新课标高中数学必修一至必修五知识点总结可直接打印版

高中数学常用公式及结论大全(新课标)

必修1

②偶次方根的被开方数大于或等于零；如:y5x,则5x0 1、集合的含义与表示

③对数的底数大于０且不等于１；:ylog a (x2),则a0且a1 如

一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。它具有三大特性：确定性、互异性、无序性。

集合的表示有列举法、描述法。

④对数的真数大于０；:ylog(x2),x20

如a 则

描述法格式为：{元素|元素的特征}，例如{x |x5,且xN} ⑤指数为０的底不能为零；

x 如:y(m1),则m10 2、常用数集及其表示方法

（1）自然数集N （又称非负整数集）：0、1、2、3、,,（2）正整数集N *

或N +：1、2、3、,, 11、函数的奇偶性（在整个定义域内考虑）

（3）整数集Z ：-2、-1、0、1、,,（4）有理数集Q ：包含分数、整数、有限小数等 （1）奇函数满足f (x)f(x)，奇函数的图象关于原点对称； （5）实数集R ：全体实数的集合（6）空集Ф：不含任何元素的集合 3、元素与集合的关系：属于∈，不属于

（2）偶函数满足f (x)f(x)，偶函数的图象关于y 轴对称；

例如：a 是集合A 的元素，就说

a 属于A ，记作a ∈A

注：①具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称;②若奇函数在原点有定义,则f(0)0

4、集合与集合的关系：子集、真子集、相等

③根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 （1）子集的概念

如果集合A 中的每一个元素都是集合B 中的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集(如 图1)，记作AB 或BA.

若集合P 中存在元素不是集合Q 的元素，那么P 不包含于Q ，记作PQ BAA,B 或 (图1)

12、函数的单调性（在定义域的某个区间内考虑）

当

x 1x 时，都有f(x 1)f(x 2)，则f(x)在该区间上是增函数，图象从左到右上升； 2

（2）真子集的概念

若集合A 是集合B 的子集，且B 中至少有一个元素不属于A,那么集合A 叫做 当 x 1x 时，都有f(x 1)f(x 2)，则f(x)在该区间上是减函数，图象从左到右

下降。

2

B A

函数

f(x)在某区间上是增函数或减函数，那么说f (x)在该区间具有单调性，该区间叫做单调（增/减）区间

集合B 的真子集(如图2).AB 或BA.

（3）集合相等：若集合A 中的元素与集合B 中的元素完全相同则称集合A 等于集合B,记作A=B. AB,BAAB

(图2)

13、一元二次方程 20 axbxc(a0)

5、重要结论（1）传递性：若AB ，BC ，则AC （2）空Ф集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集. n

6、含有n 个元素的集合,它的子集个数共有2

子集有2n

–2个.

n

个；真子集有2

2

–1个；非空子集有

–1个(即不计空集)；非空的真

2 bb4ac

2

x 1（2）判别式：b4ac

（1）求根公式:

,2

2a （3）0时方程有两个不等实根；0时方程有一个实根；0时方程无实根。

7、集合的运算：交集、并集、补集 （1）一般地，由所有属于A 又属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集． 记作A ∩B （读作＂A 交B ＂），即A ∩B=｛x|x ∈A ，且x ∈B ｝．

AB

（4）根与系数的关系——韦达定理: b

x 1x 2， a

x 1x 2

c a

（2）一般地，对于给定的两个集合A,B 把它们所有的元素并在一起所组成的集合, 叫做A,B 的并集．记作A ∪B （读作＂A 并B ＂），即A ∪B=｛x|x ∈A ，或x ∈B ｝．

AB

2(a 0)；两根式()()

14、二次函数：一般式yaxbxc

yaxx 1xx(a 0)

2

（3）若A是全集U的子集，由U中不属于A的元素构成的集合，

叫做A在U中的补集，记作C U A,C U Ax|xU,且xA C U A

A

（1）顶点坐

标

为

2

b4acb

(,)

2a4a

；（2）对称轴方程为：

x=

b

2a

；

y

x

注：讨论集合的情况时，不要发

遗忘了A的情况。

8、映射观点下的函数概念（3）当a0时，图象是开口向上的抛物线，在x=

b

2a

处取得最

小值

4ac

4a

2

b

如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C（CB）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y是x的函

数”，

有时简记作函数f(x). 当a0时，图象是开口向下的抛物线，在x=

b

2a

处取得最

大值

4ac

4a

b

2

9、分段函数：在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。如y

2x

2

x

1

3

x

x

（4）二次函数图象与x轴的交点个数和判别式的关系：

0时，有两个交点；0时，有一个交点（即顶点）；0时，无交点。

15、函数的零点

10、求函数的定义域的原则：（解决任何函数问题，必须要考虑其定义域）

1

①分式的分母不为零；,10

如:y则x

x1

2

使f(x)0的实数

x叫做函数的零点。例如x01是函数f(x)x1的一个零点。

注：函数yfx有零点函数yfx的图象与x轴有交点方程fx0有实根

16、函数零点的判定：

1

如果函数yfx在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0。那么，函数yfx在

M

(1)log a(MN)log a Mlog a N(2)log a log a log a

MN

N

;

区间a,b内有零点，即存在ca,b,使得fc0。n

(3)log a Mnlog a M(nR)（注意公式的逆用）17、分数指数幂

（a0,m,nN，且

n1）（1）m

nm n

aa.如

3x

x；

n

11

m

n

a

（4）当n为奇数时，n a n a；当n为偶数时，

nna,a0

a|a|

a,a0

.

n aa

；n

；（3）()

log

N

m

(a0,且a1,m0,且m1,N0).

25、对数的换底公式

logN

a

log

m

a

1

loga

b

n

n

；②logblogb

ma

a

m

.

推论①或log

a

b

26、对数函数ylog a x（a0，且a1）：其中，x是自变量，a叫做底数，定义域是(0,)

18、有理指数幂的运算性质（a0,r,sQ）a10a1

（1）

ra s as

r

a；（2）

ra rs

s

(a)；（3）

(ab) ra r b r图像

y x

19、指数函数

yaa0a1（且），

其中x是自变量，a叫做底数，定义域是R 图

象

y

1

a10a1

y

x

1

x

001

1

x

定义域：(0,∞)

值域：R性质

x

过定点（1，0）（1）定义域：R0

增函数减函数性

质

（2）值域：（0，+∞）

（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1 取值范围

0

x>1时，y>0

0

y>0

x>1时，

y<0 （4）在R上是增函数（4）在R上是减函数

b

20、若aN ，则叫做以为底N的对数。记作：log a Nb（a0,a1，N0）27、指数函

数

x

ya与对数函数ylog a x互为反函数；它们图象关于直线yx对称.

其中，a叫做对数的底数，N叫做对数的真数。

b

注：指数式与对数式的互化公式：log a NbaN(a0,a1,N0)

1

28、幂函数yx（R），其中x是自变量。要求掌握,1,2,3

1,这五种情况(如下图)

2

29、幂函数yx的性质及图象变化规律：

21、对数的性质（Ⅰ）所有幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；

（1）零和负数没有对数，即log a N中N0；（Ⅱ）当0时，幂函数的图象都通过原点，并且在区间[0,)上是增函数．

（Ⅲ）当0时，幂函数的图象在区间(0,)上是减函数．

（2）1的对数等于0，即log10

a；底数的对数等于1，即loga1

a

3

2 yx

3

2

y

2

x 2

y

3

x

22、常用对数lgN：以10为底的对数叫做常用对数，记为：log10NlgN

自然对数lnN：以e(e=2.71828,)为底的对数叫做自然对数，记为：log e NlnN

1 1

-22

1

-1

-2

1

1

-22

1

yx

1 1

-22

1

-1

-2

yx

1

logN 23、对数恒等式：aaN -1

-3

24、对数的运算性质（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）

2

WOED 格式

必修2

40、直线的斜率：

30、边长为a的等边三角形面积S

正

3

4

2

a

(1)过Ax

1,y,Bx,y两点的直线，斜率

122

yy

21

k，（x1x2）

xx

21

1

31、柱体体积：V柱＝S底h，锥体体积：锥＝Sh

V球表面积公式：

底

3

32、四个公理：

2

S球4R，球体积公式：V

4

3

3

R

（2）已知倾斜角为的直线，斜率ktan（90)

（3）曲线yf(x)在点（,)

x0y处的切线，其斜率kf(x)

00

①如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

②过不在一条直线上的三点，有且仅有一个平面。

41、直线位置关系：已知两直线l1:yk1xb1,l2:yk2xb2，则

③如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条过该点的公共直线。l1//l2k1k2且b1b2l1l2k1k21

④平行于同一直线的两条直线平行（平行的传递性）。特殊情况：

（1）当k1,k都不存在时，l1//l2；（2）当k1不存在而k20时，l1l2 2

33、等角定理：

空间中如果两个角的两边对应平行，那么这两个角相等或互补(如图) 123 42、直线的五种方程：

①点斜

式

y y1k(xx1)(直线l过点(x1,y1)，斜率为k)．

34、两条直线的位置关系：

直线与平面的位置

关系：

平

行

共面直

线

相

交

异面直

线

：（在同一平面内，没有公共点）

：（在同一平面内，有一个公共点）

：（不同在任何一个平面内的两条直线，没有公共点）

②斜截式().ykxblybk直

线在轴上的截距为，斜

率为

yyxx

③两点式11

yyxx

2121

(直线过两点(,)

x1y与(x2,y2)).

1

（1）直线在平面上；（2）直线在平面外（包括直线与平面平行，直线与平面相交）两个平面的位置关系：（1）两个平面平行；（2）两个平面相交

xy

④截距式1

（a,b分别是直线在x轴和y轴上的截距，

均不为0）

ab

35、直线与平面平行：

定义一条直线与一个平面没有公共点，则这条直线与这个平面平行。⑤一般式AxByC0(其中A、B不同时为0)；可化为斜截

式：

y

A

B

x

C

B

判定平面外一条直线与此平面内的一直线平行，则该直线与此平面平行。

性质一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。43、（1）平面上两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离公式：|AB|=

22

(x1x)(yy)

212

36、平面与平面平行：

定义两个平面没有公共点，则这两平面平行。（2）空间两点(,,),(,,)

Ax1yzBxyz距离公式|AB|=

11222

222

(x1x)(yy)(zz)

21212

判定若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。性质①如果两个平面平行，则其中一个面内的任一直线与另一个平面平行。

②如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们交线平行。

|AxByC|

（3）点到直线的距离00

d

22

AB

(点P(x0,y0)，直线l：AxByC0).

37、直线与平面垂直：

定义如果一条直线与一个平面内的任一直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直。判定一条直线与一个平面内的两相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。44、两条平行直线Ax0与A x ByC20间的距离公式：

ByC

1

d

C

1

2

A

C

2

2

B

性质①垂直于同一平面的两条直线平行。注：求直线A x ByC0的平行线，可设平行线为A x Bym0

，求出m即得。

②两平行直线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直。

38、平面与平面垂直：

定义两个平行相交，如果它们所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直。45、求两相交直线A1xB1yC10与A2xB2yC20的交点：解方程组 A

A

x

1

2

x

By

1

By

2

C

1

C

2

0 46、圆的方程：

判定一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

性质两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。①圆的标准方

程

222

(xa)(yb)r.其中圆心为(a,b)，半径为r

39、三角形的五“心”

（1）O为ABC的外心（各边垂直平分线的交点）.外心到三个顶点的距离相等②圆的一般方

程

220 xyDxEyF.

（2）O为ABC的重心（各边中线的交点）.重心将中线分成2：1的两段（3）O为ABC的垂心（各边高的交点）.

（4）O为ABC的内心（各内角平分线的交点）.内心到三边的距离相等（5）O为ABC的A的旁心（各外角平分线的交点）.

2

E

2

F

D

4

r

，

其

中

2

DE

其中圆心为)

(,

，半

径为

22

2(

)

22

(

x

a)

yb

r

位

置

关

系

47、直线AxByC0与圆的

其中d是圆心到直线的距

离，且

224

DEF＞0

3

（1）dr相离0;

1

平均数：xx1x2x n

n

方

差:

2

s=

1

n

2222

[(xx)(xx)(xx)(x n x)]

123

（2）dr相切0;（3）dr相交0.标准

差：

1

222

sxxxxnx注：通过标准差或方差可以判断一组数据的分散程度；其

x

12

n

48、直线与圆相交于A(x1,y),B(x,y)两点，求弦AB长度的公式：（1）

122

2

|AB|2rd

2值越小，数据越集中；其值越大，

数据越分散。

n

2()24

（2）

|AB|1kxxxx（结合韦达定理使用），其中k是直线的斜率

1212

49、两个圆的位置关系：设两圆的圆心分别为O1，O2，

半径分别为r 2，O1O2d

1，r 回归直线方程：y?b xa，其中 b i

i

x

y

nxy

i

i

1，aybx

n

22

xnx

i

1

1）d1r外离4条公切线;2）dr1r2外切3条公切线;

r

2 55、事件的分类：

3）r1rdrr相交2条公切线;4）dr1r2内切1条公切线;

212 （1）必然事件：必然事件是每次试验都一定出现的事件。P （必然事件）=1

5）0drr内含无公切线

12

（2）不可能事件：任何一次试验都不可能出现的事件称为不可能事件。P

（不可能事件）=0

（3）随机事件：随机试验的每一种结果或随机现象的每一种表现称作随

机事件，简称为事件

必修③公式表

基本事件：一个事件如果不能再被分解为两个或两个以上事件，称作基本事件。

50、算法：是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限

56、在n次重复实验中，事件A发生的次数为m，则事件A发生的频率为m/n，当n很大时，m总是在某个常数值附近摆

步之内完成.

动，就把这个常数叫做事件A的概率。（概率范围：0PA1）

51、程序框图及结构

57、互斥事件概念：在一次随机事件中，不可能同时发

生的两个事件，叫做互斥事件（如图1）。

程序框名称功能

如果事件A、B是互斥事件，则P（A+B）=P（A）+P

（B）

表示一个算法的起始和结束

起止框58、对立事件（如图2）：指两个事件不可能同时发生，但必有一个发生。

对立事件性质：P（A）+P（A）=1，其中A表示事件A的对立事

件。

表示一个算法输入和输出的信息

输入、输出59、古典概型是最简单的随机试验模型，古典概型有两个特征：

框

（1）基本事件个数是有限的；

（2）各基本事件的出现是等可能的，即它们发生的概率相同．

赋值、计算

处理框

60、设一试验有n个等可能的基本事件，而事件A恰包含其中的m个基本事件，则事件A的概率P(A)公

式为

判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”

A

包含的基本事件的个

数

PA=

基本事件的总数

判断框

m

52、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。运用互斥事件的概率加法公式时，首先要判断它们是否互斥，再由随机事件的概率公式分别求它们的概率，然后计算。在

n

计算某些事件的概率较复杂时，可转而先示对立事件的概率。

53、三种抽样方法的区别与联系

类别共同点各自特点相互联系适用范围61、几何概型的概率

公式：PA

构成事件

A

的区域长度

区域长

度

试验的全部结果构成的

)

简单随机抽样从总体中逐个抽取总体中个体数较少

必修④公式表

62、终边相同角构成的集合：|2k,kZ

各层抽样可采用简

分层

将总体分成几层进

总体有差异明显的几部分

抽取过程中

单随机抽样或系统

l

63、弧度计算公式：

r

抽样

行抽取

组成

每个个体被抽

抽样

将总体平均分成几

取的概率相等

11

2

64、扇形面积公式：lrr

S(为弧度)

22

65、三角函数的定义：已知Px,y是的终边上除原点外的任

一点

部分，按事先确定的

在起始部分抽样时

系统抽样

总体中的个体较多

规则分别在各部分抽

采用简单随机抽样

取

)

r

l

P(x,y)

54、（1）频率分布直方图（注意其纵坐标是“频率/组距）

极差组数，组距

频数

频率，

样本容量

yxy

sin，cos，tan,其中

rrx

则

66、三角函数值的符号

r 2xy

2

2

r

)

x

y 频率

小矩形面积。

组距频率

组距+++

——

+

（2）数字特征众数：一组数据中，出现次数最多的数。

中位数：一组数从小到大排列，最中间的那个数（若最中间有两个数，则取其平均数）。———++—

sinvcostan

4

67、特殊角的三角函数值：74、正弦定理：在一个三角形中，各边与对应角正弦的比相等。

6432 2

3

3

4

53

62

a

si

n

A

b

si

n

B

c

si

n

C

2R

(R是三角形外接圆

半径)

1 sin0

2

cos13

2

tan03

3

2

2

2

13

2

3

2

1

0-

不存

在

3

2

1

2

-

3

-

2

2

2

-

2

-1-

1

2

3

2

3

3

0-1

-10

不存

在

75、余弦定

理：

2

c

2b

c

2

a

2c

a

2

b

2a

b

2

2

2

b

a

a

b

c

2

a

2

b c

2

2bccosA, 2cacosB, 2abcosC.

cos A

cos B

coC s

,

,

.

2

b

2

c

2

c

2

a

2

2

a

b

111

76、三角形

的面积公

式：

SABCabsinCa

csinBbcsinA

.

222

sin

22

68、同角三角函数的关系：sincos1,tan

cos

69、和角与差角公式：二倍角公式：

sin()sincoscossin;sin22sincos

cos()coscossinsin; 2sin12sin2

22

cos2cos2cos1

tan()

tantan

1tantan

.tan2 2tan 2

1tan

77、三角函数的图象与性质和性质

三角函数ysinxycosxytanx

y

1

y

图象

yx

1

x

-202

3

-2

-02

2

-1

2

2

-12

定义域(,)(,))

(k,k

22

值域[-1，1][-1，1](,)

x

70、诱导公式记忆口诀：奇变偶不变,符号看象限；其中，奇偶是指

sin2ksinsinsinsin 2

的个数,符号参考第

66条.

sinsin

sin

最大值x2k

2

，y max1x2k，y max1

cos 2

k 2k

cos tan

cos tan x2k

2

y

min

1

周

期

22

cos

tan

cos

tan

cos

ta

n

cos

tan

cos

tan

tan

sin()coscos()sinsin()coscos()sin

2222

71、辅助角公式：asinbcos=a2b2sin()(辅助角所在象限与点(a,b)的象限相同,且奇偶性奇函数偶函数奇函数

tan b

a

).主要在求周期、单调性、最值时运用。如y3sinxcosx2sin(x)

6 单调性

在2]

[2k,k

22

上是增函数

在[2k,2k]

上是增函数

在2)

(k,k

22

上都是增函数1

cos

2

1

2

2

72、半角公式(降幂公式)：

sin

cos

，

2

2 73、三角函数yAsin(x)的性质（A0,0）cos

2

k Z 3

在2]

[2k,k

22

上是减函数

在[2k,2k]

上是减函数

（1）最小正周期

2

T；振幅为A；频率 f

1

T

；相位：x；初相：；值域：[A,A]；

78、向量的三角形法则：79、向量的平行四边形法则：

解得x；对称中心：由xk解得x组成的点(x,0) 对称轴：由xk

2

（2）图象平移：x左加右减、y上加下减。

例如：向左平移1个单位，解析式变为yAsin[(x1)] a+b

a

b

b

a

b-a

ba+b

a

向下平移3个单位，解析式变为yAsin(x)3 80、平面向量的坐标运算:设

向量a= (x,y),向量

b=

11

(x,y)

22

（3）函数ytan(x)的最小正周期T. （1）加法

a+b= (x x,yy).（2）减法a-b=(x1x2,y1y2).

1212

5

（3）数乘a=(1,y)(x,y)

x

111

④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；（4）数量积a·b=|a||b|cosθ=x1x2y1y2，其中是这两个向量的夹角nn

⑥ab0,cd0acbd；⑦ab0abn,n1；

(x,y)，B(x,y)，则向量（5）已知两点A

1122 A BOBOA(x x,yy).

2121

nn

⑧ab0abn,n1．

81、向量a=(x,y)的模：|a|=(a)2aax2y2，即

2

2

|a|a

88、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：

判别式24

bac000

82、两向量的夹角公式cos

a b

xxyy

1212

2222

abxyxy

1122

2

yaxbxc

二次函数

a0的图象

83、向量的平行与垂直（b0）a= (x,y)

,b=(x2,y2)

11

有两个相异实数根

x1y2x2y10.(2)aba·b=0x1x2y1y20.

(1)a||bb=λa

84n、数列前项和与通项公式

的关系:

必修⑤公式表一元二次

方程

a0的根

20

axbxc x

1

,

2

x

x

12

2a

有两个相等实

数根

b

xx

122

a

没有实数根

S

1

S

n

85、等差、等比数列公式对比

20

axbxc

b

2a

xxx或xx

12

xxxx

12

xx

R a0

一元二

次不

等式的

解集

20

axbxc

a0

89、线性约束条件：由x，y的不等式（或方程）组成的不等式组，是x，y的线性约束条件．

目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式．

通项公式及推

a n11

and 广公式aanmd

nm a

n

a

n

n1

aq

1

nm

aq

m

线性目标函数：目标函数为x，y的一次解析式．

线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的

最大值或最小值问题．

中项公式若a,A,b成等差，则ab

2

A

若a,G,b成等

比，则

2

Gab

可行解：满足线性约束条件的解x,y．可行域：所有可行解组

成的集合．

最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．

若mnpq2r，则若mnpq2r，则

2

aaaaa

nmpqr

na

1

q Sn

a1aq

－n

，

qa

11n

q

1q1q

运算性质

前n项和

公式

一个性质

ab

90、设a、b是两个正数，

则

92、常用的基本不等

式：

①

称为正数a、b的算术平

均数，ab称为正数a、b

的几何平均数．

2

2

91、均值不等式定理：若a0，b0，则ab2ab，即

22

ab

aba,bR；

2

222,

aaaa2a nmpqr

S n n a 1 2

a n

1,

na 1 n n 2

1 d

1.

S,S S,S S 成等差数列S m ,S 2m S m ,S 3m S 2m 成等比数列 m2mm3m2m

86、ab0ab ；ab0ab ；ab0ab ．

比较两个数的大小可以用相减法；相除法；平方法；开方法；倒数法等等。 abababR ；②

2

22 abab

2

ab

aba0,b0；④ a,bR ． 22

③

2

93、极值定理：设

x 、y 都为正数，则有

s 4

⑴若xys （和为定值），则当xy 时，积xy 取得最大值

87、不等式的性质：①abba ；②ab,bcac ；③abacbc ；

⑵若xyp （积为定值），则当xy 时，和xy 取得最小值2p ． 6

高中数学必修五知识点总结及例题学习资料

高中数学必修5知识点 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径， 则有 2sin sin sin a b c R A B C ===． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；（边化角） ②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R =；（角化边） ③::sin :sin :sin a b c A B C =； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c A B C A B C ++=== ++． 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc A ab C ac B ?AB ===． 4、余弦定理：在C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc A =+-， 2222cos b a c ac B =+-， 2222cos c a b ab C =+-． 5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222 cos 2a b c C ab +-=． 6、设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边， 则：①若222 a b c +=，则90C =；（.C A B C ?? 为直角为直角三角形） ②若2 2 2 a b c +>，则90C <；（.C A B C ??为锐角不一定是锐角三角形） ③若2 2 2 a b c +<，则90C >．（.C A B C ?? 为钝角为钝角三角形） 注：在C ?AB 中，则有 （1）A B C π++=，sin 0,sin 0,sin 0A B C >>>（正弦值都大于0） （2）,,.a b c a c b b c a +>+>+>（两边之和大于第三边） （3）sin sin A B A B a b >?>?>（大角对大边，大边对大角） 7、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．10n n a a +-> 8、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．10n n a a +-< 9、常数列：各项相等的数列．11,.n n a a S na == 10、数列的通项公式：表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式． 11、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式． 12、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．11()n n n n a a d a a d -+-=-= 13、由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项．若2 a c b += ，则

高中数学必修五知识点详细解答附答案

姓名____________ 20XX 年____月_____日 第___次课 正、余弦定理 一。知识回顾：在初中我们知道：（1）在三角形中，大边对大角、大角对大边的边角关系； （2）在直角三角形中，sinA= a c ,sinB= b c ?c=sin a A ,c=sin b B ? sin a A =sin b B ,又Q sinC=1?sin a A =sin b B =sin c C 二。学习提纲： <一>.正弦定理： （1）概念：在一个三角形中，各边与它所对应角的正弦比相等，即： sin a A =sin b B =sin c C （2）证明： j r C ①几何证明法：（略，同学们自己证明） ②向量证明： 证明：（如图）当?ABC 为锐角三角形时， A B 过A 作单位向量j r ⊥AB u u u r ,则j r 与AB u u u r 的夹角为2π，j r 与BC uuu r 的夹角为2π-B ，j r 与CA u u u r 的夹角为2π +A ； 设AB=a,BC=c,AC=b. Q AB u u u r +BC uuu r +CA u u u r =0r ,∴j r g (AB u u u r +BC uuu r +CA u u u r )=j r g 0r ∴j r g AB u u u r +j r g BC uuu r +j r g CA u u u r =0 ∴|j r |g |AB u u u r |g cos 2π+|j r |g |BC uuu r |g cos(2π-B )+|j r |g |CA u u u r |g cos 2 π +A )=0 ∴asinB=bsinA,即：sin a A =sin b B 同理可得：sin b B =sin c C ，故：sin a A =sin b B =sin c C 当?ABC 为钝角三角形或直角三角形时，同样可证明得到：sin a A =sin b B =sin c C （3）正弦定理的变形： ①asinB=bsinA; csinB=bsinC; asinC=csinA; ②a ：b:c=sinA:sinB:sinC ③ sin a A =sin b B =sin c C =2R （R 为?ABC 外接圆的半径） ?a=2RsinA; b=2RsinB; c=2RsinC ? sinA=2a R sinB=2b R sinC=2c R （二）余弦定理： （1）概念：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与他们的夹角的余弦的积的两倍，即： 2 a =2 b +2 c -2bccosA; 2 b =2 a +2 c -2accosB; 2 c =2 a +2 b -2abcosC 变形：2 sin A=2 sin B+2 sin C-2sinBsinCcosA 2 sin B=2 sin A+2 sin C-2sinAsinCcosB 2 sin C=2 sin A+2 sin B-2sinAsinBcosC 求角：cosA=2222bc b c a +- , cosB=2222c a c b a +-, cosC=222b 2a c ab +- 变形:cosA=222sin sin sin 2sin sin A B C A B +-,cosB=222sin sin sin 2sin sin A C B A C +-,cosC=222sin sin sin 2sin sin A B C A B +- (2)勾股定理：2 c =2a +2b 推广：A 为锐角→222a b c <+；A 为直角→222a b c =+；A 为钝角→222 a b c >+ （3）三角形的面积公式： ①ABC S ?=12ah ②ABC S ?=12absinC=12bcsinA=1 2 acsinB ③ABC S ?(p=12(a+b+c) ④ABC S ?=4abc R (4)对于任意的三角形，都有：sinA>0

人教版高中数学必修一至必修五知识点总结大全

高中数学必修一常用公式及结论归纳总结 1、集合的含义与表示 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。它具有三大特性：确定性、互异性、无序性。集合的表示有列举法、描述法。 描述法格式为：{元素|元素的特征}，例如},5|{N x x x ∈<且 2、常用数集及其表示方法 （1）自然数集N （又称非负整数集）：0、1、2、3、…… （2）正整数集N * 或N + ：1、2、3、…… （3）整数集Z ：-2、-1、0、1、…… （4）有理数集Q ：包含分数、整数、有限小数等 （5）实数集R ：全体实数的集合 （6）空集Ф：不含任何元素的集合 3、元素与集合的关系：属于∈，不属于? 例如：a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A 4、集合与集合的关系：子集、真子集、相等 （1）子集的概念 如果集合A 中的每一个元素都是集合B 中的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集(如图1)，记作 B A ?或A B ?. 若集合P 中存在元素不是集合Q 的元素，那么P 不包含于Q ， 记作Q P ? （2）真子集的概念 若集合A 是集合B 的子集，且B 中至少有一个元素不属于A,那么集合A (如图2). A ≠?B 或B ≠?A . （3）集合相等：若集合A 中的元素与集合B 中的元素完全相同则称集合A 等于集合B,记作A=B. 5、重要结论（1）传递性：若B A ? ，C B ?，则C A ? （2 ）空Ф集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集. 6、含有n 个元素的集合,它的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个(即不计空集)；非空的真子集有2n –2个. 7、集合的运算：交集、并集、补集 （1）一般地，由所有属于A 又属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集． 记作A ∩B （读作＂A 交B ＂），即A ∩B=｛x|x ∈A ，且x ∈B ｝． （2）一般地，对于给定的两个集合A,B 记作A ∪B （读作＂A 并B ＂），即A ∪B=｛x|x ∈A ，或x ∈B ｝． 图1) 或 (图2)

高中数学必修五 知识点总结【经典】

《必修五 知识点总结》 第一章：解三角形知识要点 一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为C ?AB 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB = A == B ． 4、余弦定理：在 C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，推论：bc a c b A 2cos 2 22-+= B ac c a b cos 2222-+=，推论： C ab b a c cos 22 2 2 -+=，推论：ab c b a C 2cos 2 22-+= 二、解三角形 处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度（几何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解 1、三角形中的边角关系 （1）三角形内角和等于180°； （2）三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； ac b c a B 2cos 2 22-+=

（3）三角形中大边对大角，小边对小角； （4）正弦定理中,a =2R ·sin A , b =2R ·sin B , c =2R ·sin C ，其中R 是△ABC 外接圆半径. （5）在余弦定理中:2bc cos A =222a c b -+. （6）三角形的面积公式有:S = 21ah , S =21ab sin C=21bc sin A=2 1 ac sinB , S =))(()(c P b P a P P --?-其中，h 是BC 边上高，P 是半周长. 2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形 （1）已知两角及一边，求其它边角，常选用正弦定理. （2）已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用正弦定理. （3）已知三边，求三个角，常选用余弦定理. （4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦定理. （5）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，常选用正弦定理. 3、利用正、余弦定理判断三角形的形状 常用方法是：①化边为角；②化角为边. 4、三角形中的三角变换 （1）角的变换 因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。 2 sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+； （2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。 r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半 （3）在△ABC 中，熟记并会证明：∠A ，∠B ，∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ，∠B ，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列.

高二语文必修五知识点总结

精心整理 高二语文必修五知识点总结 【一】 一、文言实词 (2)众人匹之 古义：一般人今义：多数人，大家 (3)虽然，犹有未树也。

古义：虽然这样今义：转折连词 (4)穷发之北 古义：毛，草木今义：头发 (5)小年不及大年 生物之以息相吹也(名词，气息) 4.词类活用 (1)名词用作动词。而后乃今将图南(往南飞)/奚以之九万里而南为(往南飞) (2)使动用法。德合一君(使……满意)/彼于致福者(使……到

来)/而徵一国者(使……信任)二、文言虚词 1.之 (1)助词，的。鹏之背，不知其几千里也/其翼若垂天之云(助词，的) 悲乎 /而彭祖乃今以久特闻 (3)连词，表并列。若夫乘天地之正，而御六气之辩 (4)连词，表承接。而控于地而已矣 3.则

(1)连词，就。海运则将徙于南冥 (2)连词，或者。时则不至 (3)连词，那么。则其负大舟也无力 4.然 (2)副词，还。彼且恶乎待哉 (3)副词，将要。且适南冥也 7.于 (1)介词，对于。彼其于世/彼其于世

(2)介词，在。覆杯水于坳堂之上 8.其 (1)用在选择问句中，或许……或说得过去，是……还是……其正色邪?其远而无所至极邪 ) ) ) 朝来暮去颜色故。(古义：容貌。今义：色彩。) 又闻此语重唧唧。(古义：叹息声。今义：一般指虫鸣。) 凄凄不似向前声。(古义：刚才。今义：朝着前面。) 河内凶，则移其民于河东。(古：黄河。今义：泛指河流。)

(古：谷物收成不好。今义：凶恶，厉害。) 弃甲曳兵而走。(古：逃跑。今义：行，走路。) 是使民养生丧死无憾也。(古：供养活着的人。今义：保养身体。) 五十者可以衣帛矣。(古：可以凭借。今义：表示同意、认可。) ) ) ) ) ) 赢粮而景从。(古：背负，担负。今义：获得，获胜。) 山东豪俊遂并起而亡秦族矣。(古：崤山以东。今义：山东省。) 古之学者必有师。(古：求学的人。今义：有专门学问的人。) 吾从而师之。(古：跟随并且。今义：表因果的连词。)

高中数学必修5知识点总结归纳(人教版最全)

高中数学必修五知识点汇总 第一章 解三角形 一、知识点总结 正弦定理: 1．正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C === (R 为三角形外接圆的半径). 步骤1. 证明：在锐角△ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c 。作CH ⊥AB 垂足为点H CH=a ·sinB CH=b ·sinA ∴a ·sinB=b ·sinA 得到b b a a s i n s i n = 同理，在△ABC 中， b b c c sin sin = 步骤2. 证明：2sin sin sin a b c R A B C === 如图，任意三角形ABC,作ABC 的外接圆O. 作直径BD 交⊙O 于D. 连接DA. 因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90° 因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D 等于∠C. 所以C R c D sin 2sin == 故2sin sin sin a b c R A B C === 2.正弦定理的一些变式： ()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R ==2c R =； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===； （4）R C B A c b a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题： （1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. （2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解） 4.在ABC ?中，已知a,b 及A 时，解得情况： 解法一：利用正弦定理计算 解法二：分析三角形解的情况，可用余弦定理做，已知a,b 和角A ，则由余弦定理得 即可得出关于c 的方程：0cos 2222=-+-a b Ac b c 分析该方程的解的情况即三角形解的情况 ①△=0,则三角形有一解 ②△>0则三角形有两解 ③△<0则三角形无解 余弦定理:

新人教版高中数学必修5知识点总结(详细)

高中数学必修5知识点总结 第一章 解三角形 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b，则90C <；③若 222a b c +<，则90C >． 注：正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标

高中数学必修五数列知识点

一、知识纲要 (1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列． (2)等差、等比数列的定义． (3)等差、等比数列的通项公式． (4)等差中项、等比中项． (5)等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法． 二、方法总结 1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想． 2．等差、等比数列中，1a 、n a 、n 、)(q d 、n S “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法． 3．求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想． 4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等． 三、知识内容： 1.数列 数列的通项公式：?? ?≥-===-)2() 1(111n S S n S a a n n n 数列的前n 项和：n n a a a a S ++++= 321 1、数列：按照一定顺序排列着的一列数． 2、数列的项：数列中的每一个数． 3、有穷数列：项数有限的数列． 4、无穷数列：项数无限的数列． 5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列． 6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列． 7、常数列：各项相等的数列． 8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 9、数列的通项公式：表示数列 {}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式． 10、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式． 例1.已知数列{}n a 的前n 项和为n n S n -=2 2,求数列{}n a 的通项公式. 当1=n 时，111==S a ,当2n ≥时，34)1()1(222 2-=-+---=n n n n n a n ,经检验 1=n 时 11=a 也适 合34-=n a n ,∴34-=n a n ()n N +∈ 2.等差数列 等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。 等差数列的判定方法: （1）定义法：对于数列 {}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。 （2）等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。 等差数列的通项公式： 如果等差数列 {}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=。 说明：该公式整理后是关于n 的一次函数。 等差数列的前n 项和：①2)(1n n a a n S += ②d n n na S n 2 ) 1(1-+ = 说明：对于公式②整理后是关于n 的没有常数项的二次函数。 等差中项： 如果a ， A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。即：2 b a A += 或b a A +=2 说明：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。 等差数列的性质： （1）等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有 d m n a a m n )(-+=

高中数学必修一至必修五知识点总结

必修1 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作a?A 二、集合间的基本关系 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且B?A那就说集合A是集合B的真子集，记作A?B(或B?A) 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．(即找公 共部分)记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}． 2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。（即A和B中所有的元素）记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}． 4、全集与补集 （1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）（即除去A剩下的元素组成的集合） 四、函数的有关概念

定义域补充 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 4．了解区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示． 7．函数单调性 （1）．增函数 设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量a，b，当a

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必修5知识点总结 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有 2sin sin sin a b c R C ===A B ． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =；③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． （正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2、已知两角和一边，求其余的量。） ⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况） 如：在三角形ABC 中，已知a 、b 、A （A 为锐角）求B 。具体的做法是：数形结合思想 画出图：法一：把a 扰着C 点旋转，看所得轨迹以AD 有无交点： 当无交点则B 无解、 当有一个交点则B 有一解、 当有两个交点则B 有两个解。 法二：是算出CD=bsinA,看a 的情况： 当ab 时，B 有一解 注：当A 为钝角或是直角时以此类推既可。 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB = A == B ． 4、余弦定理：在 C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，2 2 2 2cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-． 5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222 cos 2a b c C ab +-=． (余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角) 6、如何判断三角形的形状：设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、 C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C = ； ②若2 2 2 a b c +>，则90C < ；③若222a b c +<，则90C > ． 正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标A 、B,

数学必修五第三章不等式知识点总结

数学必修五 第三章 不等式 一、知识点总结： 1、 比较实数大小的依据：①作差：0a b a b ->?>；0a b a b -=?=；0a b a b ->>?>时,1a a b b =?=,1a a b b ?<时，,1a a b b =?=,1a a b b 2、 不等式的性质 3、一元二次不等式的解法步骤：①将不等式变形，使一端为0且二次项的系数大于0；②计算相应的判别式；③当0?≥时，求出相应的一元二次方程的根；④根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集。（大于0取两边，小于0取中间）.含参数的不等式如20(0)ax bx c a ++>≠解题时需根据参数的取值范围依次进行分类讨论：①二次项系数的正负；②方程20(0)ax bx c a ++=≠中?与0的关系；③方程20(0)ax bx c a ++=≠两根的大小。 4、一元二次方程根的分布：一般借助二次函数的图象加以分析，准确找到限制根的分布的等价条件，常常用以下几个关键点去限制：（1）判别式；（2）对称轴；（3）根所在区间端点函数值的符号。设12,x x 是实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两个实根，则12,x x 的分布情况列表如下：（画出函数图象并在理解的基础上记忆）

5、一元高次不等式()0f x >常用数轴穿根法（或称根轴法、区间法）求解，其步骤如下：①将()f x 最高次项的系数化为正数；②将()f x 分解为若干一次因式或二次不可分解因式的积；③将每一个根标在数轴上，从右上方向下依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶重根穿而不过，奇重根既穿 又过）；④根据曲线显现出的符号变化规律，写出不等式的解集。 6、简单的线性规划问题的几个概念：①线性约束条件：由关于,x y 的二元一次不等式组成的不等式组是对,x y 的线性约束条件；②目标函数：要求最值的关于,x y 的解析式，如：22z x y =+，

人教版高中数学必修五知识点总结

必修5 第一章 解三角形 一、正弦定理 1.定理 2.sin sin sin a b c R A B C === 其中a ，b ，c 为一个三角形的三边，A ，B ，C 为其对角，R 为外接圆半径. 变式：a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C 二、余弦定理 1.定理 a 2= b 2+ c 2-2bc cos A 、b 2=a 2+c 2-2ac cos B 、c 2=a 2+b 2-2ab cos C 变形：222cos 2b c a A bc +-=、222cos 2a c b B ac +-=、222 cos 2a b c C ab +-= 2.可解决的问题 ①已知三边，解三角形； ②已知两边及其夹角，解三角形； ③已知两边及一边的对角，求第三边.

三、三角形面积公式 （1）111 222 a b c S ah bh ch ?===. 其中h a ，h b ，h c 为a ，b ，c 三边对应的高. （3）如果一个数列已给出前几项，并给出后面任一项与前面的项之间关系式，这种给出数列的方法叫做递推法，其中的关系式称为递推公式. （4）一个重要公式：对任何数列，总有 111, (2). n n n a S a S S n -??? ??==-≥ 注：数列是特殊的函数，要注意数列与函数问题之间的相互转化. 二、等差数列 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做数列的公差. （2）递推公式：a n +1=a n ＋d . （3）通项公式：a n =a 1+(n -1)d . （4）求和公式：11()(1).22 n n n a a n n S na d +-==+ （5）性质：

北师高中数学必修五知识点归纳(纯)

必修5知识点 第一章 解三角形 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的 半径，则有 2sin sin sin a b c R C ===A B ． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB =A ==B ． 4、余弦定理：在C ?AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-． 5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222 cos 2a b c C ab +-=． 6、设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C = ； ②若222a b c +>，则90C < ；③若222a b c +<，则90C > ． —1—

第二章 数列 7、数列：按照一定顺序排列着的一列数． 8、数列的项：数列中的每一个数． 9、有穷数列：项数有限的数列． 10、无穷数列：项数无限的数列． 11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列． 12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列． 13、常数列：各项相等的数列． 14、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 15、数列的通项公式：表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式． 16、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式． 17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差． 18、由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A 称为a 与b 的等差 中项．若2 a c b +=，则称b 为a 与 c 的等差中项． 19、若等差数列 {}n a 的首项是1 a ，公差是d ，则()11n a a n d =+-． 20、通项公式的变形：①()n m a a n m d =+-；②()11n a a n d =--；③1 1 n a a d n -=-； ④1 1n a a n d -=+；⑤n m a a d n m -=-． 21、若{}n a 是等差数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*q ∈N ），则m n p q a a a a +=+；若{} n a 是等差数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则2n p q a a a =+． —2—

高一数学必修五数列知识点

高一数学必修五数列知识点 1.数列的函数理解： ①数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。②用函数的 观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法;b。图像法;c.解 析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。 ③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。 2.通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用 一个公式an=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式(注：通项公式不唯一)。 数列通项公式的特点： (1)有些数列的通项公式可以有不同形式，即不唯一。 (2)有些数列没有通项公式(如：素数由小到大排成一列2，3，5，7，11，...)。 3.递推公式：如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。 数列递推公式特点： (1)有些数列的递推公式可以有不同形式，即不唯一。 (2)有些数列没有递推公式。 有递推公式不一定有通项公式。 注：数列中的项必须是数，它可以是实数，也可以是复数。 1、ABC的三边a，b，c既成等比数列又成等差数列，则三角 形的形状是()

A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 2、在等比数列{an}中，a6a5a7a548，则S10等于() A.1023 B.1024 C.511 D.512 3、三个数成等比数列，其积为1728，其和为38，则此三数为() A.3，12，48 B.4，16，27 C.8，12，18 D.4，12，36 4、一个三角形的三内角既成等差数列，又成等比数列，则三内角的公差等于() A.0 B.15 C.30 D.60 5、等差数列{an}中，a1，a2，a4恰好成等比数列，则a1的值是()a4 A.1 B.2 C.3 D.4 6、某种电讯产品自投放市场以来，经过三年降价，单价由原来的174元降到58元，这种电讯产品平均每次降价的百分率大约是() A.29% B.30% C.31% D.32% 7、若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则∣x∣-∣y∣的最小值是。 (1)记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。 (2)建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。 (3)熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。

人教版数学必修五知识点总结

一、三角形中的三角函数 （1）内角和定理：三角形三角和为π，任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余．锐角三角形?三内角都是锐角?三内角的余弦值为正值?任两角和都是钝角?任意两边的平方和大于第三边的平方． （2）正弦定理：2a b c R ===（R 为三角形外接圆的半径）． 注意：已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解． （3）余弦定理：22222222 ()2cos ,cos 122b c a b c a a b c bc A A bc bc +-+-=+-==-等，常选用余弦定理鉴定三角形的类型． （4）面积公式：11sin 224a abc S ah ab C R ===． 二、数 列 1．数列的通项、数列项的项数，递推公式与递推数列，数列的通项与数列的前n 项和公式的关系：{11,(1),(2) n n n S n a S S n -==-≥（必要时请分类讨论）． 注意：112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ ；121121 n n n n n a a a a a a a a ---= ???? ． 2．等差数列{}n a 中： （1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性． （2）1(1)n a a n d =+-()m a n m d =+-；p q m n p q m n a a a a +=+?+=+． （3）1(1){}n k m a +-、{}n ka 也成等差数列． （4）两等差数列对应项和（差）组成的新数列仍成等差数列． （5）1211,,m k k k m a a a a a a ++-++++++ 仍成等差数列． （6）1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+，21()22 n d d S n a n =+-，2121n n S a n -=-，()(21)n n n n A a f n f n B b =?=-．

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解三角形 一.三角形中的基本关系： (1)sin()sin ,A B C += cos()cos ,A B C +=- tan()tan ,A B C +=- (2)sin cos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++=== (3)a>b 则Ａ＞Ｂ则sinA>sinB,反之也成立 二.正弦定理： 2sin sin sin a b c R C ===A B ．R 为C ?AB 的外接圆的半径） 正弦定理的变形公式： ①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 两类正弦定理解三角形的问题： ①已知两角和任意一边求其他的两边及一角. ②已知两边和其中一边的对角，求其他边角. (对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、无解）)

三．余弦定理： 222 2cos a b c bc =+-A 222 2cos b a c ac =+-B 222 2cos c a b ab C =+-． 注意：经常与完全平方公式与均值不等式联系 推论： 222 cos 2b c a bc +-A = 222 cos 2a c b ac +-B = 2 2 2 cos 2a b c C ab +-= ． ①若2 22 a b c +=，则90 C =o ； ②若2 2 2 a b c +>，则90 C o ．

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第一章 解三角形 1、内角和定理：（1）三角形三角和为π，任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余．（2）锐角三角形?三内角都是锐角?三内角的余弦值为正值?任两角和都是钝角?任意两边的平方和大于第三边的平方． 2、正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C ===（R 为三角形外接圆的半径）． C R c B R b A R a C B A c b a sin 2,sin 2,sin 2)2(;sin :sin :sin ::)1(==== ） （3解三角形：已知三角形的几个元素求另外几个元素的过程。 ???，可求其它元素已知两边和一边的对角 可求其它边和角已知两角和任意一边， 注意：已知两边一对角，求解三角形，若用正弦定理，则务必注意可能有两解． 3、余弦定理：?????-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222（求边） 或 （求角）???? ?????-+=-+=-+=ab c b a C a c b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 2222222 22 ?? ???求其它已知两边和一边对角，已知三边求所有三个角已知两边一角求第三边（注:常用余弦定理鉴定三角形的类型）． 4、三角形面积公式：R abc B ac A bc C ab ah S a 4sin 2 1sin 2 1sin 2121=?????????==． 5、解三角形应用 （1）在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角。 （2）从正北方向顺时针转到目标方向的水平角叫方位角。 （3）坡面与水平面所成的二面角度数的正切值叫做坡度。 （4）解斜三角形应用题的一般步骤： 分析→建模→求解→检验