备战中考数学 一元二次方程 培优练习(含答案)附答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1y x =-，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1y x =-的零点．
己知函数2
22(3)y x mx m =--+(m m 为常数)． （1）当m =0时，求该函数的零点；
（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点；
（3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且121114x
x +=-，此时函数图象与x 轴的交点分 别为A 、B(点A 在点B 左侧)，点M 在直线10y x =-上，当MA+MB 最小时，求直线AM 的函数解析式． 【答案】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．
（2）见解析,
（3）AM 的解析式为112
y x =-
-． 【解析】
【分析】
（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x 2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；
（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可； （3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标，个、作点B 关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB 最小时，直线AM 的函数解析式
【详解】
（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．
（2）令y=0，得△=
∴无论m 取何值，方程
总有两个不相等的实数根． 即无论m 取何值，该函数总有两个零点．
（3）依题意有
，
由解得．
∴函数的解析式为
． 令y=0，解得
∴A()，B(4,0) 作点B 关于直线10y x =-的对称点B’，连结AB’，
则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点．
易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C （10,0），D （0,10）．
连结CB’，则∠BCD=45°
∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45°
∴∠BCB’=90°
即B’（106-，）
设直线AB’的解析式为y kx b =+，则
20{106k b k b -+=+=-，解得112k b =-=-， ∴直线AB’的解析式为112y x =-
-， 即AM 的解析式为112
y x =--．
2．已知关于x 的二次函数22(21)1y x k x k =--++的图象与x 轴有2个交点.
（1）求k 的取值范围；
（2）若图象与x 轴交点的横坐标为12,x x ，且它们的倒数之和是32-
，求k 的值. 【答案】（1）k ＜-
34 ；（2）k=﹣1 【解析】
试题分析：（1）根据交点得个数，让y=0判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式△= b 2-4ac 的范围可求解出k 的值；
（2）利用y=0时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到k 的值.
试题解析：（1）∵二次函数y=x 2-（2k-1）x+k 2+1的图象与x 轴有两交点，
∴当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0有两个不相等的实数根．
∴△=b 2-4ac=[-（2k-1）]2-4×1×（k 2+1）＞0．
解得k ＜-34
； （2）当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0．
则x 1+x 2=2k-1，x 1?x 2=k 2+1，
∵=== 32
-，
解得：k=-1或k= 13
-（舍去），
∴k=﹣1
3． y 与x 的函数关系式为：y=1.7x （x≤m ）;
或( x≥m) ；
4．已知关于x 的一元二次方程()2
204
m mx m x -++=. （1）当m 取什么值时，方程有两个不相等的实数根； （2）当4m =时，求方程的解.
【答案】（1）当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根；（2）135x +=，235x -=
. 【解析】 【分析】
（1）方程有两个不相等的实数根，>0?，代入求m 取值范围即可，注意二次项系数≠0；
（2）将4m =代入原方程，求解即可.
【详解】
（1）由题意得：24b ac ?=- =()2
2404
m m m +->，解得1m >-. 因为0m ≠，即当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根. （2）把4m =带入得24610x x -+=，解得1354x +=
，2354
x =. 【点睛】 本题考查一元二次方程根的情况以及求解，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程求解是加大本题的关键.
5．某社区决定把一块长50m ，宽30m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x 为何值时，活动区的面积达到21344m ?
【答案】当13x m =时，活动区的面积达到21344m
【解析】
【分析】
根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答.
【详解】
解:设绿化区宽为y ，则由题意得
502302x y -=-.
即10y x =-
列方程: 50304(10)1344x x ?--=
解得13x =- (舍)，213x =.
∴当13x m =时，活动区的面积达到21344m
【点睛】
本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．
6．已知x=﹣1是关于x 的方程x 2+2ax+a 2=0的一个根，求a 的值．
【答案】1
【解析】试题分析：根据一元二次方程解的定义，把x=﹣1代入x 2+2ax+a 2=0得到关于a 的一元二次方程1﹣2a+a 2=0，然后解此一元二次方程即可．
试题解析：把x=﹣1代入x 2+2ax+a 2=0得
1﹣2a+a 2=0，
解得a 1=a 2=1，
所以a 的值为1.
7．阅读下面的例题，
范例：解方程x 2﹣|x|﹣2=0，
解：（1）当x≥0时，原方程化为x 2﹣x ﹣2=0，解得：x 1=2，x 2=﹣1（不合题意，舍去）． （2）当x ＜0时，原方程化为x 2+x ﹣2=0，解得：x 1=﹣2，x 2=1（不合题意，舍去）． ∴原方程的根是x 1=2，x 2=﹣2
请参照例题解方程x 2﹣|x ﹣10|﹣10=0．
【答案】x 1=4，x 2=﹣5．
【解析】
【分析】
分为两种情况：当x≥10时，原方程化为x2﹣x=0，当x＜10时，原方程化为x2+x﹣20=0，分别求出方程的解即可．
【详解】
当x≥10时，原方程化为x2﹣x+10﹣10=0，解得x1=0（不合题意，舍去），x2=1（不合题意，舍去）；
当x＜10时，原方程化为x2+x﹣20=0，解得x3=4，x4=﹣5，
故原方程的根是x1=4，x2=﹣5．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程——因式分解法，解此题的关键是能正确去掉绝对值符号．
8．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0…①
（1）若x＝﹣1是方程①的一个根，求m的值和方程①的另一根；
（2）对于任意实数m，判断方程①的根的情况，并说明理由．
【答案】（1）方程的另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析.
【解析】
试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；
（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断．
(1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=1
∴2--2=0．
∴
∴另一根是2；
(2)∵，
∴方程①有两个不相等的实数根．
考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程
点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根
9．已知关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0。
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长。
【答案】（1）见详解；（2）410或4＋2.
【解析】
【分析】
（1）根据关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0的根的判别式的符号来证明结论.（2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根.分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是2、3时，②当该直角三角形的直角边和斜边
分别是2、3时，由勾股定理求出得该直角三角形的另一边，再根据三角形的周长公式进行计算.
【详解】
解：（1）证明：∵△=（m＋2）2－4（2m－1）=（m－2）2＋4，
∴在实数范围内，m无论取何值，（m－2）2+4≥4＞0，即△＞0.
∴关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0恒有两个不相等的实数根.
（2）∵此方程的一个根是1，
∴12－1×（m＋2）＋（2m－1）=0，解得，m=2，
则方程的另一根为：m＋2－1=2+1=3.
①当该直角三角形的两直角边是1、3
形的周长为1＋3=4
②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直
角边为1＋3＋=4＋
10．若两个一次函数的图象与x轴交于同一点，则称这两个函数为一对“x牵手函数”，这个交点为“x牵手点”．
（1）一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为；一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，则a＝；
（2）已知一对“x牵手函数”：y＝ax+1与y＝bx﹣1，其中a，b为一元二次方程x2﹣kx+k﹣4＝0的两根，求它们的“x牵手点”．
【答案】（1）（1，0），a＝﹣2；（2）“x牵手点”为（
1
2
-，0）或（
1
2
，0）.
【解析】
【分析】
（1）根据x轴上点的坐标特征可求一次函数y=x-1与x轴的交点坐标；把一次函数y=x-1与x轴的交点坐标代入一次函数y=ax+2可求a的值；
（2）根据“x牵手函数”的定义得到a+b=0，根据根与系数的关系求得k=0，可得方程x2-
4=0，解得x1=2，x2=-2，再分两种情况：①若a=2，b=-2，②若a=-2，b=2，进行讨论可求它们的“x牵手点”．
【详解】
解：（1）当y＝0时，即x﹣1＝0，
所以x＝1，即一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为（1，0），
由于一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，
所以0＝a+2，
解得a＝﹣2；
（2）∵y＝ax+1与y＝bx﹣1为一对“x牵手函数”
∴11
a b
-=，
∴a+b＝0．
∵a，b为x2﹣kx+k﹣4＝0的两根∴a+b＝k＝0，
∴x2﹣4＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣2．
①若a＝2，b＝﹣2则y＝2x+1与y＝﹣2x﹣1的“x牵手点”为
1
,0
2
??- ???
；
②若a＝﹣2，b＝2则y＝﹣2x+1与y＝2x﹣1的“x牵手点”为（1
2
，0 ）
∴综上所述，“x牵手点”为
1
,0
2
??
- ?
??
或（
1
2
，0）
【点睛】
本题考查了根与系数的关系、一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征的运用．