2012-2018年新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编
立 体 几 何
一、选择题
【2017,6】如图,在下列四个正方体中,A ,B 为正方体的两个顶点,M ,N ,Q 为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直接AB 与平面MNQ 不平行的是( )
【2016,7】如图所示,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是
28π
3
,则它的表面积是( ) A .17π B . 18π C . 20π D . 28π
【2016,11】平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ,α∥平面11CB D ,α
平面ABCD m =,
α
平面11ABB A n =,则,m n 所成角的正弦值为( )
A .
32 B .22 C .33 D .13
【2015,6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名着,书 中有如下问
题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问”积及为米几何”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,米堆的体积和堆放的米各位多少”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米有( ) A .14斛 B .22斛 C .36斛 D .66斛
【2015,11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体的三视图中的
正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为16+20π,则r =( ) B A .1 B .2 C .4 D .8
【2015,11】 【2014,8】 【2013,11】 【2012,7】
【2014,8】如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的一个几何体的三视图,则这个几何体是( ) A .三棱锥 B .三棱柱 C .四棱锥 D .四棱柱
【2013,11】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).
A .16+8π
B .8+8π
C .16+16π
D .8+16π
【2012,7】如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为
A .6
B .9
C .
D .
【2012,8】平面α截球O 的球面所得圆的半径为1,球心O 到平面α的距离为2,则此球的体积为( )
A .6π
B .43π
C .46π
D .63π
【2018,5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1,O 2,过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,该圆柱的表面积为
A. 12π
B. 12π
C. 8π
D. 10π
【2018,9】某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图,圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为
A. 2
B.
C. 3
D.
2
【2018,10】在长方形ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=2,AC 1与平面
BB 1C 1C 所成的角为30°,则该长方体的体积为
A. 8
B. 6
C. 8
D.
8
二、填空题
【2017,16】已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上,SC 是球O 的直径.若平面
SCA SCB ⊥平面,SA AC =,SB BC =,
三棱锥S ABC -的体积为9,则球O 的表面积为_______. 【2013,15】已知H 是球O 的直径AB 上一点,AH ∶HB =1∶2,AB ⊥平面α,H 为垂足,α截球O 所得
截面的面积为π,则球O 的表面积为______.
三、解答题
【2017,18】如图,在四棱锥P ABCD -中,AB ∥CD ,且90BAP CDP ∠=∠=?.
(1)证明:平面PAB ⊥平面PAD ;(2)若PA PD AB DC ===,90APD ∠=?,且四棱锥
P ABCD -的体积为8
3
,求该四棱锥的侧面积.
【2016,18】如图所示,已知正三棱锥P ABC -的侧面是直角三角形,6PA =,顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ,D 在平面PAB 内的正投影为点E .连结PE 并延长交AB 于点G . (1)求证:G 是AB 的中点;
(2)在题图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F (说明作法及理由),并求四面体PDEF 的体积.
P
A
B
D C
G
E
【2015,18】如图四边形ABCD 为菱形,G 为AC 与BD 交点,BE ⊥平面ABCD ,
(Ⅰ)证明:平面AEC ⊥平面BED ; (Ⅱ)若∠ABC =120°,AE ⊥EC , 三棱锥E - ACD 6
【2014,19】如图,三棱柱111C B A ABC -中,侧面C C BB 11为菱形,C B 1的中点为O ,且⊥AO 平面C C BB 11.
(1)证明:;1AB C B ⊥
(2)若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB 求三棱柱111C B A ABC -的高.
【2013,19】如图,三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,CA =CB ,AB =AA 1,∠BAA 1=60°.
(1)证明:AB ⊥A 1C ;(2)若AB =CB =2,A 1C 6,求三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积.
【2012,19】如图,三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧棱垂直底面,90ACB ∠=?,AC=BC=
2
1
AA 1
,D 是棱AA 1的中点.
(1)证明:平面BDC 1⊥平面BDC ; (2)平面BDC 1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.
【2018,18】如图,在平行四边形ABCM 中,AB=AC=3,∠ACM=90°,以AC 为折痕将△ACM 折起,使点M 到达点D 的位置,且AB ⊥DA 。 (1) 证明:平面ACD ⊥平面ABC ;
(2) Q 为线段AD 上一点,P 为线段BC 上一点,且BP=DQ=DA ,求三棱锥Q-ABP 的体积。
D A 1B 1
C
A B C 1
解 析
一、选择题
【2017,6】如图,在下列四个正方体中,A ,B 为正方体的两个顶点,M ,N ,Q 为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直接AB 与平面MNQ 不平行的是( )
【解法】选A .由B ,AB ∥MQ ,则直线AB ∥平面MNQ ;由C ,AB ∥MQ ,则直线AB ∥平面MNQ ;由D ,AB ∥NQ ,则直线AB ∥平面MNQ .故A 不满足,选A .
【2016,7】如图所示,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是
28π
3
,则它的表面积是( ). A .17π B . 18π C . 20π D . 28π
解析:选A . 由三视图可知,该几何体是一个球截去球的
18
,设球的半径为R ,则37428ππ833R ?=,
解得2R =.该几何体的表面积等于球的表面积的
78,加上3个截面的面积,每个截面是圆面的1
4
, 所以该几何体的表面积为2271
4π23π284
S =
??+???14π3π17π=+=.故选A . 【2016,11】平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ,α∥平面11CB D ,α平面ABCD m =,α
平面11ABB A n =,则,m n 所成角的正弦值为( )
A .
32 B .22 C .33 D .1
3
解析:选A . 解法一:将图形延伸出去,构造一个正方体,如图所示.通过寻找线线平行构造出平面α,即平面AEF ,即研究AE 与AF 所成角的正弦值,易知3
EAF π
∠=
3.故选A .
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
E
F
解法二(原理同解法一):过平面外一点A 作平面α,并使α∥平面11CB D ,不妨将点A 变换成B ,作β使之满足同等条件,在这样的情况下容易得到β,即为平面1A BD ,如图所示,即研究1A B 与BD 所成角的正弦值,易知13
A BD π
∠=
,所以其正弦值为32.故选A .
D 1
C 1
B 1
A 1
D
C
B
A
【2015,6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名着,书 中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问”积及为米几何”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,米堆的体积和堆放的米各位多少”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米有( ) B
A .14斛
B .22斛
C .36斛
D .66斛
解:设圆锥底面半径为r ,依题
116
23843
r r ??=?=,所以米堆的体积为211163203()54339
????=,故堆放的米约为3209÷1.62≈22,故选B .
【2015,11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体的三视图中的
正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为16+20π,则r =( ) B A .1 B .2 C .4 D .8
解:该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的半径与球的半径都为r ,圆柱的高为2r ,其表面积为2πr 2+πr×2r+πr 2+2r×2r =5πr 2+4r 2=16+20π, 解得r=2,故选B .
【2014,8】如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的 一个几何体的三视图,则这个几何体是( )B
A .三棱锥
B .三棱柱
C .四棱锥
D .四棱柱 解:几何体是一个横放着的三棱柱. 故选B
【2013,11】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).
A .16+8π
B .8+8π
C .16+16π
D .8+16π 解析:选A .该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体. V 半圆柱=
1
2
π×22×4=8π,V 长方体=4×2×2=16.所以所求体积为16+8π.故选A .
【2012,7】如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )
A .6
B .9
C .
D . 【解析】由三视图可知,该几何体为
三棱锥A-BCD , 底面△BCD 为
底边为6,高为3的等腰三角形, 侧面ABD ⊥底面BCD ,
AO ⊥底面BCD ,
因此此几何体的体积为
11
(63)3932
V =????=,故选择B . 【2012,8】8.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1,球心O 到平面α的
距离为2,则此球的体积为( ) A .6π
B .43π
C .46π
D .63π
【解析】如图所示,由已知11O A =,12OO =
,
在1Rt OO A ?中,球的半径3R OA ==, 所以此球的体积34
433
V R ππ=
=,故选择B . 【点评】本题主要考察球面的性质及球的体积的计算.
O B D A
【2011,8】在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为( )
【解析】由几何体的正视图和侧视图可知,该几何体的底面为半圆和等腰三角形,其侧视图可以是一个由等腰三角形及底边上的高构成的平面图形. 故选D .
【2018,5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1,O 2,过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,该圆柱的表面积为B
【2018,9】某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图,圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为B
A. 2
B.
C. 3
D.
2
【2018,10】在长方形ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=2,AC 1与平面
BB 1C 1C 所成的角为30°,则该长方体的体积为C
A. 8
B. 6
C. 8
D.
8
二、填空题
【2017,16】已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上,SC 是球O 的直径.若平面
SCA SCB ⊥平面,SA AC =,SB BC =,三棱锥S ABC -的体积为9,则球O 的表面积为_______.
【解析】取SC 的中点O ,连接,OA OB ,因为,SA AC SB BC ==,所以,OA SC OB SC ⊥⊥, 因为平面
SAC ⊥平面SBC ,所以OA ⊥平面SBC ,设OA r
=,
3111123323A SBC
SBC V S OA r r r r -?=??=????=,所以31
933
r r =?=, 所以球的表面积为2436r ππ=.
【2013,15】已知H 是球O 的直径AB 上一点,AH ∶HB =1∶2,AB ⊥平面α,H 为垂足,α截球O 所得
截面的面积为π,则球O 的表面积为______.
答案:
9π2
解析:如图,
设球O 的半径为R ,则AH =
23R ,OH =3
R
.又∵π·EH 2=π,∴EH =1.∵在Rt △OEH 中,R 2=2
2+13R ?? ???
,∴R 2=98. ∴S 球=4πR 2
=9π2.
【2011,16】已知两个圆锥由公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面
积是这个球面面积的3
16
,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 . 【解析】设圆锥底面半径为r ,球的半径为R ,则由223π4π16r R =?,知223
4
r R =.
根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心O ,且两圆锥的顶点以及圆锥与球的交点是球的大圆上的
点,因此PB QB ⊥.
设PO x '=,QO y '=,则2x y R +=. ? 又PO B BO Q ''△∽△,知2
2
r O B xy '==.
即22
34
xy r R ==
. ? 由??及x y >可得3,22
R
x R y ==.
则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比为1
3
. 故答案为
13
.
三、解答题
【2017,18】如图,在四棱锥P ABCD -中,AB ∥CD ,且90BAP CDP ∠=∠=?.
(1)证明:平面PAB ⊥平面PAD ;(2)若PA PD AB DC ===,90APD ∠=?,且四棱锥
P ABCD -的体积为8
3
,求该四棱锥的侧面积.
【解法】(1)90BAP CDP ∠=∠=?, ∴,AB AP CD DP ⊥⊥
又
AB ∥CD ∴AB DP ⊥
又AP ?平面PAD ,DP ?平面PAD ,且AP DP P = ∴AB ⊥平面PAD
AB ?平面PAB ,所以 平面PAB ⊥平面PAD
(2)由题意:设=PA PD AB DC a === ,因为90APD ∠=? ,所以PAD ?为等腰直角三角形 即=2AD a
取AD 中点E ,连接PE ,则2
2
PE a =,PE AD ⊥. 又因为平面PAB ⊥平面PAD 所以PE ⊥平面ABCD
因为AB ⊥平面PAD ,AB ∥CD 所以AB ⊥AD ,CD ⊥AD 又=AB DC a =
所以四边形ABCD 为矩形
所以
311218
233
233P ABCD V AB AD PE a a
a a -=
===
即2a = 11
=
223+226=6+2322
S ????侧
【2016,18】如图所示,已知正三棱锥P ABC -的侧面是直角三角形,6PA =,顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ,D 在平面PAB 内的正投影为点E .连结PE 并延长交AB 于点G . (1)求证:G 是AB 的中点;
(2)在题图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F (说明作法及理由),并求四面体PDEF 的体积.
P
A
B
D C
G
E
解析 :(1)由题意可得ABC △为正三角形,故6PA PB PC ===. 因为P 在平面ABC 内的正投影为点D ,故PD ⊥平面ABC . 又AB ?平面ABC ,所以AB PD ⊥.
因为D 在平面PAB 内的正投影为点E ,故DE ⊥平面PAB . 又AB ?平面PAB ,所以AB DE ⊥.
因为AB PD ⊥,AB DE ⊥,PD DE D =,,PD DE ?平面PDG , 所以AB ⊥平面PDG .又PG ?平面PDG ,所以AB PG ⊥. 因为PA PB =,所以G 是AB 的中点.
(2)过E 作EF BP ∥交PA 于F ,则F 即为所要寻找的正投影.
E G
C
D B
A
P F
理由如下,因为PB PA ⊥,PB EF ∥,故EF PA ⊥.同理EF PC ⊥, 又PA PC P =,,PA PC ?平面PAC ,所以EF ⊥平面PAC , 故F 即为点E 在平面PAC 内的正投影.
所以13D PEF PEF V S DE -=
?△1
6
PF EF DE =??. 在PDG △中,32PG =6DG =
,3PD =2DE =.
由勾股定理知22PE =PEF △为等腰直角三角形知2PF
EF ==,故4
3
D PEF V -=.
【2015,18】如图四边形ABCD 为菱形,G 为AC 与BD 交点,BE ⊥平面ABCD ,
(Ⅰ)证明:平面AEC ⊥平面BED ; (Ⅱ)若∠ABC =120°,AE ⊥EC , 三棱锥E - ACD 6
解:(Ⅰ) ∵BE ⊥平面ABCD ,∴BE ⊥AC . ∵ABCD 为菱形,∴ BD ⊥AC ,
∴AC ⊥平面BED ,又AC ?平面AEC ,∴平面AEC ⊥平面BED . …6分 (Ⅱ)设AB=x ,在菱形ABCD 中,由∠ABC =120°可得, 3x ,GB=GD=2
x
. 在RtΔAEC 中,可得EG 3x . ∴在RtΔEBG 为直角三角形,可得2
x . …9分 ∴3116632E ACD V AC GD BE x -=
???==, 解得x =2. 由BA=BD=BC 可得6.
∴ΔAEC 的面积为3,ΔEAD 的面积与ΔECD 5
所以三棱锥E-ACD 的侧面积为3+25 …12分 18. 解析 (1)因为BE ⊥平面ABCD ,所以BE AC ⊥.
又ABCD 为菱形,所以AC BD ⊥.
又因为BD BE B =,BD ,BE ?平面BED ,
所以AC ⊥平面BED .又AC ?平面AEC ,所以平面AEC ⊥平面BED . (2)在菱形ABCD 中,取2AB BC CD AD x ====, 又120ABC ∠=,所以3AG GC x ==,BG GD x ==. 在AEC △中,90AEC ∠=,所以1
32
EG AC x ==, 所以在Rt EBG △中,222BE EG BG x =
-=,
所以3116622sin120232E ACD V x x x x -=
?????==,解得1x =. 在Rt EBA △,Rt EBC △,Rt EBD △中, 可得6AE EC ED ===
.
所以三棱锥的侧面积1
1
2256632522
S =???+??=+侧.
【2014,19】如图,三棱柱111C B A ABC -中,侧面C C BB 11为菱形,C B 1的中点为O ,且⊥AO 平面C C BB 11.
(1)证明:;1AB C B ⊥
(2)若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB 求三棱柱111C B A ABC -的高.
证明:(Ⅰ)连接 BC 1,则O 为B 1C 与BC 1的交点,
∵AO ⊥平面BB 1C 1C . ∴AO ⊥B 1C , …2分 因为侧面BB 1C 1C 为菱形,∴BC 1⊥B 1C ,…4分 ∴BC 1⊥平面ABC 1,∵AB ?平面ABC 1,
故B 1C ⊥AB . …6分
(Ⅱ)作OD ⊥BC ,垂足为D ,连结AD ,∵AO ⊥BC ,∴BC ⊥平面AOD , 又BC ?平面ABC ,∴平面ABC ⊥平面AOD ,交线为AD , 作OH ⊥AD ,垂足为H ,∴OH ⊥平面ABC . …9分
∵∠CBB 1=60°,所以ΔCBB 1为等边三角形,又BC =1,可得OD =3
4,
由于AC ⊥AB 1,∴111
22
OA B C ==,∴2274AD OD OA =+=
由 OH·AD=OD·OA ,可得OH=21
14
,又O 为B 1C 的中点,所以点B 1到平面ABC 的距
离为217,所以三棱柱ABC-A 1B 1C 1的高高为217。 …12分
另解(等体积法):∵∠CBB 1=60°,所以ΔCBB 1为等边三角形,又BC =1,
可得BO 3AC ⊥AB 1,∴111
2OA B C ==,∴AB =1,AC=22,…9分
则等腰三角形ABC 的面积为2212271()2248
?-=
,设点B 1到平面ABC 的距离为d ,
由V B 1-ABC =V A-BB 1C 得
1,8427
d d =?=解得,
所以三棱柱ABC-A 1B 1C 1的高高为7
。 …12分
【2013,19】如图,三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,CA =CB ,AB =AA 1,∠BAA 1=60°.
(1)证明:AB ⊥A 1C ;(2)若AB =CB =2,A 1C ,求三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积.
证明:(1)取AB 的中点O ,连结OC ,OA 1,A 1B . 因为CA =CB ,所以OC ⊥AB .
由于AB =AA 1,∠BAA 1=60°,
故△AA 1B 为等边三角形, 所以OA 1⊥AB .
因为OC ∩OA 1=O ,所以 AB ⊥平面OA 1C . 又A 1C ?平面OA 1C ,故AB ⊥A 1C .
(2)解:由题设知△ABC 与△AA 1B 都是边长为2的等边三角形,
所以OC =OA 1
又A 1C ,则A 1C 2=OC 2+2
1OA ,
故OA 1⊥OC .
因为OC ∩AB =O ,所以OA 1⊥平面ABC ,OA 1为三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高. 又△ABC 的面积S △ABC 3ABC -A 1B 1C 1的体积V =S △ABC ×OA 1=3.
【2012,19】如图,三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧棱垂直底面,90ACB ∠=?,AC=BC=2
1
AA 1,D 是棱AA 1的中点.
(1)证明:平面BDC 1⊥平面BDC ;
(2)平面BDC 1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比. 【解析】(1)在Rt DAC ?中,AD AC =, 得:45ADC ?∠=,
同理:1114590A DC CDC ??
∠=?∠=,
得:1DC DC ⊥.
由题设知BC ⊥CC 1,BC ⊥AC ,1CC AC C =,
所以BC ⊥平面11ACC A .
又1DC ?平面11ACC A ,所以1DC BC ⊥ 而DC
BC C =,所以1DC ⊥平面BDC .
又1DC ?平面1BDC ,故平面BDC 1⊥平面BDC .
(2)由已知AC=BC=
2
1
AA 1,D 是棱AA 1的中点, 设12AA a =,AC BC AD a ===,则1112
3122
ABC A B C V a a a -=?=.
由(1),BC ⊥平面11ACC A ,所以BC 为四棱锥1B ACC D -的高, 所以13111
(3)322
B AC
C
D V a a a a -=
????=. 因此平面BDC 1分此棱柱为两部分体积的比为
1111133
31
12112
ABC A B C B ACC D
B AC
C D
a a V V V a -----=
=. 【2011,18】如图所示,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形,60DAB ∠=,2AB AD =,
PD ⊥底面ABCD . (1)证明:PA BD ⊥;
(2)若1PD AD ==,求棱锥D PBC -的高.
【解析】(1)因为60DBA ∠=,2AB AD =,由余弦定理得3BD =, 从而2
2
2
BD AD AB +=,故BD AD ⊥,又PD ⊥底面ABCD ,可得BD PD ⊥.
D
A 1
1
C
A
C 1
所以BD ⊥平面PAD ,故PA BD ⊥.
(2)如图所示,作DE PB ⊥,垂足为E .已知PD ⊥底面ABCD ,则PD BC ⊥. 由(1)知BD AD ⊥,又BC AD ∥,所以BC BD ⊥. 故BC ⊥平面PBD ,BC DE ⊥,则DE ⊥平面PBC . 因为1AD =,2AB =,60DAB ∠=, 所以3BD =
,又1PD =,所以2PB =.
根据DE PB PD BD ?=?,得3
2
DE =
,即棱锥D PBC -的高为32.
【2018,18】如图,在平行四边形ABCM 中,AB=AC=3,∠ACM=90°,以AC 为折痕将△ACM 折起,使点M 到达点D 的位置,且AB ⊥DA 。 (3) 证明:平面ACD ⊥平面ABC ;
(4) Q 为线段AD 上一点,P 为线段BC 上一点,且BP=DQ=DA ,求三棱锥Q-ABP 的体积。
18.解:(1)由已知可得,BAC ∠=90°,BA AC ⊥.
又BA ⊥AD ,所以AB ⊥平面ACD . 又AB ?平面ABC , 所以平面ACD ⊥平面ABC .
(2)由已知可得,DC =CM =AB =3,DA =32 又2
3
BP DQ DA ==
,所以22BP =
作QE ⊥AC ,垂足为E ,则QE
=1
3
DC . 由已知及(1)可得DC ⊥平面ABC ,所以QE ⊥平面ABC ,QE =1. 因此,三棱锥Q ABP -的体积为
111
13451332
Q ABP ABP V QE S -=??=?????=△.
2017年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅰ) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.(5分)(2017?新课标Ⅰ)已知集合A={x|x<2},B={x|3﹣2x>0},则() A.A∩B={x|x<}B.A∩B=?C.A∪B={x|x<}D.A∪B=R 2.(5分)(2017?新课标Ⅰ)为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位:kg)分别是x1,x2,…,x n,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是() A.x1,x2,…,x n的平均数B.x1,x2,…,x n的标准差 C.x1,x2,…,x n的最大值D.x1,x2,…,x n的中位数 3.(5分)(2017?新课标Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是() A.i(1+i)2B.i2(1﹣i)C.(1+i)2D.i(1+i) 4.(5分)(2017?新课标Ⅰ)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是() A.B.C.D. 5.(5分)(2017?新课标Ⅰ)已知F是双曲线C:x2﹣=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x 轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为() A.B.C.D. 6.(5分)(2017?新课标Ⅰ)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q 为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是()
A.B.C. D. 7.(5分)(2017?新课标Ⅰ)设x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值为() A.0 B.1 C.2 D.3 8.(5分)(2017?新课标Ⅰ)函数y=的部分图象大致为() A.B.C. D. 9.(5分)(2017?新课标Ⅰ)已知函数f(x)=lnx+ln(2﹣x),则() A.f(x)在(0,2)单调递增 B.f(x)在(0,2)单调递减 C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称 D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称 10.(5分)(2017?新课标Ⅰ)如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n>1000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入()
高中数学必修2立体几何测试题及答案(一)一,选择(共80分,每小题4分) 1,三个平面可将空间分成n个部分,n的取值为() A,4;B,4,6;C,4,6,7 ;D,4,6,7,8。 2,两条不相交的空间直线a、b,必存在平面α,使得() A,a?α、b?α;B,a?α、b∥α;C,a⊥α、b⊥α;D,a?α、b⊥α。 3,若p是两条异面直线a、b外的任意一点,则() A,过点p有且只有一条直线与a、b都平行;B,过点p有且只有一条直线与a、b都垂直;C,过点p有且只有一条直线与a、b都相交;D,过点p有且只有一条直线与a、b都异面。 4,与空间不共面四点距离相等的平面有()个 A,3 ;B,5 ;C,7;D,4。 5,有空间四点共面但不共线,那么这四点中() A,必有三点共线;B,至少有三点共线;C,必有三点不共线;D,不可能有三点共线。 6,过直线外两点,作与该直线平行的平面,这样的平面可有()个 A,0;B,1;C,无数;D,涵盖上三种情况。 7,用一个平面去截一个立方体得到的截面为n边形,则() A,3≤n≤6 ;B,2≤n≤5 ;C,n=4;D,上三种情况都不对。 8,a、b为异面直线,那么() A,必然存在唯一的一个平面同时平行于a、b;B,过直线b 存在唯一的一个平面与a平行;C,必然存在唯一的一个平面同时垂直于a、b;D,过直线b 存在唯一的一个平面与a垂直。 9,a、b为异面直线,p为空间不在a、b上的一点,下列命题正确的个数是() ①过点p总可以作一条直线与a、b都垂直;②过点p总可以作一条直线与a、b都相交;③
过点p 总可以作一条直线与a 、b 都平行;④过点p 总可以作一条直线与一条平行与另一条垂直;⑤过点p 总可以作一个平面与一条平行与另一条垂直。 A ,1; B ,2; C ,3; D ,4。 10,异面直线a 、b 所成的角为80°,p 为空间中的一定点,过点p 作与a 、b 所成角为40° 的直线有( )条 A ,2; B ,3; C ,4; D ,6。 11,P 是△ABC 外的一点,PA 、PB 、PC 两两互相垂直,PA=1、PB=2、PC=3,则△ABC 的 面积为( )平方单位 A ,25; B ,611; C ,27; D ,2 9。 12,空间四个排名两两相交,以其交线的个数为元素构成的集合是( ) A ,{2,3,4}; B ,{1,2,3,}; C ,{1,3,5}; D ,{1,4,6}。 13,空间四边形ABCD 的各边与对角线的长都是1,点P 在AB 上移动 ,点Q 在CD 上移 动,点P 到点Q 的最短距离是( ) A ,21; B ,22; C ,23; D ,4 3。 14,在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,PA ⊥平面ABC ,PA=8,则P 到BC 的距离是( ) A ,45; B ,43; C ,25; D ,23。 15,已知m ,n 是两条直线,α,β是两个平面,下列命题正确的是( ) ①若m 垂直于α内的无数条直线,则m ⊥α;②若m 垂直于梯形的两腰,则m 垂直于梯形所 在的平面;③若n ∥α,m ?α,则n ∥m ;④若α∥β,m ?α,n ⊥β,则n ⊥m 。 A ,①②③; B ,②③④; C ,②④; D ,①③。 16,有一棱长为1的立方体,按任意方向正投影,其投影最大面积为( )
2010年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(全国I 卷) 第I 卷 一、选择题 (1)cos300°= (A ) (B )12- (C )12 (D (2)设全集U =(1,2,3,4,5),集合M =(1,4),N =(1,3,5),则N ?(C ,M ) (A )(1,3) (B )(1,5) (C )(3,5) (D )(4,5) (3)若变量x 、y 满足约束条件 1.0.20.y x y x y ≤??+≥??--≤? 则z =x-2y 的最大值为 (A )4 (B )3 (C )2 (D )1 (4)已知各项均为正数的等比数列{a n }中,a 1a 2a 3=5,a 7a 8a 9=10,则a 4a 5a 6= (A ) (B)7 (C)6 (5)(1-x )2(1 )3的展开式中x 2的系数是 (A)-6 (B )-3 (C)0 (D)3 (6)直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,若∠BAC =90°,AB =AC=AA 1,则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于 (A )30° (B)45° (C)60° (D)90° (7)已知函数f (x )= lg x .若a ≠b ,且f (a )=f (b ),则a +b 的取值范围是 (A )(1,+∞) (B )[1,+∞] (C)(2,+∞) (D)[2,+∞) (8)已知F 1、F 2为双曲线C :x 2-y 2=1的左、右焦点,点P 在C 上,∠F 1PF 2=60°,则 1PF ·2PF = (A )2 (B)4 (C)6 (D)8 (9)正方体ABCD -A 1BCD 1中,BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为 (A) 3 (B) 3 (C) 23 (D) 3 (10)设a =log 3,2,b =ln2,c =1 25 -,则 (A )a <b <c (B)b <c <a (C)c <a <b (D)c <b <a (11)已知圆O 的半径为1,PA 、PB 为该圆的两条切线,A 、B 为两切点,那么PA u u u r ·PB u u u r 的 最小值为 (A )- (B )- (C )- (D )-
高考真题集锦(立体几何部分) 1.(2016.理1)如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积是( ) A 20π B24π C28π D.32π 2. βα,是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题: (1)如果m ⊥n,m ⊥α,n ∥β,那么βα⊥; (2)如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n. (3)如果αβα?m ,∥那么m ∥β。 (4)如果m ∥n,βα∥,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.(2016年理1)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是π328,则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ,α//平面11D CB ,?α平面ABCD =m , ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.(2016年理1)如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD ,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .(12分) (Ⅰ)证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (Ⅱ)求二面角E-BC-A 的余弦值.
6. (2015年理1)圆柱被一个平面截取一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积是16+20π,则r=( ) A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点,BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明:平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为() 9.如图,长方体1111D C B A ABCD -中,AB = 16,BC = 10,AA1 = 8,点E ,F 分别在1111C D B A , 上,411==F D E A ,过点E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,AB=5,AC=6,点E,F 分别在AD,CD 上,AE=CF=45 ,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置,OD ’=10 (1)证明:D ’H ⊥平面ABCD (2)求二面角B-D ’A-C 的正弦值
普通高等学校招生全国统一考试(全国卷) 数学(文史类) 一.选择题:本大题共12小题, 每小题5分, 共60分, 在每小题给出的四个选 项中, 只有一项是符合要求的 1.直线2y x x =关于对称的直线方程为 ( ) A .12 y x =- B .12 y x = C .2y x =- D .2y x = 2.已知,02x π??∈- ??? , 54cos =x , 则2tg x = ( ) A .24 7 B .247- C .7 24 D .7 24- 3.抛物线2 y ax =的准线方程是2,y a =则的值为 ( ) A . 1 8 B .1 8 - C .8 D .8- 4.等差数列{}n a 中, 已知1251 ,4,33,3 n a a a a n =+==则为( ) A .48 B .49 C .50 D .51 5.双曲线虚轴的一个端点为M , 两个焦点为1212,,120F F F MF ∠=?, 则双曲线的离心率为( ) A B C D 6.设函数?????-=-2112)(x x f x 00>≤x x , 若1)(0>x f , 则0x 的取值范围是 ( ) A .(1-, 1) B .(1-, ∞+) C .(∞-, 2-)?(0, ∞+) D .(∞-, 1-) ?(1, ∞+) 7.已知5 ()lg ,(2)f x x f ==则( ) A .lg 2 B .lg32 C .1 lg 32 D .1lg 25
8.函数sin()(0)y x R ??π?=+≤≤=是上的偶函数,则( ) A .0 B . 4 π C . 2 π D .π 9.已知(,2)(0):-30a a l x y a >+==点到直线的距离为1,则( ) A B .2 C 1 D 1 10.已知圆锥的底面半径为R , 高为3R , 它的内接圆柱的底面半径为3 4 R , 该圆柱的全面积为( ) A .2 2R π B .24 9R π C .238 R π D .252R π 11.已知长方形的四个顶点A (0, 0), B (2, 0), C (2, 1)和D (0, 1), 一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后, 依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P (入射角等于反射角)若40P P 与重合, 则tg θ= ( ) A .3 1 B . 5 2 C . 2 1 D .1 12.一个四面体的所有棱长都为2, 四个顶点在同一球面上, 则此球的表面积为( ) A .π3 B .π4 C .π33 D .π6 普通高等学校招生全国统一考试 数 学(文史类) 第Ⅱ卷(非选择题共90分) 二.填空题:本大题共4小题, 每小题4分, 共16分把答案填在题中横线上 13x <的解集是____________________. 14.92)21(x x -的展开式中9 x 系数是 ________ . 15.在平面几何里, 有勾股定理:“设22,,ABC AB AC AB AC BC +=V 的两边互相垂直则”
2020高考数学之立体几何解答題23題 一.解答题(共23小题) 1.在如图所示的几何体中,四边形ABCD是菱形,ADNM是矩形,平面ADNM⊥平面ABCD,∠DAB=60°,AD=2,AM=1,E为AB的中点. (Ⅰ)求证:AN∥平面MEC; (Ⅱ)在线段AM上是否存在点P,使二面角P﹣EC﹣D的大小为?若存在,求出AP的长h;若不存在,请说明理由. 2.如图,三棱柱中ABC﹣A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D为棱AC的中点,侧面A1ACC1为边长为2 的菱形,AC⊥CB,BC=1. (Ⅰ)证明:AC1⊥平面A1BC; (Ⅱ)求二面角B﹣A1C﹣B1的大小.
3.如图,已知四棱锥P﹣ABCD,PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°. (I)求点P到平面ABCD的距离, (II)求面APB与面CPB所成二面角的大小. 4.在正三棱锥P﹣ABC中,底面正△ABC的中心为O,D是PA的中点,PO=AB=2,求PB与平面BDC所成角的正弦值.
5.如图,正三棱锥O﹣ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直,且长度均为2.E、F分别是AB、AC的中点,H是EF的中点,过EF作平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A1、B1、C1,已知. (1)求证:B1C1⊥平面OAH; (2)求二面角O﹣A1B1﹣C1的大小. 6.如图,在三棱锥A﹣BCD中,侧面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜边,且AD=,BD=CD=1,另一个侧面是正三角形. (1)求证:AD⊥BC. (2)求二面角B﹣AC﹣D的大小. (3)在直线AC上是否存在一点E,使ED与面BCD成30°角?若存在,确定E的位置;若不存在,说明理由.
全国高考文科全国卷数学 试题及答案 The document was prepared on January 2, 2021
年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学卷3 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出 的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A B中元素的个数为A.1 B.2 C.3 D.4 2.复平面内表示复数(2) =-+的点位于 z i i A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.
根据该折线图,下列结论错误的是 A.月接待游客逐月增加 B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳 4.已知 4 sin cos 3 αα -=,则sin2α= A. 7 9 - B. 2 9 -C. 2 9 D. 7 9 5.设,x y满足约束条件 3260 x y x y +-≤ ? ? ≥ ? ?≥ ? ,则z x y =-的取值范围是 A.[-3,0] B.[-3,2] C.[0,2] D.[0,3] 6.函数 1 ()sin()cos() 536 f x x x ππ =++-的最大值为 A.6 5 B.1 C. 3 5 D. 1 5