等比数列及其前n 项和易错点
主标题:等比数列及其前n 项和易错点
副标题:从考点分析等比数列及其前n 项和在高考中的易错点,为学生备考提供简洁有效的备考策略。
关键词:等比数列,等比数列前n 项和,等比数列的性质,易错点
难度:3
重要程度:5
内容:
【易错点】
1.对等比数列概念的理解
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数,则这个数列是等比数列.(×)
(2)三个数a ,b ,c 成等比数列的充要条件是b 2=ac .(×)
(3)若三个数成等比数列,那么这三个数可以设为a q ,a ,aq .(√)
2.通项公式与前n 项和的关系
(4)数列{a n }的通项公式是a n =a n
,则其前n 项和为S n =a (1-a n )1-a .(×) (5)设首项为1,公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则S n =3-2a n .(√)
3.等比数列性质的活用
(6)如果数列{a n }为等比数列,则数列{ln a n }是等差数列.(×)
(7)在等比数列{a n }中,已知a 7·a 12=5,则a 8a 9a 10a 11=25.(√)
(8)等比数列x,3x +3,6x +6,…的第四项等于-2或0.(×)
剖析:1. 等差数列的首项和公差可以为零,且等差中项唯一;而等比数列首项和公比均不为零,等比中项可以有两个值.如(1)中的“常数”,应为“同一非零常数”;(2)中,若b 2=ac ,则不能推出a ,b ,c 成等比数列,因为a ,b ,c 为0时,不成立.
2.一是在运用等比数列的前n 项和公式时,必须注意对q =1或q ≠1分类讨论,防止因忽略q =1这一特殊情形而导致解题失误,如(4).
二是运用等比数列的性质时,注意条件的限制,如(6)中当a n+1
a n=q<0时,ln a n+1
-ln a n=ln q无意义.
等比数列及其前n 项和 [考纲传真] 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系. 【知识通关】 1.等比数列的有关概念 (1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用 字母q 表示,定义的数学表达式为a n +1a n =q (n ∈N *,q 为非零常数). (2)等比中项:如果a ,G ,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项.即G 是a 与b 的等比中项?a ,G ,b 成等比数列?G 2=ab . 2.等比数列的有关公式 (1)通项公式:a n =a 1q n -1=a m q n -m . (2)前n 项和公式: S n =??? na 1(q = 1),a 1(1-q n )1-q =a 1-a n q 1-q (q ≠1). [常用结论] 1.在等比数列{a n }中,若m +n =p +q =2k (m ,n ,p ,q ,k ∈N *),则a m ·a n =a p ·a q =a 2k . 2.若数列{a n },{b n }(项数相同)是等比数列,则{λa n }(λ≠0),???? ??1a n ,{a 2n },{a n ·b n },???? ??a n b n 仍然是等比数列. 3.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 仍成等比数列,其公比为q n ,其中当公比为-1时,n 为偶数时除外. 【基础自测】 1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)满足a n +1=qa n (n ∈N *,q 为常数)的数列{a n }为等比数列.( ) (2)G 为a ,b 的等比中项?G 2=ab .( ) (3)若{a n }为等比数列,b n =a 2n -1+a 2n ,则数列{b n }也是等比数列.( )
等比数列的前n 项和 【教学目标】 知识与技能:掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路;会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。 过程与方法:经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用,总结数列的求和方法,并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。 情感态度与价值观:在应用数列知识解决问题的过程中,要勇于探索,积极进取,激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。 【教学重点】 等比数列的前n 项和公式推导 【教学难点】 灵活应用公式解决有关问题 【学情分析】 针对学生学习等差数列前n 项和时的情况,一定在本节课的教学中加大思想方法的教学力度,突破错位相减思想理解困难。引导学生完成基本技能的训练。 【教学过程】 一、课题导入 创设情境 提出问题 :“国王对国际象棋的发明者的奖励” 二、讲授新课 分析问题:如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列,我们可以得到一个等比数列,它的首项是1,公比是2,求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。下面我们先来推导等比数列的前n 项和公式。 等比数列的前n 项和公式: 当1≠q 时, q q a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ②当q=1时,1 na S n =当已知1a , q , n 时用公式①;当已知1a , q , n a 时,用公式②。 公式的推导方法一:
一般地,设等比数列 n a a a a ,,321+它的前n 项和是 =n S n a a a a +++321由 ???=+++=-11321n n n n q a a a a a a S 得 ?????++++=++++=---n n n n n n q a q a q a q a q a qS q a q a q a q a a S 1113121111212111 n n q a a S q 11)1(-=-∴ 论同上)∴当1≠q 时, q q a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ②当q=1时,1 na S n =公式的推导方法二:有等比数列的定义,q a a a a a a n n ====-12 312 根据等比的性质,有q a S a S a a a a a a n n n n n =--=++++++-112132 即 q a S a S n n n =--1?q a a S q n n -=-1)1((结围绕基本概念,从等比数列的定义出发,运用等比定理,导出了公式。 公式的推导方法三: =n S n a a a a +++321=) (13211-++++n a a a a q a =11-+n qS a =) (1n n a S q a -+?q a a S q n n -=-1)1((结论同上) 解决问题; 有了等比数列的前n 项和公式,就可以解决刚才的问题。 由11,2,64a q n ===可得 1(1)1n n a q S q -=-=641(12)12?--=6421-。 6421-这个数很大,超过了19 1.8410?。国王不能实现他的诺言。三、 例题讲解 例1.求下列等比数列的各项的和:
等比数列的前n项和例题详细解法?例题解析 【例1】设等比数列的首项为a(a>0),公比为q(q>0),前n项和为80,其中 最大的一项为54,又它的前2n项和为6560,求a和q. 解:由S n=80,S2n=6560,故q≠1 ∵a>0,q>1,等比数列为递增数列,故前n项中最大项为an. ∴a n=aq n-1=54 ④ 将③代入①化简得a=q-1 ⑤ 由⑤,⑥联立方程组解得a=2,q=3 证∵Sn=a1+a1q+a1q2+...+a1q n-1 S2n=S n+(a1q n+a1q n+1+...+a1q2n-1)
=S n+q n(a1+a1q+...+a1q n-1)=S n+q n S n=S n(1+q n) 类似地,可得S3n=S n(1+q n+q2n) 说明本题直接运用前n项和公式去解,也很容易.上边的解法,灵活地处理了S2n、S3n与S n的关系.介绍它的用意在于让读者体会利用结合律、提取公因式等方法将某些解析式变形经常是解决数学问题的关键,并且变得好,则解法巧. 【例2】一个有穷的等比数列的首项为1,项数为偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求这个数列的公比和项数. 分析设等比数列为{a n},公比为q,取其奇数项或偶数项所成的数列仍然是等比数列,公比为q2,首项分别为a1,a1q. 解设项数为2n(n∈N*),因为a1=1,由已知可得q≠1. 即公比为2,项数为8. 说明运用等比数列前n项和公式进行运算、推理时,对公比q要分情况讨论.有关等比数列的问题所列出的方程(组)往往有高次与指数方程,可采用两式相除的方法达到降次的目的.
高中数学《等比数列的前n项和(第一课时)》教学设计 一.教材分析。 (1教材的地位与作用:《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学(5,是数列这一章中的一个重要内容,它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等等,而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 (2从知识的体系来看:“等比数列的前n项和”是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续、不仅加深对函数思想的理解,也为以后学数列的求和,数学归纳法等做好铺垫。 二.学情分析。 (1学生的已有的知识结构:掌握了等差数列的概念,等差数列的通项公式和求和公式与方法,等比数列的概念与通项公式。 (2教学对象:高二理科班的学生,学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维能力也初步形成,具有一定的分析问题和解决问题的能力,但由于年龄的原因,思 维尽管活跃、敏捷,却缺乏冷静、深刻,因而片面、不够严谨。 (3从学生的认知角度来看:学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比,这是积极因素,应因势利导。不利因素是:本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同,这对学生的思维是一个突破,另外,对于q = 1这一特殊情况,学生往往容易忽视,尤其是在后面使用的过程中容易出错。 三.教学目标。
根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律,本节课的教学目标确定为: (1知识技能目标————理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点,在此基础上,并能初步应用公式解决与之有关的问题。 (2过程与方法目标————通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想,培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力. (3情感,态度与价值观————培养学生勇于探索、敢于创新的精神,从探索中获得成功的体验,感受数学的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美。 四.重点,难点分析。 教学重点:公式的推导、公式的特点和公式的运用。 教学难点:公式的推导方法及公式应用中q与1的关系。 五.教法与学法分析. 培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提,是高中新课程改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢?建构主义认为:“知识不是被动吸收的,而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就是:知识不是通过教师传授得到的,而是学生在一定的情境中,运用已有的学习经验,并通过与他人(在教师指导和学习伙伴的帮助下协作,主动建构而获得的,建构主义教学模式强调以学生为中心,视学生为认知的主体,教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。因此,本节课采用了启发式和探究式相结合的教学方法,让老师的主导性和学生的主体性有机结合,使学生能够愉快地自觉学习,通过学生自己观察、分析、探索等步骤,自己发现解决问题的方法,比较论证后得到一般性结论,形成完整的数学模型,再运用所得理论和方法去解决问题。一句话:还课堂以生命力,还学生以活力。 六.课堂设计
课时教案
一、复习提问 回顾等比数列定义,通项公式 (1)等比数列定义:(, (2)等比数列通项公式: (3)等差数列前n项和公式的推导方法:倒序相加法。二、问题引入: 阅读:课本“国王赏麦的故事”。 问题:如何计算 引出课题:等比数列的前n项和。 三、问题探讨: 问题:如何求等比数列的前n项和公式 回顾:等差数列的前n项和公式的推导方法。 倒序相加法。 等差数列它的前n项和是 根据等差数列的定义 (1) (2) (1)+(2)得:
探究:等比数列的前n项和公式是否能用倒序相加法推导? 学生讨论分析,得出等比数列的前n项和公式不能用倒序相加法推导。 回顾:等差数列前n项和公式的推导方法本质。 构造相同项,化繁为简。 探究:等比数列前n项和公式是否能用这种思想推导? 根据等比数列的定义: 变形: 具体: …… 学生分组讨论推导等比数列的前n项和公式,学生不难发现:由于等比数列中的每一项乘以公比都等于其后一项。 所以将这一特点应用在前n项和上。 由此构造相同项。数学具有和谐美,错位相减,从而化繁为简。 (1) (2) 由此构造相同项。数学具有和谐美,错位相减,从而化繁为简。
当q=1时, 当时, 学生经过讨论还发现了其他的推导方法,让学生课后整合自己的思路,将各自的推导过程展示在班级学习园地,同学们共享探究。 由等比数列的通项公式推出求和公式的第二种形 式: 当时, 四.知识整合: 1.等比数列的前n项和公式: 当q=1时, 当时, 2.公式特征: ⑴等比数列求和时,应考虑与两种情况。 ⑵当时,等比数列前n项和公式有两种形式,分别都 涉及四个量,四个量中“知三求一”。 ⑶等比数列通项公式结合前n项和公式涉及五个量, , 五个量中“知三求二”(方程思想)。 3.等比数列前n项和公式推导方法:错位相减法。
澜沧拉祜族自治县第一中学教案 2.5 等比数列的前n项和(一) 学科:数学年级:高二 备课教师:刘德清、龙新荣、郭晓芳、王焕刚、沈良宏 一、教材分析:等比数列的前n项和是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、是进一步学习数列知识和解决一类求和问题的重要基础和有力工具。它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、 分期付款的有关计算等等,而且公式推导过程中所蕴涵的类比、分类讨论、方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想,有助于培养学生的创新思维和探索精神, 是培养学生应用意识和数学能力的良好载体. 二、教学目标: 1、(1)了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题; (2)探索并掌握等比数列前n项和公式; (3)用方程的思想认识等比数列前n项和公式,利用公式知三求一; (4)体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想. 2、(1)采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学; (2)发挥学生的主体作用,作好探究性活动. 3、(1)通过生活中有趣的实例,鼓励学生积极思考,激发学生对知识 的探究精神和严肃认真的科学态度,培养学生的类比、归纳的能力; (2)在探究活动中学会思考,学会解决问题的方法; (3)通过对有关实际问题的解决,体现数学与实际生活的密切联系,激发学生学习的兴趣. 三、教学重点:等比数列前n项和公式的推导及其应用。 四、教学难点:等比数列前n项和公式的推导,灵活应用公式解决有关问题。 五、教学准备 1、课时安排:1课时 2、学情分析:等差、等比数列的定义和通项公式,等差数列的前n项 和的公式是学生在学习之前已经具备的知识基础。学生具体研究学习了等差数列前n项和公式的推导方法,具备了一定的探究能力。由此,学生会产生思考,等比数列前n项和公式应该如何推导,公式是从什么新的角度建构?
6.3等比数列及其前n 项和 考情分析 高考中主要在选择题、填空题中考查等比数列的定义、基本运算和性质,在解 答题中多与等差数列、函数、不等式等综合考考查 基础知识 1、等比数列的判定:(1)定义法:*1()n n a q q n N a +=∈为非零常数,(2)等比中项法:2*11(0,2)n n n n a a a a n N n -+=≠∈≥且(3)通项公式法:*(,)n n a cq c q n N =∈均为非零常数,(4)1()1n n a S kq k k q =-=≠≠-是常数且q 0且q 1 (5)若{},{}n n a b 均为等比数列,n S 为{}n a 的前n 项和,则1{}(0),{||}{}{()}{}k n n n n n n ka k a ma b a a ≠;;;公比不为1的等比数列由相邻两项的差213243{,,}a a a a a a ---,相邻k 项和232{,,}k k k k k S S S S S --仍是等比;由原等比数列中相隔k 项的项从新组成的数列仍等比 2、等比数列的性质 (1)通项公式:①11n n a a q -=②n m n m a q a -= (2)前n 项和公式:111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =??=--?=≠?--? (3)下脚标性质:若m+n=p+q ,则m n p q a a a a = (4)两个常用技巧:若三个数成等比通常设成,,a a aq q ,若四个数成等比通常设成33,,,a a aq aq q q ,方便计算 注意事项