高中数学-概率测试题
高中数学-概率测试题
检测(B)
(时间:90分钟满分:120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1掷一枚质地均匀的骰子,观察所得的点数a,设事件A=“a为3”,B=“a为4”,C=“a为奇数”,则下列结论正确的是()
A.A与B为互斥事件
B.A与B为对立事件
C.A与C为对立事件
D.A与C为互斥事件
解析事件A与B不可能同时发生,但也可能都不发生,因此A与B为互斥事件,但不是对立事件.
答案A
2某个地区从某年起几年内的新生婴儿数及其男婴数如下表:
时间范围1年
内
2年
内
3年
内
4年
内
新生婴儿数5
544
9
013
13
520
17
191
男婴数2
716
4
899
6
812
8
590
这一地区男婴出生的概率约是()
A.0.4
B.0.5
C.0.6
D.0.7
解析由表格可知,男婴出生的频率依次为0.49,0.54,0.50,0.50,故这一地区男婴出生的概率约为0.5.故选B.
答案B
3从1,2,3,4这4个数中,任意抽取两个数,则抽到的两个数都是偶数的概率是()
A
C
解析不放回地抽取2个数,共有6种取法,两个数字均为偶数只有(2,4)这一种情况,因此所求概率
A.
答案A
4若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为()
A
解析五人录用三人共有10种不同方式,分别为:{丙,丁,戊},{乙,丁,戊},{乙,丙,戊},{乙,丙,丁},{甲,丁,戊},{甲,丙,戊},{甲,丙,丁},{甲,乙,戊},{甲,乙,丁},{甲,乙,丙}.
其中含甲或乙的情况有9种,故选D.
答案D
5从一批产品中随机抽两次,每次抽1件.以A表示事件“两次都抽得正品”,B表示事件“至少抽得一件次品”,则下列关系式中正确的是()
A.A?B
B.B?A
C.A=B
D.A
解析事件B的对立事件为至多抽到0件次品,即两次都抽到正品,因此选项D正确.
答案D
6袋里装有大小相同的黑、白两色的手套,黑色手套3只,白色手套2只.现从中随机地取出两只手套,如果两只是同色手套则甲获胜,两只手套颜色不同则乙获胜,则甲、乙获胜的机会是()
A.一样大
B.甲大
C.乙大
D.不能确定
解析共有10种取法,两只手套颜色不同的情况共有6种,因此乙获胜的概率
.故选C.
答案C
7从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点,则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于()
A
C
解析如图所示,正六边形ABCDEF,从6个顶点中随机选择4个顶点有
ABCD,ABCE,ABCF,ABDE,ABDF,ABEF,ACDE,ACDF,ACEF,ADEF,BCDE,BCDF,BCEF,BDEF,CDEF,共15种选法,基本事件总数为15,其中四边形是矩形的有ABDE,BCEF,ACDF 3种,故所求概率为
P D.
答案D
8将一枚骰子投掷两次,第一次出现的点数记为a,第二次出现的点数记为b,设两条直线
l1:ax+by=2,l2:x+2y=3平行的概率为P1,相交的概率为P2,则点P(36P1,36P2)与圆C:x2+y2=1 098的位置关系是()
A.点P在圆C上
B.点P在圆C外
C.点P在圆C内
D.不能确定
解析因为l1∥l2,所以b=2a,满足此条件的(a,b)有(1,2),(2,4),(3,6),故P1
又因为两直线l1∥l2与l1与l2相交是对立事件,
所以P2=1-P1=1
所以P(3,33).
因为32+332=9+1 089=1 098,
所以点P在圆C上.
答案A
9如图所示,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇
形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无．信号的概率是()
A.1
B
C.2
D
解析S矩形ABCD=1×2=2,S扇形ADE=S扇形CBF
P
答案A
10节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯.这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮.那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()
A
B
C
D
解析设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x,y,则由题意可得,0≤x≤4,0≤y≤4;而所求事件“两串彩灯同时通电后,第一次闪亮相差不超过2秒”={(x,y)||x-y|≤2},由图示得,该事件概率
P
答案C
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a,则事件“3a-1<0”发生的概率为.
解析由题意知0≤a≤1,事件“3a-1<0”发生时,a0≤a,取区间长度为测度,由几何概型的概率公式得其概率P
答
12若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为.
解析甲、乙、丙三人随机站在一排有:
甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲,共6种.
若甲、乙两人相邻而站则有甲乙丙、丙甲乙、乙甲丙、丙乙甲,共4种,故所求的概率
答
13在区间[-2,4]上随机地取一个数x,若x满足|x|≤m的概率
解析由题意[-2,4]的区间长度为6,而满足条件的x取值范围的区间长度为5,故m取3,x∈[-2,3].
答案3
14抛掷甲、乙两枚质地均匀,且四面上分别标有1,2,3,4的正四面体,其底面落于桌面,记底面
上的数字分别为x,y,
解析基本事件为
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),( 4,3),(4,4),共16种情况.
,则
当x=1时,y=1;
当x=2时,y=1,2;
当x=3时,y=1,3;
当x=4时,y=1,2,4.
共有8种情况.
故所求概率
答
15如图所示,图②中实线围成的部分是长方体(图①)的平面展开图,其中四边形ABCD是边长为1的正方形.若向图②中虚线围成的矩形内任意抛掷一质点,它落在长方体的平面展开图内的概率
解析设长方体的高为h ,由几何概型的概率计算公式可知,质点落在长方体的平面展开图内的概率
P
解得h=3或h=),
故长方体的体积为1×1×3=3. 答案3
三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16(8分)甲、乙两人玩一种游戏,每次由甲、乙各出1到5根手指头,若和为偶数则算甲赢,否则算乙赢.
(1)若以A 表示和为6的事件,求P (A ).
(2)现连玩三次,以B 表示“甲至少赢一次”的事件,C 表示“乙至少赢两次”的事件,试问:B 与C 是否为互斥事件?为什么?
(3)这种游戏规则公平吗?试说明理由.
解(1)基本事件空间与点集S={(x ,y )|x ∈N +,y ∈N +,1≤x ≤5,1≤y ≤5}中的元素一一对应.
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9
5 6 7 8 9
10
因为S 中点的总数为25,所以基本事件总数n=25.
事件A 包含的基本事件数共5个,即(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),故P (A )
(2)B 与C 不是互斥事件.因为事件B 与C 可以同时发生,如甲赢一次,乙赢两次的事件即符合题意.
(3)这种游戏规则不公平.由(1)知和为偶数的基本事件数为13个,即甲赢的概率
.
17(8分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.
(1)求此人到达当日空气质量优良的概率;
(2)求此人在该市停留时间只有1天时空气重度污染的概率;
(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结果不要求证明)
解(1)在3月1日至3月13日这13天中,1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量
优良,所以此人到达当日空气质量优良的概率
(2)根据题意,事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日,或5日,或7日,或8日”.
所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率
(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.
18(9分)某人在如图所示的直角边长为4 m的等腰直角三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示:
X12 3 4
Y 5
1
4
8
4
5
4
2
这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1 m.
(1)完成下表,并求所种作物的平均年收获量;
Y 5
1
48
4
5
4
2
频
数
4
(2)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为48 kg的概率.
解(1)所种作物的总株数为1+2+3+4+5=15,其中“相近”作物株数为1的作物有2株,“相近”作物株数为2的作物有4株,“相近”作物株数为3的作物有6株,“相近”作物株数为4的作物有3株.列表如下:
Y 5
1
4
8
4
5
4
2
频
数
2 4 6 3
所种作物的平均年收获量为
=46.
(2)由(1)知,
P(Y=51)
故在所种作物中随机选取一株,它的年收获量至少为48 kg的概率为
P(Y≥48)=P(Y=51)+P(Y=48)
19(10分)有一个不透明的袋子,装有三个完全相同的小球,球上分别标有数字1,2,3.
(1)若逐个不放回取球两次,求第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被3整除的概率;
(2)若先从袋中随机取一个球,该球的编号为a,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的
编号为b,求直线ax+by+1=0与圆x2+y2
解(1)用(a,b)(a表示第一次取到球的编号,b表示第二次取到球的编号)表示先后两次取球构成的基本事件,则基本事件有(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),共6个.
设“第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被3整除”为事件A,则事件A包含的
基本事件有(2,1),共1个,故P(A)
(2)由题意得,所有基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3, 3),共9个.
设“直线ax+by+1=0与圆x2+y 2B,由题意a2+b2≥9,则事件B包含的基本事件有(1,3),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共5个,故P(B )
20(10分)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生.
(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P i(i=1,2,3).
(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n次后,统计记录了输出y的值为i(i=1,2,3)的频数,以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.
甲的频数统计表(部分)
运行次数n 输出y
的值
为1的
频数
输出y
的值
为2的
频数
输出y的
值
为3的频
数
30 14 6 10 …………
2
100
1 027 376 697
乙的频数统计表(部分)
运行次数n 输出
y的
值
为1
的频
数
输出
y的
值
为2
的频
数
输出y的值
为3的频数
30 12 11 7 (2)
10
1 051 696 353
当n=2 100时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大.
解(1)变量x是在1,2,3,…,24这24个整数中随机产生的一个数,共有24种可能.
当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输出y的值为1,故P1
当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出y的值为2,故P2
当x从6,12,18,24这4个数中产生时,输出y的值为3,故P3
所以,输出y的值为1的概率y的值为2的概率y的值为3的概率
(2)当n=2 100时,甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率如下:
输出y的值为1的频率输出y的值
为2的频率
输出y的值
为3的频率
甲
乙
比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大.