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2020年全国高考数学模拟卷(理数,B卷)

2020高三模拟测试卷【B 卷】

数学（理工农医类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生顺利！

第Ⅰ卷（选择题 60 分）

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名和准考证号填写清楚。 2．将试题的答案，填在相应的答题卡内，答在试题卷上无效。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每题只有一个选项是最符合题意的。） 1．在下列各数中，与sin2020°的值最接近的数是

A ．2

B ．2

C ．2

D ．2

2．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z 1·z 2在复平面内的对应点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限

D ．第四象限 3．设全集I ＝R ，M ＝{x ∣x 2＞4}，N ＝{x ∣21

x -≥1}，如图所示：则

图中阴影部分所表示的集合为 A ．{x ∣x ＜2} B ．{x ∣-2＜x ＜1} C ．{x ∣-2≤x ≤2}

D ．{x ∣1＜x ≤2}

4．m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题，其中为真命题的是

①//////αββγαγ???? ②//m m αββα⊥?⊥??? ③//m m ααββ⊥?⊥??? ④////m n m n αα?????

A ．①④

B ．①③

C ．②③

D ．②④

5．若函数y ＝sin x ＋f (x )在[-4π

，34π]内单调递增，则f (x )可以是

A ．1

B ．cos x

C ．sin x

D ．-cos x

6．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线 A 1B 与AD 1所成角的余弦值为

A ．15

B ．2

绝密★启用前

D 1 1 A 1 B 1

D C

C ．35

D ．45

7．某公园有甲、乙、丙三条大小不同的游艇，甲可坐3人，乙可坐2人，丙只能坐1人，现在3个大人带2个小孩租游艇，但小孩不能单独坐游艇（即需要大人陪同），则不同的坐法种数有 A ．21

B ．27

C ．33

D ．34

8．一双曲线以椭圆225

x ＋

2y 9

＝1长轴两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线渐

近线的斜率是 A ．±2

B ．±

C ．±

D ．±

9．设数列{a n }是公比为a （a ≠1），首项为b 的等比数列，S n 是前n 项和，则点（S n ，S n ＋1） A ．在直线y ＝ax －b 上 B ．在直线y ＝bx ＋a 上 C ．在直线y ＝bx －a 上

D ．在直线y ＝ax ＋b 上

10．在ABC AB ABC ?=+??则中，若,02是

A ．直角三角形

B ．锐角三角形

C ．钝角三角形

D ．等腰直角三角形

11．如果函数数f (x )＝2a b

ln(x ＋1)的图像在x ＝1处的切线l 过点（0，-

），并且l 与圆

x 2＋y 2＝

110

相离，则点（a ，b ）与圆x 2＋y 2＝10的位置关系是 A ．在圆内 B ．在圆外 C ．在圆上

D ．不能确定

12．已知实数x ，y 满足约束条件y 10

2y 01x a x x ??

???

－－≥＋≥≤（a ∈R ），目标函数z ＝x ＋3y 只有当1y 0x ??

?＝＝时

取得最大值，则a 的取值范围是

A ． -1

＜a ＜0

B ． a ＞-1

C ． a ＞0

D ．a ＜-1

或a ＞0

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上。）

13．设a n 是(1＋x )n 的展开式中x 2项的系数（n ≥2），则lim n →∞（21a ＋31a ＋……＋1

a ）＝

。

14．已知向量a r 、b r 的夹角为60°，且∣a r ∣＝4，(a r ＋b r )·(2a r －3b r )＝16，则b r 在a r

方

向上的投影等于。

15．设在某次数学考试中，考生的分数服从正态分布N （90，202），则得分在70分～110

分之间的学生约占总人数的_______%。（精确到1%，参考数据：Φ(1)＝0.8413，Φ(2)＝0.9772）

16．设数集M ＝{x ∣m ≤x ≤m ＋

4}，N ＝{x ∣n －1

≤x ≤n }，且M 、N 都是集合{x ∣0≤x ≤1}

的子集，如果把b －a 叫做集合{x ∣a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是。

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤。） 17．（本题满分10分）

如图A 、B 是单位圆O 上的点，C 是圆与x 轴正半轴的交点，A 点的坐标为（3

5，4

），三角形AOB 为正三角形。（1）求sin ∠COA ；（2）求∣BC ∣2的值。

18．（本题满分12分）

有红蓝两粒质地均匀的正方体形状骰子，红色骰子有两个面是8，四个面是2，蓝色骰子有三个面是7，三个面是1，两人各取一只骰子分别随机投掷一次，所得点数较大者获胜

（1）分别求出两只骰子投掷所得点数的分布列及期望；（2）投掷蓝色骰子者获胜的概率是多少？

19．（本题满分12分）

将两块三角板按图甲方式拼好，其中?=∠=∠90D B ，?=∠30ACD ，?=∠45ACB ，AC = 2，现将三角板ACD 沿AC 折起，使D 在平面ABC 上的射影O 恰好在AB 上，如图乙． (1)求证：AD ⊥平面BDC ；

(2)求二面角D －AC －B 的大小．

）

B C D A

B C

图乙

图甲

20．（本题满分12分）

已知函数f (x )＝(x 2＋mx ＋5)x

e ，x ∈R 。（1）若函数

f (x )没有极值点，求m 的取值范围；

（2）若函数f (x )的图象在点（3，f (3)）处的切线与y 轴垂直，

求证：对任意x 1、x 2∈[0，4]，都有∣f (x 1)－f (x 2)∣≤e 3＋e 4。

21．（本题满分12分）

已知A ，B 是抛物线()2

20x py p =>上的两个动点，O 为坐标原点，非零向量满足：

OA OB OA OB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ．

（1）求证：直线AB 经过一定点；

（2）当AB 的中点到直线20y x -=p 的值．

22．（本题满分12分）

已知数列{a n }满足a n ＝2a n －1＋2n －1（n ≥2），且a 1＝5。（1）若存在一个实数λ，使得数列（

2n n

a λ＋）为等差数列，请求出λ的值；

（2）在（1）的条件下，求出数列{a n }的前n 项和S n .。

2020高三模拟测试卷【B 卷】

数学参考答案（理工农医类）

一、选择题：1-5CDDBD 6-10DBDA 11-12AC 二、填空题：13. 2 14. 1 15. 68 16.

112

三、解答题：

17．解：（1）因为A 点的坐标为（35

，

），根据三角函数定义可知x ＝

， y ＝

，r ＝1 (2)

分

所以sin ∠COA ＝

y r

＝

……4分

（2）因为三角形AOB 为正三角形，所以∠AOB ＝60°，sin ∠COA ＝

，cos ∠COA ＝

， ……5分

所以cos ∠COB ＝cos(∠COB ＋60°)＝cos ∠COB cos60°－sin ∠COB sin60°

＝

－

＝

310

- ……8分

所以∣BC ∣2＝∣OC ∣2＋∣OB ∣2－2∣OC ∣∣OB ∣cos ∠BOC ＝1＋1－2

…10分

18．解：（1）红色骰子投掷所得点数为ζ1是随机变量，其分布如下：

(2)

Eζ1＝8·

＋2·

＝4 …………4分

蓝色骰子投掷所得点数ζ2是随机变量，其分布如下： ………6分

Eζ2＝7·

＋1·

＝4 ………8分

（2）∵投掷骰子点数较大者获胜，∴投掷蓝色骰子若获胜，则投掷后蓝色骰子点数为7，红色骰子点数为2，

∴投掷蓝色骰子获胜概率是

36·46＝12·23＝13

………12分 19．(1)证：由已知DO ⊥平面ABC ， ∴平面ADB 平面ABC ，………3分

又∵BC ⊥AB ，∴BC ⊥平面ADB ，………4分又∵AD ?平面ADB ，∴BC ⊥AD ，

又∵AD ⊥DC ，∴AD ⊥平面BDC ………6分

A B C

O E

(2)解：由(1)得AD ⊥BD ，

由已知AC = 2，得2=AB ，AD = 1，∴BD = 1 ………8分 ∴O 是AB 的中点，2

DO 过D 作DE ⊥AC 于E ，连结OE ，则OE ⊥AC.

∴∠DEO 是二面角D －AC －B 的平面角， ………10分

且3

6sin 23=

=∠∴=DE DO DEO DE ，，∴36arcsin =∠DEO . 即二面角D －AC －B 的大小为3

arcsin

． ………12分 20．解：（1）因为f ′(x )＝(2x ＋m )·e x ＋(x 2＋mx ＋5)·e x ＝[x 2＋(2＋m )x ＋m ＋5]·e x

而e x ＞0，g (x )＝x 2＋(2＋m ) x ＋m ＋5的二次项系数大于0，

若f (x )无极值点，则g (x )≥0对x ∈R 恒成立， ………2分所以△＝(2＋m )2－4(m ＋5)＝m 2－16≤0，-4≤m ≤4

即m 的取值范围为[-4，4] ………6分

（2）因为函数f (x )的图象在点（3，f (3)）处的切线与y 轴垂直，所以f ′(3)＝0，

即32＋3(2＋m )＋m ＋5＝0，∴m ＝-5，此时f ′(x )＝(x 2－3x )·e x 当0＜x ＜3时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数

当3＜x ＜4时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数 ………9分又f (0)＝5，f (4)＝e 4＞5，从而f (x )在[0，4]上的最大值为f (4)＝e 4，最小值为f (3)＝-e 3，

所以对任意x 1，x 2∈[0，4]，都有∣f (x 1)－f (x 2)∣≤∣f (4)∣－f (3)∣＝e 4＋e 3 ……12分

21．OA OB OA OB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r Q OA OB ∴⊥

………1分

设A,B 两点的坐标为（11,x y ）、（22,x y ）则

11222,2x py x py ==

（1）经过A 、B 两点的直线方程为211211()()()().x x y y y y x x --=--

由221212,22x x y y p p ==得：22

212111

()()()().22x x x x y y x x p p

--=--

211211()2x x x x y y x x p

+≠∴-=-Q

………3分令0x =得：2111

()2x x y y x p

+-=-

122x x y p

∴=-

12120OA OB x x y y ⊥∴+=Q 从而221212204x x x x p

+= 120x x ≠Q （否则，,OA OB u u u r u u u r

有一个为零向量）

2124x x P ∴=- 代入（1）得 2y p =

………5分

AB ∴始终经过()0,2P 这个定点 ………6分

（2）设AB 中点的坐标为（,x y ），则12122;2x x x y y y +=+=

121212222()x x py py p y y ∴+=+=+

又2222212121212()2()8x x x x x x x x p +=+-=++Q

22484x p py ∴+= 即

12y x p p

+……………（2） ………18分 AB 的中点到直线20y x -=的距离d

为：d =

将（2

）代入得：21

()x p p d -+=

………10分因为d

2p =∴=

………12分

（若用导数求切线的斜率为2的切点坐标，参考给分。）

22．（1）假设存在实数λ符合题意，则

n n n

n a a λλ--++-

必为与n 无关的常数 ………2分

∵

111

n n n n n

n n

a a a a λ

---++---

21112

λλ--+=

，

要使

n n n

n a a λλ--++-

是与n 无关的常数，则

λ+＝0，得λ＝-1 ………5分

故存在实数λ＝-1。使得数列{

2n n

a λ+}为等差数列。 ………6分

（2）由（1）可得

n 11

n n

n a a -----

＝1

∴d ＝1，且首项为11

a -＝

＝2

∴

n n

a -＝2＋(n －1)＝n ＋1，

∴a n ＝(n ＋1)2n ＋1（n ∈N *）

………8分

令b n ＝(n ＋1)2n 且前n 项和为T n ， ∴T n ＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋(n ＋1)2n ① 2T n ＝2×22＋3×23＋…＋n ×2n (n ＋1)2n +1 ②

②－①，得()

()12312222212n n n T n +=-?-+++++?L

2n n +=?

………11分

()11221n n n S n n n ++=?+=?+ (12)

分

高三理科数学高考模拟检测卷及答案

届山东省德州市高三第一次练兵（理数） 1. i 是虚数单位， ) 1(1 3+-i i i =（） (A)-1 (B)1 (C)- i (D) i 2. 已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（） A ．64 B ．100 C ．110 D ．120 3. 已知函数2log ,0,()2, 0.x x x f x x >?=?≤?若1 ()2f a =，则a =（） A ．1- B ． C ．1- 或 D ．1 或 4. 统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如右图示，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格人数与优秀率分别为． A 800 20% B 980 20% C 980 10% D 800 10% 5．命题p ：若1||1||||,>+>+∈b a b a R b a 是，则的充分不必要条件；命题q ：函数),3[)1,(2|1|+∞?--∞--=定义域是x y ，则（） A ．“p 且q ”为假 B ．“p q 或”为真 C ．p 真q 假 D ．p 假q 真 6．已知正四棱锥S-ABCD 的三视图如下，若E 是SB 的中点，则AE 、SD 所成角的余弦值为（） 2 2 2

(A) 3 1 (B) 32 (C) 33 (D) 3311 7.若实数,x y 满足1|1|ln 0y x --=,则y 关于x 的函数的图象大致是( ). 8、、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题： ① 若γαβα//,//，则γβ//; ②若αβα//,m ⊥，则β⊥m ; ③ 若βα//,m m ⊥，则βα⊥; ④若α?n n m ,//，则α//m . 其中真命题的序号是 ( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 9. 如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线2 y x =和曲线y x = 围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC 内随机投一点（该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（）（A ） 12 （B ）1 3 （C ）1 4 （D ）16 10. 为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息，设定原信息为 }{),2,1,0(1,0,210=∈i a a a a i 传输信息为,12100h a a a h 其中201100,a h h a a h ⊕=⊕=，⊕运算规则为.011,101,110,000=⊕=⊕=⊕=⊕例如原信息为111，则传输信息为01111，传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接受信息出错，则下列接受信息一定有误的是（） (A)11010 (B)01100 (C)10111 (D)00011 11．已知点F 是双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（） A ．（1，+∞） B ．（1，2） C ．（1，1+2） D ．（2，1+2） 12.令3tan ,sin ,cos ,|04 442a b c π πππθθθθθθθθθ?====- << ≠≠≠?? 且且则如图所示的算法中，给θ一个值，输出的为θsin ，则θ的范围是（） O 1 x y O 1 x y O 1 x y 1 O 1 x y 1 A. B. C. D. 2

2014年高考全国2卷文科数学试题(含解析)

绝密★启用前 2014年高考全国2卷文科数学试题注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明评卷人得分一、选择题（题型注释） 1．设集合2 {2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=,则A B =I （） A ．? B ．{}2 C ．{0} D ．{2}- 2． 131i i +=-（） A ．12i + B ．12i -+ C ．12i - D ．12i -- 3．函数()f x 在0x x =处导数存在，若0:()0p f x =；0:q x x =是()f x 的极值点，则（） A ．p 是q 的充分必要条件 B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 4．设向量b a ρρ,满足10||=+b a ρρ，6||=-b a ρ ρ，则=?b a ρρ（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 5．等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（） A ．(1)n n + B ．(1)n n - C ． (1)2n n + D ．(1) 2 n n - 6．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积和原来毛坯体积的比值为（） A ． 2717 B ．95 C ．2710 D ．3 1 7．正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为23，D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为（A ）3 （B ） 3 2 （C ）1 （D 3 D 1 1 A B 1 8．执行右面的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S =（）

2020-2021高考理科数学模拟试题

高三上期第二次周练数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}=0123A ，，，， {}=21B x x a a A =-∈，，则=( )A B ? A. {}12， B. {}13， C. {}01 ， D. {}13-， 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（） A. i - B. i C. 1- D. 1 3．在等比数列{}n a 中， 13521a a a ++=， 24642a a a ++=，则数列{}n a 的前9项的和9S =（） A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =以及曲线1x y e =-围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（） A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5．在 52)(y x x ++ 的展开式中，含 2 5y x 的项的系数是（） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7．已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是( ) A. 11<<