1正余弦定理及应用教案(精简版)
卓越个性化教案 GFJW0901
学生姓名 年级 授课时间 教师姓名 课时
课题
解三角形
教学目标 1掌握正余弦定理及应用2 掌握三角形面积公式3解三角形 重 点 正弦定理余弦定理综合应用，解三角形 难 点
正弦定理余弦定理综合应用，解三角形
【知识点梳理】 1．内角和定理：
在ABC ?中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C -
面积公式:111
sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B
?===
在三角形中大边对大角，反之亦然.
2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.
形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具)
形式二：??
?
??===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具)
形式三：::sin :sin :sin a b c A B C =
形式四：
sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R =
==
3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍..
形式一：
222
2cos a b c bc A =+- 2222cos b c a ca B =+- (解三角形的重要工具)
2222cos c a b ab C =+-
形式二：
222cos 2b c a A bc +-=
222
cos 2a c b B ac +-=
222
cos 2a b c C ab +-=
二、方法归纳
(1)已知两角A 、B 与一边a ,由A +B +C =π及sin sin sin a b c
A B C ==
，可求出角C ，再求b 、c .
(2)已知两边b 、c 与其夹角A ，由a 2
=b 2
+c 2
-2b c cosA ，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C . (3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C .
(4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理sin sin a b
A B =
，求出另一边b 的对角B ，由C=π-(A+B)，求出c ，再由sin sin a c A C =求出C ，而通过sin sin a b
A B =
求B 时，可能出一解，两解或无解的情况。
作业
【典型例题分析】
【问题一：利用正弦定理解三角形 例1】在ABC ?中，若5b =，4B π∠=,1
sin 3
A =，则a = .
【例2】在△ABC 中，已知a =3,b =2,B=45°,求A 、C 和c .
变式训练1.（1）△ABC 中，a =8,B=60°,C=75°,求b ;
（2）△ABC 中，B=30°, b =4,c=8,求C 、A 、a.
问题二：利用余弦定理解三角形
【例3】设ABC ?的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、.已知1=a ，2=b ，4
1cos =C . （Ⅰ）求ABC ?的周长； （Ⅱ）求()C A -cos 的值.
【例4】（2010重庆文数）
设ABC ?的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ,且32b +32c -32
a 2
b
c .
(Ⅰ) 求sinA 的值；
(Ⅱ)求
2sin()sin()
441cos 2A B C A
ππ
+++-的值.
变式训练 2在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A ，B ，C 的对边，且C
B cos cos =-c
a b
+2. （1）求角B 的大小；
（2）若b =13，a +c =4，求△ABC 的面积.
问题三：正弦定理余弦定理综合应用 【例5】（2011山东文数）
在?ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知
cos A-2cos C 2c-a
=
cos B b
． （I ）求sin sin C
A
的值； （II ）若cosB=1
4
，?ABC 的周长为5，求b 的长。
【例6】（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知2
2
2a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b
变式训练3．
在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且8 sin 2
2
B C
+－2 cos 2A ＝7． （1）求角A 的大小；
（2）若a 3b ＋c ＝3，求b 和c 的值．
问题五：判断三角形形状
【例7】在△ABC 中，在ABC ?中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，bcosA ＝a cosB ，试判断ABC
?三角形的形状.
【例8】. 在△ABC 中，在ABC ?中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，若cosA cosB ＝b
a ，
试判断ABC ?三角形的形状.
变式训练5.在△ABC 中，若2cosBsinA ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ）
A .等腰直角三角形
B .直角三角形
C .等腰三角形
D .等边三角形
6.在△ABC 中a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果（a 2
+b 2
）sin （A -B ）=（a 2
-b 2
）sin （A +B ）判断三角形的形状.
问题六：与其他知识综合
【例9】已知向量(,),(,),0a c b a c b a =+=--?=且m n m n ，其中A ，B ，C 是△ABC 的内角，
a ,
b ,
c 分别是角A ，B ，C 的对边.
（1）求角C 的大小；
（2）求sin sin A B +的取值范围.
变式训练6（2009浙江文）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25
cos
2A =
，3AB AC ?=．
（I ）求ABC ?的面积； （II ）若1c =，求a 的值．
问题7：三角实际应用
【例10】 要测量对岸A 、B 两点之间的距离，选取相距3 km 的C 、D 两点，并测得∠ACB =75°，∠BCD =45°，∠ADC =30°，∠ADB =45°，求A 、B 之间的距离.
【例11】．（2007山东）如图,甲船以每小时302海里
A处的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于
1
B处,此时两船相距20海里.当甲时,乙船位于甲船的北偏西105?的方向
1
A处时,乙船航行到甲船的北偏西120?方船航行20分钟到达
2
B处,此时两船相距102海里,问乙船每小时航行多少海里?
向的
2
变式训练
8.如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上
的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为0
75，0
60，AC＝0.1km。
30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为0
试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等，然后求B，D的距离
（计算结果精确到0.01km，2≈1.414，6≈2.449）
【课堂练习】
1、不解三角形，确定下列判断中正确的是 （ ）
A.
30,14,7===A b a ，有两解 B.
150,25,30===A b a ,有一解 C.
45,9,6===A b a ，有两解 D.
60,10,9===A c b ，无解 2、在ABC ?中， 60=A ,3=a ，则
=++++C
B A c
b a sin sin sin （ ）
A.
338 B. 3392 C. 3
3
26 D. 32 3．在ABC ?中，bc c b a ++=2
2
2
，则角A 等于（ ） A ．60° B ．45° C ．120° D ．30° 5．已知在ABC ?中，a BC =，c AB =，且b
b
c B A
-=2tan tan ，求A 的值．
6 如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量，已知50AB m =，
120BC m =，于A 处测得水深80AD m =，于B 处测得水深200BE m =，于C 处测得水深
110CF m =，求∠DEF 的余弦值。
．
公开课教学设计(正余弦定理及其应用)
解三角形教学设计 四川泸县二中吴超 教学目标 1.知识与技能 掌握正、余弦定理，能运用正、余弦定理解三角形，并能够解决与实际问题有关的问题。 2.过程与方法 通过小组讨论，学生展示，熟悉正、余弦定理的应用。 3.情感态度价值观 培养转化与化归的数学思想。 教学重、难点 重点：正、余弦定理的应用 难点: 正、余弦定理的实际问题应用 拟解决的主要问题 这部分的核心内容就是正余弦定理的应用。重点突出三类问题： （1）是围绕利用正、余弦定理解三角形展开的简单应用 （2）是三角函数、三角恒等变换等和解三角形的综合应用 （3）是围绕解三角形在实际问题中的应用展开 教学流程
教学过程 一、知识方法整合 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有 = = = 2、三角形面积公式：C S ?AB = = = 3、余弦定理：C ?AB 中2a = 2b = 2c = 4、航海和测量中常涉及如仰角、俯角、方位角等术语 5、思想与能力：代数运算能力，分类整合，方程思想、化归与转化思想等 二、典例探究 例1 [2012·四川卷]（小组讨论，熟悉定理公式的应用） 如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE=1，连接EC 、ED 则sin∠CED=_______（尝试多法） 解3：等面积法 解4：观察角的关系，两角和正切公式 解5：向量数量积定义 练1：在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( ) A.? ????0，π6 B.??????π6，π C.? ????0，π3 D.???? ??π3，π 解1：由正弦定理a 2≤b 2＋c 2－bc ，由余弦定理可知bc ≤b 2＋c 2－a 2=2bc cos A ，即1C D E C D E C D =?==1解：中，， 222210EC ED CD EC ED +-∠?∴=cos CED 10∴∠sin CED 021135CD E C E D C ==∠=解：， sin sin CD EC CED EDC =∠∴∠ sin 10CD EDC EC ?∠∴∠=sin CED
高三第一轮复习正余弦定理教案
高三新数学第一轮复习教案 ---------正、余弦定理及应用 一．课标要求： （1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题； （2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。 二．命题走向 对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题。今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用。题型一般为选择题、填空题，也可能是中、难度的解答题。 三．要点精讲 1．直角三角形中各元素间的关系： 如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。 （1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 如图6-29，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 （1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C - （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。 形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具) 形式二：?????===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具) （R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角 的余弦的积的两倍。 形式一：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 (解三角形的重要工具) 形式二：cos A =bc a c b 2222-+ ； cos B =ca b a c 2222-+ ； cosC=ab c b a 22 22-+ （4）在△ABC 中，熟记并会证明：∠A ，∠B ，∠C 成等差数列的充分必要条件是 ∠B=60°；△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ，∠B ，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列。
正余弦定理学案
正弦定理 学习目标：1 理解正弦定理并能证明 2 能应用正弦定理解三角形 重点：应用正弦定理解三角形 在任意的三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，我们能否得到这个边、角关系准确量化的表示呢？ 学习任务：阅读课本P 2-4页，完成下列任务： 1.在直角三角形中，设a 、b 、c 为其三边，A ，B ，C 为其对应的三个角，有 B c B b A a sin sin sin ==成立。对于锐角和钝角三角形中，此关系式成立吗？试证明。 2.什么是解三角形？思考：正弦定理可以解决哪些解三角形的问题。 3.在⊿AB C 中，已知下列条件，解三角形 （1）A = 45°，C = 30°，c = 10 cm （2）A = 60°，B = 45°，c = 20 cm 4.阅读例2，已知三角形的两边和其中一对角，计算另一边的对角。需要注意什么？请完成下列两小题： 在⊿ABC 中，已知下列条件，解三角形 ①a = 20 cm ° ②c = 1 cm cm C = 60° 必做题：习题1.1 A 组 1、2. B 组 1. 选做题： 1. 在⊿ABC 中，B = 45°，C = 60°，c = 1，则最短边的边长为 . 2. 在⊿ABC 中，a =80 ，b = 100 ，A = 30°，则B 的解的个数为 . 余弦定理 学习目标：1 理解余弦定理并能证明 2 能应用余弦定理解三角形 重点：应用正弦定理解三角形 用正弦定理我们可以解决两类解三角形问题： （Ⅰ）已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角。 （Ⅱ）已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角。 对于已知两边和它们的夹角怎样计算出三角形的另一边和另两个角？ 学习任务：阅读课本5-7页，完成下列问题： 1. 请用向量的数量积推导余弦定理，还有其他证明方法吗？ 2. 余弦定理指出了三角形的三条边与其中一个角之间的关系，请写出余弦定理的变形 （即推论） 3. 勾股定理与余弦定理之间有何联系？ 4. 阅读例3、例4，思考：余弦定理及推论，正弦定理可以解决哪些解三角形问题？ 必做题： P 8页 练习 1、2. 习题1.1 A 组 3、4. B 组 2. 选做题： 1.在⊿ABC 中，B = 60°，b 2 = ac ，则⊿ABC 一定是（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 2.三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8：5，则这个三角形的面积为 。
余弦定理教案完美版
《余弦定理》教案 （一）教学目标 1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。 2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题， 3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。 （二）教学重、难点 重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； 难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。 （三）学法与教学用具 学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角 教学用具：直尺、投影仪、计算器 （四）教学设想 [创设情景] C 如图1．1-4，在?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 已知a,b 和∠C ，求边c b a (图1．1-4) [探索研究] 联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题 用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A 如图1．1-5，设CB a =u u r r ，CA b =u u r r ，AB c =u u r r ，那么c a b =-r r r ，则 b r c r ()()222 2 2c c c a b a b a a b b a b a b a b =?=--=?+?-?=+-?r r r r r r r r r r r r r r r r r C a r B 从而 2222cos c a b ab C =+- (图1．1-5) 同理可证 2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 于是得到以下定理 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 2222cos a b c bc A =+-
正弦定理和余弦定理知识点总结(学案)附答案
高频考点一 利用正弦定理、余弦定理解三角形 例1、(1)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．0个 D ．无法确定 (2)在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝2∶1，c 2 ＝b 2 ＋2bc ，则三角A ，B ，C 的度数依次是________． (3)(2015·)设△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π 6， 则b ＝________. 答案 (1)B (2)45°，30°，105° (3)1 解析 (1)∵b sin A ＝6× 2 2 ＝3，∴b sin A ②几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数． (2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形．可用正弦定理，也可用余弦定理．用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数． 【变式探究】(1)已知在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值围是( ) A ．x ＞2 B ．x ＜2 C ．2＜x ＜2 2 D ．2＜x ＜2 3 (2)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB ＝________. 答案 (1)C (2)1 解析 (1)若三角形有两解，则必有a ＞b ，∴x ＞2， 又由sin A ＝a b sin B ＝x 2×2 2 ＜1， 可得x ＜22， ∴x 的取值围是2＜x ＜2 2. (2)∵A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3， 设AB ＝x ，由余弦定理，得 BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ， 化简得x 2 －2x ＋1＝0， ∴x ＝1，即AB ＝1. 高频考点二 和三角形面积有关的问题 例2、(2015·)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π4，b 2－a 2 ＝12 c 2. 听课随笔 第2课时 【学习导航】 知识网络 ??? ??数学问题航海 测量学正、余弦定理的应用 学习要求 1．利用正弦定理和余弦定理解决有关测量问题时，要注意分清仰角、俯角、张角和方位角等概念。 2. 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过这些三角形，得出实际问题的解。 【课堂互动】 自学评价 运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤是： ①_______：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图（一个或几个三角形）； ②_______：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型； ③_______：利用正弦定理、余弦定理解这些三角形，求得数学模型的解； ④_______：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。 【精典范例】 【例1】作用在同一点的三个力123,,F F F 平衡.已知130F N =，250F N =，1F 与2F 之间的夹角是60 ，求3F 的大小与方向（精确到0.1 ）. 【解】 【例2】半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，2OA =，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC .问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？ 分析：四边形的面积由点B 的位置唯一确定，而点B 由AOB ∠唯一确定，因此可设 AOB α∠=，再用α的三角函数来表示四边形OACB 的面积. 【解】 追踪训练一 1. 如图，用两根绳子牵引重为Ｆ１＝１００Ｎ的物体，两根绳子拉力分别为Ｆ２，Ｆ３，保持平衡．如果Ｆ２＝８０Ｎ，Ｆ２与Ｆ３夹角α＝１３５°． （１）求Ｆ３的大小（精确到１Ｎ）； （２）求Ｆ３与Ｆ１的夹角β的值 （精确到０.１°）． 1.1.2余弦定理 从容说课 课本在引入余弦定理内容时，首先提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，使学生能够形成良好的知识结构．设置这样的问题，是为了更好地加强数学思想方法的教学．比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，通过向量知识给予证明,引起学生对向量知识的学习兴趣,同时感受向量法证明余弦定理的简便之处.教科书就是用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力． 在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.由上可知，余弦定理是勾股定理的推广”．还要启发引导学生注意余弦定理的各种变形式,并总结余弦定理的适用题型的特点,在解题时正确选用余弦定理达到求解、求证目的 启发学生在证明余弦定理时能与向量数量积的知识产生联系,在应用向量知识的同时,注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系 教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用 教学难点1.向量知识在证明余弦定理时的应用,与向量知识的联系过程 2.余弦定理在解三角形时的应用思路 3.勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用． 教具准备投影仪、幻灯片两张 第一张:课题引入图片(记作A 如图(1),在Rt△ABC中,有A2+B2=C2 问题:在图(2)、(3)中,能否用b、c、A求解a 第二张:余弦定理(记作1.1.2B 余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 形式一: a2=b2+c2-2bcco s A，b2=c2+a2-2caco s B,c2=a2+b2-2abco s C 形式二:co s A= bc a c b 2 2 2 2- + ,co s B= ca b a c 2 2 2 2- + ,co s C= ab c b a 2 2 2 2- + 三维目标 一、知识与技能 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法 第8课时正、余弦定理的应用（2） 【学习导航】 知识网络 ?? ???数学问题航海 测量学正、余弦定理的应用 学习要求 1．利用正弦定理和余弦定理解决有关测量问题时，要注意分清仰角、俯角、张角和方位角等概念。 2. 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过这些三角形，得出实际问题的解。 【课堂互动】 自学评价 运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤是： ①分析：理解题意，弄清清与未知，画出示意图（一个或几个三角形）； ②建模：根据书籍条件与求解目标，把书籍量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型； ③求解：利用正弦定理、余弦定理理解这些三角形，求得数学模型的解； ④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。 【精典范例】 【例1】作用在同一点的三个力123,,F F F 平衡.已知130F N =，250F N =，1F 与2F 之间的夹角是60，求3F 的大小与方向（精确到0.1）. 【解】3F 应和12,F F 合力F 平衡，所以3F 和F 在同一直线上， 并且大小相等，方向相反. 如图1-3-3，在1OF F ?中，由余弦定理，得 ()70F N ==再由正弦定理，得 1 50sin1205sin 70FOF ∠==， 所以138.2FOF ∠≈，从而13141.8FOF ∠≈. 答 3F 为70N ，3F 与1F 之间的夹角是141.8. 【例2】半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，2OA =，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC .问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？ 分析：四边形的面积由点B 的位置唯一确定，而点B 由AOB ∠唯一确定，因此可设AOB α∠=，再用α的三角函数来表示四边形OACB 的面积. 【解】设AOB α∠=.在AOB ?中，由余弦定理，得22212212cos 54cos AB αα=+-??=-. 正弦定理和余弦定理教案 第一课时 正弦定理 (一) 课题引入 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B (图1.1-1) (二) 探索新知 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1.1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角 三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==, A 则 sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c A B C = = C a B (图1.1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1.1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = ， C 同理可得sin sin c b C B = ， b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A D B (图1.1-3) 让学生思考：是否可以用其它方法证明这一等式？ 证明二：（等积法）在任意斜△ABC 当中 S △ABC =A bc B ac C ab sin 2 1sin 2 1sin 2 1 == 两边同除以abc 21即得：A a sin =B b sin =C c sin 证明三：（外接圆法） 如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ 《余弦定理》教学设计 一、教学内容解析 本节内容选自普通高中课程标准实验教科书人教A版《数学》必修5第一章《解三角形》第一节正弦定理和余弦定理。第一节约4课时，2课时通过探究证明正弦定理，应用正弦定理解三角形；2课时通过探究证明余弦定理，应用余弦定理解三角形。本节课是余弦定理的第一课时，属于定理教学课。 正余弦定理是定量研究三角形边角关系的基础，它们为解三角形提供了基本方法，为后续解决测量等实际问题提供了理论基础和操作工具。余弦定理是继正弦定理之后的解三角形又一有力工具，完善了解三角形体系，为解决三角形的边角关系提供了新的方法；是对任意三角形“边、角、边”和“边、边、边”问题进行量化分析的结果，将两种判定三角形全等的定性定理转化为可计算的公式。 纵观余弦定理的发展史，它的雏形出现公元前3世纪。在欧几里得《几何原本》卷二对钝角三角形和锐角三角形三边关系的阐述中，利用勾股定理将余弦定理的几何形式进行了证明。1593年，法国数学家韦达首次将欧几里得的几何命题写成了我们今天熟悉的余弦定理的三角形式，直到20世纪，三角形式的余弦定理才一统天下。“余弦定理是作为勾股定理的推广而诞生的，以几何定理的身份出现，直到1951年，美国数学家荷尔莫斯在其《三角学》中才真正采用解析几何的方法证明了余弦定理，至于向量方法的出现，更是晚近的事了。” 从新旧教材的内容设计对比来看，无论是问题的提出，定理的证明，简单应用都呈现出变化。旧教材数学第二册（下）中，余弦定理被安排在第五章《平面向量》的第二节解斜三角形中。基于特殊到一般的数学思想，从直角三角形 切入，提出问题后，直接用向量的方法推导定理。新教材将余弦定理安排在独立章节《解三角形》中,首先给出探究：如果已知一个三角形的两边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形，从量化的角度研究这个问题，也为余弦定理解三角形的类型做了铺垫。在定理的推导过程中，同样用了向量方法，但在推导前提出思考：联系已经学过的知识，我们从什么途径来解决这个问题？新教材还结合余弦定理和余弦函数的性质，分别对三种形状的三角形进行了量化分析，旧教材没有涉及此内容。 从余弦定理的发展史和教材的设置变化来看，欧式几何依据基本的逻辑原理，建立几何关系，论证严谨，但思维量大，需要分类讨论。而作为沟通代数、几何与三角函数的工具——向量引入后，欧式几何中的平行、相似、垂直都可以转化成向量的加减、数乘、数量积的运量，从而把图形的基本性质转化成向量的运算体系，由此开创了研究几何问题的新方法。而且在证明之后还提出问题：用坐标方法怎样怎样证明余弦定理？还有其他的方法吗? 教材的编排，就是希望学生了解可以从向量、解析方法和三角方法等多种途径证明余弦定理，另外对向量工具性作用有所体会和认识。 基于以上分析，本节课的教学重点是： 通过对三角形边角关系的探索，发现并证明余弦定理。 二、教学目标设置 结合《课程标准》和教材编排，本节课的教学目标确定为： 1．发现并掌握余弦定理及其推论，利用余弦定理能够解决一些与三角形边角有关的计算问题。 2.通过对三角形边角关系的探索，能证明余弦定理，了解可以从向量、解析方法和三角方法等多种途径证明余弦定理。 听课随笔 第8课时正、余弦定理的应用（2） 【学习导航】 知识网络 ?? ???数学问题航海 测量学正、余弦定理的应用 学习要求 1．利用正弦定理和余弦定理解决有关测量问题时，要注意分清仰角、俯角、张角和方位角等概念。 2. 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过这些三角形，得出实际问题的解。 【课堂互动】 自学评价 运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤是： ①分析：理解题意，弄清清与未知，画出示意图（一个或几个三角形）； ②建模：根据书籍条件与求解目标，把书籍量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型； ③求解：利用正弦定理、余弦定理理解这些三角形，求得数学模型的解； ④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。 【精典范例】 【例1】作用在同一点的三个力123,,F F F 平衡.已知130F N =，250F N =，1F 与2F 之间的夹角是60，求3F 的大小与方向（精确到0.1）. 【解】3F 应和12,F F 合力F 平衡，所以3F 和F 在同一直线上， 并且大小相等，方向相反. 如图1-3-3，在1OF F ?中，由余弦定理，得 ()70F N =再由正弦定理，得 1 50sin1205sin 70FOF ∠==， 所以138.2FOF ∠≈，从而13141.8FOF ∠≈. 答 3F 为70N ，3F 与1F 之间的夹角是141.8. 【例2】半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，2OA =，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形 ABC .问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？ 分析：四边形的面积由点B 的位置唯一确定，而点B 由AOB ∠唯一确定，因此可设AOB α∠=，再用α的三角函数来表示四边形OACB 的面积. 【解】设AOB α∠=.在AOB ?中，由余弦定理，得 正余弦定理教案 教学标题 正余弦定理及其应用 教学目标 熟练掌握正弦定理、余弦定理的相关公式 会用正余弦定理解三角形 会做综合性题目 教学重难点 正弦定理、余弦定理的综合应用 授课内容： 梳理知识 1．正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C ===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2．余弦定理： 222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-? 或 222222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=?? +-?= ???+-= ?? . 3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角. 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 5．解题中利用ABC ?中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sin cos ,cos sin ,tan cot 222222 A B C A B C A B C +++===. 典型例题 探究点一 正弦定理的应用 例1 (1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求角A 、C 和边c ； (2)在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求边b 和c . 解题导引 已知三角形的两边和其中一边的对角，可利用正弦定理求其他的角和边，但要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、无解三种情况．具体判断方法如下：在△ABC 中．已知a 、b 和A ，求B .若A 为锐角，①当a ≥b 时，有一解；②当a ＝b sin A 时，有一解；③当b sin A b 时，有一解；②当a ≤b 时，无解． 解 (1)由正弦定理a sin A ＝b sin B 得，sin A ＝3 2 . ∵a >b ，∴A >B ，∴A ＝60°或A ＝120°. 当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°， c ＝b sin C sin B ＝6＋22 ； 当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°， 余弦定理 一、教材分析 本节主要研究xxxxxx，分两课时，这里是第一课时。它是在学生已经学习了正弦定理的内容，初步掌握了正弦定理的证明及应用，并明确了用正弦定理可以来解三角形的基础上进行学习的。通过利用平面几何法、坐标法(两点的距离公式)、向量的模,正弦定理等方法推导余弦定理，学生会正确理解余弦定理的结构特征和表现形式，解决“边、角、边”和“边、边、边”问题，初步体会余弦定理解决“边、边、角”问题，体会方程思想，理解余弦定理是勾股定理的特例, 从多视角思考问题和发现问题，形成良好的思维品质,激发学生探究数学，应用数学的潜能，培养学生思维的广阔性。 二、学情分析 本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时，能够激发学生热爱数学的思想感情；从具体问题中抽象出数学的本质，应用方程的思想去审视，解决问题是学生学习的一大难点。 本节内容是人教B版普通高中课程标准实验教科书必修5第一章第一节余弦定理的第一课时。余弦定理是关于任意三角形边角之间的另一定理，是解决有关三角形问题与实际应用问题（如测量等）的重要定理，它将三角形的边和角有机的结合起来，实现了"边"和"角"的互化，从而使"三角"与"几何"有机的结合起来，为求与三角形有关的问题提供了理论依据，同时也为判断三角形的形状和证明三角形中的等式提供了重要的依据。教科书首先通过设问的方式，指出了"已知三角形的两边和夹角，无法用正弦定理去解三角形"，进而通过直角三角形中的勾股定理引导学生去探究一般三角形中的边角关系，然后通过构造直角三角形去完高中数学 第一章 第8课时——正、余弦定理的应用(2)学案(教师版) 苏教版必修5
1.1.2 余弦定理 教案(人教A版必修5)
第8课时——正、余弦定理的应用(2)(教、学案)
正弦定理和余弦定理教案
全国高中数学优质课 余弦定理教学设计
高中数学最新学案第1章第8课时正、余弦定理的应用(2)(教师版)新人教A版必修5
正余弦定理完美教案
最新余弦定理教案设计
正余弦定理学案
相关文档
- 高中数学最新学案第1章第8课时正、余弦定理的应用(2)(教师版)新人教A版必修5
- 高中数学_正、余弦定理的应用举例教学设计学情分析教材分析课后反思
- 数学正余弦定理的应用(1)(配套作业)教学设计word版
- 正余弦定理在现实生活中的应用--教学设计与反思
- 《正余弦定理的综合运用学案》
- 公开课教学设计(正余弦定理及其应用)
- 正余弦定理的应用教学设计(终极版)
- 正余弦定理应用举例导学案及练习题
- (完整版)公开课教学设计(正余弦定理及其应用)
- 正余弦定理在现实生活中的应用--教学设计与反思
- 正余弦定理综合应用教学设计
- 第8课时——正、余弦定理的应用(2)(教、学案)
- 高三数学一轮复习第27课时正余弦定理应用举例学案
- 正弦定理和余弦定理学习知识点情况总结(学案)
- 高三数学一轮复习 27.正余弦定理应用举例学案
- 《1.3 正弦定理、余弦定理的应用》教学案
- 1.2正余弦定理应用举例学案
- 2019-2020学年高一数学 正余弦定理应用3学案.doc
- 高三数学一轮复习27正余弦定理应用举例学案
- 正余弦定理的应用教学设计(终极版)