知识点总结 第一章三角函数 正角:按逆时针方向旋转形成的角 1任意角’负角:按顺时针方向旋转形成的角 '零角:不作任何旋转形成的角 2、角〉的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 :-为第几象限角. 第一象限角的集合为 Q k 360Q G 高中数学必修4知识点汇总 第一章：三角函数 1、任意角①正角：按逆时针方向旋转形成的角 ②负角：按顺时针方向旋转形成的角 ③零角：不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 新课标高中数学人教A版必修四教材解读4 尤溪第一中学罗世卿 四、教学内容分析 第三章三角恒等变换 课程标准内容： 1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用。 2．能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。 3．能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆） 知识结构： 3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 课时安排： 建议本节4课时 第1课时:两角差的余弦公式； 第2课时:两角和与差的正弦、余弦和正切公式； 第3课时:二倍角的正弦、余弦和正切公式； 第4课时:公式的综合运用. 教学要求： 基本要求。①了解学习两角和与差三角函数公式的必要性；②理解用三角函数线、向量推导两角差的余弦公式的思路；③能利用两角差的余弦公式推出两角和与倍角的其它三角函数公式；④能利用这些公式进行和、差、倍角的求值和简单的化简。 发展要求。①理解在两角差的余弦公式的推导过程中所体现的向量方法。②理解和、差、倍角的相对性，能对角进行合理正确的拆分。③能对公式进行简单的逆用。 说明。①控制好拆分角度的难度。②题型的变化不宜过多。 重点难点： 重点：通过探索和讨论交流，导出两角差与和的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系。 难点：两角差的余弦公式的探索和证明。 教学建议： 教学中力求从学生的已有经验和知识储备入手，采用实验探究、交流讨论等方式进行教学，可以设计一定的教学情景，引导学生从数形结合的角度出发，利用单位圆中的三角函数线、三角形中的边角关系等建立包含，，的正弦、余弦值的等量关系。教学时应当注意下面四个要点：①在需要学生联系已学过的其它知识时，有意识的引导学生联想向量知识；②充分利用单位圆，分析其中有关几何元素（角的终边及其夹角）的关系,为向量方法的运用做好准备；③探索过程的安排，应当先把握整体，然后逐步追求细节,在补充完善细节的过程中,需要运用分类讨论思想,突破两角差的余弦公式的推导这一难点后,其他所有公式都可以通过学生自己的独立探索而得出。④本章不仅关注使学生得到差（和）角公式，而且还特别关注公式推导过程中体现的数学思想方法。 在两角差的余弦公式的推导中体现了数形结合思想以及向量方法的应用；从两角差的余弦公式推出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦和正切公式的过程中，始终引导学生体会化归思想；在应用公式进行恒等变换的过程中，渗透了观察、类比、特殊化、化归等思想方法。特别是充分发挥了“观察”“思考”“探究”等栏目的作用，对学生解决问题的一般思路进行引导。教材还对三角变换中的数学思想方法作了明确的总结。例如，在旁白中有“倍”是描述两个数量之间关系的，是的二倍……是的二倍,这里蕴含着换元的思想。 这两个式子的左右两边在结构上有什么不同”等，这些都可以成为我们加强对思想方法渗透的一个重要的内容，也是我们开展研究性学习的好素材。 本章强调了用向量方法推导差角的余弦公式，并用三角函数之间的关系推导和（差）角公式、二倍角公式。要把重点放在培养学生的推理能力和运算能力上，降低变换的技巧性要求。教学时应当把握好这种“度”，遵循“标准”所规定的内容和要求，不要随意补充知识点（如半角公式、积化和差与和差化积公式，这些公式只是作为基本训练的素材，结果不要求记忆，更不要求运用）。 3．2简单的三角恒等变换（3课时） 教学要求： 基本要求。①能利用和、差、倍角的公式进行基本的变形，并证明三角恒等式。②能利用三角恒等变换研究三角函数的性质。③能把一些实际问题化为三角问题，通过三角变换解决。 发展要求。①了解和、差、倍角公式的特点，并进行变形应用。②理解三角变换的基本特点和基本功能。③了解三角变换中蕴藏的数学思想和方法。 说明。积化和差、和差化积、半角公式只作为练习，不要求记忆。 重点难点： 重点：掌握三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点. 难点：公式的灵活应用. 教学建议： 三角恒等变换与代数恒等变换、圆的几何性质等都有紧密联系，推导两角差的余弦公式的过程比较集中地反映了这种联系，从中体现了丰富的数学思想。从数学变换的角度看，三角恒等变换与代数恒等变换既有相同之处又有各自特点。相同之处在于它们都是运用一定的数学工具对相应的数学式子作“只变其形不变其质”的数学运算，对其结构形式进行变换。由于三角函数式的差异不仅表现在其结构形式 高中数学必修四知识点总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 浙江省亭旁中学高一数学(下)月考试卷 答案做在答题卷上 满分150分 时间120分 一、选择题（共10小题，每小题5分） 1．下面四个命题正确的是 （ ） (A). 第一象限角必是锐角 (B).小于90的角是锐角 (C).若cos 0α<，则α是第二或第三象限角 (D).锐角必是第一象限角 2．如果1 cos()2 A π+=-，那么sin()2A π+的值是 （ ） （A ）．12- （B ）12 （C ）33 3．下列四式不能化简为AD 的是 （ ） A ．；）＋＋（BC CD A B B ．）；＋）＋（＋（CM B C M B AD C ．；－＋BM A D M B D ．；＋－CD OA OC 4、如果点)cos 2,cos (sin θθθP 位于第三象限，那么角θ所在象限是（ ） Ａ、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 5．为了得到函数sin(2)3 y x π =-的图像，只需把函数sin(2)6y x π =+的图像（ ） （A ）向左平移 4π个长度单位 （B ）向右平移4π 个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2 π 个长度单位 6． 函数sin(3)4 y x π =- 的图象是中心对称图形,其中它的一个对称中心是 ( ) （A ） ．,012π??- ??? （B ）． 7,012π?? - ??? （C ）． 7,012π?? ??? （D ）． 11,012π?? ??? 7． 已知x 2sin )x (tan f =，则)1(-f 的值是（ ） A 1 B 1- C 2 1 D 0 8.已知3sin 5m m θ-=+，524cos +-=m m θ，其中,2πθπ??∈???? ，则θtan 的值为（ ） （A ）.125- （B ）. 125 (C). 12 5 - 或43- (D). 与m 的值有关 高中数学必修4知识点 第一章 三角函数 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边落 在第几象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限，叫做轴线角。 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?< ①角度化为弧度： 180180ππ n n n o o o = ? =，②弧度化为角度：o o 180180?? ? ??=?=παπαα （3）若扇形的圆心角为α（α是角的弧度数），半径为r ，则： 弧长公式： ①,180 （用度表示的）π n l = ② （用弧度表示的）r l ||α=； 扇形面积：①)(3602用度表示的扇r n s π=② lr r S 2 1 ||212==α扇（用弧度表示的） 5、三角函数: （1）定义①：设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点 是(),x y ，它与原点的距离是( ) 0r OP r ==>， 则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠ 定义②：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (那么v 叫做α的正弦，记作sin α,即sin α=y ; u 叫做α的余 弦，记作cos α，即cos α=x ; 当α的终边不在y 轴上时， x y 叫做α的正切，记作tan α, 即tan α=x y . （2）三角函数值在各象限的符号：口诀：全正，S 正，T 正，C 正。 口诀：第一象限全为正； 二正三切四余弦. （3）特殊角的三角函数值 αsin x y + + _ _ O x y + + _ _ αcos O αtan x y + + _ _ O 第1，2课时1.1．1 任意角 教学目标 （一） 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二） 过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写． （三） 情感与态度目标 1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点：任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点：终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入： 1．回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课： 1．角的有关概念： ①角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称： ③角的分类： ④注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 始 边 终 边 顶 点 A O B 负角：按顺时针方向旋转形成的角 角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？ 例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°； 答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究： 终边相同的角的表示： 所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{β|β=α+k ·360°，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意： ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角； ⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差 360°的整数倍； ⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角． 例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角． ⑴－120°；⑵640 °；⑶－950°12＇． 答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角； 例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}． 例5．写出终边在x y 上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类： ⑵ B 1 y ⑴ O x 45° B 2 O x B 3 y 30° 60o 高中数学必修4三角函数知识点总结 §1.1.1、任意角 1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角α终边相同的角的集合： {}Z k k ∈+=,2παββ. §1.1.2、弧度制 1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2、 r l = α. 3、弧长公式：R R n l απ== 180 . 4、扇形面积公式：lR R n S 2 1 3602== π. §1.2.1、任意角的三角函数 1、 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：x y x y ===αααtan ,cos ,sin 2、 设点(),A x y 为角α终边上任意一点，那么： （设r = sin y r α= ，cos x r α=，tan y x α=，cot x y α= 3、 αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法. 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT 4、 特殊角0°，30°，45°，60°， §1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系：1cos sin 22=+αα. 2、 商数关系：α α αcos sin tan = . 3、 倒数关系：tan cot 1αα= §1.3、三角函数的诱导公式 （概括为Z k ∈） 1、 诱导公式一： ()()().tan 2tan ,cos 2cos , sin 2sin απααπααπα=+=+=+k k k （其中：Z k ∈） 2、 诱导公式二： ()()(). tan tan ,cos cos , sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+ 3、诱导公式三： ()()().tan tan ,cos cos , sin sin αααααα-=-=--=- 4、诱导公式四： ()()(). tan tan ,cos cos , sin sin ααπααπααπ-=--=-=- 5、诱导公式五： .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ=??? ??-=??? ??- 6、诱导公式六： .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ-=?? ? ??+=??? ??+ §1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象： 2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、 单调性、周期性. 3、会用五点法作图. sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为： 30010-1202 2 π πππ（， ）（，，）（，，）（，，）（，，）. §1.4.3、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象： 北师大高中数学必修四知识点 第一章 三角函数 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边落 在第几象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限，叫做轴线角。 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?< 弧长公式：r l ||α= ；扇形面积：2||2 1 21r lr S α=== 5、三角函数: （1）定义:①设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (u 那么v 叫做α的正弦，记作sin α,即sin α= v ; u 叫做α的余 弦，记作cos α，即cos α=u ; 当α的终边不在y 轴上时，u v 叫 做α的正切，记作tan α, 即tan α= u v . ②设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标 是(),x y ，它与原点的距离是( ) 0r OP r ==>， 则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠ （2）三角函数值在各象限的符号： 口诀：第一象限全为正； 二正三切四余弦. （3）特殊角的三角函数值 αsin x y + + _ _ O x y + + _ _ αcos O αtan x y + + _ _ O 高中数学必修4教案按住Ctrl键单击鼠标打开教学视频动画全册播放 1.1．1 任意角教学目标（一）知识与技能目标理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二）过程与能力目标会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写．（三）情感与态度目标 1．提高学生的推理能力； 2．培养学生 应用意识．教学重点任意角概念的理解；区间角的集合的书写．教学难点终边相同角的集合 的表示；区间角的集合的书写．教学过程一、引入：1．回顾角的定义①角的第一种定义是 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕 着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．二、新课： 1．角的有关概念：①角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．②角 的名称：始边 B 终边③角的分类： O A 顶点正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角④注意：⑴在不引 起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”；⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°；⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角．⑤练习：请说出角α、β、γ各是多 少度? 2．象限角的概念：①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．例1．如图⑴⑵中的角 分别属于第几象限角？ y y B 145° 30° x x o60 O O B 2B 3⑵ ⑴ 例2．在直 角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． 1 高中数学必修4教案⑴ 60°；⑵ 120°；⑶ 240°； ⑷ 300°；⑸ 420°；⑹ 480°；答：分别为1、2、3、 高中数学必修四 第一章 知识点归纳 第一:任意角的三角函数 一：角的概念:角的定义,角的三要素,角的分类(正角、负角、零角和象限角）,正确理解角,与角终边相同的 角的集合 } {|2,k k z ββπα=+∈ , 弧度制，弧度与角度的换算， 弧长l r α=、扇形面积2112 2 s lr r α==， 二:任意角的三角函数定义：任意角α的终边上任意取一点p 的坐标是(ｘ,ｙ）,它与原点的距离是 22r x y =+（r>0），那么角α的正弦r y a = sin 、余弦r x a =cos 、正切x y a =tan ，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数。 三：同角三角函数的关系式与诱导公式： １.平方关系: 22sin cos 1 αα+= 2. 商数关系： sin tan cos α αα = 3．诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。 正弦 余弦 正切 第二、三角函数图象和性质 基础知识:１、三角函数图像和性质 1-1 y=sinx -3π2 -5π2 -7π2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π4π 3π 2π π -π o y x 1-1y=cosx -3π2 -5π2 -7π 2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π 4π 3π 2π π -π o y x 2、熟练求函数sin()y A x ω?=+的值域,最值,周期，单调区间，对称轴、对称中心等 ,会用五点法作 sin()y A x ω?=+简图:五点分别为： 、 、 、 、 。 3、图象的基本变换：相位变换:sin sin()y x y x ?=?=+ 周期变换：sin()sin()y x y x ?ω?=+?=+ 振幅变换：sin()sin()y x y A x ω?ω?=+?=+ 4、求函数sin()y A x ω?=+的解析式:即求A 由最值确定，ω有周期确定，φ有特殊点确定。 基础练习： 1、tan(600)-= . sin 225?= 。 2、已知扇形AOB 的周长是6cm ，该圆心角是１弧度,则扇形的面积= cm 2 . 3、设a <0，角α的终边经过点P （-3a ，4a ），那么ｓin α+2cos α的值等于 ４、函数 y =的定义域是＿____ __ 5、. 的结果是 。 6、函数x y 2sin 3=的图象可以看成是将函数)3 x 2sin(3y π -=的图象-------( ） (A)向左平移个6π单位 (B ）向右平移个6π单位(C ）向左平移个3π单位 （D ）向右平移个3 π 单位 7、已知0tan ,0sin ><θθ,那么θ是 。 8.已知点P (tan α,ｃｏｓα）在第三象限，则角α的终边在 ９、下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3 π = x 对称的是( ) A ．sin(2)3π=-y x Ｂ.sin(2)6π=-y x Ｃ．sin(2)6π=+y x D ．sin()23 π =+x y 10、下列函数中,周期为π的偶函数是（ ) A.cos y x = B.sin 2y x = C. tan y x = D. sin(2)2 y x π =+ 解答题解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 第一类型:1、已知角α终边上一点P(－4,3)，求) 2 9sin()211cos() sin()2cos(απαπαπαπ +---+的值 新人教版高中数学必修四教材分析 一、教材分析的理论 本文分析的内容为新人A教版高中数学（必修四），运用系统理论进行研究，其出发点就是将教材看成是一个系统。分析系统的要素之间整体与部分的构成关系，以及形成的不同质态的分系统及其排列次序。 进行教材分析，首先从整个数学教育发展到教师个人专业成长，再到课堂教学等方面研究教材分析的意义；然后，按照树立正确教材观、深刻理解课标、分析教材特点、分析教材内容结构、处理教材等步骤研究如何科学分析高中数学教材，其中的案例均来自人教A版高中数学(必修四)；最后，结合典例分析的感悟，提出了高中数学教材分析时应坚持的思想性、实践性、整体性及发展性原则，以提升教材分析的效果。 二、数学必修四第三章的教材分析 从系统上看作为新课程高中数学非常重要的必修四，它是由“第一章三角函数、第二章平面向量、第三章三角恒等变换”三部分内容组成。内容层层递进，逐步深入，这对于发展学生的运算和推理能力都有好处。 本章内容以三角恒等变换重点，体会向量方法的作用，并利用单位圆中的三角函数线、三角形中的边角关系等建立的正弦、余弦值的等量关系。在两角差的余弦公式的推导中体现了数形结合思想以及向量方法的应用；从两角差的余弦公式推出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦和正切公式的过程中，始终引导学生 体会化归思想；在应用公式进行恒等变换的过程中，渗透了观察、类比、特殊化、化归等思想方法。特别是充分发挥了“观察”“思考”“探究”等栏目的作用，对学生解决问题的一般思路进行引导。教材还对三角变换中的数学思想方法作了明确的总结。 本章还强调了用向量方法推导差角的余弦公式，并用三角函数之间的关系推导和（差）角公式、二倍角公式。要把重点放在培养学生的推理能力和运算能力上，降低变换的技巧性要求。教学时应当把握好这种“度”，遵循“标准”所规定的内容和要求，不要随意补充知识点（如半角公式、积化和差与和差化积公式，这些公式只是作为基本训练的素材，结果不要求记忆，更不要求运用）。 三、数学必修四第三章第一课时的教材分析 3.1教学要求： 基本要求： ①能利用和、差、倍角的公式进行基本的变形，并证明三角恒等式。 ②能利用三角恒等变换研究三角函数的性质。 ③能把一些实际问题化为三角问题，通过三角变换解决。 发展要求： ①了解和、差、倍角公式的特点，并进行变形应用。 ②理解三角变换的基本特点和基本功能。 ③了解三角变换中蕴藏的数学思想和方法。 3.2重点难点： 新人教版高中数学必修4知识点总结经典 新课标高中数学必修4知识点详细总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?< 、 .~ ①我们‖打〈败〉了敌人。 ②我们‖〔把敌人〕打〈败〉了。 高一新课标人教版必修4公式总结 复习指南 1．注重基础和通性通法 在平时的学习中，应立足教材，学好用好教材，深入地钻研教材，挖掘教材的潜力，注意避免眼高手低，偏重难题，搞题海战术，轻视基础知识和基本方法的不良倾向，当然注重基础和通性通法的同时，应注重一题多解的探索，经常利用变式训练和变式引申来提高自己的分析问题、解决问题的能力。 2.注重思维的严谨性 平时学习过程中应避免只停留在“懂”上，因为听懂了不一定会，会了不一定对，对了不一定美。即数学学习的五种境界：听——懂——会——对——美。 我们今后要在第五种境界上下功夫，每年的高考结束，结果下来都可以发现我们宿迁市的考生与南方的差距较大，这就是其中的一个原因。 另外我们的学生的解题的素养不够，比如仅仅一点“规范答题”问题，我们老师也强调很多遍，但作为学生的你们又有几人能够听进去！ 希望大家还是能够做到我经常所讲的做题的“三观”： 1. 审题观 2. 思想方法观 3. 步骤清晰、层次分明观 3. 注重应用意识的培养 注重培养用数学的眼光观察和分析实际问题，提高数学的兴趣，增强学好数学的信心，达到培养创新精神和实践能力的目的。 4.培养学习与反思的整合 建构主义学习观认为知识并不是简单的由教师或者其他人传授给学生的，而只能由学生依据自身已有的知识、经验，主动地加以建构。学习是一个创造的过程，一个批判、选择、和存疑的过程，一个充满想象、探索和体验的过程。你不想学，老师强行的逼迫是不容易的或者说是作用不大，俗话说“强扭的瓜不甜”嘛！数学学习不但要对概念、结论和技能进行记忆，积累和模仿，而且还要动手实践，自主探索，并且在获得知识的基础上进行反思和修正。（这也就是我们经常将让大家一定要好好预习，养成自学的好习惯。）记得有一位中科院的教授曾经给“科学”下了一个定义：科学就是以怀疑和接纳新知识作为进步的标准的一门学问，仔细想来确实很有道理！ 所以我们在平时学习中要注意反思，只有这样才能使内容得到巩固，知识的得到拓展，能力得到提高，思维得到优化，创新能力得到真正的发展，希望大能够让数学反思成为我们的自然的习惯！ 5.注重平时的听课效率 听课效率高不仅可以让自己深刻的理解知识，而且事半功倍，可以省好多的时间。而有些同学则认为上课时听不到什么，索性就不听，抓紧课堂上的每一点时间做题，多做几道题心里就踏实。这种认识是不科学的，想象如果上课没有用的话，国家还开办学校干嘛？只要印刷课本就足够了，学生买了书就可以自己学习到时候参加考试就行了。 想想好多东西还是在课堂上聆听的，听听老师对问题的分析和解题技巧，老师是如何想到的，与自己预习时的想法比较。课堂上记下比较重要的东西，更重要的是跟着老师的思路，注重老师对题目的分析过程。课后宁愿花时间去整理笔记，因为整理笔记实际上是一种知识的整合和再创造！回忆课堂上老师是怎样讲的，自己在整理时有比较好的想法，就记下来，抓住自己思维的火花，因为较为深刻的思维火花往往 高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正， 第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 10、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 11、角三角函数的基本关 系 必修四常考公式及高频考点 第一部分 三角函数与三角恒等变换 考点一 角的表示方法 1.终边相同角的表示方法： 所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以构成一个集合：{β|β= k ·360 °+α,k ∈Z } 2.象限角的表示方法： 第一象限角的集合为{α| k ·360 °<α人教版新课标高中数学必修四 全册教案
人教版高中数学必修4知识点总结
高中数学必修4知识点总结归纳(人教版最全)
新课标高中数学人教A版必修四教材解读
高中数学必修4知识总结(完整版)
新课标人教A版高中数学必修4单元测试月考一)
打印版 高中数学必修四知识点(非常详细)
高中数学人教版必修4全套教案
新课标人教A版高中数学必修四三角函数知识点总结
北师大高中数学必修四知识点(非常详细)
人教版新课标高中数学必修4-全册教案
高中数学必修4第一章知识点总结及典型例题
新人教版高中数学必修四教材分析
新人教版高中数学必修4知识点
高一数学人教版必修四复习资料
人教版高中数学必修4知识点总结
高中数学人教版必修四常见公式及知识点系统总结(全)
相关文档
- 2018年人教版高中数学必修四重点知识点归纳总结
- 人教版高中数学必修4知识点总结归纳
- 高中数学必修4知识总结(完整版)
- 高中数学必修4知识点总结精简版
- 高中数学人教版必修四常见公式及知识点系统总结(全)
- 人教版高中数学必修4知识点归纳总结
- 人教版高中数学必修四知识点归纳总结
- 人教版高一数学必修4知识点总结
- 高中数学必修4平面向量知识点总结
- 高中数学必修4知识点总结
- 高中数学必修4知识点总结培训资料
- 数学必修四知识点总结
- 数学必修四知识点总结
- 高中数学必修4知识点总结归纳(人教版最全)
- 人教版高中数学必修四知识点归纳总结
- 2020年人教版高中数学必修四知识点归纳总结
- 人教版高中数学必修4知识点总结归纳
- 高一数学必修4各章知识点总结
- 高中数学必修4知识点总结
- 高中数学必修4第三章 三角恒等变换知识点归纳