中考压轴题专题1:抛物线中的等腰三角形
基本题型:已知AB ,抛物线()02≠++=a c bx ax y ,点P 在抛物线上(或坐标
轴上,或抛物线的对称轴上),若ABP ?为等腰三角形,求点P 坐标。
分两大类进行讨论:
(1)AB 为底时(即PA PB =):点P 在AB 的垂直平分线上。
利用中点公式求出AB 的中点M ;
利用两点的斜率公式求出AB k ,因为两直线垂直斜率乘积为1-,进而求出AB 的垂直平分线的斜率k ;
利用中点M 与斜率k 求出AB 的垂直平分线的解析式;
将AB 的垂直平分线的解析式与抛物线(或坐标轴,或抛物线的对称轴)的解析式联立即可求出点P 坐标。
(2)AB 为腰时,分两类讨论:
①以A ∠为顶角时(即AP AB =):点P 在以A 为圆心以AB 为半径的圆上。 ②以B ∠为顶角时(即BP BA =):点P 在以B 为圆心以AB 为半径的圆上。 利用圆的一般方程列出A e (或B e )的方程,与抛物线(或坐标轴,或抛物
线的对称轴)的解析式联立即可求出点P 坐标。
中考压轴题专题2:抛物线中的直角三角形
基本题型:已知AB ,抛物线()02≠++=a c bx ax y ,点P 在抛物线上(或坐标轴
上,或抛物线的对称轴上),若ABP ?为直角三角形,求点P 坐标。
分两大类进行讨论:
(1)AB 为斜边时(即PA PB ⊥):点P 在以AB 为直径的圆周上。
利用中点公式求出AB 的中点M ;
利用圆的一般方程列出M e 的方程,与抛物线(或坐标轴,或抛物线的对称 轴)的解析式联立即可求出点P 坐标。 (2)AB 为直角边时,分两类讨论:
①以A ∠为直角时(即AP AB ⊥): ②以B ∠为直角时(即BP BA ⊥):
利用两点的斜率公式求出AB k ,因为两直线垂直斜率乘积为1-,进而求出PA (或PB )的斜率k ;进而求出PA (或PB )的解析式;
将PA (或PB )的解析式与抛物线(或坐标轴,或抛物线的对称轴)的解析式联立即可求出点P 坐标。
所需知识点:
一、 两点之间距离公式: 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P , 则由勾股定理可得:()()2
21221y y x x PQ -+-=。
二、 圆的方程:
点()y ,x P 在⊙M 上,⊙M 中的圆心M 为()b ,a ,半径为R 。
则()()R b y a x PM =-+-=
22,得到方程☆:()()22
2
R b y a x =-+-。
∴P 在☆的图象上,即☆为⊙M 的方程。 三、 中点公式:
四、 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ,则线段PQ 的中点M 为???
??++22
2121y y ,x x 。
五、 任意两点的斜率公式:
已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ,则直线PQ 的斜率: 2
12
1x x y y k PQ --=
。 中考压轴题专题3:抛物线中的四边形
基本题型:一、已知AB ,抛物线()02≠++=a c bx ax y ,点P 在抛物线上(或
坐标轴上,或抛物线的对称轴上),若四边形ABPQ 为平行四边形,求点P 坐标。
分两大类进行讨论:
(1)AB 为边时 (2)AB 为对角线时
二、已知AB ,抛物线()02≠++=a c bx ax y ,点P 在抛物线上(或坐标轴上,或抛物线的对称轴上),若四边形ABPQ 为距形,求点P 坐标。 在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上,运用以下两种方法进行讨论: (1)邻边互相垂直 (2)对角线相等
三、已知AB ,抛物线()02≠++=a c bx ax y ,点P 在抛物线上(或坐标轴上,或抛物线的对称轴上),若四边形ABPQ 为菱形,求点P 坐标。 在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上,运用以下两种方法进行讨论: (1)邻边相等 (2)对角线互相垂直
四、已知AB ,抛物线()02≠++=a c bx ax y ,点P 在抛物线上(或坐标轴上,或抛物线的对称轴上),若四边形ABPQ 为正方形,求点P 坐标。 在四边形ABPQ 为矩形的基础上,运用以下两种方法进行讨论:
(1)邻边相等 (2)对角线互相垂直
在四边形ABPQ 为菱形的基础上,运用以下两种方法进行讨论: (1)邻边互相垂直 (2)对角线相等
五、已知AB ,抛物线()02≠++=a c bx ax y ,点P 在抛物线上(或坐标轴上,或抛物线的对称轴上),若四边形ABPQ 为梯形,求点P 坐标。 分三大类进行讨论:
(1)AB 为底时 (2)AB 为腰时 (3)AB 为对角线时 典型例题:典型例题:
例1(08深圳中考题)、如图9,在平面直角坐标系中,二次函数
)0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点,与y 轴交于C 点,与x 轴交
于A 、B 两点, A 点在原点的左侧,B 点的坐标为(3,0),OB =OC ,
tan ∠ACO =31
.
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)经过C 、D 两点的直线,与x 轴交于点E ,在该抛物线上是否存在这样
的点F ,使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点F 的坐标;若不存在,请说明理由. (3)若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点,且以MN 为直径的圆
与x 轴相切,求该圆半径的长度. (4)如图10,若点G (2,y )是该抛物线上一点,点P 是直线AG 下方的抛
物线上一动点,当点P 运动到什么位置时,△APG 的面积最大?求出
此时P 点的坐标和△APG
例2(2009年烟台市)如图,抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于A
B ,两点,与y 轴交于
C 点,且经过点(23)a -,
,对称轴是直线1x =,顶点是M . (1) 求抛物线对应的函数表达式;
(2) 经过C,M 两点作直线与x 轴交于点N ,在抛物线上是否存在这样的点
P ,使以点P A
C N ,,,为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由;
(3) 设直线3y x =-+与y 轴的交点是D ,在线段BD 上任取一点E (不与
B D ,重合),经过A B E ,,三点的圆交直线B
C 于点F ,试判断AEF △的形状,并说明理由;
(4) 当E 是直线3y x =-+上任意一点时,(3)中的结论是否成立?(请
直接写出结论).
O
B
x
y
A M
C
1
3-
例3.(2009?临沂)如图,抛物线经过A (4,0),B (1,0),C (0,
-2)三点.
(1)求出抛物线的解析式;
(2)P 是抛物线上一动点,过P 作PM ⊥x 轴,垂足为M ,是否存在P 点,使得以A ,P ,M 为顶点的三角形与△OAC 相似?若存在,请求出符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)在直线AC 上方的抛物线上有一点D ,使得△DCA 的面积最大,求出点D 的坐标. 思路点拨
1.已知抛物线与x 轴的两个交点,用待定系数法求解析式时,设交点式比较简便. 2.数形结合,用解析式表示图象上点的坐标,用点的坐标表示线段的长. 3.按照两条直角边对应成比例,分两种情况列方程. 4.把△DCA 可以分割为共底的两个三角形,高的和等于OA .
满分解答 (1)因为抛物线与x 轴交于A (4,0)、B (1,0)两点,设抛物线的解
析式为)4)(1(--=x x a y ,代入点C 的 坐标(0,-2),解得
21
-=a .所以抛物线的解析式为
22
5
21)4)(1(212-+-=---=x x x x y .
(2)设点P 的坐标为))4)(1(2
1
,(---x x x .
①如图2,当点P 在x 轴上方时,1<x <4,)4)(1(2
1
---=x x PM ,
x AM -=4.
如果
2==CO AO
PM AM ,那么24)
4)(1(21
=----x x x .解得5=x 不合题意. 如果
21==CO AO PM AM ,那么2
1
4)
4)(1(21
=----x x x .解得2=x . 此时点P 的坐标为(2,1).
②如图3,当点P 在点A 的右侧时,x >4,)4)(1(2
1
--=
x x PM ,4
-=x AM
.
解方程24)
4)(1(21
=---x x x ,得5=x .此时点P 的坐标为)2,5(-.
解方程2
14)
4)(1(21
=---x x x ,得2=x 不合题意.
③如图4,当点P 在点B 的左侧时,x <1,)4)(1(2
1
--=
x x PM ,x AM -=4.
解方程24)
4)(1(21
=---x x x ,得3-=x .此时点P 的坐标为)14,3(--.
解方程2
14)
4)(1(21
=---x x x ,得0=x .此时点P 与点O 重合,不合题意.
综上所述,符合条件的 点P 的坐标为(2,1)或)14,3(--或)2,5(-.
图2 图3 图4 (3)如图5,过点D 作x 轴的垂线交AC 于E .直线AC 的解析式为22
1
-=
x y .
设点D 的横坐标为m )41(< 5 21,(2-+-m m m , 点E 的坐标为)22 1 ,(-m m .所以 )22 1 ()22521(2---+-=m m m DE m m 2212+-=. 因此4)22 1(212 ?+-= ?m m S DAC m m 42+-=4)2(2+--=m . 当2=m 时,△DCA 的面积最大,此时点D 的坐标为(2,1). 图5 图6 例4.如图1,已知抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧), 与y 轴交于点C (0,-3),对称轴是直线x =1,直线BC 与抛物线的对称轴交于点D . (1)求抛物线的函数表达式; (2)求直线BC 的函数表达式; (3)点E 为y 轴上一动点,CE 的垂直平分线交CE 于点F ,交抛物线于P 、Q 两 点,且点P 在第三象限. ①当线段34 PQ AB 时,求tan ∠CED 的值; ②当以C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时,请直接写出点P 的坐标. 温馨提示:考生可以根据第(3)问的题意,在图中补出图形,以便作答. 思路点拨1.第(1)、(2)题用待定系数法求解析式,它们的结果直接影响后 续的解题. 2.第(3)题的关键是求点E 的坐标,反复用到数形结合,注意y 轴负半 轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系. 3.根据C 、D 的坐标,可以知道直角三角形CDE 是等腰直角三角形,这样 写点E 的坐标就简单了. 满分解答(1)设抛物线的函数表达式为2(1)y x n =-+,代入点C (0,-3),得 4n =-.所以抛物线的函数表达式为22(1)423y x x x =--=--. (2)由223(1)(3)y x x x x =--=+-,知A (-1,0),B (3,0).设直线BC 的函 数表达式为y kx b =+,代入点B (3,0)和点C (0,-3),得30, 3. k b b +=?? =-? 解得1k =,3b =-.所以直线BC 的函数表达式为3y x =-. (3)①因为AB =4,所以334 PQ AB ==.因为P 、Q 关于直线x =1对称, 所以点P 的横坐标为12 -.于是得到点P 的坐标为17,24??-- ??? ,点F 的坐标为70,4??- ? ? ? .所以75344FC OC OF =-=-=,522 EC FC ==. 进而得到5132 2 OE OC EC =-=-=,点E 的坐标为10,2??- ?? ? . 直线BC:3y x =-与抛物线的对称轴x =1的交点D 的坐标为(1,-2). 过点D 作DH ⊥y 轴,垂足为H . 在Rt △EDH 中,DH =1,1322 2 EH OH OE =-=-=,所以tan ∠CED 23 DH EH ==. ②1(12,2)P --,2 65(1,)2 P --. 图2 图3 图4考点伸展第(3)题②求点P的坐标的步骤是:如图3,图4,先分两种情况求 出等腰直角三角形CDE的顶点E的坐标,再求出CE的中点F 的坐标,把点F的纵坐标代入抛物线的解析式,解得的x的较 小的一个值就是点P的横坐标. 例5.(2010?河南)在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三点. (1)求抛物线的解析式; (2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB 的面积为S、求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值. (3)若点P是抛物线上的动点点Q是直线y=-x上的动点,判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标. 解:(1)设抛物线的解析式为y=a(x+4)(x-2), ②如图2,当BO为对角线时,知A与P应该重合,OP=4.四边形PBQO 为平行四边形则BQ=OP=4,Q横坐标为4,代入y=-x得出Q为(4,-4). 故满足题意的Q点的坐标有四个,分别是(-4,4),(4,-4), 例6.(2013?眉山)如图,在平面直角坐标系中,点A、B在x轴上,点C、D在y轴上,且OB=OC=3,OA=OD=1,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A、B、C 三点,直线AD与抛物线交于另一点M. (1)求这条抛物线的解析式; (2)P为抛物线上一动点,E为直线AD上一动点,是否存在点P,使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形?若存在,请求出所有点P的坐标; 若不存在,请说明理由. .∴抛物线的解析式为:y=x2+2x-3. (2)存在. △APE为等腰直角三角形,有三种可能的情形: ①以点A为直角顶点. 如解答图,过点A作直线AD的垂线,与抛物线交于点P,与y轴交于点F. ∵OA=OD=1,则△AOD为等腰直角三角形, ∵PA⊥AD,则△OAF为等腰直角三角形,∴OF=1,F(0,-1). 设直线PA的解析式为y=kx+b,将点A(1,0),F(0,-1)的坐标代入得: 解得k=1,b=-1, ∴y=x-1.将y=x-1代入抛物线解析式y=x2+2x-3得,x2+2x-3=x-1,整理得:x2+x-2=0, 解得x=-2或x=1, 当x=-2时,y=x-1=-3, ∴P(-2,-3); ②以点P为直角顶点. 此时∠PAE=45°,因此点P只能在x轴上或过点A与y轴平行的直线上. 过点A与y轴平行的直线,只有点A一个交点,故此种情形不存在; 因此点P只能在x轴上,而抛物线与x轴交点只有点A、点B,故点P与点B重合. ∴P(-3,0); ③以点E为直角顶点.此时∠EAP=45°,由②可知,此时点P只能 与点B重合,点E位于直线AD与对称轴的交点上,即P(-3,0); 综上所述,存在点P,使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形.点P的坐标为(-2,-3)或(-3,0). 例7.(2010?宜宾)将直角边长为6的等腰Rt△A O C放在如图所示的平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点C、A分别在x、y轴的正 半轴上,一条抛物线经过点A、C及点B(-3,0). (1)求该抛物线的解析式; (2)若点P是线段BC上一动点,过点P作AB的平行线交AC于 点E,连接A P,当△A PE的面积最大时,求点P的坐标; (3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G,使△A G C的面积 与(2)中△A PE的最大面积相等?若存在,请求出点G的坐标; 若不存在,请说明理由. 解:(1)如图,∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A(0,6),∴c=6.(1分) ∵抛物线的图象又经过点(-3,0)和(6,0), 例8(2012?从化市一模)如图(1),在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-3a经过A(-1,0)、B(0,3)两点,与x轴交于另一点C,顶点为D. (1)求该抛物线的解析式及点C、D的坐标; (2)经过点B、D两点的直线与x轴交于点E,若点F是抛物线上一点,以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形,求点F的坐标; (3)如图(2)P(2,3)是抛物线上的点,Q是直线AP上方的抛 物线上一动点,求△APQ的最大面积和此时Q点的坐标. (1)y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4 ∴D(1,4) 例9.(四川省遂宁市)如图,二次函数的图象经过点D(0,3 9 7),且顶点C的 横坐标为4,该图象在x轴上截得的线段AB的长为6. (1)求该二次函数的解析式; (2)在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小,求出点P的坐标;(3)在抛物线上是否存在点Q,使△QAB与△ABC相似?如果存在,求出点Q 的坐标;如果不存在,请说明理由. (1)设二次函数的解析式为:y=a(x-h)2+k (2)∵点A、B关于直线x=4对称∴PA=PB C D O B A y x ∴PA+PD=PB+PD≥DB ∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值 ∴DB与对称轴的交点即为所求点P 设直线x=4与x轴交于点M ∵PM∥OD,∴∠BPM=∠BDO,又∵∠PBM=∠DBO∴△BPM∽△BDO