(整理)计算结构动力学2
第2章 分析动力学基础
2.1 基本概念 2.1.1 约束
对质点系各质点的位移和速度提供的限制，约束在数学上通过约束方程来表达。对于n 个质点组成的系统，约束方程的一般形式为：
m k t r r r r r r f
n n k ,1,0),,...,,,,...,,(2
121== 或简写为：
m k t r
r f i i k ,1,0),,(== 式中，i r 、i r
分别为质点i 的位置矢量和速度矢量，t 为时间，m 为约束方程的个数。
注：弹性支座不对位置和速度提供直接限制，不作为约束。 约束方程的分类： （1） 几何约束和运动约束
几何约束：约束方程中不显含速度项，如：0),(=t r f i k
运动约束：约束方程中显含速度项，如：0),,(=t r
r f i i k 下图中，如果圆轮与地面之间无滑动，则其约束方程为：0=-? a x
c
（2） 定常约束和非定常约束
定常约束：约束方程中不显含时间t ，如：0),(=i i k r r f 非定常约束：约束方程中显含时间t ，如：0),,(=t r
r f i i k
222l y x =+ 222)(ut l y x -=+
（3） 完整约束与非完整约束
完整约束：几何约束以及可积分的运动约束 非完整约束：不可积分的运动约束
方程0=-? a x
c 可积分为0=-?a x c ，因此是完整约束。 （4） 单面约束与双面约束
单面约束：约束方程为不等式，如：0),,(≤t r r f i i k 双面约束：约束方程为等式，如：0),,(=t r
r f i i k 下图中，如果考虑到绳子可以缩短，则其约束方程为：222l y x ≤+，表现为不等式形式，就是一个单面约束。
一般分析力学的研究对象为：完整的双面约束，方程为：0),(=t r f i k
。
2.1.2 广义坐标与自由度
广义坐标：描述系统位置状态的独立参数，称为系统
的广义坐标。
广义坐标的个数：
（1） 空间质点系：m n N -=3 （2） 平面质点系：m n N -=2
对于如图双连刚杆的平面两质点系统，约束方程为：
???=-+-=+22
2
122122
1
2121)()(l y y x x l y x 广义坐标个数为：2222=-?=N ，具体地可选择为：),(21x x ；),(21y y ；
),(21y x ；),(21x y ；),(21??等。
如果系统的位移状态),(t x u 可以通过一组基函数)(x f i 来线性组合，如：
∑=i
i i x f t q t x u )()(),(，由于各系数)(t q i 相互独立，因此系数)(t q i 也是一种广义坐
标。
例：简支梁的挠度曲线可表示为∑=i
i l
x
i t q t x y πsin
)(),(，)(t q i 为与基函数l
x
i πsin
对应的广义坐标。 根据广义坐标的概念，设系统的广义坐标个数为N ，当选定系统的广义坐
标),1(N k q k =后，系统的位置状态可以由全部广义坐标来表示，也即有：
),(),,...,,(21t q r t q q q r r k i N i i
==，n i ,1=
自由度：某瞬时，系统独立运动的个数。自由度强调的是独立运动也即独立速度，广义坐标强调的是独立坐标（位移）。对于完整系统，自由度与广义坐标的个数相同；对于非完整系统，由于存在非完整约束，对独立速度的限制多于对独立坐标的限制，因此自由度数比广义坐标个数少。
2.1.3 力的功
对于力k t Z j t Y i t X t F
)()()()(++=，设在微小时间间隔dt 内力作用点的位移为k dz j dy i dx r d
++=，则该力做的功称为元功：
dz t X dy t X dx t X dr t F r d t F W )()()(cos )()(++==?=θδ
式中，θ为)(t F 与r d
的夹角。
经过一段路径AB ，做的总功为：
??
++=?=B A
B
A
dz t Z dy t Y dx t X r d t F W )()()()(
对于力偶)(t M ，设在微小时间间隔dt 内物体在力偶作用下的转角为?d ，则元功为：
?δd t M W )(=
转过一定角度121???-=?，做的总功为：
?=2
1
)(???δd t M W
力、力偶在单位时间内做的功称为功率：
r t F dt r d t F dt W dt dW p
?=?===)()(δ ?
?
δ )()(t M dt
d t M dt W dt dW p ==== 2.1.4 有势力与势能
有势力：在作用点变化过程中，力做的功如果只与起止位置有关，而与中间路径无关，则这个力称为有势力，有势力所在的空间称为该有势力的势力场，如重力与重力场。
势能：在势力场中，物体从位置),,(z y x M 运动到任选的位置),,(0000z y x M ，有势力所作的功称为物体在位置M 相对于位置0M 的势能，以V 表示：
??
++=?=0
M M
M M
Zdz Ydy Xdx r d F V
位置0M 的势能等于零，称为零势能位置（点、状态）。
势能V 是位置),,(z y x M 的函数，记为),,(z y x V 。有势力分量与势能具有如下关系：
x V X ??-
=，y V Y ??-=，z
V
Z ??-=
证明如下：
当),,(z y x M 具有微小变化变为),,('dz z dy y dx x M +++时，势能的增量为：
]
[''
''0
000Zdz Ydy Xdx r
d F r
d F r d F r
d F r d F r
d F r d F dV M M
M
M M M M M M M M M ++-=?-=?-=?=?+?=?-?=??????
因此有：
x V X ??-
=，y V Y ??-=，z
V
Z ??-=
当弹性体变形后，恢复变形到原始状态的过程中，弹性力会做功，做的功等于变形状态
改变释放的变形能，只与前后变形状态有关，因此具有势能的性质。弹性体因变形而具有变性能为：
?ΩΩ+++++=
d V zx zx yz yz xy xy z z y y x x )(2
1
γτγτγτεσεσεσ 2.1.5 虚位移
虚位移：某瞬时，约束所容许的任意微小位移。
要点1：“某瞬时”意味着虚位移不考虑时间的变化，也即是虚位移无时间过程。 要点2：“约束所容许”表示不破坏约束，满足约束条件。 要点3：“微小位移”指位移小到只考虑一阶变化。 要点4：“任意”指无需考虑真实的力、速度和时间等真实运动因素，可以人为地设定。 要点5：对于一个系统，由于存在内部的约束联系，各位置点的虚位移不具有完全的任意性。
要点6：根据定义，独立虚位移的个数等于系统的自由度数。 概念辨析：
可能位移：考虑时间，但不考虑运动的原因，约束所容许的位移称为可能位移。 真实位移：同时考虑时间和运动的原因，约束所容许的位移称为真实位移，真实位移是可能位移中的一种。
可能位移和真实位移不具有“微小”性，因此可能位移不一定是虚位移。
设系统的广义坐标为),1(N k q k =，系统的位置状态可以由全部广义坐标表示
为：
),(),,...,,(21t q r t q q q r r k i N i i
==，n i ,1=
根据微积分的概念，任一质点i 的位移增量有如下关系：
dt t r dq q r dt t r dq q r dq q r dq q r r d i N
k k k
i i N N i i i
i ??+??=??+??++??+??=∑= 12211...
略去上式中与时间有关的增量，将k dq 变为虚位移k q δ，则可得到质点i 的虚位移：
∑=??=N k k k
i i q q r r 1δδ
上式建立了任一点虚位移与广义坐标虚位移的关系。
由于各广义坐标是独立的，因此各广义坐标可以独立发生虚位移。当只有一个
广义坐标k q 有虚位移k q δ时，质点i 的虚位移为：
k k
i i q q r r δδ??=
另外，根据约束方程也可建立虚位移之间的关系，方法如下：
对于约束方程0),(=t r f i k
，有：
0)(11=??+??+??=??∑∑==n
i i i k
i i k i i k n
i i i k z z f y y f x x f r r f δδδδ 例如：
222)(ut l y x -=+
有：
022=?+?y y x x δδ
0=?+?y y x x δδ
2.1.5 虚功与广义力
虚功：力在虚位移上所做的功称为虚功。
力系i F
中各力作用点的虚位移为：
∑=??=N k k k
i i q q r r 1δδ
则总虚功为：
∑∑∑∑∑∑∑=======???=???=???=?=N k k n i k i i N k n i k k i
i n i N k k k i i n
i i i q q r F q q r F q q r F r F W 11
11111])([)()()(δδδδδ
记：∑=???=n
i k i i k q r
F Q 1
)( 为与k q δ对应的广义力，则有：
∑==N
k k k q Q W 1
δδ
广义力的计算方法：
（1）记：k Z j Y i X F i i i i
++=，得：
∑∑==??+??+??=???=n i k i i k i i k i i n
i k i
i k q z Z q y Y q x X q r F Q 1
1)()(
（2）单独使一个广义坐标k q 发生虚位移k q δ，此时的虚功为：
k k q Q W δδ=
因此有：
k
k q W Q δδ=
（3）如果所有力均为有势力，根据：
i i x V X ??-
=，i
i y V Y ??-=，i i z V
Z ??-= 得：
k
n
i k
i
i k i i k i i n
i k
i i k i i k i i
n
i k i i k q V q z z V q y y V q x x V q z Z q y Y q x X q r F Q ??-
=????+????+????-=??+??+??=???=∑∑∑===1
1
1
)
(
)()
(
例题2-1：如图双摆，以1?、2?为广义坐标，对于重力g m P 11=、g m P 22=的广义力。 解： 方法1：
111cos ?l y =
221121111sin δ??δl y -=
2221112sin sin δ??δ??δl l y --=
2
22211121222111211112
211sin sin )()sin sin ()sin (δ??δ??δ??δ??δ??δδδl P l P P l l P l P y P y P W -+-=--+-=+= 因此有：
11211sin )(?l P P Q +-= 2222sin ?l P Q -=
方法2：
首先只让1?产生一个虚位移1δ?，两质点的虚位移为：
1121δ?δδl r r ==
虚功为：
1
112111121111122111sin )(sin sin sin sin δ???δ??δ??δ?δδl P P l P l P r P r P W +-=--=--= 因此广义力为：
11211sin )(?l P P Q +-=
再只让2?产生一个虚位移2δ?，两质点的虚位移为：
1=r δ 222δ?δl r =
虚功为：
2
22222222
22sin sin sin δ???δ??δδl P l P r P W -=-=-= 因此广义力为：
2222sin ?l P Q -=
方法3：
111cos ?l y =
22112以O 处为重力势能零点，系统的势能为：
2
221121*********
211cos cos )()cos cos (cos ?????l P l P P l l P l P y P y P V -+-=+--=--= 广义力为：
11211
1sin )(??l P P V
Q +-=??-
= 2222
2sin ??l P V
Q -=??-
= 2.2 虚功（虚位移）原理 2.2.1 理想约束
虚功的计算公式为：∑∑===?=N k k k n i i i q Q r F W 1
1
)(δδδ
一个系统可能有很多力，但是有些力在虚位移上不做功。在计算虚功时这些力就不必考虑，为计算带来极大的便利。如果不做功的力是约束反力，其约束称为理想约束，比如光滑表面提供的支持力、不可伸长绳子的拉力、光滑铰链的约束反力、刚体的内力等都不作功，都是理想约束。
2.2.2 虚功（虚位移）原理
虚功（虚位移）原理：物体系统保持平衡的必要和充分条件是：所有力在任意虚位移上所作的虚功之和为零，即：
0)(1
1
==?=∑∑==N k k k n i i i q Q r F W δδδ
虚功（虚位移）原理的意义：为获取系统的平衡条件、平衡（运动）方程提供了统一的具有普遍适用能力的方法。不管系统中物体的多少，不管物体是变形体还是刚体，不管物体是平衡还是运动（通过D ’alembert 原理转化为平衡），虚功（虚位移）原理均适用，均能提供完备的方程组。
例题2-2：对于光滑的墙面和地面，分析使无重刚杆保持平衡的1P 、2P 之间的关系，杆长为l 。
解：
θcos 2l x = θsin 1l y =
虚位移为：
θδθδsin 2l x -=
θδθδcos 1l y =
虚功为：
δ
θθθθδθθδθδδδl P P l P l P y P x P W )cos sin (cos sin 12121122-=-=--= 根据平衡条件0=W δ和虚位移δθ的任意性，可解得：
0cos sin 12=-θθP P
例题2-3：对于图示双摆，在2m 处作用一个水平力P ，求平衡
时两杆与铅垂方向的夹角。
111cos ?l y =
22112cos cos ??l l y += 22112sin sin ??l l x +=
1111sin δ??δl y -=
2221112sin sin δ??δ??δl l y --= 2221112cos cos δ??δ??δl l x +=
222221112112221112221112111122211]sin cos []sin )(cos [)cos cos ()sin sin ()sin (δ???δ???δ??δ??δ??δ??δ??δδδδl P P l P P P l l P l l P l P x P y P y P W -++-=++--+-=++= 2.
根据平衡条件0=W δ和虚位移1δ?、2δ?的任意性，可得：
0sin )(cos 1211=+-??P P P 0sin cos 222=-??P P
解得：
2
11
1P P P tg +=-?，212P P
tg -=?
2.2.3 虚功（虚位移）原理的其它形式
（一）以广义力表示的虚功原理
用广义力表示的平衡方程：
由虚功（虚位移）原理0)(1
1
==?=∑∑==N k k k n i i i q Q r F W δδδ
，考虑到广义坐标虚位
移的独立性和任意性，可得N 个独立的平衡方程：
N k Q k ,1,0==
（二）保守系统的的虚功原理
对于保守系统，由k
k q V
Q ??-
=可得系统的独立平衡方程为： N k q V
k
,1,0==?? 例题2-4：半径为R 的光滑球形槽内有一长l 2的无重刚杆，两端质量分别重
1P 、2P ，以杆中心到球心的连线与铅垂线的夹角?为广义
坐标，求杆件的平衡位置。
解：记OAB ∠为α，有：
R
l
=αcos ，R
l R 2
2sin -=
α 根据几何关系可得：
)sin(?α-=R y A
??α?sin 2)sin(sin 2l R l y y A B +-=+=
系统的势能为：
?
?α??α?αsin 2)sin()(]sin 2)sin([)sin(2212121l P R P P l R P R P y P y P V B
A --+-=+----=--= ??α??α?cos 2)cos()(cos 2)1)(cos()(221221l P R P P l P R P P V
--+=---+-=??
由
0=???
V
得：
0cos 2)cos()(221=--+??αl P R P P
0cos 2]sin sin cos [cos )(221=-++??α?αl P R P P 02]sin [cos )(221=-?++l P tg R P P ?αα
1
21222212
2
2212
)1)
(2(
sin )(2P P P P l R l
P P P l R l
ctg P P R lP tg +--=
-+-=-+=
α
α
?
2.3 D ’Alembert 原理
由牛顿第二定律a m F
=有： 0=-a m F
将a m
-视为一个力：a m F I -=，该力的大小等于质点的质量和加速度的乘
积，方向与加速度矢量的方向相反，称为惯性力。惯性力是一个假想的力，不是一个真实的力。
通过惯性力a m F I -=，牛顿第二定律a m F
=可表达为：
0=+I F F
上面式子表明：作用于质点的真实力与假想的惯性力在数学上表现为平衡。因为物体系统由质点组成，如果每一个质点均加上假想的惯性力，则系统中每一个质点均在数学上表现为平衡，则系统也在数学上表现为平衡。
D ’Alembert 原理：对于一个物体系统，真实力与每个质点的假想惯性力组成平衡力系。
D ’Alembert 原理的意义：将动力学问题转化为静力平衡问题，于是动力学问题也可采用静力学问题的解决方法。因此D ’Alembert 原理也称为“动静法”。
例题2-5：图示系统中刚杆AC 的质量不记，用虚功方程列出运动方程。
解：用杆件AC 的转角θ（相对于C
点顺时针方向为
正）表示系统的位置状态，质点m 的加速度为θ
a 2。此时对于C 的力矩平衡方程为：
022=?+??a Ka a a m θθ
0422=+θθK a ma 04=+θθ
K m 2.4 Lagrange 方程
将D ’Alembert 原理和虚位移原理结合，有结论：真实力与惯性力在系统的任意虚位移上所做的虚功之和为零。即：
0)(1
1
1
=?-?=?-=∑∑∑===n i i i i n i i i n i i
i i i r r m r F r r m F W δδδδ 2.4.1 两个基本关系式的推导
质点位置矢量可通过广义坐标表达为：),,...,,(21t q q q r r N i i
=
（1）k i
k i q
r q r ??=??
t
r q q r q q r q q r t r dt dq q r dt dq q r dt dq q r dt r d r i
N N i i i i
N N i i i i i
??+??++??+??=??+
??++??+??==
......22112211 上式表明：质点的速度i r
是广义速度k q 、广义位移k q 和时间t 的函数： ),,...,,,,...,,(2121t q q q q q q r r N N
i i = i r
对k q 求偏导数得： N k q r q
r k i k i
,1,=??=??
（2）k
i k i
q r q r dt d ??=?? )(
对任意函数),,...,,(21t q q q f f N =，有：
t f
q q f q q f q q f dt df N N ??+??++??+??= (2211)
将f 取为k
i
q r ??
，有：
k
i i k i N N i i i
k i
k N N i k i k i k k
i
N k i N k i k i k i q r dt r d q t
r q
q r q q r q q r q t
r q q q r q q q r q q q r q q r t q q r q q q r q q q r q q r dt d ??=??=??+??++??+????=????+????++????+????=????+????++????+????=??
)(]...[)
()(...)()()
()(...)()()(221122112211 2.4.2 Lagrange 方程的推导
（1）∑∑==?=?N
k k k n i i i q Q r F 1
1
δδ
（2）
∑∑∑∑∑∑∑∑∑=========???=???=???=???=?N k k n
i k i
i i N k k n
i k i i i n i k N
k k i i i n i k N k k
i i i n
i i i i q q r a m q q r
a m q q r
a m q q r a m r a m 11
11
11
111]
)([)
()
()(δδδδδ
k
i
k i i i i k i i i k k
i i i k i i i k i
i i k i i i k
i
i i k i i i k i i i q T q T dt d v v m q v v m q dt d q v v m q v v m dt d q r
v m q r v m dt d q r dt d v m q r v m dt d q r a m ??-??=
???-???=???
-???=???-???=???-???=???)()21()]21([)()()
()(
k k n
i k i
i i q T q T dt d q r a m ??-??==???∑=)()(1
∑∑∑∑====??-??=???=?N
k k k
k N k k
n i k i
i i n
i i i i q q T q T dt d q q r a m r a m 1111])([])([δδδ 于是01
1
=?-?∑∑==n i i i i n i i i r a m r F
δδ转化为：
0])([
1
1=??-??-?∑∑==N
k k k
k N k k k q q T q T dt d q Q δδ 0]})([
{1
=??-??-∑=N
k k k
k k q q T
q T dt d Q δ 由虚位移的任意性，可得：
N k q T q T dt d Q k
k k ,1,0])([
==??-??- N k Q q T
q T dt d k k
k ,1,)(==??-?? 2.4.3 Lagrange 方程的几种形式
（1）
k k
k Q q T
q T dt d =??-??)( ，N k ,1= （2）对于保守系统，有：
k
k q V
Q ??-
= k k k q V q T q T dt d ??-=??-??)( 0)(=??+??-??k k k q V q T q T dt d 0)()(=?-?-??k k q V T q T dt d 0)())((=?-?-?-?k k q V T q V T dt d
0)(=??-??k
k q L q L dt d ,N k ,1= 其中，V T L -=为Lagrange 函数。 （3）部分有势力的Lagrange 方程：
*)(k k
k Q q L q L dt d =??-?? ，N k ,1= 或：
*)(k k k k Q q V q T q T dt d =??+??-?? ，N k ,1= *k Q 为非有势力对应的广义力。
例题2-6：质量为m 、半径为r 的均质圆柱在半径为R 的圆弧槽为做纯滚动，求其运动方程。
动能：
22222)(4
3
]
)([2121])[(21?
?
? r R m r
r R mr r R m T -=-?+-=
势能（以0=?位置为势能零点）：
)cos 1)((?--=r R mg V
代入Lagrange 方程有：
0sin )()(2
3
2=-+-??
r R mg r R m 上述公式表明，圆柱在槽内的运动为非线性振动。 在微幅振动情况下，有：
0)(2
3
=+-??
g r R 可求得固有频率为：
)
(32r R g
w -=
角度?的运动规律为：
wt B wt A cos sin +=?
其中，A 、B 由初始条件(位移、速度)确定
2.4.4小变形线弹性体系的运动方程
（1）动能的广义速度表达式
根据广义坐标的概念，任意质点的位置可表示为：
),(),,...,,(21t q r t q q q r r k i N i i
==，n i ,1=
其速度为：
t r q q r dt r d v i N k k
i i i ??+
??==∑= 1
系统的动能为：
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑=============================???
??++=???
??+?????+?????=???
??+?????+?????=?????+?????+?????+?????=??+?????+??=?==n i i
i i N
k k k N k N l l k kl n i i
i i N k k i k i n
i i N k N l l k n i l i k i i n i i
i i n i i N
k k k
i i N k N l l k n i l i k i i n
i i
i i n i N l l l i i i n i i N k k k i i n i N l l k l i N k k i i n i i N l l l
i i N k k k i i n i i i i n i i i t r t r m q b q q m t r t r m q t r q r m q q q r q r m t r t r m t r q q r m q q q r q r m t r t r m q q r t r m t r q q r m q q q r q r m t r q q r t r q
q r m v v m v m T 1
111111
1111111111
1111111111112
212121212121)
(21)()(212121
式中，∑=?????=n
i l i k i i kl q r q r m m 1 ，t r q r m b i
k
i n
i i k ?????=∑= 1 由kl m 的表达式可知：lk kl m m =。
在定常约束条件下，)(),...,,(21k i N i i q r q q q r r
==，0=??t
r i
，则有：
∑∑===N k N
l l k kl q q
m T 11
21 矩阵形式为：
{}{}q M q T ][2
1T
=
显然，][M 为对称矩阵。 （2）小变形线弹性体系的势能
对于小变形线弹性体系，势能可表达为：
且有：)]([][ji ij k k K K ==T
（3）运动方程的推导
记：
{}q M q q m m m m q m q m q T q T q T N NN N N N j j Nj N
j j j N ][1111111
11=???
?????????????????=???
???????????=??????????????????=????????∑∑== 类似地有：
{}q K q V q V q V N ][1=??
?
?
?
??
???????????=???????? 带非有势力的Lagrange 方程为：
*)(k k
k k Q q V q T q T dt d =??+??-?? ，N k ,1= 向量形式为：
{}
*
)(Q q V q T q
T dt d =????????+????????-????????
在小变形情况下，有0=?
??
??
???q T ，于是： {}
*
)(Q q V q
T dt d =????????+????????
将{}q M q T k ][=?
????
???、{}q K q V k ][=???
?????代入得：
{}{}{}
*][][Q q K q
M =+ 2.5 Hamilton 方程
目的：应用变分法来建立结构体系的运动方程。动力学中广泛应用的变分法是Hamilton 原理。
体系的平衡位置是体系的稳定位置，在稳定位置，体系的能量取得极值，一般是极小
值。
Hamilton 原理：在任意时间区段),(21t t 内，体系的动能与势能差的变分加上非保守力所做的虚功等于0。
0)(2
1
2
1
=+-??
t t nc t t dt W dt V T δδ
∑==N
k k k nc q Q W 1
δδ
其中：T 为体系的总动能；V 为体系的势能，包括应变能及任何保守力的势能。nc
W δ为非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）所做的虚功。
Hamilton 原理的优点：不明显使用惯性力和弹性力，分别用对动能和势能的变分代替，仅涉及能量的处理。
在虚位移中，尽管虚功本身是标量，但用来计算虚功的力和虚位移则都是矢量。
2.5.1单自由度体系的运动方程
对于单自由度体系，动能和势能可分别表示为：
变分计算为：
u ku u u
m V T δδδ-=- )( 非保守力所（外力和阻尼力）做的虚功(非保守力在虚位移上作的功)为：
u u
c u t p W nc δδδ -=)( 将以上两式代入Hamilton 原理，得：
0])([2
1
=-+-?
t t dt u u c u t p u ku u u
m δδδδ 对上式中的第一项进行分部积分：
结构动力学心得汇总
结构动力学学习总结
通过对本课程的学习，感受颇深。我谈一下自己对这门课的理解： 一．结构动力学的基本概念和研究内容 随着经济的飞速发展，工程界对结构系统进行动力分析的要求日益提高。我国是个多地震的国家，保证多荷载作用下结构的安全、经济适用，是我们结构工程专业人员的基本任务。结构动力学研究结构系统在动力荷载作用下的位移和应力的分析原理和计算方法。它是振动力学的理论和方法在一些复杂工程问题中的综合应用和发展，是以改善结构系统在动力环境中的安全和可靠性为目的的。高老师讲课认真负责，结合实例，提高了教学效率，也便于我们学生寻找事物的内在联系。这门课的主要内容包括运动方程的建立、单自
由度体系、多自由度体系、无限自由度体系的动力学问题、随机振动、结构抗震计算及结构动力学的前沿研究课题。既有线性系统的计算，又有非线性系统的计算；既有确定性荷载作用下结构动力影响的计算，又有随机荷载作用下结构动力影响的随机振动问题；阻尼理论既有粘性阻尼计算，又有滞变阻尼、摩擦阻尼的计算，对结构工程最为突出的地震影响。 二．动力分析及荷载计算 1.动力计算的特点 动力荷载或动荷载是指荷载的大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。如果从荷载本身性质来看，绝大多数实际荷载都应属于动荷载。但是，如果荷载随时间变化得很慢，荷载对结构产生的影响与
静荷载相比相差甚微，这种荷载计算下的结构计算问题仍可以简化为静荷载作用下的结构计算问题。如果荷载不仅随时间变化，而且变化很快，荷载对结构产生的影响与静荷载相比相差较大，这种荷载作用下的结构计算问题就属于动力计算问题。 荷载变化的快与慢是相对与结构的固有周期而言的，确定一种随时间变化的荷载是否为动荷载，须将其本身的特征和结构的动力特性结合起来考虑才能决定。 在结构动力计算中，由于荷载时时间的函数，结构的影响也应是时间的函数。另外，结构中的内力不仅要平衡动力荷载，而且要平衡由于结构的变形加速度所引起的惯性力。结构的动力方程中除了动力荷载和弹簧力之外，还要引入因其质量产生的惯性力和耗散能量的阻尼力。而
结构力学(二) ( 第2次 )
第2次作业 一、单项选择题（本大题共60分，共 20 小题，每小题 3 分） 1. 单自由度体系在简谐荷载作用下如果频率比大于1，则要减小振动幅值需采取措施(D ) D. 减少刚度，增加质量 2. 图示体系是（A ） A. 几何瞬变有多余约束 3. 图示体系的动力自由度为 ( B) B. 3 4. 位移法典型方程中的K ij的含义是（B） B. 基本结构附加约束j单独发成单位位移Δj=1时，在附加约束i处产生的约束力 5. 单位荷载作用在简支结间梁上，通过结点传递的主梁影响线，在各结点之间：（C） C. 均为直线 6. 若考虑剪力和轴力的影响．截面极限弯矩的数值将( B) B. 减小 7. 下面那一种体系可以用来作为结构（A ） A. 几何不变体系 8. 平面杆件结构在等效结点荷载作用下与原非结点荷载作用下产生相同的（A ）。 A. 结点位移 9. 单自由度体系的自由振动主要计算 ( A ) A. 频率与周期 10. 在竖直向下荷载作用下，等截面连续梁的破坏机构是（A ） A. 各跨独立形成 11. 力法方程中的δij的意义是（A） A. 基本结构在X j=1单独作用下，沿X i方向的位移 12. 图示两结构及其受载状态，它们的内力符合。（B） B. 弯矩相同，轴力不同 13. 平面杆件结构一般情况下的单元刚度矩阵[K]6×6，就其性质而言，是：（B ） B. 对称、奇异矩阵 14. 己知某单元的定位向量为 [0 3 5 7 8]T，则单元刚度系数K24应叠加到结构刚度矩阵的元素（B） B. 15. 已知图示梁在P=5kN作用下的弯矩图，则当P=1的移动荷载位于C点时K截面的弯矩影响线纵标为：(B) B. -1m 16. 力法基本方程的建立表明基本体系与原结构具有相同的（C） C. 受力和变形形态 17. 图示两自由度体系中，弹簧刚度为C，梁的EI=常数，其刚度系数为：（B） B. K11=48EI/ （L*L*L）+C，K22=C，K12=K21=-C 18. 据影响线的定义，图示悬臂梁C截面的弯矩影响线在C点的纵标为：(A )
结构动力学读书笔记
《结构动力学》读书报告 学院 专业 学号 指导老师 2013 年 5月 28日
摘要：本书在介绍基本概念和基础理论的同时，也介绍了结构动力学领域的若干前沿研究课题。既注重读者对基本知识的掌握，也注重读者对结构振动领域研究发展方向的掌握。主要容包括运动方程的建立、单自由度体系、多自由度体系、无限自由度体系的动力学问题、随机振动、结构动力学的前沿研究课题。侧重介绍单自由度体系和多自由度体系，重点突出，同时也着重介绍了在抗震中的应用。 1 概述 1.1结构动力学的发展及其研究容： 结构动力学，作为一门课程也可称作振动力学，广泛地应用于工程领域的各个学科，诸如航天工程，航空工程，机械工程，能源工程，动力工程，交通工程，土木工程，工程力学等等。作为固体力学的一门主要分支学科，结构动力学起源于经典牛顿力学，就是牛顿质点力学。质点力学的基本问题是用牛顿第二定律来建立公式的。牛顿质点力学，拉格朗日力学和哈密尔顿力学是结构动力学基本理论体系组成的三大支柱。 经典动力学的理论体系早在19世纪中叶就已建立，。但和弹性力学类似，理论体系虽早已建立，但由于数学求解上的异常困难，能够用来解析求解的实际问题实在是少之又少，能够通过手算完成的也不过仅仅限于几个自由度的结构动力体系。因此，在很长一段时间，动力学的求解思想在工程实际中并未得到很好的应用，人们依然习惯于在静力学的畴用静力学的方法来解决工程实际问题。 随着汽车，飞机等新时代交通工具的出现，后工业革命时代各种大型机械的创造发明，以及越来越多的摩天大楼的拔地而起，工程界日新月异的发展和变化对工程师们提出了越来越高的要求，传统的只考虑静力荷载的设计理念和设计方法显然已经跟不上时代的要求了。也正是从这个时候起，结构动力学作为一门学科，也开始受到工程界越来越高的重视，从而带动了结构动力学的快速发展。 结构动力学这门学科在过去几十年来所经历的深刻变革，其主要原因也正是由于电子计算机的问世使得大型结构动力体系数值解的得到成为可能。由于电子计算机的超快速度的计算能力，使得在过去凭借手工根本无法求解的问题得到了解决。目前，由于广泛地应用了快速傅立叶变换（FFT），促使结构动力学分析发生了更加深刻地变化，而且使得结构动力学分析与结构动力试验之间的相互关系也开始得以沟通。总之，计算机革命带来了结构动力学求解方法的本质改变。 作为一门课程，结构动力学的基本体系和容主要包括以下几个部分：单自由度系统结构动力学，；多自由度系统结构动力学，；连续系统结构动力学。此外，如果系统上所施加的动力荷载是确定性的，该系统就称为确定性结构动力系统；而如果系统上所施加的动力荷载是非确定性的，该系统就称为概率性结构动力系统。 1.2主要理论分析 结构的质量是一连续的空间函数，因此结构的运动方程是一个含有空间坐标和时间的偏微分方程，只是对某些简单结构，这些方程才有可能直接求解。对于绝大多数实际结构，在工程分析中主要采用数值方法。作法是先把结构离散化成为一个具有有限自由度的数学模
结构动力学习题解答(一二章)
第一章 单自由度系统 1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。 单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。 1、 牛顿第二定律法 适用范围：所有的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1） 对系统进行受力分析,得到系统所受的合力； （2） 利用牛顿第二定律∑=F x m && ,得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 2、 动量距定理法 适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1） 对系统进行受力分析和动量距分析； （2） 利用动量距定理J ∑=M θ &&,得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 3、 拉格朗日方程法： 适用范围：所有的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1）设系统的广义坐标为θ，写出系统对于坐标θ的动能T 和势能U 的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T-U ； （2）由格朗日方程 θθ ??- ???L L dt )(&=0，得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 4、 能量守恒定理法 适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。 解题步骤：（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 和势能U 的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const （2）将能量守恒定理T+U=Const 对时间求导得零,即 0) (=+dt U T d ，进一步得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。 用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。 方法一：衰减曲线法。 求解步骤：（1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值i A 、1+i A 。 （2）由对数衰减率定义 )ln( 1 +=i i A A δ， 进一步推导有 2 12ζ πζδ-= ，
最新结构力学2课后概念题答案(龙驭球)
1.1 结构动力计算与静力计算的主要区别是什么？ 答：主要区别表现在：(1) 在动力分析中要计入惯性力，静力分析中无惯性力；(2) 在动力分析中，结构的内力、位移等是时间的函数，静力分析中则是不随时间变化的量；(3) 动力分析方法常与荷载类型有关，而静力分析方法一般与荷载类型无关。 1.2 什么是动力自由度，确定体系动力自由度的目的是什么？ 答：确定体系在振动过程中任一时刻体系全部质量位置或变形形态所需要的独立参数的个数，称为体系的动力自由度（质点处的基本位移未知量）。 确定动力自由度的目的是：(1) 根据自由度的数目确定所需建立的方程个数（运动方程 数=自由度数），自由度不同所用的分析方法也不同；(2) 因为结构的动力响应（动力内力和 动位移）与结构的动力特性有密切关系，而动力特性又与质量的可能位置有关。 1.3 结构动力自由度与体系几何分析中的自由度有何区别？ 答：二者的区别是：几何组成分析中的自由度是确定刚体系位置所需独立参数的数目，分析的目的是要确定体系能否发生刚体运动。结构动力分析自由度是确定结构上各质量位置所需的独立参数数目，分析的目的是要确定结构振动形状。 1.4 结构的动力特性一般指什么？ 答：结构的动力特性是指：频率（周期）、振型和阻尼。动力特性是结构固有的，这是因为它们是由体系的基本参数（质量、刚度）所确定的、表征结构动力响应特性的量。动力特性不同，在振动中的响应特点亦不同。 1.5 什么是阻尼、阻尼力，产生阻尼的原因一般有哪些？什么是等效粘滞阻尼？ 答：振动过程的能量耗散称为阻尼。 产生阻尼的原因主要有：材料的内摩擦、构件间接触面的摩擦、介质的阻力等等。当然，也包括结构中安装的各种阻尼器、耗能器。阻尼力是根据所假设的阻尼理论作用于质量上用于代替能量耗散的一种假想力。粘滞阻尼理论假定阻尼力与质量的速度成比例。 粘滞阻尼理论的优点是便于求解，但其缺点是与往往实际不符，为扬长避短，按能量等 效原则将实际的阻尼耗能换算成粘滞阻尼理论的相关参数，这种阻尼假设称为等效粘滞阻尼。 1.6 采用集中质量法、广义位移法（坐标法）和有限元法都可使无限自由度体系简化为有限自由度体系，它们采用的手法有何不同？ 答：集中质量法：将结构的分布质量按一定规则集中到结构的某个或某些位置上，认为其他地方没有质量。质量集中后，结构杆件仍具有可变形性质，称为“无重杆”。 广义坐标法：在数学中常采用级数展开法求解微分方程，在结构动力分析中，也可采用 相同的方法求解，这就是广义坐标法的理论依据。所假设的形状曲线数目代表在这个理想化形式中所考虑的自由度个数。考虑了质点间均匀分布质量的影响（形状函数），一般来说，对于一个给定自由度数目的动力分析，用理想化的形状函数法比用集中质量法更为精确。有限元法：有限元法可以看成是广义坐标法的一种特殊的应用。一般的广义坐标中，广 义坐标是形函数的幅值，有时没有明确的物理意义，并且在广义坐标中，形状函数是针对整个结构定义的。而有限元法则采用具有明确物理意义的参数作为广义坐标，且形函数是定义在分片区域的。在有限元分析中，形函数被称为插值函数。 综上所述，有限元法综合了集中质量法和广义坐标法的特点：(l) 与广义坐标法相似， 有限元法采用了形函数的概念。但不同于广义坐标法在整体结构上插值（即定义形函数），而是采用了分片的插值，因此形函数的表达式（形状）可以相对简单。(2) 与集中质量法相比，有限元法中的广义坐标也采用了真实的物理量，具有直接、直观的优点，这与集中质量
结构动力学思考题解答
结构动力学思考题 made by 李云屹 思考题一 1、结构动力学与静力学的主要区别是什么？结构的运动方程有什么不同？ 主要区别为： (1)动力学考虑惯性力的影响，静力学不考虑惯性力的影响； (2)动力学中位移等量与时间有关，静力学中位移等量不随时间变化； (3)动力学的求解方法通常与荷载类型有关，静力学一般无关。 运动方程的不同： 动力学的运动方程包括位移项、速度项和加速度项；静力学的平衡方程只包括位移项。 2、什么是动力自由度？什么是静力自由度？区分动力自由度和静力自由度的意义是什么？动力自由度：确定结构体系质量位置的独立参数； 静力自由度：确定结构体系在空间中的几何位置的独立参数。 意义：通过适当的假设，当静力自由度数大于动力自由度数时，使用动力自由度可以减少未知量，简化计算，提高计算效率。 3、采用集中质量法、广义坐标法和有限元法都可以使无限自由度体系简化为有限自由度体系，它们所采用的手法有什么不同？ 4、在结构振动的过程中引起阻尼的原因有哪些？ (1)材料的内摩擦或材料变形引起的热耗散； (2)构件连接处或结构构件与非结构构件之间的摩擦； (3)结构外部介质的阻尼。 5、在建立结构运动方程时，如考虑重力的影响，动位移的运动方程有无改变？ 如果满足条件： (1)线性问题； (2)重力的影响预先被平衡； 则动位移的运动方程不会改变，否则会改变。 思考题二 1、刚度系数k ij和质量系数m ij的直接物理意义是什么？如何直接用m ij的物理概念建立梁单元的质量矩阵[M]？ k ij：由第j自由度的单位位移所引起的第i自由度的力； m ij：由第j自由度的单位加速度所引起的第i自由度的力。 依次令第j（j=1,2,3,4）自由度产生单位加速度，而其他的广义坐标处保持静止，使用平衡方程解出第i自由度上的力，从而得到m ij，集成得到质量矩阵[M]。
(完整版)结构动力学历年试题
结构动力学历年试题（简答题） 1.根据荷载随时间的变化规律，动力荷载可以划分为哪几类？每一类荷载包括哪几种，请 简述每一种荷载的特点。P2 2.通过与静力问题的对比，试说明结构动力计算的特点。P3 3.动力自由度数目计算类 4.什么叫有势力？它有何种性质。P14 5.广义力是标量还是矢量？它与广义坐标的乘积是哪个物理量的量纲？P16 6.什么是振型的正交性？它的成立条件是什么？P105 7.在研究结构的动力反应时，重力的影响如何考虑？这样处理的前提条件是什么？P32 8.对于一种逐步积分计算方法，其优劣性应从哪些方面加以判断？P132 9.在对结构动力反应进行计算的思路上，数值积分方法与精确积分方法的差异主要表现在 哪里？第五章课件 10.利用Rayleigh法求解得到的振型体系的基本振型和频率及高阶振型和频率与各自的精确 解相比有何特点？造成这种现象的原因何在？P209 11.根据荷载是否预先确定，动荷载可以分为哪两类？它们各自具有怎样的特点？P1 12.坐标耦联的产生与什么有关，与什么无关？P96 13.动力反应的数值分析方法是一种近似的计算分析方法，这种近似性表现在哪些方面？ P132及其课件 14.请给出度哈姆积分的物理意义？P81 15.结构地震反应分析的反应谱方法的基本原理是什么？P84总结 16.某人用逐步积分计算方法计算的结构位移，得到如下的位移时程的计算结果：。。。 17.按照是否需要联立求解耦联方程组，逐步积分法可以分为哪两类？这两类的优劣性应该 如何进行判断？P132 18.根据荷载随时间的变化规律，动力荷载可以划分为哪几类？每一类荷载又包括哪些类型， 每种类型请给出一种实例。P2 19.请分别给出自振频率与振型的物理意义？P103 20.振型叠加法的基本思想是什么？该方法的理论基础是什么？P111参考25题 21.在振型叠加法的求解过程中，只需要取有限项的低阶振型进行分析，即高阶振型的影响 可以不考虑，这样处理的物理基础是什么？P115 22.我们需要用数值积分方法求解一座大型的高坝结构的地震反应时程，动力自由度的总数 为25000个，我们如何缩短计算所耗费的机时？P103 23.什么是结构的动力自由度？动力自由度与静力自由度的区别何在？P11及卷子上答案 24.一台转动机械从启动到工作转速正好要经过系统的固有频率（又称为转子的临界转速）， 为减小共振，便于转子顺利通过临界转速，通常采用什么措施比较直接有效？简要说明理由。详解见卷子上答案 25.简述用振型叠加法求解多自由度体系动力响应的基本原理及使用条件分别是什么？若 振型叠加法不适用，可采用何种普遍适用的方法计算体系响应？详解见卷子上答案 26.振型函数边界条件。。。 27.集中质量和一致质量有限元的差异和优缺点，采用这两种有限元模型给出的自振频率与 实际结构自振频率相比有何种关系？P242及卷子上答案 28.人站在桥上可以感觉到桥面的震动，简述当车辆行驶在桥上和驶离桥面的主要振型特征 有何不同？ 29.简述用Duhamel积分法求体系动力响应的基本原理，以及积分表达式中的t和τ有何差
结构力学第2章习题及参考答案
第2章 习 题 2-1 试判断图示桁架中的零杆。 2-1（a ） 解 静定结构受局部平衡力作用，平衡力作用区域以外的构件均不受力。所有零杆如图（a-1）所示。 2-1 (b) 解 从A 点开始，可以依次判断AB 杆、BC 杆、CD
杆均为无结点荷载作用的结点单杆，都是零杆。同理，从H点开始，也可以依次判断HI杆、IF杆、FD杆为零杆。最后，DE杆也变成了无结点荷载作用的结点D的单杆，也是零杆。所有零杆如图（b-1）所示。
2-1(c) 解该结构在竖向荷载下，水平反力为零。因此，本题属对称结构承受对称荷载的情况。AC、FG、EB和ML 均为无结点荷载作用的结点单杆，都是零杆。 在NCP三角形中，O结点为“K”结点，所以 F N OG＝－F N OH（a） 同理，G、H结点也为“K”结点，故
F N OG＝－F N GH（b） F N HG＝－F N OH（c） 由式（a）、（b）和（c）得 F N OG＝F N GH＝F N OH＝0 同理，可判断在TRE三角形中 F N SK＝F N KL＝F N SL＝0 D结点也是“K”结点，且处于对称荷载作用下的对称轴上，故ID、JD杆都是零杆。所有零杆如图（c-1）所示。 2-2试用结点法求图示桁架中的各杆轴力。 2-2(a) (a)
解（1）判断零杆 ①二杆结点的情况。N、V结点为无结点荷载作用的二杆结点，故NA、NO杆件和VI、VU杆件都是零杆；接着，O、U结点又变成无结点荷载作用的二杆结点，故OP、OJ、UT、UM杆件也是零杆。②结点单杆的情况。BJ、DK、QK、RE、HM、SL、LF杆件均为无结点荷载作用的结点单杆，都是零杆；接着，JC、CK、GM、LG杆件又变成了无结点荷载作用的结点单杆，也都是零杆。所有零杆如图
结构动力学第二讲
结构的动力特性
k c m ( )y t ( )F t ?承受动力荷载的结构体系的主要物理特性： ?质量m = 结构的惯性；?弹簧k = 结构的刚度；?阻尼器c = 结构的能量耗散. 质量、弹性特性、阻尼特性、外荷载 ?在最简单的单自由度体系模型中，所有特性都假定集结于一个简单的基本动力体系模型内，每一个特性分别由一个具有相应物理特性的元件表示： 数学模型
t y 表征结构动力响应特性的一些固有量称为结构的动力特性，又称自振特性。 定义 结构的动力响应 ?结构的动力特性与结构的质量、刚度、阻尼及其分布有关。
t y 定义 ?结构受外部干扰后发生振动，而在干扰消失后继续振动，这种振动称为结构的自由振动。 ?如果结构在振动过程中不断地受到外部干扰力作用，这种振动称为结构的强迫振动，又称受迫振动。 t y 结构的自由振动与受迫振动
固有频率 ?质点在运动过程中完成一个完整的循环所需要的时间称为周期，单位时间内完成的循环次数称为频率。 ?结构在自由振动时的频率称为结构的自振频率或固有频率。?对大部分工程结构，结构的自振频率的个数与结构的动力自由度数相等。 ?结构的自振频率与结构的质量和刚度有关。 t y T
阻尼 ?结构在振动过程中的能量耗散作用称为阻尼。 ?结构的自由振动会因为阻尼作用而随时间衰减并最终停止。?由于阻尼而使振动衰减的结构系统称为有阻尼系统。?阻尼原因复杂：内摩擦、连接摩擦、周围介质阻力等。y c F D ?等效粘滞阻尼：以阻尼器表示结构阻尼作用： c 为阻尼系数，为质量的速度。y t y T t y T
结构动力学习题解答(三四章)
第三章 多自由度系统 试求图3-10所示系统在平衡位置附近作微振动的振动方程。 图３－１０ 解：（1）系统自由度、广义坐标 图示系统自由度N=2，选x1、x2和x3为广义坐标； （2）系统运动微分方程 根据牛顿第二定律，建立系统运动微分方程如下： ;)(;)()(;)(3 4233332625323122222121111x K x x K x m x K x K x x K x x K x m x x K x K x m ---=------=---=&&&&&& 整理如下 ; 0)(;0)(;0)(3432333332653212222212111=++-=-++++-=-++x K K x K x m x K x K K K K x K x m x K x K K x m &&&&&& 写成矩阵形式 ;000)(0)(0) (0 0000321433365322221321321 ?? ????????=????????????????????+--+++--++????????????????????x x x K K K K K K K K K K K K x x x m m m &&&&&&（1） （3）系统特征方程 设)sin(,)sin(,)sin(332211?ω?ω?ω+=+=+=t A x t A x t A x 代入系统运动微分方程（1）得系统特征方程 ;000)(0)(0)(321234333 2 26532222121?? ????????=????????????????????-+---+++---+A A A m K K K K m K K K K K K m K K ωωω（2） （4）系统频率方程 系统特征方程（2）有非零解的充要条件是其系数行列式等于零， 即 ;0) (0)(0)(234333226532222121=-+---+++---+ωωωm K K K K m K K K K K K m K K 展开得系统频率方程
全国自考结构力学(二)真题及答案 2
第1页 全国2010年4月高等教育自学考试 结构力学（二）试题及其答案 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．图示结构，K 截面弯矩值为（内侧受拉为正）（ ） A ．0 B ．41F P l C ． 2 1F P l D ．F P l 2．三铰拱在图示荷载作用下，合理轴线为（ ） A ．二次抛物线 B ．圆弧线 C ．折线 D ．悬链线 3．用矩阵位移法求解图示结构时，结构荷载矩阵中元素P 1=（ ） A ．55kN ·m B ．15kN ·m C ．－15kN ·m D ．－55kN ·m 4．图示桁架中1杆的轴力等于（ ） A ．0 B ．2P F C ． 2 2F P D ．F P 5．用位移法计算图示结构（EI =常数）时，基本未知量的个数最少为（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 6．在线弹性体系的四个互等定理中，最基本的是（ ） A ．位移互等定理 B ．反力互等定理
第2页 C ．位移反力互等定理 D ．虚功互等定理 7．图示结构中，BD 杆B 端截面弯矩值为（ ） A ．0.3M B ．0.4M C ．0.5M D ．0.6M 8．F P =1在图示梁AE 上移动，K 截面弯矩影响线上竖标等于零的部分为（ ） A ．DE 、AB 段 B ．CD 、DE 段 C ．AB 、BC 段 D ．BC 、CD 段 9．图示结构，各杆EI 、EA 为常数，结构刚度矩阵元素K 33等于（ ） A ．l EI B ． l EI 2 C ．l EI 4 D ．l EI 8 10．图示结构的自振频率=ω（ ） A ． 3 12ml EI B ． 3 6ml EI C ． 3 3ml EI D ． 3 ml EI 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11．图示桁架中1杆的轴力为__________。 12．支座位移引起的位移计算公式i i C R ·∑- =?中i R 为__________。 13．图示梁B 截面的转角为__________。 14．图示结构，A 支座反力F Ay 的影响线 方程为__________。 15．当远端为定向支座时，弯矩传递系数 为__________。 16．根据__________定理，结构刚度矩阵为对称矩阵。 17．图（b ）为图（a ）所示梁B 支座反力影响线，其竖标y C =__________。
结构动力学复习 新
结构动力学与稳定复习 1.1 结构动力计算与静力计算的主要区别是什么？ 答：主要区别表现在：(1) 在动力分析中要计入惯性力，静力分析中无惯性力； (2) 在动力分析中，结构的内力、位移等是时间的函数，静力分析中则是不随时间变化的量；(3) 动力分析方法常与荷载类型有关，而静力分析方法一般与荷载类型无关。 1.2 什么是动力自由度，确定体系动力自由度的目的是什么？ 答：确定体系在振动过程中任一时刻体系全部质量位置或变形形态所需要的独立参数的个数，称为体系的动力自由度（质点处的基本位移未知量）。 确定动力自由度的目的是：(1) 根据自由度的数目确定所需建立的方程个数（运动方程数=自由度数），自由度不同所用的分析方法也不同；(2) 因为结构的动力响应（动力内力和动位移）与结构的动力特性有密切关系，而动力特性又与质量的可能位置有关。 1.3 结构动力自由度与体系几何分析中的自由度有何区别？ 答：二者的区别是：几何组成分析中的自由度是确定刚体系位置所需独立参数的数目，分析的目的是要确定体系能否发生刚体运动。结构动力分析自由度是确定结构上各质量位置所需的独立参数数目，分析的目的是要确定结构振动形状。1.4 结构的动力特性一般指什么？ 答：结构的动力特性是指：频率（周期）、振型和阻尼。动力特性是结构固有的，这是因为它们是由体系的基本参数（质量、刚度）所确定的、表征结构动力响应特性的量。动力特性不同，在振动中的响应特点亦不同。 1.5 什么是阻尼、阻尼力，产生阻尼的原因一般有哪些？什么是等效粘滞阻尼？ 答：振动过程的能量耗散称为阻尼。 产生阻尼的原因主要有：材料的内摩擦、构件间接触面的摩擦、介质的阻力等等。当然，也包括结构中安装的各种阻尼器、耗能器。 阻尼力是根据所假设的阻尼理论作用于质量上用于代替能量耗散的一种假
第二讲 血液检查(下)
仅供内部使用
实验诊断
Laboratory diagnosis
检验系实验诊断教研室 罗春丽
思考题
第二讲
血液一般检查
（下）
重庆医科大学检验系 罗春丽
实诊
1.WBC、DC的临床意义 2.红细胞形态改变及临床意义 3.白细胞形态变化及临床意义 4.中性粒细胞核象变化及形态改变临床意义 5. ESR临床意义
八、 白细胞计数和白细胞分类计数 P270
概念 White blood count, WBC ：测定外周血中各 种白细胞的总数。
测定方法
手工法：DC更可靠
Reference interval
WBC： P271 成人（4-10）×109/L 新生儿（15-20)×109/L
6个月-2岁（11-12）×109/L DC：neutrophilic stab granulocyte, Nst 1-5% Neutrophilic segmented granulocyte, Nsg 50-70% lymphocyte, L 仪器：WBC 常用 eosinophil, E 0.5-5% basophil, B 0-1% 20-40% Monocyte, M 3-8%
different count， DC：血液涂片wright，在
油镜下分类，求得各种白细胞的比值（百分数） 各种白细胞绝对值（例EO# ）：即每升血液内某种 白细胞所占的数=WBC×分类计数的百分数
1
仅供内部使用
clinical significance
参考值特点： 1. 成人外周血分类以N为主 2. 儿童L较多，4-6岁逐渐下降，粒细胞逐 渐升高 3. 婴幼儿，儿童单核较成人高
外周血 循环：血循环 边缘池：血管壁 1. 骨髓 粒细胞动力学：用于分析临床意义 分裂池：原—中 成熟池：晚—杆 贮备池：杆—分
2. 各种白细胞增多或降低的临床意义
中性粒细胞 Neutrophil N↑ P271
Physiologcal：下午比早晨高，激烈运动，寒冷， 高湿，新生儿，月经期，妊娠5月以上（一过性的）。 Pathological：
Neutrophil ↓ P272
①急性感染：尤其是化脓性感染，程度与病 原体种类，感染部位，程度，机体反应性有关 ②广泛组织损伤或坏死：手术，外伤，心梗 ③急性溶血： 胡豆黄 ①感染 ： 病毒：流感，风疹 ，病毒性肝炎 细菌：伤寒 ②血液病：再障，粒细胞减少症＜1.5×109/L， 粒细胞缺乏症＜0.5×109/L，非白血性白血病 ③理化因素：电力辐射，药物 ④单核巨噬系统功能亢进：脾亢 ⑤其它 ： SLE 、过敏性休克
嗜酸性粒细胞 Eosinophil，E E↑ P273
①过敏性疾病：支哮、寻麻疹、 湿疹 ②寄生虫： ③传染病：一般传染病↓，猩红热急性期↑ ④恶性肿瘤及血液病：淋巴瘤，肺癌，慢粒 ⑤肾上腺皮质减退
④急性内出血： 消化道，脾破裂，宫外孕 ⑤急性中毒 ：化学，生物毒素，尿毒症 ⑥白血病、恶性肿瘤
2
结构力学
第一讲平面体系的几何组成分析及静定结构受力分析 【内容提要】 平面体系的基本概念，几何不变体系的组成规律及其应用。静定结构受力分析方法，反力、内力计算与内力图绘制，静定结构特性及其应用。 【重点、难点】 静定结构受力分析方法，反力、内力计算与内力图绘制 一、平面体系的几何组成分析 (一)几何组成分析 按机械运动和几何学的观点，对结构或体系的组成形式进行分析。 (二)刚片 结构由杆(构)件组成，在几何分析时，不考虑杆件微小应变的影响，即每根杆件当做刚片。 (三)几何不变体系 体系的形状(或构成结构各杆的相对位置)保持不变，称为几何不变体系，如图6-1-1 (四)几何可变体系 体系的位置和形状可以改变的结构，如图6-1-2。 图6-1-1 图6-1-2 (五)自由度 确定体系位置所需的独立运动参数数目。如一个刚片在平面内具有3个自由度。(六)约束
减少体系独立运动参数(自由度)的装置。 1．外部约束 指体系与基础之间的约束，如链杆(或称活动铰)，支座(固定铰、定向铰、固定支座)。2．内部约束 指体系内部各杆间的联系，如铰接点，刚接点，链杆。 规则一：一根链杆相当于一个约束。 规则二：一个单铰(只连接2个刚片)相当于两个约束。 推论：一个连接n 个刚片的铰(复铰)相当于(n－ 1)个单铰。 规则三：一个单刚性结点相当于三个约束。 推论：一个连接个刚片的复刚性结点相当于( n－ 1)个单刚性结点。 3．必要约束 如果在体系中增加一个约束，体系减少一个自由度，则此约束为必要约束。 4．多余约束 如果体系中增加一个约束，对体系的独立运动参数无影响，则此约束称为多余约束。(七)等效作用 1．虚铰 两根链杆的交叉点或其延长线的交点称为(单)虚铰，其作用与实铰相同。 平行链杆的交点在无限远处。 2．等效刚片 一个内部几何不变的体系，可用一个刚片来代替。 3．等效链杆。 两端为铰的非直线形杆，可用一连接两铰的直线链杆代 二、几何组成分析 (一)几何不变体系组成的基本规则
结构动力学习题分析
第九章 结构动力计算 一、是非题 1、结构计算中，大小、方向随时间变化的荷载必须按动荷载考虑。 2、忽略直杆的轴向变形，图示结构的动力自由度为4个。 3、仅在恢复力作用下的振动称为自由振动。 4、单自由度体系其它参数不变，只有刚度EI 增大到原来的2倍，则周期比原来的周期减小1/2。 5、图 a 体 系 的 自 振 频 率 比 图 b 的 小 。 l /2 l /2 l /2 l /2 (a)(b) 6、单 自 由 度 体 系 如 图 ，W =98 .kN ，欲 使 顶 端 产 生 水 平 位 移 ?=001 .m ，需 加 水 平 力 P =16kN ，则 体 系 的 自 振 频 率 ω=-40s 1 。 ? 7、结构在动力荷载作用下，其动内力 与动位移仅与动力荷载的变化规律有关。 8、由于阻尼的存在，任何振动都不会长期继续下去。 9、桁 架 ABC 在 C 结 点 处 有 重 物 W ，杆 重 不 计 ， EA 为 常 数 ，在 C 点 的 竖 向 初 位 移 干 扰 下 ，W 将 作 竖 向 自 由 振 动 。 A C 10、不 计 阻 尼 时 ，图 示 体 系 的 运 动 方 程 为 ： m m X X h EI EI EI EI X X P t 00148242424012312????????????+--????????????=?????? () 二、选择题 1、图 示 体 系 ，质 点 的 运 动 方 程 为 ：
A ．()()()y l P s in m y EI =-77683θ t /； B ．()()m y EI y l P s in /+=19273 θ t ； C ．()()m y EI y l P s in /+=38473θ t ； D ．()()()y l P s in m y EI =-7963θ t / 。 l l 0.50.5 2、在 图 示 结 构 中 ，若 要 使 其 自 振 频 率 ω增 大 ，可 以 A ．增 大 P ； B ．增 大 m ； C ．增 大 E I ； D ．增 大 l 。 l t ) 3、单 自 由 度 体 系 自 由 振 动 的 振 幅 取 决 于 ： A ．初 位 移 ； B ．初 速 度 ； C ．初 位 移 、初 速 度 与 质 量 ； D ．初 位 移 、初 速 度 与 结 构 自 振 频 率 。 4、考 虑 阻 尼 比 不 考 虑 阻 尼 时 结 构 的 自 振 频 率 ： A ．大 ； B ．小 ； C ．相 同 ； D ．不 定 ，取 决 于 阻 尼 性 质 。 5、已 知 一 单 自 由 度 体 系 的 阻 尼 比 ξ=12.，则 该 体 系 自 由 振 动 时 的 位 移 时 程 曲 线 的 形 状 可 能 为 ： D. C. B. A. 6、图 a 所 示 梁 ，梁 重 不 计 ，其 自 振 频 率 () ω=76873 EI ml /；今 在 集 中 质 量 处 添 加 弹 性 支 承 ，如 图 b 所 示 ，则 该 体 系 的 自 振 频 率 ω为 ： A ．() 76873 EI ml k m //+； B ． ()76873EI ml k m //-； C ．()76873 EI ml k m //-； D ． () 76873 EI ml k m //+ 。 l l /2 /2 l l /2 /2(a)(b) 7、图 示 结 构 ，不 计 阻 尼 与 杆 件 质 量 ，若 要 其 发 生 共 振 ，θ 应 等 于 A ． 23k m ； B ．k m 3；
结构力学 矩阵位移法 结构动力学 习题
第十章 矩阵位移法 一、判断题： 1、单元刚度矩阵反映了该单元杆端位移与杆端力之间的关系。 2、单元刚度矩阵均具有对称性和奇异性。 3、局部坐标系与整体坐标系之间的坐标变换矩阵T 是正交矩阵。 4、结构刚度矩阵反映了结构结点位移与荷载之间的关系。 5、结构刚度方程矩阵形式为：[]{}{}K P ?=，它是整个结构所应满足的变形条件。 6、图示结构用矩阵位移法计算时（计轴向变形）未知量数目为8个。 7、在直接刚度法的先处理法中，定位向量的物理意义是变形连续条件和位移边界条件。 8、等效结点荷载数值等于汇交于该结点所有固端力的代数和。 9、矩阵位移法中，等效结点荷载的“等效原则”是指与非结点荷载的结点位移相等。 10、矩阵位移法既能计算超静定结构，也能计算静定结构。 11、已知图示刚架各杆EI = 常数，当只考虑弯曲变形，且各杆单元类型相同时，采用先处理法进行结点位移编号，其正确编号是： (0,1,2) (0,0,0) (0,0,0) (0,1,3) (0,0,0)(1,2,0) (0,0,0)(0,0,3) (1,0,2) (0,0,0) (0,0,0)(1,0,3) (0,0,0) (0,1,2) (0,0,0)(0,3,4) A. B. C. D. 2134123412341234 ( ) 二、计算题： 12、用先处理法计算图示结构刚度矩阵的元素133322,,K K K 。 12 3l l 4 l 5EI 2EI EA (0,0,0) (0,0,1) (0,2,3) (0,0,0) (0,2,4)(0,0,0) EI
13、用先处理法计算图示刚架结构刚度矩阵的元素153422,,K K K 。EI ，EA 均为常数。 l ,0) 14、计算图示结构整体刚度矩阵的元素665544,,K K K 。E 为常数。 l l 1 3 4 2A , I A A /222A I , 2A 15、写出图示结构以子矩阵形式表达的结构原始刚度矩阵的子矩阵[][]K K 2224,。 [][]k k 1112 [][] k k 2122 [] k = i i i i i 单刚分块形式为 ： 16、已知平面桁架单元在整体坐标系中的单元刚度矩阵，计算图示桁架结构原始刚度矩阵 []K 中的元素,,7877K K EA ＝常数。,cos α=C ,sin α=S ,C C A ?= S S D S C B ?=?=,，各杆EA 相同。 l [] k EA l i = A B A B D B D A B D -i i ---对称 17、计算图示刚架结构刚度矩阵中的元素8811,K K （只考虑弯曲变形）。设各层高度为h ，各跨长度为l h l 5.0,=，各杆EI 为常数。
结构动力学习题
结构动力学习题 2.1 建立题2.1图所示的三个弹簧-质点体系的运动方程（要求从刚度的基本定义出发确定体系的等效刚度）。 题2.1图 2.2 建立题2.2图所示梁框架结构的运动方程（集中质量位于梁中，框架分布质量和阻尼忽略不计）。
题2.2图 2.3 试建立题2.3图所示体系的运动方程，给出体系的广义质量M、广义刚度K、广义阻尼C和广义荷载P(t)，其中位移坐标u(t)定义为 无重刚杆左端点的竖向位移。 题2.3图 2.4 一总质量为m1、长为L的均匀刚性直杆在重力作用下摆动。一 集中质量m2沿杆轴滑动并由一刚度为K2的无质量弹簧与摆轴相连，
见题 2.4图。设体系无摩擦，并考虑大摆角，用图中的广义坐标q1和q2建立体系的运动方程。弹簧k2的自由长度为b。 题2.4图 2.5 如题2.5图所示一质量为m1的质量块可水平运动，其右端与刚度为k的弹簧相连，左端与阻尼系数为c的阻尼器相连。摆锤m2以长为L的无重刚杆与滑块以铰相连，摆锤只能在图示铅垂面内摆动。建立以广义坐标u和θ表示的体系运动方程（坐标原点取静平衡位置）。
题2.5图 2.6如题2.6图所示一质量为m1的质量块可水平运动，其上部与一无重刚杆相连，无重刚杆与刚度为k2的弹簧及阻尼系数为c2的阻尼器相连，m1右端与刚度为k1的弹簧相连，左端与阻尼系数为c1的阻尼器相连。摆锤m2以长为L的无重刚杆与滑块以铰相连，摆锤只能在图示铅垂面内摆动。建立以广义坐标u和θ表示的体系运动方程（坐标原点取静平衡位置，假定系统作微幅振动，sinθ=tanθ=θ）。计算 结果要求以刚度矩阵，质量矩阵，阻尼矩阵的形式给出。
结构力学(二)习题和答案
一、单项选择题（15分，共 5 题，每小题 3 分） 1. 图示结构，要使结点B产生单位转角，则在结点B需施加外力偶为 A. 13i B. 5i C. 10i D. 8i 2. 图示各结构中，除特殊注明者外，各杆件EI=常数。其中不能直接用力矩分配法计算的结构是：() A. B. C.
D. 3. 图示两个结构的关系是（）。 A. 内力相同，变形也相同 B. 内力相同，变形不相同 C. 内力不相同，变形相同 D. 内力不相同，变形不相同 4. 图示刚架中杆长l，EI相同，A点的水平位移为：（） l2/3EI(→) A. 2M B. M l2/3EI(→) C. 2M l2/3EI(←) D. M l2/3EI(←)
5. 图示结构M 的值为() CB A. 0.5 FL B. FL C. 1.5 FL D. 2 FL 二、判断题（30分，共 10 题，每小题 3 分） 1. 图示结构横梁无弯曲变形，故其上无弯矩（） 2. 静定结构的支反力一定可以只凭平衡方程求解得到（） 3. 在荷载作用下，超静定结构的内力与EI的绝对值大小有关。（） 4. 力法方程的物理意义是表示变形条件。（） 5. 计算超静定结构位移时，单位力只能加在原超静定结构上。（） 6. 位移法仅适用于解超静定结构，不适用于解静定结构。（） 7. 图示梁AB在所示荷载作用下的M图面积为：gl3/3 8. 单独使用力矩分配法，只能解算连续梁及无侧移刚架。（） 9. 功的互等定理仅适用于线性弹性体系，不适用于非线性非弹性体系（） 10. 对于某结构，在1、2截面分别作用P1与P2，当P1＝1，P2＝0，时，1点的挠度为a1，2点挠度为a2。当P1=0,P2=1，时，则1点的挠度为 (a1+a2)。（） 三、填空题（30分，共 10 题，每小题 3 分） 1. 位移法方程中的系数是由______互等定理得到的结果。