江苏省专转本统一考试高等数学复习总纲简略版
高等数学复习提纲
一、 极限
（一）极限七大题型 1. 题型一
()
lim
()
m x
n P x P x （,m n 分别表示多项式的幂次）要求: A:达到口算水平； B:过程即“除大”。 2. 题型二
()lim x a a 有限分子
分母
将a 带入分母
3. 题型三（进入考场的主要战场）
()
lim v x x
a
u x
注：应首先识别类型是否为为“1”型！
公式：1
lim(1)e 口诀：得1得+得内框，内框一翻就是e 。（三步曲）
4. 题型四： 等价无穷小替换（特别注意：0→） （1）
A:同阶无穷小：lim
0()x
f f
g 是g 的同阶；
B:等价无穷小：lim
1(g )x
f f
g 和等价；
C:高阶无穷小：lim
0(g )x
f f g
是的高阶.注意：f g 和的顺序
特别补充：2sec 1~2
-
（3）等价替换的的性质：
0 直接带入a 求出结果就是要求的值
1）自反性：~;αα
2）对称性：~~αββα若，则；
3）传递性：~~~.αββγαγ若，，则 （4）替换原则：
A:非0常数乘除可以直接带入计算； B:乘除可换，加减忌换 （5）另外经常使用：ln M M e 进行等价替换
题型五
有界：,|()|M g x M
有界 （sin ,cos ,arcsin ,arccot ,x x x x 均有界）
识别不存在但有界的函数：sin
,cos
,,2e
5. 题型六：洛必达法则（极限题型六），见导数应用：洛必达法则
6. 题型七：洛必达法则（极限题型七），定积分，见上限变限积分
7. 题型三&题型四的综合 （二）极限的应用 1、单侧极限
（1）极限存在条件 0
lim ()
(0)
(0)x
x f x A
f x f x A 左左右右
（2）极限的连续性 0
00lim ()
()()x
x f x f x f x x x 即在连续
（3）间断点及分类（★难点）
把握两个问题：第一，如何找间断点 ；第二，间断点分类（难）。 A:间断点：定义域不能取值的内点
导数（坚守的阵地） （一） 导数定义
定义一 1、“陡”、“平”的形象叙述;
2、
00()'()
df x f x dx 唯一切线斜率（）;
3、00()()tan
f x x f x y x
x
;
4、0
000
()()'()
lim
x
f x x f x f x x
. 拓展：0
000()
()
lim
'()f x f x A
f x
,Ⅱ类
不存在，不能分类，求左右极限
注意：1）分段点求导，永远用定义！ 2）有连续性条件时可直接带入 定义二
1、乘法运算：()'
''uv u v
uv ()'
'''uvw u vw uv w uvw
2、除法运算：2
''
()'u u v uv v v
（四） 复合函数求导（核心内容★★★）
1、层次分析（如右“九字诀”,由外向内，“遇则则止”） 所谓的“则”是＋、-、×、÷
2、几点性质：
（1）公式()ln x '=1
x
，推广为：11(ln |
|)'
||
x x
x （2）形如：()()v x u x 利用公式ln M M e 等价替换
（3）奇偶性: ①()'y f x y 奇
偶 ②()'y
f x y 偶
奇
1、
基本知识 'dy
y dx 注意求的时候要加“d x ”.
2、 参数方程求导（考试重点）
参数方程、隐函数、变限积分、变限二重积分 ()x x t =
t 为中间变量
公式：''t t y dy dx
x 2
2(
)''
t t dy
d y dx dx
x 3、 符号型求导 ""f 层抽象符号层 4、
隐函数求导（必考）
题目一般形式是:(,)(,),f x y g x y =22d d ,.d d y y
x x
求
5、 对数法求导
巧用对数的性质，变形式子 （七） 导数的应用 1、切线与法线
切线斜率就是在该点的导数值 法线斜率×切线斜率=-1； 2、洛必达法则（极限题型六）（★）
单调性与极值求解
A ：单调性：
'0,;'0,.
y x I y y x I y >∈?↑<∈?↓
B ：单调性交界点→极值点（判据） C:极值点可疑点（'0&'y y =不存在☆）
D:渐近线 lim (),()lim ()()x x a
f x A y A y f x f x x a y f x →∞
→====∞==如果则是的水平渐近线；
如果，则是的垂直渐近线.
2）函数凹凸性与拐点 A ：
''0,;
''0,.
y x I y y x I y >∈?<∈?凹（）凸（）
B:凹凸性交界点且能取值→拐点 C ：拐点可疑点''0&''y y =不存在☆ 一般求解步骤：
（1） 求定义域、渐近线； （2） 计算',''y y ；
（3） 求'0,''0y y ==的点和使',''y y 不存在的点，设为123,,...x x x ； （4） 列表分析； （5） 得出结论.
4、函数最大值、最小值
比较：1）'()0,'f x f =?不存在极值可疑点； 2）端点 5、函数的实际应用
步骤：（1）合理做设，x 具有唯一性；
（2）(),y f x =建模；（关键点所在）
（3）令*'0,()y x x ==符合实际；
（4）“八字”，唯一驻点，即为所求。 三、多元微分学（20+） （一） 显函数一阶偏导数 '(,)x x u
u u x y x
?==?变常 （二）全微分
一元函数：(),d 'd y f x y y x == 此时，?可微可导 二元函数：(,),d d d .u u
u f x y u x y x y
??==+?? 此时，?可微偏导数存在，且连续 （三） (高)二阶偏导数
主要是求22u x ??2u x y ???2u y x ???22
u
y ??，分别定义为：
2222
2
2(),(),(),().u u u u u u
x x x x y x y u u u u u u
y x y x y y y
??????==?????????????==???????
（四） 二元隐函数求导 一阶：
''x z F z x F ?=-? ''y z
F z
y F ?=-? 二阶直接求 ：(,)z z x y = （五） 符号型求导（必考）
1．(),x
u y
??=为已知函数（第一类：“妈妈一元”函数）
2. (,2),u f xy x y f =-为已知函数（第二类）(重点★) 会画关系图
“求即变”：求哪个，哪个就是变量
【例题】 (,23),u f xy x y f =-已知.求2,,
.u u u
x y x y
???????
解：（1）画关系图
1
√ △ 2
√
△
（2）“九字诀”求解 四、 不定积分★ （一） 基本知识
1. 性质：[()d ]'();d[()d ]()d ;d ()()f x x f x f x x f x x F x F x C ===+??? 1、方法一 （1） 凑常数
公式：1
d d(),,x ax b a b a
=+均为常数
（2） 配方
见到一元二次方程敏感的想到配方法 （3） 拆分 公式：
11()()1[]()()()()()()
c ax b a cx
d c a
ax b cx d bc ad ax b cx d bc ad cx d ax b +-+=?=?-++-++-++
（4） 利用三角函数和差化积和积化和差公式积分
2、方法二——固定搭配 公式'()(())d x f x x x ???
3、方法三——分布积分 （1） 一般分布积分
框1 框2
公式：d d u v uv v u =-?? 关键：v 是什么
（
2）
特殊方程法积分法
积分时，对如下积分要特别注意：
2222
sin ln sin3d ,d ,d ,d ,sin d ,sin(ln )d ,cos4d 1
x x
x x x
e x x e x x x x x x x e x x x x +???
????等等 4、方法四——变量替换
（1） 一次项替换 如:x
2,t b
t x a
-==即.
（2） 二次项替换
（一） 定积分计算
公式 （牛顿-莱布尼兹公式）
主要思想是利用积分方法进行积分，然后“出来代值”计算 ；
2.变换——变限 111()
()
()
()
()d [()]'()d .b
b x t a
a t x f x x f t t t ??????---==????→←??????
（二） 定积分性质
1.（1）()d 0.a
a
f x x =? （2）()d ()d .a
b
b
a
f x x f x x =-??
2. d ,(()d )0.d b
a
a b f t t x =?若为常数，
3. 更名：()d ()d ()d .b
b
b
a
a
a
f x x f t t f ==???
4. 拆分：()d ()d ()d .b c b
a
a
c
f x x f x x f x x =+???
v 的优先级方向
高
积分性质的运用：
（1） 分段函数的定积分 （2） 函绝对值积分
（3） 三角函数积分（实质是判断三角函数符号进行拆分积分运算） 5.若()f x 为奇函数，则()d 0.a
a f x x -=?
★这一性质十分重要，特别是见到对称限时要想到这一性质。 6.变限积分
涉及到求极限七大题型的最后一种题型，即题型七
（1）()()d x
a
g x f t t =? (()d )'()x
x a
f t t f x =? ★记住：与x 没有关系
推广：2()
1()
2211(()d )'(())'()(())'().x x x f t t f x x f x x ??????=-?
上限带入乘上限求导-下限带入乘下限求导 (2)洛必达法则 （极限题型七） 7广义积分 三种形式：（1）()d a
f x x +∞?
；（2）()d a
f x x -∞
?
；（3）()d f x x +∞
-∞
?
.
解：定义：()d u u a F f x x =? 原
式=lim u u u F →+∞→-∞
=
A （有限） 收敛
∞或不存在 发散
（三） 定积分应用
一般出现在综合题的最后一题，题型仅有两种：第一，求面积；第二求旋转体体积（绕,x y 轴轴） 1. 面积
21[()()]d b
a
S x x x ??=-?阴影 *x 积分
2. 旋转体体积
（1）“坐在x 轴上”
（2）“坐在y 轴上”
（四） 二重积分 1. 累次积分 公式：2211()
()
()
()
d (,)d [(,)d ]d b
x b
x a x a
x x f x y y f x y y x ????=??
??
2. 二重积分的计算
直角坐标系的几何意义： 3. 二重积分改变次序
记住一些不能正序积分的函数：2
2sin 1ln ,
,sin ,sin ,, (1)
Ax x x
e x x x x + 思路:原累次积分??
?→还原二重积分?????→改变定限方向
新累次积分 21[()()]d d
c
S y y y ??=
-?
阴影 *y 积分
4. 极坐标
主要是圆的思想，注意画图，特别注意上限和下限！
六、 常微分方程（ODE ） （一） 分离变量法 1. 标准型
'()()y H x G y =?
步骤：①
d d ()()()d d ()y y H x G y H x x x G y =??=??
2. 变化型 '()y
y f x =
核心：令y
u x
=
（二） 一阶线性ODE （重点）
1.标准型：'()()y p x y q x +=，关键是找到()p x 、()q x ；
2.
常数变量法：()d ()d (()d )p x x p x x
y q x e x C e -??=+?? 做题步骤：
（1） 找到()p x 、()q x ；
（2） ()d p x x
?
，计算()d p x x
e ?
，()d p x x
e -?；
（3） 带入公式()d ()d (()d )p x x p x x
y q x e x C e -??=+??（三） 三大题型
题型1：贝努里方程（Bernoulli ）
'()()n y p x y q x y +=→1'()()n n y y p x y q x --?+=，即1d ()()d n n y
y p x y q x x
--?
+= 题型2：积分方程 特定条件'(0)0.y =
Jacobi 因子
一次 +号
无
y
||，不要“| |
【例题】0
()()()d ,().x f x f x f t t x f x 满足下列方程：求
解：令0
()
()d x y x f t t ，则()
'()f x y x
原式即为：'()()
y x y x x
整理之：()d ()d (()d )p x x
p x x
y q x e x C e -??=+??=…
题型3：二阶线性ODE （1） 齐次方程（''
'0()y py qy p q 、为常数） 特性方程即：
2
120,.p
q
解出、 （补充：
2
4b
b ac
）
，12
、 为互异实根
，12
=
，
(
0)i
（2） 非齐次方程
标准型：''
'(()cos ()sin )x m n y py qy
e P x x
Q x x ,m n 为幂次.
关键是读参数：,,,,,,.m n u k l 求解过程：
'''y py qy =()f x
1）'''0y py qy
2
0p
q
解出12;.y 、得
2)读参数,,,m n .()f x
可设特解方程：*
(()cos ()sin )k x l l y x e P x x
Q x x
代入*,y y 原方程，确定系数 3）*.y
y
y
【例题】2'''23.x y y y e 解常微分方程：
解：①2'''23x y y y
e
'''2y y y =0，即1
2
____________0___,
___;，
②23x e =2x e （__________） （草稿纸上做） *
12(cos(0)
sin(0))x y x e A x B x =2x Axe （草稿纸上做）
将*y 带入'''2y y y =0，解出系数__________.A
③*
__________
___________.y y
y
七、 级数 （一） 定义
1.0120
......n n n a a a a a +∞
=+++++=∑
2.n S =012...n a a a a ++++
3.收敛的必要条件?lim 0n n a →∞
=
第一部分 (0)n n a a ≥∑ 判别图
S 有限 收敛
∞或不存在
发散
N
第二部分 交错级数 (1)n n a -∑ （1）
（2的判别
注：1）
||n n b b 收敛收敛，且为绝对收敛.
2）
||n n b b 发散可能收敛（为绝对收敛），也可能发散.
识别过程：
（3）级数的几点性质 第三部分 幂级数 1.收敛域和收敛半径
00
()n n n a x
x
____;______.n a x （中心点或展开点）
2.幂级数的展开 1）公式1：1
,;!
n
x
n x e
x
n 2）公式2
：
1,(||1)1n n x x x
；
1(1),(||1)1
n n n x x x
3）逐项微分，逐项积分
00(
())d (
()d )x x n
n n n x x a x x x
a x
x x
八、 空间解析几何 （一） 矢量运算 1. 矢量的内积
（1）123123{,,}a i j k =++=a a a a a a 21||a =+a a （2）内积：112233||||cos a b a b a b a b a b θ?==++ (3)0a b a b
⊥??= 2. 矢量的叉积
+ - +
1lim |
|n
n
n a R
a 如0
(,)x R x
R 收敛，
.
R
带入原级数找解，看能否取到
（1）12
3123
i j k a b a a a b b b ?= （2）
（3）12212121{,,}M M x x y y r r =--- （二） 平面方程
1.点法式：00n MM ?= 000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=
例如：2350,{_,_,_}x y z n ++== 2.直线
标准型(点斜式)
九、 证明题综述（18+） （一） 介值定理（零点定理） 定理条件： （1）[()[,]f x a b ∈（2）()()f a f b <注意： 1.
2.解题要点：A ：()f x 是什么 B:[,]a b 是什么
3.解答过程要规范，工整. （二） 罗尔定理（Roller ） 定理条件： （1）[()[,]f x a b ∈
（2）()(,)f x a b 在可导 （3）()()f a f b =
题型解释：
1.一般是证明“必有一个正根或负根”
解题步骤：A:利用介值定理证明根的存在性； B:利用反证法，证明根的唯一性。 2.证明某表达式的零点在什么之间
例如： （1）()(,)f x -∞+∞在可导，证明()'()()f x f x f x +的两零点之间必有的零点.
1.()()0,,;f a f b a b ξ∨==
2.()()0,(,).f a f b a b ξ<∈
O
（2）()(,)f x -∞+∞在可导，证明在f(x)两零点之间存在ξ，使得
'()()()'()0f g f g ξξξξ+=.
对于这种题型的解答，注意构造一个适当的函数，这是解决此类问题的关键所在 下面是一些常用的构造函数：
（1） 求'()()f x Rf x +，构造为：()()Rx F x e f x = （2） 求'()()xf x f x +，构造为：()()F x xf x =
（3） 求'()()()'()f x g x f x g x +，构造为:()()()F x f x g x = （4） 求'()()()'()f x g x f x g x -，构造为：()
()()
f x F x
g x =
（5） 求'()()'()f x f x g x +，构造为：()()()g x F x e f x =等等 （三） 拉格朗日（LaGrange ）中值定理 定理条件：
（1）[()[,]f x a b ∈
（2）()(,)f x a b 在可导
一般出现在填空题：.....求拉格朗日定理中的ξ= ； （四） 证明不等式
此类证明主要利用函数的单调性 一般步骤：
令()()(F x f x g =-
∴原不等式成立
（五） 主要是变换．．
的思想1、__a a a
a
--=?? 或 0
__=??