华东师大版八年级：尺规作图

尺规作图

教学目标

1、学习用尺规作线段与角；

2、对直线与角做简单复习。

学习内容

知识梳理

一．尺规作图、基本作图：

在几何里，把限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作图．最基本、最常用的尺规作图，通常称基本作图．二．作一个角等于已知角：

已知：∠AOB（如图）．

求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB.

作法：1．作射线O'A'.

2．以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D．

3．以点O'为圆心，以OC长为半径作弧，交O'A'于C'．

4．以点C'为圆心，以CD长为半径作弧，交前弧于D'．

5．经过点D'作射线O'B'．∠A'D'B'就是所求的角．

证明:连结CD、C'D'．由作法可知：△C'O'D'≌△COD(SSS)，

∴∠C'O'D'=∠COD(全等三角形的对应角相等)，

即∠A'O'B'=∠AOB．Ⅲ．经过一点作已知直线的垂线．

三．平分已知角：

已知：∠AOB（如图）．

求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC．

作法：1．在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD=OE．

2．分别以D 、E 为圆心，大于

DE 2

1

的长为半径作弧，在∠AOB 内，两弧交于点C ． 3．作射线OC ．OC 就是所求的射线．

证明：连结CD 、CE ，由作法可知：△ODC ≌△OEC （SSS ），

∴∠COD=∠COE （全等三角形的对应角相等），即 ∠AOC ＝∠BOC ． 四．经过一点作已知直线的垂线：

（1）经过已知直线上的一点作这条直线的垂线． 已知：直线AB 和AB 上一点C （图3－44）． 求作：AB 的垂线，使它经过点C ．

作法：作平角ACB 的平分线CF ．直线CF 就是所求的垂线．

图3-44 图3-45

证明：由作法可知， ∠ACF=∠BCF=

ACB 2

1

． ∵∠ACB=180°（平角的定义） ∴∠ACF=90°，即 CF 是AB 的垂线．

（2）经过已知直线外一点作这条直线的垂线． 已知：直线AB 和AB 外一点C （图3-45）． 求作：AB 的垂线，使它经过点C ．

作法：1．任意取一点K ，使K 和C 在AB 的两旁．

2．以C 为圆心，CK 长为半径作弧，交AB 于点D 和E ．

3．分别以D 和E 为圆心，大于DE 2

1的长为半径作弧，两弧交于点F ． 4．作直线CF ．直线CF 就是所求的垂线． 五．作线段的垂直平分线：

垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，或中垂线． 已知：线段AB （如图）． 求作：线段AB 的垂直平分线． 作法：1．分别以点A 和B 为圆心，大于

2

1

AB 的长为半径作弧，两弧相交于点C 和D ． 2．作直线CD ．直线CD 就是线段AB 的垂直平分线．

例1．如图，在△ABC 中，△C=90°，△B=30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中不正确的是（ ）

A ．AD 是△BAC 的平分线

B ．△ADC=60°

C ．点

D 在AB 的中垂线上 D ．S △DAC ：S △ABD =1：3 【答案】D

【解析】解：根据作图方法可得AD 是△BAC 的平分线，故△正确；

△△C=90°，△B=30°，△△CAB=60°，△AD 是△BAC 的平分线，△△DAC=△DAB=30°，△△ADC=60°，故△正确；

△△B=30°，△DAB=30°，△AD=DB ，△点D 在AB 的中垂线上，故△正确； △△CAD=30°，△CD=

21AD ，△AD=DB ，△CD=21DB ，△CD=3

1

CB ，S △ACD =21CD?AC ，S △ACB =21CB?AC ，△S △ACD ：S △ACB =1：3，△S △DAC ：S △ABD ≠1：3，故△错误， 例2．尺规作图的工具是（ ）

A ．刻度尺、量角器

B ．三角板、量角器

C ．直尺、量角器

D ．没有刻度的直尺、圆规 【答案】D

例3．如图，已知E 是平行四边形ABCD 对角线AC 上的点，连接DE ．

例题讲解

（1）过点B在平行四边形内部作射线BF交AC于点F，且使△CBF=△ADE（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明）

（2）连接BE，DF，判断四边形BFDE的形状并证明．

【解析】解：（1）如图所示：作△CBM=△ADE，其中BM交CD于F即可；

（2）四边形BFDE的形状是平行四边形，理由如下：

△在平行四边形ABCD中，△△DAC=△ACB，AD=BC，

在△ADE和△CBF中，

△△ADE△△CBF（ASA），△DE=BF，△AED=△BFC，

△△DEF=180°﹣△AED，△BFE=180°﹣△BFC，

△△DEF=△BFE，

△DE△BF，△四边形DEBF是平行四边形．

例4．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点．

（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．

△作△DAC的平分线AM．△连接BE并延长交AM于点F．

（2）猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．

【解析】解：（1）如下图所示；

（2）AF△BC ，且AF=BC.理由如下：

△AB=AC ， △△ABC=△ACB ， △△DAC=△ABC+△ACB=2△ACB ， 由作图可得△DAC=2△FAC ， △△ACB=△FAC △AF△BC ， △E 为AC 中点， △AE=EC ， 在△AEF 和△CEB 中，

，

△△AEF△△CEB （ASA ）． △AF=BC ．

例5．已知△ABC,求作△DEF ，使△DEF△△ABC(尺规作图，保留作图痕迹)。 【解析】画线段EF=BC ；

分别以E 、F 为圆心，线段AB ，AC 为半径画弧，两弧交于点D ；

连结线段DE 、DF 。 △△DEF 就是所求作的三角形

例6．尺规作图：学校决定在植物园内开辟一块梯形土地ABCD 培植草皮（如图），AD△BC.其中MN 是园林里的一条主水管，点B 、点C 在MN 上.如今要在BC 上的P 点接一条与BC 垂直的水管 ，并在这条新接水管的某处安置喷淋器E ，喷淋器位于草坪内，且到AB 、BC 的距离相等.请你运用尺规作图，在原图中帮助确定点E 的位置.（要求：不写已知、求作及作法；保留作图痕迹）

A

B

C

D

A

【解析】解：因为MN是园林里的一条主水管，点B、点C在MN上.如今要在BC上的P点接一条与BC 垂直的水管，并在这条新接水管的某处安置喷淋器E，喷淋器位于草坪内，且到AB、BC的距离相等，那么在角ABC的平分线上，同时过点P垂直于BC，因此交点就是所求的结果

例7．按要求用尺规作图（只保留作图痕迹，不必写出作法）

（1）在图（1）中作出△ABC的平分线；（2）在图（2）中作出△DEF的外接圆O．

【答案】如图：

例8．如图，已知E是平行四边形ABCD的边AB上的点，连接DE．

（1）在△ABC的内部，作射线BM交线段CD于点F，使△CBF=△ADE；（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）

（2）在（1）的条件下，求证：△ADE△△CBF．

【解析】（1）解：以点C为圆心，AC长为半径画弧，交CD于点F，连接BF，则△CBF=△ADE。

作图如下：

（2）证明：△四边形ABCD是平行四边形，△△A=△C，AD=BC。

△△ADE=△CBF，△△ADE△△CBF（ASA）。

例9．已知四边形ABCD是平行四边形（如图），把△ABD沿对角线BD翻折180°得到△AˊBD.

（1）利用尺规作出△AˊBD.（要求保留作图痕迹，不写作法）；

（2）设D Aˊ 与BC交于点E，求证：△BAˊE△△DCE.

【解析】解：（1）作图如下：

作法：

△过点A作BD的垂线；

△以点B 为圆心，AB为半径画弧，交BD的垂线于点Aˊ；

△连接AˊB，AˊD。则△AˊBD即为所求。

（2）证明：△四边形ABCD是平行四边形，△△A=△B，AB=DC。

△△ABD沿对角线BD翻折180°得到△AˊBD，

△△Aˊ=△A，AˊB= AB。△△Aˊ=△B，AˊB= DC。

又△△AˊEB=△DEC，△△BAˊE△△DCE（AAS）。

例10．如图，已知△ABC．只用直尺（没有刻度的尺）和圆规，求作一个△DEF，使得△DEF△△ABC，且

EF=1

2

BC．（要求保留作图痕迹，不必写出作法）

【答案】画图

例11．如图，在△ABC中，已知△B=△C

（1）尺规作图：作底角△ABC的平分线BD，交AC于点D（作图不写作法，但保留作图痕迹）；（2）猜想：“若△A=36°，则△ABD和△BDC都是等腰三角形”。请你通过计算说明猜想是否成立．

【解析】

试题分析：（1）首先以B 为圆心，任意长为半径画弧，两弧交AB 、BC 于M 、N 两点；再分别以M 、N 为圆心，大于

1

2

MN 长为半径画弧，两弧交于一点O ，画射线BO 交AC 于D ． 试题解析：（1）如图所示：BD 即为所求； （2）△△A=36°，

△△ABC=△C=（180°-36°）÷2=72°， △BD 平分△ABC ，

△△ABD=△DBC=72°÷2=36°， △△CDB=180°-36°-72°=72°， △△A=△ABD=36°，△C=△CDB=72°， △AD=DB ，BD=BC ，

△△ABD 和△BDC 都是等腰三角形．

例12．已知：如图，在△ABC 中，△A ＝30°，△B ＝60°。

（1）作△B 的平分线BD ，交AC 于点D ；作AB 的中点E （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作 法和证明）；

（2）连接DE ，求证：△ADE△△BDE 。 【解析】解：（1）作图如下：

△以B 为圆心，任意长为半径画弧，交AB 、BC 于F 、N ，再以F 、N 为圆心， 大于

1

2

FN 长为半径画弧，两弧交于点M ，过B 、M 作射线，交AC 于D ，线段 BD 就是△B 的平分线。 △分别以A 、B 为圆心，大于

1

2

AB 长为半径画弧，两弧交于X 、Y ，过X 、Y 作直线与AB 交于点E ，点E 就是AB 的中点。 （2）证明：△△ABD ＝

1

2

×60°＝30°，△A ＝30°，△△ABD ＝△A 。△AD ＝BD 。 又△AE ＝BE ，△△ADE△△BDE （SAS ）。

A

B C

例13．（9分）如图9，△ABC 是等边三角形， D 点是AC 的中点，延长BC 到E ，使CE =CD . （1）用尺规作图的方法，过D 点作DF △BE ，垂足是F （不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：BF =EF ．

【答案】

（2）△ △ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点， △ △ABC =△ACB ，△ABC =2△DBE ． △ CE =CD ， △ △E =△CDE ． △ △ACB =2△E ． △ △DBE =△E ，

△ BD =DE ． 又△ DF △BE ，

△ BF =EF ．

1. 在△ABC 中，按以下步骤作图：△分别以B 、C 为圆心，以大于

2

1

BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点M 、N ；△作直线MN 交AB 于点D ，连接CD . 若CD =AC ，△B =250，则△ACB 的度数为 . 答案：1050.

图9

A

C

B

D

E 综合题库

A

C

B

D

E

F

图1

2．两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向的公路．现电信部门需在C 处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在△FME的内部

（1）那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）

（2）设AB的垂直平分线交ME于点N，且MN=2（+1）km，在M处测得点C位于点M的北偏东60°方向，在N处测得点C位于点N的北偏西45°方向，求点C到公路ME的距离．

解答：解：（1）答图如图：

（2）作CD△MN于点D，

由题意得：△CMN=30°，△CND=45°，

△在Rt△CMD中，=tan△CMN，

△MD==；

△在Rt△CND中，=tan△CNM，

△ND==CD；

△MN=2（+1）km，

△MN=MD+DN=CD+CD=2（+1）km，

解得：CD=2km．

△点C到公路ME的距离为2km．

3. 把一条12个单位长度的线段分成三条线段，其中一条线段成为4个单位长度，另两条线段长都是单位长度的整数倍．

（1）不同分段得到的三条线段能组成多少个不全等的三角形？用直尺和圆规作这些三角形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）求出（1）中所作三角形外接圆的周长．

解：（1）由题意得：三角形的三边长分别为：4，4，4；3，4，5；

即不同分段得到的三条线段能组成2个不全等的三角形，如图所示：

（2）如图所示：

当三边的单位长度分别为3，4，5，可知三角形为直角三角形，此时外接圆的半径2.5；

当三边的单位长度分别为4，4，4．三角形为等边三角形，此时外接圆的半径为，

△当三条线段分别为3，4，5时其外接圆周长为：2π×2.5=5π；

当三条线段分别为4，4，4时其外接圆周长为：2π×=π．

4. 如图，△ABC中，△C=90°，△A=30°．

（1）用尺规作图作AB边上的中垂线DE，交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；

（2）连接BD，求证：BD平分△CBA．

解答： （1）解：如图所示，DE 就是要求作的AB 边上的中垂线；

（2）证明：△DE 是AB 边上的中垂线，△A =30°， △AD =BD ， △△ABD =△A =30°， △△C =90°，

△△ABC =90°﹣△A =90°﹣30°=60°， △△CBD =△ABC ﹣△ABD =60°﹣30°=30°， △△ABD =△CBD ， △BD 平分△CBA ．

5．如图，在△ABC 中，先作△BAC 的角平分线AD 交BC 于点D ，再以AC 边上的一点O 为圆心，过A 、D 两点作△O （用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）

解：作出角平分线AD ，

作AD 的中垂线交AC 于点O ，作出△O ， △△O 为所求作的圆．

5

5cos ,546.6=

==?C AC AB ABC 中，，如图

（1）动手操作：利用尺规作以AC 为直径的

，并标出

与AB 的交点

，与BC 的交点E

（保留作图痕迹，不写作法）： （2）综合应用：在你所作的圆中，

①求证：；

②求点

到

的距离．

【答案】（1）如图所示，圆为所求 （2）①如图连接，设

,

又

则

②连接,过作于,过作于

cosC=, 又

,

又为直径

设，则，

在和中，有

即解得：，即

又

即

7．如图，在Rt△ABC中，△B=90°，分别以A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，与AC、BC分别交于点D、E，连接AE，则：

（1）△ADE=90°；

（2）AE=EC；（填“=”“＞”或“＜”）

（3）当AB=3，AC=5时，△ABE的周长=7．

解答：解：（1）△由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，

△△ADE=90°．故答案为：90°；

（2）△MN是线段AC的垂直平分线，

△AE=EC．故答案为：=；

（3）△在Rt△ABC中，△B=90°，AB=3，AC=5，

△BC==4，

△AE=CE，△△ABE的周长=AB+BC=3+4=7．故答案为：7．

华东师大版八年级数学上册全册教案

第十一章 数的开方 11.1平方根与立方根（1） 【教学目标】：以实际问题的需要出发，引出平方根的概念，理解平方根的意义，会求某些数的平方根。 【教学重、难点】：重点：了解平方根的概念，求某些非负数的平方根。 难点：平方根的意义 【教具应用】：老师：三角板、小黑板 学生： 【教学过程】： 一、 提出问题，创设情境。 问题1、要剪出一块面积为25cm 2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？ 问题2、已知圆的面积是16πcm 2，求圆的半径长。 要想解决这些问题，就来学习本节内容 二、 自学提纲： 1、 你能解决上面两个问题吗？这两个问题的实质是什么？ 2、 看第2页，知道什么是一个数的平方根吗？ 3、 25的平方根只有5吗？为什么？ 4、 会求110的平方根吗？试一试 5、 －4有平方根吗？为什么？ 6、 想一想，你是用什么运算来检验或寻找一个数的平方根？ 7、 根据平方根的定义你能指出正数、0、负数的平方根的特征吗？ 8、 什么叫开平方？ 三、 能力、知识、提高 同学们展示自学结果，老师点拔 ① 情境中的两个问题的实质是已知某数的平方，要求这个数。 ② 概括：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。 如52＝25，（－5）2＝25 ∴25的平方根有两个：5和－5 ③ 根据平方根的意义，可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根。 ④ 任何数的平方都不等于－4，所以－4没有平方根。 ⑤ 0的平方等于0。所以0只有一个平方根为0。 ⑥ 概括：一个正数有两个平方根，它们互为相反数;0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。 ⑦ 求一个数a （a ≥0）的平方根的运算，叫做开平方。 四、 知识应用 1、 求下列各数的平方根 ① 49 ②1.69 ③81 16 ④（－0.2）2 2、 将下列各数开平方 ①1 ②0.09 ③（－ 5 3）2 五、 测评 1、 说出下列各数的平方根 ①81 ②0.25 ③125 4 2、 求未知数x 的值 ①（3x ）2＝16 ②（2x -1）2=9 六、 小结：

华东师大版八年级数学(上册)知识点

八年级上册知识点 第11章 数的平方 11.1平方根与立方根 一、平方根的概念 如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。 二、平方根的性质 1. 一个正数有两个平方根，它们互为相反数。 2. 0有一个平方根，就是它本身。 3. 负数没有平方根。 三、算术平方根 正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根，记作，读作“根号a ”；另一个平方根是它的相反数，即-。因此，正数a 的平方根可以记作±，其中a 称为被开方数。 0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。 四、平方根与算术平方根的区别与联系 1. 概念不同； 2. 表示方法不同； 3. 个数及取值不同。 五、开平方 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。 六、立方根 1. 概念：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根。 2. 性质：任何数（正数、负数和0）的立方根只有一个。 3. 表示：数a 的立方根，记作，读作“三次根号a ”。其中a 称为被开方数，3是根指 数。 4. 一个正数只有一个正的立方根，一个负数只有一个负的立方根，0的立方根是0。 七、开立方 求一个数的立方根的运算，叫做开立方。 11.2实数 一、无理数 1. 无线不循环小数叫做无理数。 2. 无理数与有理数的区别 （1）有理数是有限小数或无限循环小数，而无理数是无限不循环小数。 （2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），而无理数不能写成分数的形式。 二、实数及其分类 1. 实数的概念 有理数和无理数统称为实数，即实数包括有理数和无理数。 a a a 3a

2. 实数的分类 （1）按概念分类 正整数 整数 0 有理数 负整数 正分数 分数 实数 负分数 正有理数 无理数 负有理数 （2）按正负分类 正整数 正有理数 正实数 正分数 正无理数 实数 0 负整数 负有理数 负实数 负分数 负无理数 三、实数与数轴上点的关系 实数与数轴上的点意义对应。 四、实数的有关概念 1.一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 ?? ???<-=>=0,0,00,a a a a a a 2.一个数的绝对值是非负数，即a≥0，因此，在实数范围内，绝对值最小的数是零．两个相反数的绝对值相等． 第12章 整式的乘除 12.1幂的运算 12.1.1同底数幂的乘法

八年级数学上册第13章全等三角形13.4尺规作图第1课时尺规作图教案新版华东师大版

13．4 尺规作图 第1课时尺规作图(1) 1．掌握五种基本作图的方法． 2．会用五种基本作图的方法来解决简单的作图题． 重点 五种基本作图的方法． 难点 作图语言的叙述． 一、自学教材 自学教材第85～88页,体会前三种基本作图的方法．学生自学教材,交流归纳作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作已知角的平分线的方法． 二、探究新知 教师演示作图过程． 1．作一条线段等于已知线段 已知：线段AB.求作：线段A′B′,使A′B′＝AB. 作法：(1)作射线A′C′； (2)以点A′为圆心,以AB的长为半径作弧,交射线A′C′于点B′.A′B′就是所要求作的线段． 2．作一个角等于已知角 如图,已知∠AOB和射线O′B′,用尺规作图法作∠A′O′B′＝∠AOB. ①以点O为圆心,任意长为半径作弧交OA于点C,交OB于点D； ②以点O′为圆心,OC长为半径作弧,交O′B于点C′； ③以点C′为圆心,CD长为半径作弧交前弧于点A′； ④以点O′为顶点作射线O′A′.∠A′O′B′即为所求． 3．作已知角的平分线 已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线．作法： ①以点O为圆心,适当长为半径作弧,交OA于点M,交OB于点N；②分别以点M,N为圆心,

大于12 MN 的长为半径作弧,两弧在∠AOB 的内部交于点C ；③作射线OC.射线OC 即为所求． 教师活动：同排两个同学互相交流尺规作图的注意事项,并实际动手操作． 学生活动：组织积极讨论,小组交流,代表发言． 教师总结：尺规作图注意事项：①尺规作图只能使用圆规和没有刻度的直尺；②几何作图必须保留作图痕迹． 三、练习巩固 1．如图,已知∠AOB.(1)求作∠EDF ,使∠EDF＝∠AOB；(2)求作∠EDF 的平分线DG. 2．如图,已知∠A ,∠B,求作一个角,使其等于∠A－2∠B. 3．如图,已知线段AB,CD,求作一个等腰三角形,使其腰长等于AB,底边长等于CD. 四、小结与作业 小结 1．尺规作图的概念． 2．用尺规作一条线段等于已知线段及线段的和、差的作法． 3．作一个角等于已知角及角的和差的作法． 作业 教材第91页习题13.4第2题． 这节课内容较多,前三个基本作图较简单,主要是学生自学后独立操作,教师演示的目的是规范作图语言,搞清其中的几何道理．后两个作图实际上用到了转化思想,较为复杂,要让学生搞明白作图的原理,是掌握作图步骤的关键． 运用基本作图方法解作图题时,应让学生先分析作图顺序后,再完成．对于作图语言应逐步规范．

(完整版)华东师大版八年级数学下全册教案

第17章 分式 §17.1.1 分式的概念 教学目标： 1、经历实际问题的解决过程，从中认识分式，并能概括分式 2、使学生能正确地判断一个代数式是否是分式 3、能通过回忆分数的意义，类比地探索分式的意义及分式的值如某一特定情况的条件，渗透数学中的类比，分类等数学思想。 教学重点： 探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。 教学难点： 能通过回忆分数的意义，探索分式的意义。 教学过程： 一、做一做 （1）面积为2平方米的长方形一边长3米，则它的另一边长为_____米； （2）面积为S 平方米的长方形一边长a 米，则它的另一边长为________米； （3）一箱苹果售价p 元，总重m 千克，箱重n 千克，则每千克苹果的售价是___元； 二、概括： 形如 B A (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 整式和分式统称有理式, 即有理式 整式，分式. 三、例题： 例1 下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1） x 1； （2）2 x ； （3）y x xy +2； （4）33y x -. 解：属于整式的有：（2）、（4）；属于分式的有：（1）、（3）. 注意：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义.例如，在分式a S 中，a ≠0；在分式n m -9中，m ≠n. 例2 当x 取什么值时，下列分式有意义？ （1） 11－x ； （2）3 22 +-x x . 分析 要使分式有意义，必须且只须分母不等于零. 解 （1）分母1－x ≠0，即x ≠1. 所以，当x ≠1时，分式 1 1 －x 有意义. （2）分母23+x ≠0，即x ≠-2 3 . 所以，当x ≠-23时，分式3 22 +-x x 有意义. 四、练习： P5习题17.1第3题（1）（3） 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 2 38y y -，91-x 2. 当x 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3） 4522--x x x x 235-+2 3+x

19.3尺规作图同步检测(C卷)(华东师大版初中八年级下册)

19.3尺规作图同步检测(C卷) (能力拔高训练题) 一、实践操作题:(10分) 1.如图所示,△ABC是一块直角三角形余料,∠C=90°,工人师傅把它加工成一个正方形零件,使C为正方形的一个顶点,其余三个顶点分割在AB、BC、AC边上,请你协助工人师傅用尺规画出裁割线(不写画法,保留作图痕迹). A C B 二、竞赛题:(10分) 2.如图所示,田村有一口呈四边形的池塘,在它的四个角A、B、C、D处均种有一棵大核桃树,田村准备开挖池塘建养鱼池,想使池塘面积扩大一倍, 又想保持核桃树不动,并要求扩建后的池塘成平行四边形形状,请问田村能否实现这一设想?若能,请你设计并画出图形;若不能,请说明理由(画图要保留痕迹,不写画法) A D B C 三、趣味题:(10分) 3.根据题意,完成下列填空:如图所示,L1与L2是同一平面内的两条相交直线,它们有1个交点,如果在这个平面内,再画第三条直线L3, 那么这三条直线最多可有___个交点;如果在这个平面内再画第4条直线L4,那么这4条直线最多可有_____个交点,由此可以猜想,在同一平面内6条直线最多有_____个交点,n(n为大于1的整数)条直线最多可有______个交点(用含n的代数式表示). l1 l2

Ｃ卷答案 一、1.画法:第一步:画出∠C的平分线交AB于E;第二步:作CE的垂直平分线, 分别交AC、BC于点F、D;第三步:连结EF、ED. 二、2.能.如答图所示. 理由:∵S△ABE=S△AOB,S△AOD=S△AHD,S△BOC=S△BFC,S△OOD=S△OGD, ∴S△ABE+S△AHD+S△OGD+S△BCF=S△AOB+S△BOC+S△OOD+ S △AOD= S 四边形ABCD, 即EFGH的面积为四边形ABCD面积的2倍. 三、3.3;6;15; (1) 2 n n . C D B A E F C H D B A E G F

华东师大版八年级上册数学全册复习试题

第 6 题图 N D A M 华师大版八年级上册数学全册复习试题 时间:100分钟 姓名:____________ 总分____________ 一、选择题（每小题3分,共24分） 1. 81的算术平方根是 【 】 （A ）9± （B ）9 （C ）3± （D ）3 2. 实数 14.3,1010010001.0,6,27,0,3 3-π 中无理数的个数是 【 】 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3. 若5233=?m ,则m 的值是 【 】 （A ）2 （B ）9 （C ）15 （D ）27 4. 若()()n mx x x x -+=-+234,则n m ,的值分别是 【 】 （A ）12,1=-=n m （B ）12,1-=-=n m （C ）12,1-==n m （D ）12,1==n m 5. 某校八（3）班有50名学生,他们上学的方式有三种:①步行;②骑车;③乘公共汽车.根据表中信息,下列结论错误的是 【 】 （A ）12,18==b a （B ）%12,18==c a （C ）%40,12==d b （D ）%40%,24==d c 6. 如图,若NDC MBA ND MB ∠=∠=,,则添加下列 条件后不能判定△ABM ≌ △CDN 的是 【 】 （A ）CN AM // （B ）N M ∠=∠ （C ）DB AC = （D ）CN AM = 7. 直角三角形的斜边长为20 cm,两条直角边长之比为3 : 4 ,那么这个直角三角形的周长为 【 】 （A ）27 cm （B ）30 cm （C ）40 cm （D ）48 cm

8. 如图,在Rt △ABC 中,?=∠90C ,按如下步骤作图:①分别以A 、B 为圆心,以大于 AB 2 1 的长为半径画弧,两弧交于M 、N ;②作直线MN ,交BC 于点D ;③连结AD .若?=∠64ADE ,则CAD ∠的度数为 【 】 （A ）?32 （B ）?34 （C ）?36 （D ）?38 第 8 题图 第 13 题图 优 良28% 及格 36%16%不及格 二、填空题（每小题3分,共21分） 9. 两个连续整数y x ,满足y x <+<23,则=+y x __________. 10. 若()(),11,172 2 =-=+b a b a 则=+22b a __________. 11. 因式分解:=-+-y xy y x 271832________________. 12. 等腰三角形的周长为20 cm,一边长为6 cm,则底边长为__________cm. 13. 期末考试后,小红将本班50名学生的数学成绩进行分类统计,得到如图所示的扇形统计图,则优等生人数为__________. 14. 如图,直线l 上有三个正方形c b a 、、,若c a 、的面积分别为5和11,则b 的面积为__________. 15. 如图,长方形ABCD 中,,4,10==AD AB E 为AB 的中点,在线段CD 上找一点P ,使△APE 为一个腰长为5的等腰三角形,则线段DP 的长为__________. l 第 14 题图 c b a 第 15 题图

八年级数学华东师大版上学期期末试卷及复习资料

初二(上)数学期末测试题（华东师大版） (满分100分 考试时间100分钟) 一、细心选一选（本题有10个小题，每小题3分, 满分30分，下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。） 1. 以下四家银行行标中，不是旋转对称图形的有 （ ） 2. 如图1所给的4个正方形网格图形中，黑色部分只用．．平移可以得到的有（ ）. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 64的平方根是（ ） A. 4 B. 4± C. 8 D. 8± 4. 8a 可以写成（ ） A. 44a a + B. a 4·a 2 C. 62 ()a - D. (-a)7·(-a) 5. 下列计算正确的是（ ）. A. ()()2555a a a +-=- B. () 2222x x x x +÷=+ C. ()2 222a b a ab b +=-+ D. ()()2 2 a b b a b a ---=- 6. 若2 6(3)(2)x kx x x +-=+-，则k 的值为（ ） A. 2 B. –2 C. 1 D. –1 7. 下列四边形中，两条对角线不一定相等的是（ ） A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 等腰梯形 8. 已知ΔABC 的三边分别是3,4,5cm cm cm ,则ΔABC 的面积是( )2 cm A. 6 B. 7.5 C. 10 D. 12 9. 如图2，在菱形ABCD 中，6cm,8cm AC BD ==，则菱形AB 边上的高CE 的长是（ ） A. 24 5 cm B. 48 5 cm C. 5cm D. 10cm

最新华师大版数学八年级下华东师大版19.3尺规作图同步练习

19.3 尺规作图同步练习 1．只用画图的方法,称为尺规作图，且规定直尺. 2．尺规作图时，直尺用来画、和，圆规用来画圆和. 3．根据图形填空. (1)连接两点； (2)延长线段到点，使BC= (3)在AM上截取= (4)以点O为，以M为画交OA，OB分别于C，D. 4．利用基本作图不能唯一作出三角形的是( ) A．已知三边B．已知两边及夹角 C．已知夹角及两边D．已知两边及其中一边对角 5．利用基本作图不可作的等腰三角形是( ) A．已知底边及底边上的高B．已知底边上的高及腰 C．已知底边及顶角D．已知两底角 6．下面的说法，错误的是( ) A．线段有且只有一条中垂线B．线段的中垂线平分线段 C．线段的中垂线是一条直线D．经过线段中点的直线是线段的中垂线7．已知线段a，求作边长为a的等边三角形. 8．任意画一个钝角，然后把它四等分. 9．如图，已知ABC边BC上有一点P，过P作平行于AB的直线. 10．如图，已知钝角ABC边AB上有一点P，过P作直线AB，BC的垂线. 11．已知△ABC，作三条边的中垂线，然后观察，这三条中垂线是否交于一点？

若交于一点，这一点到ABC三顶点的距离有何关系？ 12．如图所示，已知线段a，b，求作:△ABC使AB=AC=a，BC边上的中线等于b. 13．已知锐角a和线段a，求作等腰三角形,使顶角等于a，腰长为a(不写作法) 14．已知线段a，b(a﹥b)，作等腰三角形，使腰长为，底边上的高为b(不写作法) 15．如图在一次军事演习中，红方侦察员发现蓝方指挥部设在A区，到公路、铁路的距离相等，且离公路与铁路交叉处B点700m ，如果你是红方的指挥员，请你在图示的作战图上标出蓝方指挥部的位置. 16．已知线段AB，如图所示，按下列要求进行尺规作图，保留作 图痕迹. ①过点B作BD⊥AB，使BD=1 2 AB； ②连接AD，在AD上截取DE=DB； ③在AB上截取AC=AE. 17．已知△ABC，其中AB=AC. (1)作AB的垂直平分线DE，交AB于点D，交AC于点E，连接BE (尺规作图，不写作法) (2)在(1)的基础上，若AD=8，同时满足△BCE的周长为24，求BC的长. 答案: 更多资料请访问https://www.sodocs.net/doc/667442777.html,

华东师大版八年级上册数学教案全册

华东师大版八年级上册数学教案全册 华东师大版八年级上册数学教案全册 第12章数的开方 12.1平方根与立方根（1） 教学目的 1.知识与能力：从实际问题的需要出发，引进平方根概念，体现从实际到理论、具体到抽象这样一个一般的认识过程，培养学生辩证唯物主义观点；从求二次幂的平方运算引出求平方根的运算，突出平方运算和开平方运算的互逆性； 2.过程与方法：扣住定义去思考问题，重视解题技巧； 3.情感态度与价值观：以旧引新，以新带旧。 重点、难点 1．重点：通过实际问题的研究，认识平方根；会用计算器求任意正数的算术平方根。 2．难点：正确区分平方根与算术平方根的关系。 教学过程 一、创设情境 问题1 要剪出一块面积为25 cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？ 问题2 已知圆的面积是16πcm2，求圆的半径长． (学生探索，回答问题) 二、探究归纳 问题1解设正方形纸片的边长为xcm，依题意有：x2＝25， 求出满足x2＝25的x值，就可得正方形纸片的边长． 因52＝25，(-5)2＝25，故满足x2＝25的x的值可以是5，也可以是－5，但正方形边长只能取正值．所以x＝5． 答正方形纸片的边长为5cm． 这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于25． 问题2解设圆的半径为R cm，依题意有： πR2=16π，即R2=16， 求出满足R2＝16的R的值即可求出圆的半径． 因42＝16，(－4)2＝16，故满足R2＝16的R的值为4或－4，但圆的半径只能取正值．所以数R ＝4． 答圆的半径为4cm． 这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于16． 刚才具体的二个例子，从数学意义上都是要解决这样一个共同的问题：已知某数的平方，要求这个数．用式子来表示就是如果x2＝a，求x的值． 概括如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根(square root)（也叫a的二次方根）．在上述例1问题中，因为52＝25，所以5是25的一个平方根．又因为(－5)2＝52＝25，所以－5也是25的一个平方根．这就是说，25的平方根有两个：5与－5．在上述例2问题中，因为42＝16，所以4是16的一个平方根．又因为(－4)2＝42＝16，所以－4也是16的一个平方根．这就是说，16的平方根有两个： 4与－4．所以，根据平方根的意义，我们可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根． 三、实践应用

新版华师大版八年级下数学教案全册

第十六章分式 16．1分式 16.1.1从分数到分式 一、教学目标 1．了解分式、有理式的概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、课堂引入 1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：，，，. 2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为小时，逆流航行60千米所用时间 小时，所以=. 3. 以上的式子，，，，有什么共同点？它们与分数有什么相同点 和不同点？ 五、例题讲解 P5例1. 当x为何值时，分式有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解 出字母x的取值范围. [提问]如果题目为：当x为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m为何值时，分式的值为0？ （1）（2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m的解集中的公共部分，就是这类题目的解. [答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1

六、随堂练习 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, , , , ， 2. 当x取何值时，下列分式有意义？ （1）（2）（3） 3. 当x为何值时，分式的值为0？ （1）（2） (3) 七、课后练习 1.列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？ (1）甲每小时做x个零件，则他8小时做零件个，做80个零件需小时. （2）轮船在静水中每小时走a千米，水流的速度是b千米/时，轮船的顺流速度是千米/时，轮船的逆流速度是千米/时. (3)x与y的差于4的商是 . 2．当x取何值时，分式无意义？ 3. 当x为何值时，分式的值为0？ 八、答案： 六、1.整式：9x+4, , 分式： , ， 2．(1）x≠-2 （2）x≠ （3）x≠±2 3．（1）x=-7 （2）x=0 (3)x=-1 七、1．18x, ,a+b, ,; 整式：8x, a+b, ; 分式：, 2． X = 3. x=-1 课后反思：

最新华师大版八年级数学上册知识点总结

八年级数学上册复习提纲 第11章数的开方 §11.1平方根与立方根 一、平方根 1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。（也叫做二次方根） 即：若x2=a，则x叫做a的平方根。 2、平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根。它们互为相反数；（2）零的平方根是零；（3）负数没有平方根。 二、算术平方根 1、算术平方根的定义：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。 2、算术平方根的性质：（1）一个正数的算术平方根只有一个且为正；（2）零的算术平方根是零；（3）负数没有算术平方根；（4）算术平方根的非负性：a ≥0。 三、平方根和算术平方根是记号：平方根±a（读作：正负根号a）；算术平方根a（读作根号a） 即：“±a”表示a的平方根，或者表示求a的平方根；“a”表示a的算术平方根，或者表示求a的算术平方根。 其中a叫做被开方数。∵负数没有平方根，∴被开方数a必须为非负数，即：a≥0。 四、开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。其实质就是：已知指数和二次幂求底数的运算。 五、立方根 1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。（也叫做三次方根） 即：若x3=a，则x叫做a的立方根。 2、立方根的性质：（1）一个正数的立方根为正；（2）一个负数的立方根为负；（3）零的立方根是零。 3、立方根的记号：3a（读作：三次根号a），a称为被开方数，“3”称为根指数。 3a中的被开方数a的取值范围是：a为全体实数。 六、开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。其实质就是：已知指数和三次幂求底数的运算。 七、注意事项： 1、“±a”、“a”、“3a”的实质意义：“±a”→问：哪个数的平方是a；“a”→问：哪个非负数的平方是a；“3a”→问：哪个数的立方是a。 2、注意a和3a中的a的取值范围的应用。 如：若3 x有意义，则x取值范围是。（∵x-3≥0，∴x≥3）

练习11_尺规作图- (华东师大版)(解析版)

练习11 尺规作图 一、单选题 1.以下四种作△ABC边AC上的高，其中正确的作法是（） A．B． C．D． 【解答】解：AC边上的高是经过点B垂直AC的直线． 故选：B． 【知识点】三角形的角平分线、中线和高、作图—基本作图 2.下列四种基本尺规作图分别表示，则对应选项中作法错误的是（） A．作一个角等于已知角 B．作一个角的平分线 C．作一条线段的垂直平分线

D．过直线外一点P作已知直线的垂线 【解答】解：①作一个角等于已知角的方法正确； ②作一个角的平分线的作法正确； ③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误； ④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确． 故选：C． 【知识点】作图—基本作图 3.在以如图形中，根据尺规作图痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（） A．图1和图2 B．图1和图3 C．图3 D．图2和图3 【解答】解：在图1中，利用基本作图可判断AD平分∠BAC； 在图2中，根据作法可知： AE＝AF，AM＝AN， 在△AMF和△ANE中， ， ∴△AMF≌△ANE（SAS）， ∴∠AMD＝∠AND， ∵∠MDE＝∠NDF， ∵AE＝AF，AM＝AN， ∴ME＝NF， 在△MDE和△NDF中，

， ∴△MDE≌△NDF（AAS）， 所以D点到AM和AN的距离相等， ∴AD平分∠BAC． 在图3中，利用基本作图得到D点为BC的中点，则AD为BC边上的中线； 故选：A． 【知识点】作图—基本作图、全等三角形的判定与性质 4.如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明三角形全等的依据是（） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【解答】解：由作图可知，AF＝AE，DF＝DE， ∵AD＝AD， ∴△ADF≌△ADE（SSS）， 故选：D． 【知识点】作图—基本作图、全等三角形的判定 5.如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹． 步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①； 步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D； 步骤3：连接AD，交BC延长线于点H．

华东师大版八年级数学上册知识点

八年级上册知识点 第11章数的平方 11.1平方根与立方根 一、平方根的概念 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。 二、平方根的性质 1.一个正数有两个平方根，它们互为相反数。 2.0有一个平方根，就是它本身。 3.负数没有平方根。 三、算术平方根 a，读作“根号a”；另一个平方根是它正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作 a。因此，正数a的平方根可以记作±a，其中a称为被开方数。 的相反数，即- 0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。 四、平方根与算术平方根的区别与联系 1.概念不同； 2.表示方法不同； 3.个数及取值不同。 五、开平方 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。 六、立方根 1.概念：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。 2.性质：任何数（正数、负数和0）的立方根只有一个。

3.表示：数a的立方根，记作3a，读作“三次根号a”。其中a称为被开方数，3是根指数。 4.一个正数只有一个正的立方根，一个负数只有一个负的立方根，0的立方根是0。 七、开立方 求一个数的立方根的运算，叫做开立方。 11.2实数 一、无理数 1.无线不循环小数叫做无理数。 2.无理数与有理数的区别 （1）有理数是有限小数或无限循环小数，而无理数是无限不循环小数。 （2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），而无理数不能写成分数的形式。 二、实数及其分类 1.实数的概念 有理数和无理数统称为实数，即实数包括有理数和无理数。 2.实数的分类 （1）按概念分类 正整数 整数0 有理数负整数 正分数 分数 实数负分数 正有理数 无理数

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第十一章 数的开方 平方根与立方根（1） 【教学目标】：以实际问题的需要出发，引出平方根的概念，理解平方根的意义，会求某些数的平方根。 【教学重、难点】：重点：了解平方根的概念，求某些非负数的平方根。 难点：平方根的意义 【教具应用】：老师：三角板、小黑板 学生： 【教学过程】： 一、 提出问题，创设情境。 问题1、要剪出一块面积为25cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？ 问题2、已知圆的面积是16πcm2，求圆的半径长。 要想解决这些问题，就来学习本节内容 二、 自学提纲： 1、 你能解决上面两个问题吗这两个问题的实质是什么 2、 3、 看第2页，知道什么是一个数的平方根吗？ 4、 5、 25的平方根只有5吗为什么 6、 7、 会求110的平方根吗？试一试 8、 9、 －4有平方根吗为什么 10、 11、想一想，你是用什么运算来检验或寻找一个数的平方根？ 12、根据平方根的定义你能指出正数、0、负数的平方根的特征吗？ 13、 14、什么叫开平方？ 三、 能力、知识、提高 同学们展示自学结果，老师点拔 ① 情境中的两个问题的实质是已知某数的平方，要求这个数。 ② 概括：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。 如52＝25，（－5）2＝25 ∴25的平方根有两个：5和－5 ③ 根据平方根的意义，可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根。 ④ 任何数的平方都不等于－4，所以－4没有平方根。 ⑤ 0的平方等于0。所以0只有一个平方根为0。 ⑥ 概括：一个正数有两个平方根，它们互为相反数;0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。 ⑦ 求一个数a （a ≥0）的平方根的运算，叫做开平方。 四、 知识应用 1、 求下列各数的平方根 ① 49 ② ③81 16 ④（－）2 2、 将下列各数开平方 ①1 ② ③（－ 5 3）2

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第11章数的开方 11.1平方根与立方根（1） 【教学目标】：以实际问题的需要出发，引出平方根的概念，理解平方根的意义，会求某些数的平方根。 【教学重、难点】：重点：了解平方根的概念，求某些非负数的平方根。 难点：平方根的意义 【教具应用】：老师：三角板、小黑板 学生： 【教学过程】： 一、提出问题，创设情境。 问题1、要剪出一块面积为25cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？ 问题2、已知圆的面积是16πcm2，求圆的半径长。 要想解决这些问题，就来学习本节内容 二、自学提纲： 1、你能解决上面两个问题吗？这两个问题的实质是什么？ 2、看第2页，知道什么是一个数的平方根吗？ 3、25的平方根只有5吗？为什么？ 4、会求110的平方根吗？试一试 5、－4有平方根吗？为什么？ 6、想一想，你是用什么运算来检验或寻找一个数的平方根？ 7、根据平方根的定义你能指出正数、0、负数的平方根的特征吗？ 8、什么叫开平方？ 三、能力、知识、提高

同学们展示自学结果，老师点拔 ① 情境中的两个问题的实质是已知某数的平方，要求这个数。 ② 概括：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。 如52＝25，（－5）2＝25 ∴25的平方根有两个：5和－5 ③ 根据平方根的意义，可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根。 ④ 任何数的平方都不等于－4，所以－4没有平方根。 ⑤ 0的平方等于0。所以0只有一个平方根为0。 ⑥ 概括：一个正数有两个平方根，它们互为相反数;0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。 ⑦ 求一个数a （a ≥0）的平方根的运算，叫做开平方。 四、 知识应用 1、求下列各数的平方根 ① 49 ②1.69 ③81 16 ④（－0.2）2 2、将下列各数开平方 ①1 ②0.09 ③（－5 3 ）2 五、 测评 1、说出下列各数的平方根 ①81 ②0.25 ③125 4 2、求未知数x 的值 ①（3x ）2＝16 ②（2x -1）2=9 六、 小结： 1、什么叫做平方根？ 2、一个正数的平方根有几个？零的平根有几个？负数的平方根呢？

华东师大版八年级上册数学知识总结

八年级上 第11章数的开方 1 ?平方根 （1）如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根。 即：如果x2 a，那么x叫做a的平方根 （2）一个正数有两个平方根，它们互为相反数。 其中：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作..a，读作“根号a”， 另一个平方根是它的相反数，即a。 因此，正数a的平方根可以记作-..a。a称为被开方数。 0的平方根只有一个，就是0，记作-.0 0。 负数没有平方根。 v'a 0 （a 0） （3）求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。 2 ?立方根 （1）如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根。 即:如果x3 a，那么x叫做a的立方根 数a的立方根，记作幼孑，读作“三次根号a”，其中a称为被开方数，3称为根指数。（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。 （3）任何数（正数、负数、0）都有立方根，并且只有一个。 正数有一个正的立方根。 负数有一个负的立方根。 0的立方根是0。 3?无理数无限不循环小数叫做无理数。 实数有理数和无理数统称为实数。 实数与数轴上的点对应。 第12章整式的乘除 1 ?幕的运算 （1）同底数幕相乘，底数不变，指数相加。 a m a n a m n（m、n为正整数） （2）幕的乘方 幕的乘方，底数不变，指数相乘。

a" a"" （m、n为正整数） （3）积的乘方 积的乘方，等于把积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 ab n a n b n（n 为正整数） （4）同底数幂的除法同底数幂相除，底数不变，指数相减。（m、n 为正整数，m>n，a 0） 2. 整式的乘法 （1）单项式与单项式相乘将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。 （2）单项式与多项式相乘将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。 （3）多项式与多项式相乘先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 （a+b）（m+n）=am+bm+an+bn 3. 乘法公式 （1）平方差公式：两数和乘以这两数的差，等于这两个数的平方差。 a b a b a 2 b2 （2）完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）这两数积的 2 倍。 a b 2 a2 2ab b2 a b 2 a2 2ab b2 4．整式的除法 （1）单项式除以单项式把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 （2）多项式除以单项式先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 5．因式分解 （1）把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。 （2）公因式： 多项式ma+mb+mc中的每一项都含有一个相同的因式m,我们称之为公因式。 （3）提取公因式法： 把公因式提出来，多项式ma+mb+mc就可以分解成两个因式m和（a+b+c）的乘积，这种因式分解的方法,叫做提取公因式法。 （4）公式法：将乘法公式反过来用,对多项式进行因式分解的,这种因式分解的方法成为公式法。 （5）十字相乘法：x2（a b）x ab = （x a）（x b）（a、b 是常数） 公式特点： 1）右边相乘的两个因式都只含有一个相同的字母,都是一次二项式,并且一次项的系数为一。 2）左边是二次三项式,二次项的系数是1,一次项系数是两常数项之和,积的常数项等于两个因式中常数项之积。

华东师大版八年级科学上册)

华东师大版八年级上册) 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 1 . 下列图示实验操作中，正确的是（） A．滴加液B．往试管加入固体 D．加热液体 C．倾倒液体 2 . 手机工作原理可简化为如图所示电路，R是阻值已知的定值电阻，U是手机工作部件两端电压，I是电路中的电流。手机在工作过程中，电池的电压会发生变化，U与I的比值会随着I的变化而变化。手机正常工作时，要对U和I进行监测。若测量出UR，则（） A．只能监测U B．只能监测I C．既能监测U，又能监测I D．既不能监测U，也不能监测I 3 . 标有“6V 1.5W”的灯泡，通过它的电流随其两端电压变化的物理图象如图所示，若把这只灯泡与一个10Ω的定值电阻串联起来，接在电压为6V的电源两端。则下列说法中正确的是（） A．此时该灯泡的电阻为24Ω B．此时通过定值电阻的电流为0.25A C．此时灯泡的额定功率为0.8W D．此时电路的实际总功率为1.2W 4 . 下列事例中利用大气压强的是（）

A．拦河坝修成“上窄下宽”B．用吸管从瓶中吸起饮料 C．飞机的机翼设计成流线型D．鱼鳔的大小变化使鱼在水中沉浮 5 . 根据你的生活经验，你认为下列电器或设备中没有使变阻器的是（） A．电动车B．教室里的日光灯C．电冰箱D．电视机 6 . 下列有关水和溶液的说法正确的是（） A．长期放置后不会分层的液体一定是溶液 B．电解水实验说明水是由氢元素和氧元素组成的 C．某饱和溶液，当温度升高时，一定变成不饱和溶液 D．硝酸钾的饱和溶液一定比它的不饱和溶液浓 7 . 关于摩擦，下列说法正确的是（） A．加润滑油可以使接触表面分离，从而减小摩擦。 B．在机器的转动部分装滚动轴承，是为了增大摩擦力。 C．在站台上候车的旅客要站在安全线以外，是防止摩擦力过小带来危害。 D．鞋底刻有花纹，是因增大接触面积从而增大摩擦力。 8 . 20℃时，取甲、乙、丙、丁四种纯净物各20 g，分别加入到四只各盛有50g水的烧杯中，充分溶解后的情况如下表： 物质甲乙丙丁 未溶解固体的质量/g 4.2209.2 下列说法正确的是（） A．所得四种溶液一定都是饱和溶液 B．丁溶液中溶质质量分数一定最大 C．20℃时四种物质溶解度的关系为：丙＞乙＞甲＞丁 D．四种溶液中溶剂的质量大小为：丙溶液＞乙溶液＞甲溶液＞丁溶液 9 . 用两根绝缘细线，分别将甲、乙两个相同的轻质小球悬挂起来，两个小球都带正电，但甲球带的电荷比乙球的多，在将乙球慢慢靠近甲球时，会出现的情形是（） A．B． C．D． 10 . 某物质（仅含有一种溶质）的溶液在t℃时，恒温蒸发掉10g水，析出了2g晶体，再恒温蒸发掉10g水，又析出了3g晶体，则下列说法正确的是（） A．原溶液一定是稀溶液 B．原溶液在t℃时一定是不饱和溶液 C．最后剩余的溶液一定比原溶液稀

华东师大版八年级下册数学教案全册

第17章 分式 §17.1.1 分式的概念 教学目标： 1、知识与技能：经历实际问题的解决过程，从中认识分式，并能概括分式 的意义。 2、过程与方法：使学生能正确地判断一个代数式是否是分式，能通过回忆 分数的意义，类比地探索分式的意义。 3、情感态度与价值观：渗透数学中的类比，分类等数学思想。 教学重点： 探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。 教学难点： 能通过回忆分数的意义，探索分式的意义。 教学过程： 一、做一做 （1）面积为2平方米的长方形一边长3米，则它的另一边长为_____米； （2）面积为S 平方米的长方形一边长a 米，则它的另一边长为________米； （3）一箱苹果售价p 元，总重m 千克，箱重n 千克，则每千克苹果的售价是___元； 二、概括： 形如B A (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的 分子,B 叫做分式的分母. 整式和分式统称有理式, 即有理式 整式， 分式. 三、例题： 例1 下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1） x 1； （2）2 x ； （3）y x xy +2； （4）33y x -. 解：属于整式的有：（2）、（4）；属于分式的有：（1）、（3）. 注意：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义.例如，在分式a S 中，a ≠0；在分式n m -9中，m ≠n. 例2 当x 取什么值时，下列分式有意义？ （1）11－x ； （2）3 22 +-x x . 分析 要使分式有意义，必须且只须分母不等于零. 解 （1）分母1－x ≠0，即x ≠1. 所以，当x ≠1时，分式1 1 －x 有意义. （2）分母23+x ≠0，即x ≠-2 3 . 所以，当x ≠-23时，分式3 22 +-x x 有意义. 四、练习：

华东师大版八年级：尺规作图

尺规作图 教学目标 1、学习用尺规作线段与角； 2、对直线与角做简单复习。 学习内容 知识梳理 一．尺规作图、基本作图： 在几何里，把限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作图．最基本、最常用的尺规作图，通常称基本作图．二．作一个角等于已知角： 已知：∠AOB（如图）． 求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB. 作法：1．作射线O'A'. 2．以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D． 3．以点O'为圆心，以OC长为半径作弧，交O'A'于C'． 4．以点C'为圆心，以CD长为半径作弧，交前弧于D'． 5．经过点D'作射线O'B'．∠A'D'B'就是所求的角． 证明:连结CD、C'D'．由作法可知：△C'O'D'≌△COD(SSS)， ∴∠C'O'D'=∠COD(全等三角形的对应角相等)， 即∠A'O'B'=∠AOB．Ⅲ．经过一点作已知直线的垂线． 三．平分已知角： 已知：∠AOB（如图）． 求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC． 作法：1．在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD=OE．

2．分别以D 、E 为圆心，大于 DE 2 1 的长为半径作弧，在∠AOB 内，两弧交于点C ． 3．作射线OC ．OC 就是所求的射线． 证明：连结CD 、CE ，由作法可知：△ODC ≌△OEC （SSS ）， ∴∠COD=∠COE （全等三角形的对应角相等），即 ∠AOC ＝∠BOC ． 四．经过一点作已知直线的垂线： （1）经过已知直线上的一点作这条直线的垂线． 已知：直线AB 和AB 上一点C （图3－44）． 求作：AB 的垂线，使它经过点C ． 作法：作平角ACB 的平分线CF ．直线CF 就是所求的垂线． 图3-44 图3-45 证明：由作法可知， ∠ACF=∠BCF= ACB 2 1 ． ∵∠ACB=180°（平角的定义） ∴∠ACF=90°，即 CF 是AB 的垂线． （2）经过已知直线外一点作这条直线的垂线． 已知：直线AB 和AB 外一点C （图3-45）． 求作：AB 的垂线，使它经过点C ． 作法：1．任意取一点K ，使K 和C 在AB 的两旁． 2．以C 为圆心，CK 长为半径作弧，交AB 于点D 和E ．