4、 设R 是有限可交换的环且含有单位元 1,证明：R 中的非零元不是可逆元就是零因子。
5、 整数环Z 中，证明(3，7)=(1)
6、 证明：域是欧式环。
7、 证明群同态定理第一条。
8 R ［x ］条件下，做映射：f : g(x)=g(0),求证：在f 映射下R ［x ］与R 同构，并求其核。
多所高校近世代数题库答案 一、(近世代数)判断题 123456789
10
x x V V x V V V x x
二、
（近世代数）单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ②④③④①②④③①④
广
1 2 3 4、 ,兀2 =
1 2 3 4、 兀3 = 广1 2 3 4、 ,兀4 = 广
1 2 3 4
、 d 2 3 4
」
2 4 3丿 <2 1
3 4」 <2 1
4 3
>
和G 的所有子群。
且 f(x),g(x) Z 6〔x 丨。如果 f(x) - 3〕x 3 ? 5】x 〔2 L
15分，每小题分标在小题后)
并且求出 G 的单位元及 五、(2011年近世代数)计算题(共 1、给出下列四个四元置换
二 -J
二
4
-J -J & 2 =
三、（近世代数）填空题
1、饥—1 ,（1,0 ）（1,1 ]2,—1 ）（2,0 ,（2,1
2、a。
3、申。
4、mn。
5、变换群。
6、（13524）。
7、
X j ay i,X i ,y j ■ R。8、一个最大理想。9、p既不是零元，也不是单位，且q只有平凡因子。10、E的每一个元都
是F上的一个代数元。
四、（近世代数）改错题
1、如果一个集合A的代数运算?同时适合消去律和分配律，那么在a1 a^- a n里，元的次序可以掉换。结合律与交换律
2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。消去律成立
3^ I和S是环R的理想且I M S R，如果I是R的最大理想，那么S= 0。S=I 或S=R
4、唯一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子，若d和d'都是a和b的最大公因子，那么必有d=d'。
一定有最大公因子；d和d '只能差一个单位因子
5、叫做域F的一个代数元，如果存在F的都不等于零的元a。?，…，a n使得a0a1匕… 心訂n= 0。不都等于
零的元
近世代数模拟试题一
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的, 请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1、设A= B= R（实数集），如果A到B的映射「：X i x+ 2, - x € R,则「是从A到B的（）
A、满射而非单射B单射而非满射
C 一一映射D既非单射也非满射
2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A X B中含有（）个元素。
A、2
B、5
C、7
D、10
3、在群G中方程ax=b , ya=b, a,b € G都有解，这个解是（）乘法来说
A、不是唯一 B 、唯一的C、不一定唯一的D、相同的（两方程解一样）
4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（）
A、不相等
B、0
C、相等
D、不一定相等。
5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（）
A、倍数
B、次数
C、约数
D、指数
二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
A 1，0，1 \ B72〔则有
B A 二------- 。
1、设集合
2、若有元素e€ R使每a€ A,都有ae=ea=a，则e称为环R的------ 。
3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换，则称R是一个----- 。
4、偶数环是----- 的子环。
5、一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个---------- 。
6、每一个有限群都有与一个置换群------ 。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---,元a的逆元是-------- 。
&设I和S是环R的理想且丨S R，如果I是R的最大理想，那么----------------- 。
9、一个除环的中心是一个----- 。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、设置换二和?分别为:c = 12345678二12345678 ,判断二和的奇偶性,
并把二和?写成对换的乘积。
1164173528 1123187654
2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
｛0,1,2, ... , m T,m｝（m°，定义M m 中运算“ m ”为a m b=（a+b）（modm）,则（M m, m）是3、设集合M m 二
不是群，为什么？
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
一2
1、设G是群。证明：如果对任意的x ? G，有x -e，则G是交换群。
2、假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。
近世代数模拟试题二
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的, 请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（）是子群。 A E B 、，
a,e
」
C 、"e,a 3f
D 、&a,a 3f
2、
下面的代数系统（ G *）中，（） 不是群
A G 为整数集合，*为加法
B 、G 为偶数集合， *为加法
C G 为有理数集合， *为加法
D 、G 为有理数集合, *为乘法 3、 在自然数集N 上， 下列哪种运算是可结合的？（ )
A a*b=a-b
B a*b=max{a,b}
C 、a*b=a+2b
D 、a*b=|a-b|
4、 设-1、二2、 匚3是三个置换，其中 二1 = :(12) (23) (13)，貯2= (24) (14)， °3
=
=(1324)，则 口 3=()
A 2 1
B 、 2
、▽ 16 C 、▽ 2
D 、 :厂 2 1 1 5、 任意一个具有 2个或以上元的半群, 它（ ）。
A 不可能是群
B 、不定是群
C
D 、是交换群
定是群
_ 二、填空题（本大题共10小题，每空 3分， 共30分）请在每小题的空格中填上正确答
错填、不填均无分。
1、 凯莱定理说：任一个子群都同一个 ------- 同构。
2、 一个有单位元的无零因子-----称为整环。
4
3、 已知群G 中的元素a 的阶等于50,则a 的阶等于-
4、 a 的阶若是一个有限整数 n ，那么G 与 ----- 同构。
5、 A={1.2.3} B={2.5.6} 那么 A A B=-----。
6、 若映射「既是单射又是满射，则称 「为 ----------
7、「叫做域F 的一个代数元，如果存在
F 的----- a °,a i ,…，a n 使得
a o
' a ^ ' a ^ =°。
8 a 是代数系统（代0）的元素，对任何 x A 均成立x 'a =x ，则称a 为 -------------- 。
9、 有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合 G
作成一个群，如果满足G 对于乘法封闭；结合律成立、 -----------
10、 一个环R 对于加法来作成一个循环群，则 P 是 ------
。
三、
解答题（本大题共 3小题，每小题10分，共30分）
1、 设集合A={1,2,3}G 是A 上的置换群，H 是G 的子群，H={l,（1 2）}，写出H 的所有陪集。
2、 设E 是所有偶数做成的集合，“ ?”是数的乘法，则“ 昇是E 中的运算，（E ，?）是一个代数系统，问（E ，?） 是不是群，为什么？
3、 a=493, b=391, 求（a,b ）, [a,b] 和 p, q 。 四、
证明题（本大题共 2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、 若＜G, *＞是群，则对于任意的 a 、b € G,必有惟一的x € G 使得a*x = b 。
2、 设m 是一个正整数，利用 m 定义整数集Z 上的二元关系：a? b 当且仅当m| a - b 。
近世代数模拟试题三
一、 单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的, 请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、 6阶有限群的任何子群一定不是（ ）。 A 2阶 B 、3阶 C 、4阶 D 、6阶 2、 设G 是群，G 有（）个元素，则不能肯定 G 是交换群。 A 4个 B 、5个 C 、6个 D 、7个
3、 有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）。 A 、偶数 B 奇数 C 、4的倍数 D 、2的正整数次幕
4、 下列哪个偏序集构成有界格（ ） A （N,乞） B
、（乙一）
C （{2,3,4,6,12},|
（整除关系）） D （P （A ）,三）
5、 设S3= {（1），（12），（13），（23），（123），（132）}，那么，在 S3中可以与（123）交换的所有元素有（ ） A （1），（123），（132） B 、12），（13），（23） C （1），（123） D 、S3中的所有元素
二、 填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、群的单位元是 ----- 的，每个元素的逆元素是 --------- 的。 2、 如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则f J 〔fa *=： ------------------ 。 3、 区间［1 , 2］上的运算a b {min a,b}的单位元是 ------- 。
4、 ---------------------------------------------------- 可换群 G 中 |a|=6,|x|=8, 则 |ax|= 。
5、 环Z 8的零因子有 --------------- 。
6、 ------------------------------------ 一个子群H 的右、左陪集的个数 。
7、 从同构的观点，每个群只能同构于他 /它自己的 ------- 。 &无零因子环R 中所有非零元的共同的加法阶数称为
R 的 ------- 。 n
9、设群G 中元素
a
的阶为
m
，如果a =e ，那么
m 与
n
存在整除关系为 ----------- 。
三、 解答题(本大题共 3小题，每小题10分，共30分)
1、 用2种颜色的珠子做成有 5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？
2、 S 1, S 2是A 的子环，则 S n S 2也是子环。S+S 也是子环吗？
3、 设有置换。=(1345)(1245) ,2(234)(
456
^ S 6
。
1. 求二和?'二；
2?确定置换二和?匚的奇偶性。
四、 证明题(本大题共 2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分) 1. 一个除环R 只有两个理想就是零理想和单位理想。
2. M 为含幺半群，证明 b =a -1的充分必要条件是 aba =a 和ab 2a =e 。
近世代数模拟试题四
一、 单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选 均无分。 1?设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A X B 中含有( )个元素。
A.2
B.5
C.7
D.10 2?设A = B = R(实数集)，如果A 到B 的映射
? : x T x + 2, W x € R ,
贝U 「是从A 到B 的( )
A.满射而非单射
B.单射而非满射
C. 一一映射
D.既非单射也非满射 3.
设S 3 = {(1) ,
(12), (13), (23), (123), (132)}，那么，在S 3中可以与(123)交换的所有元素有( ) A.(1) , (123), (132) B.(12), (13) , (23) C.(1) , (123) D.S 3中的所有元素
4. 设Z 15是以15为模的剩余类加群，那么, Z 15的子群共有()个。 A.2 B.4 C.6 D.8
5.
下列集合关于所给的运算不作成环的是( )
A. 整系数多项式全体 Z : x ］关于多项式的加法与乘法
B. 有理数域Q 上的n 级矩阵全体 M n (Q)关于矩阵的加法与乘法
C. 整数集Z 关于数的加法和新给定的乘法“ °”： V m , n € Z , m°n = 0
D. 整数集Z 关于数的加法和新给定的乘法“
"：W m , n € Z , m :n = 1
二、 填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
6. _____________________________________________________ 设“?”是集合 A 的一个关系，如果“?”满足 ,则称
“?”是 A 的一个等价关系。
—
-1
7. 设(G , ?)是一个群，那么，对于 , b € G ,则ab € G 也是G 中的可逆元，而且(ab)=
。
8. ______________________________________________________ 设6 = (23)(35) , T = (1243)(235) € S 5,那么T = (表示成若干个没有公共数字的循环置换之积 ______________________________ )。
9. ___________________________________________________________________________________________________ 如果G 是一个含有15个元素的群，那么,根据Lagrange 定理知，对于W a € G ,则元素a 的阶只可能是 ______________________
10. 在3次对称群S3中，设H = {(1) , (123), (132)}是S3的一个不变子群，则商群G/H中的元素(12)H = _________________ 。
