高一数学圆与方程难题练习(含解析)培优专题

培优专题:高一数学圆与方程难题练习

第Ⅰ卷（选择题）

评卷人得分

一．选择题（共2小题）

1．已知圆，考虑下列命题：①圆C上的点到（4，0）的距离的最小值为；②圆C上存在点P到点的距离与到直线的距离相等；③已知点，在圆C上存在一点P，使得以AP为直径的圆与直线相切，其中真命题的个数为（）

A．0 B．1 C．2 D．3

2．已知点A（，0）和P（，t）（t∈R）．若曲线x=上存在点B 使∠APB=60°，则t的取值范围是（）

A．（0，1+]B．[0，1+]

C．[﹣1﹣，1+]D．[﹣1﹣，0）∪（0，1+]

第Ⅱ卷（非选择题）

评卷人得分

二．填空题（共17小题）

3．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的表面积为12π，E为球心，F为C1D1的中点．点M在该正方体的表面上运动，则使ME⊥CF的点M所构成的轨迹的周长等于．

4．圆心为两直线x+y﹣2=0和﹣x+3y+10=0的交点，且与直线x+y﹣4=0相切的圆的标准方程是．

5．已知扇形内切圆半径与扇形半径之比为1：3，则内切圆面积与扇形面积之比为．

6．由直线y=x﹣1上的一点向圆x2+（y﹣2）2=1引切线，则切线长（此点到切点的线段长）的最小值为．

7．在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+2）2+（y﹣3）2=9和圆C2：（x ﹣4）2+（y﹣3）2=9．

（1）若直线l过点A（﹣5，1），且被圆C1截得的弦长为，求直线l的方程；

（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．

8．已知圆C：x2+y2﹣6x+8=0，则圆心C的坐标为；若直线y=kx与圆C相切，且切点在第四象限，则k=．

9．已知半径为5的圆C的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线

4x+3y﹣29=0相切．

（1）求圆C的方程；

（2）设直线ax﹣y+5=0与圆C相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得过点P（﹣2，4）的直线l 垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

10．如图所示的三棱锥A﹣BCD中，∠BAD=90°，AD⊥BC，AD=4，AB=AC=2，∠BAC=120°，若点P为△ABC内的动点满足直线DP与平面ABC所成角的正切值为2，则点P在△ABC内所成的轨迹的长度为．

11．函数y=log a（x﹣1）+3（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，过点A的直线l与圆（x﹣1）2+y2=1相切，则直线l的方程是．

12．已知定点A（0，1），B（0，﹣1），C（1，0），动点P满

足：?=k||2，

（1）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型；

（2）当k=2，求|2+|的最大，最小值．

13．已知点A（4，0）、B（2，1），点M在圆x2+y2=4上运动，则

的最小值为．

14．如图，梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB的中点，|AB|=，|CD|=2﹣，AC⊥BD，M为CD的中点．

（1）求点M的轨迹方程；

（2）过M作AB的垂线，垂足为N，若存在正常数λ0，使，且P 点到A、B 的距离和为定值，求点P的轨迹E的方程；

（3）过的直线与轨迹E交于P、Q两点，求△OPQ面积的最大值．

15．过椭圆2x2+y2﹣10=0在第一象限内的点P作圆x2+y2=4的两条切线，当这两条切线垂直时，点P的坐标是．

16．已知平面区域恰好被面积最小的⊙C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖．

（1）试求⊙C的方程．

（2）若斜率为1的直线l与⊙C交于不同的两点A、B，且满足CA⊥CB，求直线l的方程．

17．已知（x0，y0）是直线x+y=2k﹣1与圆x2+y2=k2+2k﹣3的交点，则x0y0的取值范围为[，]．

18．在平面直角坐标系xoy中，已知点A（﹣1，1），P是动点，且△POA的三边所在直线的斜率满足k OP+k OA=k PA

（1）求点P的轨迹C的方程

（2）若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且=λ，直线OP与QA交于点M．

问：是否存在点P，使得△PQA和△PAM的面积满足S△PQA=2S△PAM？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

19．已知两点M（﹣1，0），N（1，0）且点P使成等差数列．

（1）若P点的轨迹曲线为C，求曲线C的方程；

（2）从定点A（2，4）出发向曲线C引两条切线，求两切线方程和切点连线的直线方程．

评卷人得分

三．解答题（共20小题）

20．已知点F1（﹣，0），圆F2：（x﹣）2+y2=16，点M是圆上一动点，MF1的垂直平分线与MF2交于点N．

（1）求点N的轨迹方程；

（2）设点N的轨迹为曲线E，过点P（0，1）且斜率不为0的直线l与E交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为B′，证明直线AB′过定点，并求△PAB′面积的最大值．

21．已知点C为圆（x+1）2+y2=8的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且有点A（1，0）和AP上的点M，满足?=0，=2．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，判断Q点的轨迹是什么？并求出其方程；

（Ⅱ）若斜率为k的直线l与圆x2+y2=1相切，与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，且≤?≤（其中O是坐标原点）求k的取值范围．

22．已知圆C：（x+1）2+y2=8，过D（1，0）且与圆C相切的动圆圆心为P．（1）求点P的轨迹E的方程；

（2）设过点C的直线l1交曲线E于Q，S两点，过点D的直线l2交曲线E于R，T两点，且l1⊥l2，垂足为W（Q，R，S，T为不同的四个点）．

①设W（x0，y0），证明：；

②求四边形QRST的面积的最小值

23．已知圆心在x轴上的圆C与直线l：4x+3y﹣6=0切于点E（，n）．圆P：x2+（a+3）x+y2﹣ay+2a+2=0

（1）求圆C的标准方程；

（2）已知a＞1，圆P与x轴相交于两点M，N（点M在点N的右侧）．过点M任作一条倾斜角不为0的直线与圆C相交于A，B两点．问：是否存在实数a，使得∠ANM=∠BNM？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由．

24．已知圆C过坐标原点O，且与x轴，y轴分别交于点A，B，圆心坐标C （t，）（t∈R，t≠0）

（1）求证：△AOB的面积为定值；

（2）直线2x+y﹣4=0与圆C交于点M，N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程；（3）在（2）的条件下，设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标．

25．求圆心在直线l1：x﹣y﹣1=0上，与直线l2：4x+3y+14=0相切，截直线l3：3x+4y+10=0所得的弦长为6的圆的方程．

26．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程为x2+y2=4，点M（2，﹣3）．（1）求过点M且与圆C相切的直线方程；

（2）过点M任作一条直线与圆C交于A，B两点，圆C与x轴正半轴的交点为P，求证：直线PA与PB的斜率之和为定值．

27．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，直线l1过定点A（1，0）．

（1）若l1与圆相切，求l1的方程；

（2）若l1与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x+2y+2=0的交点为N，判断AM?AN是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说

明理由．

28．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4和直线l：x+2y+2=0，直线m，n都经过圆C外定点A（1，0）．

（Ⅰ）若直线m与圆C相切，求直线m的方程；

（Ⅱ）若直线n与圆C相交于P，Q两点，与l交于N点，且线段PQ的中点为M，求证：|AM|?|AN|为定值．

29．在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为1，其圆心在射线y=x（x≥0）上，且．

（Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）若直线l过点P（1，0），且与圆C相切，求直线l的方程．

30．已知圆C：x2+y2﹣2x+4my+4m2=0，圆C1：x2+y2=25，以及直线l：3x﹣4y ﹣15=0．

（1）求圆C1：x2+y2=25被直线l截得的弦长；

（2）当m为何值时，圆C与圆C1的公共弦平行于直线l；

（3）是否存在m，使得圆C被直线l所截的弦AB中点到点P（2，0）距离等于弦AB长度的一半？若存在，求圆C的方程；若不存在，请说明理由．

31．已知平面内一动点P在x轴的上方，点P到F（0.1）的距离与它到y轴的距离的差等于1．

（1）求动点P轨迹C的方程；

（2）设A，B为曲线C上两点，A与B的横坐标之和为4．

①求直线AB的斜率；②设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB 平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．

32．已知圆M：x2+（y﹣2）2=1，Q是x轴上的点，QA，QB分别切圆M与A，B两点．

（1）若|AB|=，求|MQ|的长度及直线MQ的方程；

（2）求证：直线AB恒过定点．

33．已知圆O：x2+y2=2，直线l过点，且OM⊥l，P（x0，y0）是直线l上的动点，线段OM与圆O的交点为点N，N'是N关于x轴的对称点．（1）求直线l的方程；

（2）若在圆O上存在点Q，使得∠OPQ=30°，求x0的取值范围；

（3）已知A，B是圆O上不同的两点，且∠ANN'=∠BNN'，试证明直线AB 的斜率为定值．

34．已知圆C：x2+y2+2x+8y﹣8=0．

（1）判断圆C与圆D：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1=0的位置关系，并说明理由；（2）若圆C关于过点P（6，8）的直线l对称，求直线l的方程．

35．已知点M（x，y）是平面直角坐标系中的动点，若A（﹣4，0），B（﹣1，0），且△ABM中|MA|=2|MB|．

（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程及求△ABM的周长的取值范围；

（Ⅱ）直线MB与轨迹C的另一交点为M'，求的取值范围．

36．在平面直角坐标系xOy中，已知E：（x+）2+y2=16，点F（，0），点P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于点Q．记动点Q的轨迹为C，另有动点M（x，y）（x≥0）到点N（2，0）的距离比它到直线x=﹣1的距离多1，记点M的轨迹为C1，轨迹C2的方程为x2=y

（1）求轨迹C和C1的方程

（2）已知点T（﹣1，0），设轨迹C1与C2异于原点O的交点为R，若懂直线l与直线OR垂直，且与轨迹C交于不同的两点A、B，求的最小值（3）在满足（2）中的条件下，当取得最小值时，求△TAB的面积．

37．平面内一个点与一条曲线上的任意点的距离的最小值，称为这个点到这

条曲线的距离．例如椭圆的右焦点（4，0）到椭圆的距离为1．

（I）写出点A（3，5），点B（1，2）到圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0的距离；（II）如图，已知直线l与圆C相离，圆C的半径是2，圆心C到直线l的距离为4．请你建立适当的平面直角坐标系，求与直线l和圆C的距离相等的动点P的轨迹方程．

38．已知△ABC中，点A（﹣1，0），B（1，0），动点C满足|CA|+|CB|=λ|AB|（常数λ＞1），C点的轨迹为Γ．

（Ⅰ）试求曲线Γ的轨迹方程；

（Ⅱ）当λ＝时，过定点B（1，0）的直线与曲线Γ相交于P，Q两点，N 是曲线Γ上不同于P，Q的动点，试求△NPQ面积的最大值．

39．如图，在x轴上方有一段曲线弧C，其端点A、B在x轴上（但不属于C），对C上任一点P及点F1（﹣1，0），F2（1，0），满足：．直线AP，BP分别交直线l：x=a（a＞）于R，T两点．

（Ⅰ）求曲线弧C的方程；

（Ⅱ）求|RT|的最小值（用a表示）．

2018年08月14日158****2115的高中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共2小题）

1．已知圆，考虑下列命题：①圆C上的点到（4，0）的距离的最小值为；②圆C上存在点P到点的距离与到直线的距离相等；③已知点，在圆C上存在一点P，使得以AP为直径的圆与直线相切，其中真命题的个数为（）

A．0 B．1 C．2 D．3

【解答】解：对于①，动圆圆心与（4，0）的距离减去圆的半径为：

=，

∴①不正确，

对于②，已知动圆C的圆心（a2，2a）的轨迹方程为：y2=2x，

∴动圆C构成的轨迹为夹在抛物线y2=2x﹣和抛物线y2=2x+之间的部分（包括边界），

抛物线y2=2x+是以点（，0）为焦点以直线x=﹣为准线的抛物线方程，∴圆C上有且只有一点P到点（，0）的距离与到直线x=﹣的距离相等，这个点就是抛物线y2=2x+上的点．∴②正确，

对于③，A（，0），在圆C上有且只有一点P，使得以AP为直径的圆与直线x=相切．

动圆圆心与（，0）的距离减去圆的半径为：

=，

当且仅当a=0时等号成立．

此时在圆C上有且只有一点P（，0），使得以AP为直径的圆与直线x=相切．∴③正确．

∴真命题的个数为2．

故选：C．

2．已知点A（，0）和P（，t）（t∈R）．若曲线x=上存在点B 使∠APB=60°，则t的取值范围是（）

A．（0，1+]B．[0，1+]C．[﹣1﹣，1+]D．[﹣1﹣，0）∪（0，1+]

【解答】解：曲线x=，即x2+y2=3（0≤x），如图所示的半圆，

取B（0，）时，∵∠APB=60°，∴k PB==，解得t=1+，

利用圆的对称性可得：，0）∪．

故选：D．

二．填空题（共17小题）

3．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的表面积为12π，E为球心，F为C1D1的中点．点M在该正方体的表面上运动，则使ME⊥CF的点M所构成的轨迹的周长等于．

【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的表面积为12π，正方体的体对角线的长为：2；

所以正方体的棱长为：2．

E为球心，F为C1D1的中点．点M在该正方体的表面上运动，则使ME⊥CF 的点M所构成的轨迹是图形中的红色线；

点M所构成的轨迹的周长等于：2×2=4+2．

故答案为：．

4．圆心为两直线x+y﹣2=0和﹣x+3y+10=0的交点，且与直线x+y﹣4=0相切的圆的标准方程是（x﹣4）2+（y+2）2=2．

【解答】解：联立，解得，

∴圆心坐标为：（4，﹣2）．

∵圆与直线x+y﹣4=0相切，

∴圆心（4，﹣2）到直线x+y﹣4=0的距离为，

∴圆的半径为．

∴圆的标准方程为（x﹣4）2+（y+2）2=2，

故答案为：（x﹣4）2+（y+2）2=2．

5．已知扇形内切圆半径与扇形半径之比为1：3，则内切圆面积与扇形面积之比为2：3．

【解答】解：如图，由OD与圆O′相切，连接O′Ｂ得到O′Ｂ⊥OD

两半径之比为1：3，即OA：O′B=3：1，

∴OO′：O′B=2：1．

∴，

所以．

因为S圆=π×（O′Ｂ）2，S扇=

则=6×=6×=2：3

故答案为：2：3

6．由直线y=x﹣1上的一点向圆x2+（y﹣2）2=1引切线，则切线长（此点到切点的线段长）的最小值为．

【解答】解：∵圆x2+（y﹣2）2=1的圆心为C（0，2），半径r=1

∴圆心C到直线y=x﹣1的距离为d==

当点P在直线y=x﹣1上运动时，P与圆心C在直线上的射影重合时，

切线长达到最小值．设切点为A，得

Rt△PAC中，PA==

即切线长（此点到切点的线段长）的最小值为．

故答案为：

7．在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+2）2+（y﹣3）2=9和圆C2：（x ﹣4）2+（y﹣3）2=9．

（1）若直线l过点A（﹣5，1），且被圆C1截得的弦长为，求直线l的方程；

（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．

【解答】解：（1）设l方程为：y﹣1=k（x+5），圆C1的圆心到直线l的距离为d，则

∵l被圆C1截得的弦长为，

∴d=2，

∴d==2，

从而k（5k﹣12）=0，即k=0或k=

∴直线l的方程为：y=1或5x﹣12y+37=0；

（2）设点P（a，b）满足条件，

由题意分析可得直线l1、l2的斜率均存在且不为0，

不妨设直线l1的方程为y﹣b=k（x﹣a），k≠0

则直线l2方程为：y﹣b=﹣（x﹣a）（6分）

∵⊙C1和⊙C2的半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，

∴⊙C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等

即

整理得k（a+b）+a﹣b﹣1=0或（a﹣b+4）k+7﹣ab=0，

∵k的取值有无穷多个，

∴或

解得或，

这样的点只可能是点P1（，﹣）或点P2（，）

经检验点P1和P2满足题目条件．

8．已知圆C：x2+y2﹣6x+8=0，则圆心C的坐标为（3，0）；若直线y=kx 与圆C相切，且切点在第四象限，则k=．

【解答】解：圆C化为标准方程为（x﹣3）2+y2=1，

∴圆心坐标为（3，0），半径r=1，

∵直线y=kx与圆C相切，

∴圆心到切线的距离d=r，即=1，

解得：k=（不合题意舍去）或k=﹣，

则k=﹣．

故答案为：﹣

9．已知半径为5的圆C的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线

4x+3y﹣29=0相切．

（1）求圆C的方程；

（2）设直线ax﹣y+5=0与圆C相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得过点P（﹣2，4）的直线l 垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）设圆心坐标为（a，0），则

∵圆与直线4x+3y﹣29=0相切，∴5=，∴a=1或a=13.5

∵圆心的横坐标是整数，∴a=1

∴圆C的方程为（x﹣1）2+y2=25；

（2）由题意，圆心到直线的距离为d=＜5

∴12a2﹣5a＞0，∴a＜0或a＞；

（3）假设存在，则PC⊥AB，∴=﹣1，∴a=

∵＞，

∴a=时，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB

10．如图所示的三棱锥A﹣BCD中，∠BAD=90°，AD⊥BC，AD=4，AB=AC=2，∠BAC=120°，若点P为△ABC内的动点满足直线DP与平面ABC所成角的正切值为2，则点P在△ABC内所成的轨迹的长度为．

【解答】解：因为∠BAD=90°，所以AD⊥AB，又AD⊥BC，且AB∩BC=B，所以AD⊥平面ABC．在平面ABC内，取点P，连PA，则∠DPA是DP与平面ABC 所成角．

又因为AD=4，所以直线DP与平面ABC所成角的正切值为2，须AP=2，即点P在△ABC内所成的轨迹是以A为圆心，半径为2的圆的一部分．

而∠BAC=120°=，故点P在△ABC内所成的轨迹的长度为=．故答案为：．

11．函数y=log a（x﹣1）+3（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，过点A的直线l与圆（x﹣1）2+y2=1相切，则直线l的方程是4x﹣3y+1=0或x=2．【解答】解：当x﹣1=1，即x=2时，y=log a1+3=3，即函数过定点A（2，3）．由圆的方程可得圆心C（1，0），半径r=1，

当切线l的斜率不存在时，直线方程为x=2，此时直线和圆相切，

当直线斜率k存在时，直线方程为y﹣3=k（x﹣2），

即kx﹣y+3﹣2k=0，

圆心（1，0）到直线的距离d=，

即|k﹣3|=，

平方的k2﹣6k+9=1+k2，

即k=，此时对应的直线方程为4x﹣3y+1=0，

综上切线方程为4x﹣3y+1=0或x=2．

故答案为：4x﹣3y+1=0或x=2．

12．已知定点A（0，1），B（0，﹣1），C（1，0），动点P满足：?=k|

|2，

（1）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型；

（2）当k=2，求|2+|的最大，最小值．

【解答】解：（1）设P（x，y），，．当k=1时，由?=k||2，得x2+y2﹣1=（1﹣x）2+y2，

整理得：x=1，表示过（1，0）且平行于y轴的直线；

当k≠1时，由?=k||2，得x2+y2﹣1=k（1﹣x）2+ky2，

整理得：=，表示以点为圆心，以

为半径的圆．

（2）当k=2时，方程化为（x﹣2）2+y2=1，即x2+y2=4x﹣3，

∵2，

∴，又x2+y2=4x﹣3，

∴=．

问题归结为求6x﹣y的最值，令t=6x﹣y，

∵点P在圆（x﹣2）2+y2=1，圆心到直线t=6x﹣y的距离不大于圆的半径，∴，解得12﹣．

∴．

13．已知点A（4，0）、B（2，1），点M在圆x2+y2=4上运动，则

的最小值为．

【解答】解：如图，取点K（1，0），连接OM、MK、BK．

∵OM=2，OA=4，OK=1，

∴==，∵∠MOK=∠AOM，

∴△MOK∽△AOM，∴==，

∴MK=MA，

∴|MB|+|MA|=|MB|+|MK|，

在△MBK中，|MB|+|MK|≥|BK|，

∴|MB|+|MA|=|MB|+|MK|的最小值为|BK|的长，