《空间直角坐标系》知识讲解

《空间直角坐标系》知识讲解

1 空间直角坐标系：

（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}

i j k r r r

表示；

（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k r r r ，以点O 为原点，分别以,,i j k r r r

的方

向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直

角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量 ,,i j k r r r

都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫

坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面； 2．空间直角坐标系中的坐标：

在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，

存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++u u u r r r

，

有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系

O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫

纵坐标，z 叫竖坐标．

3．空间向量的直角坐标运算律：

（1）若123(,,)a a a a =r ，123(,,)b b b b =r

，

则112233(,,)a b a b a b a b +=+++r r ，112233(,,)a b a b a b a b -=---r r

， 123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈r ，112233a b a b a b a b ?=++r r

， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈r r

， 1122330a b a b a b a b ⊥?++=r r

．

（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，

则212121(,,)AB x x y y z z =---u u u r

．

4模长公式：

若123(,,)a a a a =r ，123(,,)b b b b =r

，

则

222123

||a a a a a a =?=++r r r ，

y

k i

AB

B(x2,y2,z2)

A(x1,y1,z1)

O j

x

z

y

k i A(x,y,z)

O j

x

z

y

k

i

AB

B(x2,y2,z2)

A(x1,y1,z1)

O j

x

z

222

123||b b b b b b =?=++r r r ．

5．夹角公式：112233222222

123123

cos ||||a b a b a b a b

a b a b a a a b b b ++??==?++++r r

r r r r ．

6．两点间的距离公式： 若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，

则2

222

212121||()()()AB AB x x y y z z ==-+-+-u u u r u u u r ，

或222

,212121()()()A B d x x y y z z =-+-+-． 例1 已知(3,3,1)A ，(1,0,5)B ，

求：（1）线段AB 的中点坐标和长度；

（2）到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件

例2．如图正方体1111ABCD A B C D -中， （1）若E 1∈A 1B 1，F 1∈C 1D 1，且1111111

4

B E D F A B ==

，求1BE 与1DF 所成角的余弦 （2）若P 为DD 1的中点，O 1，O 2，O 3分别是面ABCD ，B 1B 1C 1C 1，AB 1C 1D ，ABCD 的中心. 求证:B 1O 3⊥PA;并求PO 3与O 1O 2所成的角.

(3)若E,F 分别是BB 1、CD 的中点，判断点A 、D 、C 1、E 四点是否共面？