浅谈常微分方程的数值解法及其应用[文献综述]

毕业论文文献综述

信息与计算科学

浅谈常微分方程的数值解法及其应用

一、前言部分

微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解.牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解.

后来瑞士数学家雅各布?贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论.

微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法.微分方程也就成了最有生命力的数学分支.总之，力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程.在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流模型等.因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的. [1]

“常微分方程”是理学院数学系所有专业学生的重要专业基础课之一，也是工科、经济等专业必学内容之一.其重要性在于它是各种精确自然科学、社会科学中表述基本定律和各种问题的根本工具之一，换句话说，只要根据实际背景，列出了相应的微分方程，并且能（数值地或定性地）求出这种方程的解，人们就可以预见到，在已知条件下这种或那种“运动”过程将怎样进行，或者为了实现人们所希望的某种“运动”应该怎样设计必要的装置和条件等等.例如，我们要设计人造卫星轨道，首先，根据力学原理，建立卫星运动的微分方程，列出初始条件，然后求出解，即卫星运行轨道.随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，微分方程的应用范围更广泛. [2]从数学自身的角度看，微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展.从这个角度说，微分方程变成了数学的中心. [3]总之，微分方程从它诞生起即日益成为人类认识并进而改造自然、社会的有力工具，成为数学科学联系实际的主要途径之一.文章就常微分的数值解法以及应用展开简单的论述。

二、主体部分

2.1微分方程概念介绍

2.1.1 微分方程概况

由一元函数得到的方程.即：称含有自变量，未知函数及其导数的关系式

22(,,,,...,)0n n dy d y d y F x y dx dx dx

=. （1） 为常微分方程.其中出现的最高阶导数的阶数，叫做常微分方程的阶.例如 dy dx

=x ，dy y dx = ，是一阶常微分方程. 22sin 0d g dt p

θθ+=是二阶常微分方程.设)(x y ?=定义于 区间J 上，有直到n 阶的导数，将它代入（1），使（1）变成关于x 的恒等式，即

()()(,(),,...,)0,n n d x d x F x x x J dx dx

???=∈. 就称y ＝()x ?为（1）的一个定义于J 上的解，并称J 为该解的定义区间. [4]

如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程.

2.2微分方程产生的历史背景

微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解.牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布?贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。

微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的.数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具. [5]

牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律.后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置.这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量.

微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法.微分方程也就成了最有生命力的数学分支.总之，力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程.在当代，甚至许多社会

科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流模型等.因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的. [6]

2.3 微分方程发展现状及其基本功能

在数学学科内部的许多分支中，微分方程是常用的重要工具之一，微分方程进一步发展的需要，有推动着其它数学分支的发展；相反，微分方程每一步进展都离不开其他数学分支的支援.数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对微分方程的发展产生了深刻的影响.当前计算机的发展更是为微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.时至今日，可以说微分方程在所有自然科学领域和众多社会科学领域都有着广泛的应用，如自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等.只要能够列出相应的微分方程，有了解方程的方法，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律.从微积分理论形成以来，人们一直用微分方程来描述、解释或预见各种自然现象，不断的取得了显著的成效.

[7] 2.4常微分方程的数值求解方法

2.4.1 Euler 法

Euler 法是最简单的数值方法，[,]a b 为求解良态初值问题'(,)y f t y =，0()y a y =的区间。实际上，下面的过程不是要找到满足该初值问题的可微函数，而是要生成点集{(,)}k k t y ，并且将这些点作为近似解，即()k k y t y ≈。如何构造“近似满足微方程”的“点集”呢？首先为这些点选择横坐标，为方便起见，将区间[,]a b 划分为M 个等距子区间，并选择网络点

k t a kh =+， k=0，1，……，M 其中b a h M

-=

（1） 值h 称为步长。然后近似解

'(,)y f t y = 在0[,]M t t 上， 00()y t y = （2） 设()y t ，'()y t 和''()y t 连续，；；利用泰勒定理将()y t 在0t t =处展开，对每个值t ，存在一个0t 和t 之间的值1c ，使得 ''2

'

10000()()()()()()2y c t t y t y t y t t t -=+-+ （3） 将'00()(,())y t f t y t =和10h t t =-代人等式（3），得到1()y t 的表示：

''2

11000()()()(,())2

y c h y t y t hf t y t =++ （4） 如果步长 h 足够小，则可以忽略 2 次项（包含2h 的项），得到

1000(,)y y hf t y =+ （5） 这就是欧拉近似。

重复该过程，就能得到近似解曲线()y y t =的一个点序列。欧拉方法的一般步骤是 1k k t t h +=+ ， 1(,)k k k k y y hf t y +=+ 其中 k = 0，1，……，M-1[8]（6）

2.4.2 泰勒级数法

泰勒级数法有着广泛的应用，并且是比较求解初值问题的各种不同数值方法的标准，它可设计为任意指定的精度。下面首先将泰勒定理用新的公式表示，使之适合于求解微分方程。 定理9.5（泰勒定理）设1()N y t C

+∈ 0[,]t b ，且()y t 在不动点0[,]k t t t b =∈处有N 次

泰勒级数展开：

1()()(,())()N k k N k k y t h y t hT t y t O h ++=++ （1） 其中，

()11()(,())!j N

j k N k k j y t T t y t h j -==∑ （2） ()1()(,())j j y t f t y t -=表示函数f 关t 的（1j -）次全导数。求导公式可以递归地计算： ''''(3)''''22(4)''2'''''''''3

232()()()2()2()

33()33()(33)(2)

t y t y tt yt y yy tt yt yy y t y ttt ytt yyt ty y yy yyy ttt ytt yyt yyy y tt yt yy y t f

y t f f y f f f

y t f f y f y f y f f f f f f f f f y f f y f y f y f y f y y f y f f f f f f f f f f f f f ==+=+=+++=++++=++++++=++++++23()()()t y yt yy y t y f f f f f f f f f f +++++ （3）

并且一般有

()(1)()(,())N N y

t P f t y t -= （4） 其中P 为导数算子

()P f t y

??=+??

区间0[,]M t t 上的初值问题'

()(,)y t f t y =的近似数值解可由各子区间1[,]k k t t +上的公式

（1）来推导。N 次泰勒方法的一般步骤为 3

23211...2!3!!

N N k k d h d h d h y y d h N +=+++++ （5） 其中在各步0,1,......,1k M =-有()(),1,2,......,j j k d y t j N ==。

N 次泰勒方法的最终全局误差是1

()N O h +阶的，因此可选择所需大小的N ，使得误差足够小。如果N 是固定，则理论上可以推导出步长h ，使之满足任意的最终全局误差。然而在实际运算中，通常用h 和/2h 计算两个近似结果集，然后比较其结果[9]。

2.4.3 龙格—库塔方法

泰勒方法的优点是最终全局误差的阶为()N

O h ，并且可以通过选择较大的 N 来得到较小的误差。然而泰勒方法的缺点是，需要先确定 N ，并且要计算高阶导数，它们可能十分复杂。每个龙格一库塔（Runge-Kutta ）方法都由一个合适的泰勒方法推导而来，使得其最终全局误差为()N O h 。一种折中方法是每步进行若干次函数求值，从而省去高阶导数计算。这种方法可构造任意 N 阶精度的近似公式。最常用的是N= 4 的龙格一库塔方法，它适用于一般的应用，因为它非常精确、稳定，且易于编程。许多专家声称，没有必要使用更高阶的方法，因为提高的精度与增加的计算量相抵消。如果需要更高的精度，则应该使用更小的步长或某种自适应方法。

4 阶龙格一库塔方法（RK4）可模拟N=4 的泰勒方法的精度。它基于如下对1k y +，的计算：

111223344k k y y w k w k w k w k +=++++ （1）

其中1k ，2k ，3k 和4k 形如

1211132213243415263(,)

(,)

(,)

(,)k k k k k k k k k hf t y k hf t a h y b k k hf t a h y b k b k k hf t a h y b k b k b k ==++=+++=++++ （2）

通过与 N = 4 阶的泰勒级数方法的系数匹配，使得局部误差为5()O h ，龙格和库塔得出了如下方程组：

大数据文献综述

信息资源管理文献综述 题目：大数据背景下的信息资源管理 系别：信息与工程学院 班级：2015级信本1班 姓名： 学号：1506101015 任课教师： 2017年6月 大数据背景下的信息资源管理 摘要：随着网络信息化时代的日益普遍，我们正处在一个数据爆炸性增长的“大数据”时代，在我们的各个方面都产生了深远的影响。大数据是数据分析的前沿技术。简言之，从各种各样类型的数据中，快速获得有价值信息的能力就是大数据技术，这也是一个企业所需要必备的技术。“大数据”一词越来越地别提及与使用，我们用它来描述和定义信息爆炸时代产生的海量数据。就拿百度地图来说，我们在享受它带来的便利的同时，无偿的贡献了我们的“行踪”，比如说我们的上班地点，我们的家庭住址，甚至是我们的出行方式他们也可以知道，但我们不得不接受这个现实，我们每个人在互联网进入大数据时代，都将是透明性的存在。各种数据都在迅速膨胀并变大，所以我们需要对这些数据进行有效的管理并加以合理的运用。

关键词：大数据信息资源管理与利用 目录 大数据概念.......................................................... 大数据定义...................................................... 大数据来源...................................................... 传统数据库和大数据的比较........................................ 大数据技术.......................................................... 大数据的存储与管理.............................................. 大数据隐私与安全................................................ 大数据在信息管理层面的应用.......................................... 大数据在宏观信息管理层面的应用.................................. 大数据在中观信息管理层面的应用.................................. 大数据在微观信息管理层面的应用.................................. 大数据背景下我国信息资源管理现状分析................................ 前言：大数据泛指大规模、超大规模的数据集，因可从中挖掘出有价值 的信息而倍受关注，但传统方法无法进行有效分析和处理.《华尔街日

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信息资源管理文献综述题目：大数据背景下的信息资源管理 系别：信息与工程学院 班级：2015级信本1班 姓名： 学号：1506101015 任课教师： 2017年6月

大数据背景下的信息资源管理 摘要：随着网络信息化时代的日益普遍，我们正处在一个数据爆炸性增长的“大数据”时代，在我们的各个方面都产生了深远的影响。大数据是数据分析的前沿技术。简言之，从各种各样类型的数据中，快速获得有价值信息的能力就是大数据技术，这也是一个企业所需要必备的技术。“大数据”一词越来越地别提及与使用，我们用它来描述和定义信息爆炸时代产生的海量数据。就拿百度地图来说，我们在享受它带来的便利的同时，无偿的贡献了我们的“行踪”，比如说我们的上班地点，我们的家庭住址，甚至是我们的出行方式他们也可以知道，但我们不得不接受这个现实，我们每个人在互联网进入大数据时代，都将是透明性的存在。各种数据都在迅速膨胀并变大，所以我们需要对这些数据进行有效的管理并加以合理的运用。 关键词：大数据信息资源管理与利用 目录 大数据概念 (3) 大数据定义 (3) 大数据来源 (3) 传统数据库和大数据的比较 (3) 大数据技术 (4) 大数据的存储与管理 (4)

大数据隐私与安全 (5) 大数据在信息管理层面的应用 (6) 大数据在宏观信息管理层面的应用 (6) 大数据在中观信息管理层面的应用 (7) 大数据在微观信息管理层面的应用 (8) 大数据背景下我国信息资源管理现状分析 (9) 前言：大数据泛指大规模、超大规模的数据集，因可从中挖掘出有价值 的信息而倍受关注，但传统方法无法进行有效分析和处理.《华尔街日 报》将大数据时代、智能化生产和无线网络革命称为引领未来繁荣的大技术变革.“世界经济论坛”报告指出大数据为新财富，价值堪比石油.因此，目前世界各国纷纷将开发利用大数据作为夺取新一轮竞争制高点的重要举措. 当前大数据分析者面临的主要问题有:数据日趋庞大，无论是入库和查询，都出现性能瓶颈;用户的应用和分析结果呈整合趋势，对实时性和响应时间要求越来越高;使用的模型越来越复杂，计算量指数级上升;传统技能和处理方法无法应对大数据挑战. 正文：

一阶常微分方程解法总结

第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如 )()(y g x f dx dy = 当0)(≠y g 时，得到 dx x f y g dy )() (=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。 例1.1、 xy dx dy = 解：当0≠y 时，有 xdx y dy =，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y += 所以)(112 12 C x e C C e C y ±==为非零常数且 0=y 显然是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)(12 12 为常数C e C y x = ②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有 dy y N y Q dx x P x M ) () ()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=） x P 时，0x x =为原方程的解。 例1.2、0)1()1(2 2 =-+-dy x y dx y x 解：当0)1)(1(2 2 ≠--y x 时，有 dx x x dy y y 1 122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C y x ； 当0)1)(1(2 2 =--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(2 2 为常数C C y x =--。 ⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如 )(x y g dx dy = 解法：令x y u =，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx du x =+为变量可分离方程，得到

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信息资源管理文献综述题目：大数据背景下的信息资源管理系别：信息与工程学院 班级：2015级信本1班 姓名： 学号：1506101015 任课教师： 2017年6月

大数据背景下的信息资源管理 摘要：随着网络信息化时代的日益普遍，我们正处在一个数据爆炸性增长的“大数据”时代，在我们的各个方面都产生了深远的影响。大数据是数据分析的前沿技术。简言之，从各种各样类型的数据中，快速获得有价值信息的能力就是大数据技术，这也是一个企业所需要必备的技术。“大数据”一词越来越地别提及与使用，我们用它来描述和定义信息爆炸时代产生的海量数据。就拿百度地图来说，我们在享受它带来的便利的同时，无偿的贡献了我们的“行踪”，比如说我们的上班地点，我们的家庭住址，甚至是我们的出行方式他们也可以知道，但我们不得不接受这个现实，我们每个人在互联网进入大数据时代，都将是透明性的存在。各种数据都在迅速膨胀并变大，所以我们需要对这些数据进行有效的管理并加以合理的运用。 关键词：大数据信息资源管理与利用 目录 大数据概念 (2) 大数据定义 (2) 大数据来源 (2) 传统数据库和大数据的比较 (3) 大数据技术 (3) 大数据的存储与管理 (4) 大数据隐私与安全 (4) 大数据在信息管理层面的应用 (5) 大数据在宏观信息管理层面的应用 (5) 大数据在中观信息管理层面的应用 (6) 大数据在微观信息管理层面的应用 (7) 大数据背景下我国信息资源管理现状分析 (8)

前言：大数据泛指大规模、超大规模的数据集，因可从中挖掘出有价值 的信息而倍受关注，但传统方法无法进行有效分析和处理.《华尔街日 报》将大数据时代、智能化生产和无线网络革命称为引领未来繁荣的 大技术变革.“世界经济论坛”报告指出大数据为新财富，价值堪比 石油.因此，目前世界各国纷纷将开发利用大数据作为夺取新一轮竞 争制高点的重要举措. 当前大数据分析者面临的主要问题有:数据日趋庞大，无论是入 库和查询，都出现性能瓶颈;用户的应用和分析结果呈整合趋势，对 实时性和响应时间要求越来越高;使用的模型越来越复杂，计算量指 数级上升;传统技能和处理方法无法应对大数据挑战. 正文： 大数据概念 大数据定义 维基百科对大数据的定义则简单明了:大数据是指利用常用软件工具捕获、管理和处理数据所耗时间超过可容忍时间的数据集。也就是说大数据是一个体量特别大，数据类别特别大的数据集，并且这样的数据集无法用传统数据库工具对其内容进行抓取、管理 大数据来源 1)来自人类活动:人们通过社会网络、互联网、健康、金融、经济、交通等活动过程所产生的各类数据，包括微博、病人医疗记录、文字、图形、视频等

常微分方程解题方法总结.doc

常微分方程解题方法总结 来源：文都教育 复习过半， 课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍 . 接下来， 如何将零散的知 识点有机地结合起来， 而不容易遗忘是大多数考生面临的问题 . 为了加强记忆， 使知识自成 体系，建议将知识点进行分类系统总结 . 著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴， 他强调读 书要“由薄到厚、由厚到薄”，对同学们的复习尤为重要 . 以常微分方程为例， 本部分内容涉及可分离变量、 一阶齐次、 一阶非齐次、 全微分方程、 高阶线性微分方程等内容， 在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多， 遇到具体的题 目不知该如何下手， 这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法 . 下面以表格的形 式将常微分方程中的解题方法加以总结，一目了然，便于记忆和查询 . 常微分方程 通解公式或解法 ( 名称、形式 ) 当 g( y) 0 时，得到 dy f (x)dx ， g( y) 可分离变量的方程 dy f ( x) g( y) 两边积分即可得到结果； dx 当 g( 0 ) 0 时，则 y( x) 0 也是方程的 解 . 解法：令 u y xdu udx ，代入 ，则 dy 齐次微分方程 dy g( y ) x dx x u g (u) 化为可分离变量方程 得到 x du dx 一 阶 线 性 微 分 方 程 P ( x)dx P ( x) dx dy Q(x) y ( e Q( x)dx C )e P( x) y dx

伯努利方程 解法：令 u y1 n，有 du (1 n) y n dy ， dy P( x) y Q( x) y n（n≠0,1）代入得到du (1 n) P(x)u (1 n)Q(x) dx dx 求解特征方程：2 pq 三种情况： 二阶常系数齐次线性微分方程 y p x y q x y0 二阶常系数非齐次线性微分方程 y p x y q x y f ( x) (1)两个不等实根：1, 2 通解： y c1 e 1x c2 e 2x (2) 两个相等实根：1 2 通解： y c1 c2 x e x (3) 一对共轭复根：i , 通解： y e x c1 cos x c2 sin x 通解为 y p x y q x y 0 的通解与 y p x y q x y f ( x) 的特解之和. 常见的 f (x) 有两种情况： x （ 1）f ( x)e P m ( x) 若不是特征方程的根，令特解 y Q m ( x)e x；若是特征方程的单根，令特 解 y xQ m ( x)e x；若是特征方程的重根， 令特解 y*x2Q m (x)e x； （2）f (x) e x[ P m ( x) cos x p n ( x)sin x]

大数据外文翻译参考文献综述

大数据外文翻译参考文献综述 (文档含中英文对照即英文原文和中文翻译) 原文： Data Mining and Data Publishing Data mining is the extraction of vast interesting patterns or knowledge from huge amount of data. The initial idea of privacy-preserving data mining PPDM was to extend traditional data mining techniques to work with the data modified to mask sensitive information. The key issues were how to modify the data and how to recover the data mining result from the modified data. Privacy-preserving data mining considers the problem of running data mining algorithms on confidential data that is not supposed to be revealed even to the party

running the algorithm. In contrast, privacy-preserving data publishing (PPDP) may not necessarily be tied to a specific data mining task, and the data mining task may be unknown at the time of data publishing. PPDP studies how to transform raw data into a version that is immunized against privacy attacks but that still supports effective data mining tasks. Privacy-preserving for both data mining (PPDM) and data publishing (PPDP) has become increasingly popular because it allows sharing of privacy sensitive data for analysis purposes. One well studied approach is the k-anonymity model [1] which in turn led to other models such as confidence bounding, l-diversity, t-closeness, (α,k)-anonymity, etc. In particular, all known mechanisms try to minimize information loss and such an attempt provides a loophole for attacks. The aim of this paper is to present a survey for most of the common attacks techniques for anonymization-based PPDM & PPDP and explain their effects on Data Privacy. Although data mining is potentially useful, many data holders are reluctant to provide their data for data mining for the fear of violating individual privacy. In recent years, study has been made to ensure that the sensitive information of individuals cannot be identified easily. Anonymity Models, k-anonymization techniques have been the focus of intense research in the last few years. In order to ensure anonymization of data while at the same time minimizing the information

大数据云计算文献综述

大数据云计算文献综述 一个大数据的调查 摘要：在这篇论文中，我们将回顾大数据的背景以及当前发展状况。我们首先介绍大数据的一般应用背景以及回顾涉及到的技术，例如：云计算、物联网、数据中心，以及Hadoop。接下来我们着重大数据价值链的四个阶段，也就是：数据生成，数据采集，数据存储和数据分析。对于每个阶段，我们介绍应用背景，讨论技术难题以及回顾最新技术。最后，我们介绍几个大数据的代表性应用，包括企业管理，物联网，在线社交网络，媒体应用，集成智慧，以及智能电网。这些讨论旨在提供一个全面的概述以及对读者感兴趣的领域的蓝图。这个调查包括了对开放问题和未来方向的讨论。 关键字大数据云计算物联网数据中心Hadoop 智能电网大数据分析 1、背景 1.1大数据时代的曙光 在过去的二十年，数据在各种各样的领域内爆炸式增长。按照2011年来自国际数据公司（IDC）的报告，世界上总共的创建及复制的数据量达到1.8zb,在五年内增长了大约九倍[1]。在未来这个数字至少每两年增加一倍。在全球数据的爆炸增长下，大数据这个词主要来描述巨大的数据集。与传统的数据集相比，大数据通常包括非结构化数据，这需要更实时的分析。 另外，大数据也能在发现新价值上带来新优势，帮助我们帮助我们获得一个深入隐藏价值的认识，也导致新挑战，例如，如何有效地组织和管理这样的数据集。

近日，行业产生兴趣的大数据的高潜力，许多政府机构公布主要计划加快大数据的研究和应用[2]。此外，大数据问题往往覆盖在公共媒体，如经济学[3，4]，纽约时报[5]，和全国公共广播电台[6,7]。这两个主要的科学期刊，Nature和Science，还开通了专栏讨论大数据的挑战和影响[8,9]。大数据的时代已经到来超越一切质疑[10]。 目前，与互联网公司的业务相关联的大数据快速增长。例如，谷歌处理的数据达数百拍字节（PB），Facebook的生成日志数据每月有超过10 PB，百度一家中国公司百度，业务流程有数十PB的数据，而阿里巴巴的子公司淘宝每天的网上交易产生几十太字节（TB）的数据。图1示出的全球数据量的热潮。当大型数据集的数量急剧上升，它也带来了许多具有挑战性的问题，解决方案如下： 图一、持续增长的数据 信息技术的最新发展（IT）使其更容易以产生数据。例如，每分钟有平均72个小时的视频上传到YouTube[11]。因此，我们面临的主要挑战是从广泛分布的数据源中收集和整合大量的数据。 云计算和物联网（IOT）的快速发展进一步促进数据的大幅增长。云计算提供了安全措施，访问网站以及数据资产的渠道。在物联网的典范，遍布世界各地的传感器正在收集和传送数据到云端进行存储和处理。这样的数据在数量和相互关系将远远超过对IT架构和现有企业的基础设施的能力，以及它的实时要求也将极大地强调可用的计算能力。日益增长的数据造成怎样在当前硬件和软件的基础上存储和管理如此庞大的异构数据集的问题。

常微分方程数值解法的误差分析教材

淮北师范大学 2013届学士学位论文 常微分方程数值解法的误差分析 学院、专业数学科学学院数学与应用数学 研究方向计算数学 学生姓名李娜 学号 20091101070 指导教师姓名陈昊 指导教师职称讲师 年月日

常微分方程数值解法的误差分析 李娜 （淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000） 摘要 自然界与工程技术中的很多现象，往往归结为常微分方程定解问题。许多偏微分方程问题也可以化为常微分方程问题来近似求解。因此，研究常微分方程的数值解法是有实际应用意义的。数值解法是一种离散化的数学方法，可以求出函数的精确解在自变量一系列离散点处的近似值。随着计算机计算能力的增强以及数值计算方法的发展，常微分方程的数值求解方法越来越多，比较成熟的有Euler 法、后退Euler法、梯形方法、Runge—Kutta方法、投影法和多步法，等等．本文将对这些解的误差进行分析,以求能够得到求解常微分数值解的精度更好的方法。 关键词：常微分方程, 数值解法, 单步法, 线性多步法, 局部截断误差

Error Analysis of Numerical Method for Solving the Ordinary Differential Equation Li Na (School of Mathematical Science, Huaibei Normal University, Huaibei, 235000) Abstract In nature and engineering have many phenomena , definite solution of the problem often boils down to ordinary differential equations. So study the numerical solution of ordinary differential equations is practical significance. The numerical method is a discrete mathematical methods, and exact solution of the function can be obtained in the approximation of a series of discrete points of the argument.With the enhanced computing power and the development of numerical methods,ordinary differential equations have more and more numerical solution,there are some mature methods. Such as Euler method, backward Euler method, trapezoidal method, Runge-Kutta method, projection method and multi-step method and so on.Therefore, numerical solution of differential equation is of great practical significance. Through this paper, error of these solutions will be analyzed in order to get a the accuracy better way to solve the numerical solution of ordinary differential. Keywords:Ordinary differential equations, numerical solution methods, s ingle ste p methods, l inear multi-step methods, local truncation error

常微分方程数值解法

i.常微分方程初值问题数值解法 常微分方程初值问题的真解可以看成是从给定初始点出发的一条连续曲线。差分法是常微分方程初值问题的主要数值解法，其目的是得到若干个离散点来逼近这条解曲线。有两个基本途径。一个是用离散点上的差商近似替代微商。另一个是先对微分方程积分得到积分方程，再利用离散点作数值积分。 i.1 常微分方程差分法 考虑常微分方程初值问题：求函数()u t 满足 (,), 0du f t u t T dt =<≤ （i.1a ） 0(0)u u = (i.1b) 其中(,)f t u 是定义在区域G : 0t T ≤≤, u <∞上的连续函数，0u 和T 是给定的常数。我们假设(,)f t u 对u 满足Lipschitz 条件，即存在常数L 使得 121212(,)(,), [0,]; ,(,)f t u f t u L u u t T u u -≤-?∈∈-∞∞ （i.2） 这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在，唯一，而且连续依赖于初值0u 。 通常情况下，（i.1）的精确解不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法-差分方法。先来讨论最简单的Euler 法。为此，首先将求解区域[0,]T 离散化为若干个离散点： 0110N N t t t t T -=<< <<= （i.3） 其中n t hn =，0h >称为步长。 在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。反过来，差商就是微商的近似。在0t t =处，在（i.1a ）中用向前差商 10()()u t u t h -代替微商du dt ，便得 10000()()(,())u t u t hf t u t ε=++ 如果忽略误差项0ε，再换个记号，用i u 代替()i u t 便得到 1000(,)u u hf t u -= 一般地，我们有 1Euler (,), 0,1, ,1n n n n u u hf t u n N +=+=-方法： （i.4） 从(i.1b) 给出的初始值0u 出发，由上式可以依次算出1,,N t t 上的差分解1,,N u u 。

大数据时代 文献综述

智慧时代下大数据技术在教育 领域的应用研究综述 姓名：李欢欢学号：2012221111120004 一、前言 大数据是近年来出现在通信和计算机领域中的一个热门关键词。关于大数据，尚未有一个统一的定义，但却有两个观点能够诠释大数据的本质。第一个观点来自于Gartner公司的Merv Adrian在2011年第一季度刊登在Teradata Magazine上的一篇文章，文中指出“数据超出了常用硬件环境和软件工具在可接受的时间内为其用户收集、管理和处理数据的能力”[1]。另一个观点来自于麦肯锡全球数据分析研究所(Mckinsey Global Institute)在2011年6月发布的《大数据：创新、竞争和生产力的下一个前沿》报告，报告中提出“大数据是指大小超出了典型数据库软件工具收集、存储、管理和分析能力的数据集”[2]。麦肯锡称：“数据，已经渗透到当今每一个行业和业务职能领域，成为重要的生产因素。人们对于海量数据的挖掘和应用，预示着新一波生产率增长和消费者盈余浪潮的到来。” 大数据已经深刻地影响到人们的生活、工作和学习。大数据的意义在于对由多种类型数据构成的数据集体进行分析和研究，提取有利用价值的信息，从而帮助人们在解决问题时可以作出科学的决策。同样大数据的威力强烈地冲击着教育系统，正在成为推动教育系统创新与变革的颠覆性力量。 二、大数据技术在教育领域的应用现状分析 1 大数据定义与特征 大数据（bigdata），又称巨量资料，海量资料，指的是所涉及的资料量规模巨大到无法透过目前主流软件工具，在合理时间内达到撷取、管理、处理并整理成为帮助企业经营决策更积极目的的资讯。研究机构Gartner[3]认为“大数据”是需要新处理模式才能具有更强的决策力、洞察发现力和流程优化能力的海量、高增长率和多样化的信息资产。麦肯锡的定义：大数据是指无法在一定时间内用传统数据库软件工具对其内容进行采集、存储、管理和分析的数据集合。无论哪种定义，我们可以看出，大数据并不是一种新的产品也不是一种新的技术，大数据只是数字化时代出现的一种现象。 大数据的主要特点可以概括为4V+1C。4V包含了四个层面：第一，即V olume（大容量），海量数据，规模庞大，已跃升到PB 级别；第二，Velocity（高速度），实时处理，处理速度快，涉及感知、传输、决策、控制开放式循环的大数据，数据实时处理有着极高要求，通过传统数据库查询方式得到的“当前结果”可能已没有价值，这也是大数据和传统的数据挖掘技术本质上的不同；第三，Variety（多样性），数据类型繁多：网络日志、视频、地理位置信息、图片等都是大数据；第四，Veracity（低密度），数据价值大，但价值密度低。对海量数据挖掘分析，对未来趋势与模式的可预测分析，深度复杂分析；“1C”即Complexity，是通过数据库处理持久存储的数据不再适用于大数据处理，需要有新的方法来满足异构数据统一接入和实时数据处理的需求[4]。 2 国内研究现状 对于“智慧时代下大数据技术在教育领域的应用”国内研究的现状，我主要通过借助中国知网提供的论文发表数据进行分析。在中国知网中选择“高级检索”类型，并在检索条件中选择“主题”检索，输入“大数据”并含“教育”，截止到2014年4月17日共检索出303 条结果与之相关，通过手工筛选，把会议报道等无关信息剔除掉，剩余160篇文章。 大数据在教育领域的应用，与国外相比，国内起步稍晚，还未形成整体力量。虽然2009年开始，大数据就成为了流行词汇，但是它在教育领域的应用是近3年才出现的。国内最早

大数据的经济学研究文献综述

大数据的经济学研究文献综述 摘要： 本文从大数据背景下的经济学研究出发，分析了大数据背景下对传统经济学所带来的冲击和挑战，以及大数据在经济学中的应用。大数据的应用给传统经济学带来了全新的方法，更重要的是，大数据给传统经济学带了全新的视角。 【关键词】大数据；大数据经济学；传统经济学；挑战 Abstract This article analyzed the big data which bring a big impact and challenges on the traditional economics under the background of big data, as well as the big data applications in economics. Big data’s applications has brought a new approach to traditional economics, more importantly, big data has brought a new perspective of traditional economics. 【Key words】big data; big data economics; traditional economics; challenges 1国外关于大数据经济学问题的探讨现状 对于大数据的概念，企业和学术界目前尚未形成公认的准确定义。维基百科的定义：大数据指的是所涉及的资料量规模巨大到无法通过目前主流软件工具，在合理时间内达到撷取、管理、处理并整理成为帮助企业经营决策目的的资讯。麦肯锡的定义：大数据是指无法在一定时间内用传统数据库软件工具对其内容进行采集、存储、管理和分析的数据集合。Dumbill ( 2012)采用IBM 公司的观点，认为大数据具有“3V”特点，即规模性( Volume ) 、多样( Variety ) 、实时性( Velocity) 。以IDC 为代表的业界认为大数据具备“4V”特点，即在3V 的基础上增加价值性( Value) 。权威IT 研究与顾问咨询公司Gartner将大数据定义为“在一个或多个维度上超出传统信息技术的处理能力的极端信息管理和处理问题。美国国家科学基金会( NSF) 则将大数据定义为“由科学仪器、传感设备、互联网交易、电子邮件、音视频软件、网络点击流等多种数据源生成的大规模、多元化、复杂、长期的分布式数据集”。 维克托（2013）赞同许多物理学家的看法，认为世界的本质就是数据。因此，大数据时代的经济学、政治学、社会学和许多科学门类都会发生巨大甚至是本质上的变化和发展，进而影响人类的价值体系、知识体系和生活方式。

各类微分方程的解法大全

各类微分方程的解法 1.可分离变量的微分方程解法 一般形式:g(y)dy=f(x)dx 直接解得∫g(y)dy=∫f(x)dx 设g(y)及f(x)的原函数依次为G(y)及F(x),则G(y)=F(x)+C为微分方程的隐式通解 2.齐次方程解法 一般形式:dy/dx=φ(y/x) 令u=y/x则y=xu,dy/dx=u+xdu/dx,所以u+xdu/dx=φ(u),即du/［φ(u)-u］=dx/x 两端积分,得∫du/［φ(u)-u］=∫dx/x 最后用y/x代替u,便得所给齐次方程的通解 3.一阶线性微分方程解法 一般形式:dy/dx+P(x)y=Q(x) 先令Q(x)=0则dy/dx+P(x)y=0解得y=Ce－ ∫P(x)dx,再令y=u e－∫P(x)dx代入原方程解得u=∫Q(x) e∫P(x)dx dx+C,所以y=e－∫P(x)dx［∫Q(x)e∫P(x)dx dx+C］ 即y=Ce－∫P(x)dx +e－ ∫P(x)dx∫Q(x)e∫P(x)dx dx为一阶线性微分方程的通解 4.可降阶的高阶微分方程解法 ①y(n)=f(x)型的微分方程 y(n)=f(x) y(n-1)= ∫f(x)dx+C1 y(n-2)= ∫［∫f(x)dx+C1］dx+C2 依次类推,接连积分n次,便得方程y(n)=f(x)的含有n个任意常数的通解②y”=f(x,y’) 型的微分方程 令y’=p则y”=p’,所以p’=f(x,p),再求解得p=φ(x,C1) 即dy/dx=φ(x,C1),所以y=∫φ(x,C1)dx+C2 ③y”=f(y,y’) 型的微分方程

令y ’=p 则y ”=pdp/dy,所以pdp/dy=f(y,p),再求解得p=φ(y,C 1) 即dy/dx=φ(y,C 1),即dy/φ(y,C 1)=dx,所以∫dy/φ(y,C 1)=x+C 2 5.二阶常系数齐次线性微分方程解法 一般形式:y ”+py ’+qy=0,特征方程r 2+pr+q=0 6.二阶常系数非齐次线性微分方程解法 一般形式: y ”+py ’+qy=f(x) 先求y ”+py ’+qy=0的通解y 0(x),再求y ”+py ’+qy=f(x)的一个特解y*(x) 则y(x)=y 0(x)+y*(x)即为微分方程y ”+py ’+qy=f(x)的通解 求y ”+py ’+qy=f(x)特解的方法: ① f(x)=P m (x)e λx 型 令y*=x k Q m (x)e λx ［k 按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,确定Q m (x)的m+1个系数 ② f(x)=e λx ［P ｌ(x)cos ωx+P n (x)sin ωx ］型 令y*=x k e λx ［Q m (x)cos ωx+R m (x)sin ωx ］［m=max ﹛ｌ,n ﹜,k 按λ+i ω不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1］再代入原方程,分别确定Q m (x)和R m (x)的m+1个系数

常微分方程数值解法

第八章 常微分方程的数值解法 一．内容要点 考虑一阶常微分方程初值问题:?????==0 0)() ,(y x y y x f dx dy 微分方程的数值解：设微分方程的解y (x )的存在区间是[a,b ]，在[a,b ]内取一系列节 点a= x 0< x 1<…< x n =b ,其中h k =x k+1-x k ；(一般采用等距节点，h=(b-a)/n 称为步长)。在每个节点x k 求解函数y(x)的近似值:y k ≈y(x k )，这样y 0 , y 1 ,...,y n 称为微分方程的数值解。 用数值方法，求得f(x k )的近似值y k ，再用插值或拟合方法就求得y(x)的近似函数。 (一)常微分方程处置问题解得存在唯一性定理 对于常微分方程初值问题:?????==0 0)() ,(y x y y x f dx dy 如果： (1) 在B y y A x x 00≤-≤≤,的矩形内),(y x f 是一个二元连续函数。 (2) ),(y x f 对于y 满足利普希茨条件，即 2121y y L y x f y x f -≤-),(),(则在C x x 0≤≤上方程?????==0 0)() ,(y x y y x f dx dy 的解存在且唯一，这里C=min((A-x 0),x 0+B/L),L 是利普希茨常数。 定义：任何一个一步方法可以写为),,(h y x h y y k k k 1k Φ+=+，其中),,(h y x k k Φ称为算法的增量函数。 收敛性定理：若一步方法满足： (1)是p 解的. (2) 增量函数),,(h y x k k Φ对于y 满足利普希茨条件. (3) 初始值y 0是精确的。则),()()(p h O x y kh y =-kh =x -x 0,也就是有 0x y y lim k x x kh 0h 0 =--=→)( (一)、主要算法 1．局部截断误差 局部截断误差：当y(x k )是精确解时，由y(x k )按照数值方法计算出来的1~ +k y 的误差y (x k+1)- 1~ +k y 称为局部截断误差。 注意：y k+1和1~ +k y 的区别。因而局部截断误差与误差e k +1=y (x k +1) -y k +1不同。 如果局部截断误差是O (h p+1),我们就说该数值方法具有p 阶精度。

大数据研究综述

大数据文献综述 随着以博客、社交网络、基于位置的服务ＬＢＳ为代表的新型信息发布方式的不断涌现，以及云计算、物联网等技术的兴起，数据正以前所未有的速度在不断地增长和累积，国际数据公司( IDC) 的数字宇宙研究报告称[1]：2011 年全球被创建和被复制的数据总量超过1. 8ZB，且增长趋势遵循新摩尔定律( 全球数据量大约每两年翻一番) ，预计 2020 年将达到 35ZB．与此同时，数据复杂性也急剧增长，其多样性、低价值密度、实时性等复杂特征日益显著，大数据时代已经来到。学术界、产业界甚至于政府机构都已经开始密切关注大数据问题，并对其产生浓厚的兴趣。 一、大数据国内外发展现状 对于学术界，1989 年在美国底特律召开的第 11 届国际人工智能联合会议专题讨论会上，首次提出了“数据库中的知识发现（KDD）”的概念。在1995年召开了第一届知识发现与数据挖掘国际会议，随着与会人员的增加，KDD国际学术成为年会。大数据的兴起，主要是国际顶尖期刊《Nature》早在2008年推出了Big data专刊[2]。计算社区联盟(computing community consortium ) 在2008年发表了报告“big data computing：creating revolutionary breakthroughs in commerce, science and society ”[3]，阐述了在数据驱动的研究背景下，解决大数据问题所需的技术以及面临的一些挑战。《science》在2011年2月推出专刊“dealing with data ”[4]，主要围绕着科学研究中大数据的问题展开讨论，说明大数据对于科学研究的重要性．美国一些知名的数据管理领域的专家学者则从专业的研究角度出发，联合发布了一份白皮书《challenges and opportunities with big data》［5］。该白皮书从学术的角度出发介绍了大数据的产生，分析了大数据的处理流程，并提出大数据所面临的若干挑战。全球知名的咨询公司麦肯锡(McKinsey ）2011年6月份发布了一份关于大数据的详尽报告“big data :the next frontier for innovation , competiton,and productivity”［6］，对大数据的影响、关键技术和应用领域等都进行了详尽的分析。进入2012年以来，大数据的关注度与日俱增1月份的达沃斯世界经济论坛上，大数据是主题之一，该次会议还特别针对大数据发布了报告“big data，big compat :new possibilities for international development”［7］，探讨了新的数据产生方式下，如何更好地利用数据来产生良好的社会效益．该报告重点关注了个人产生的移动数据与其他数据的融合与利用．3月份美国奥巴马政府发布了“大数据研究和发展倡议”［8］（big data research and development initiative），投资２亿以上美元，正式启动“大数据发展计划”．计划在科学研究、环境、生物医学等领域利用大数据技术进行突破．奥巴马政府的这一计划被视为美国政府继信息高速公路计划之后在信息科学领域的又一重大举措．与此同时，联合国一个名为“global pulse ”的倡议项目在今年５月发布报告“big data for development :challenges or opportunities”［9］，该报告主要阐述大数据时代各国特别是发展中国家在面临数据洪流（data deluge）的情况下所遇到的机遇与挑战，同时还对大数据的应用进行了初步的解读．《纽约时报》的文章“the age of big data ”[10]。则通过主流媒体的宣传使普通民众开始意识到大数据的存在，以及大数据对于人们日常生活的影响。 在产业界，经济利益成为主要的推动力，IBM、ORACLE、微软、谷歌、亚马逊、Facebook、Teradata、EMC、惠普等跨国巨头也因大数据技术的发展而更加具有竞争力[11]。仅2009 年一年，谷歌公司通过大数据业务对美国经济贡献540 亿

常微分方程数值解法

常微分方程数值解法 【作用】微分方程建模是数学建模的重要方法，因为许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。把形形色色的实际问题化成微分方程的定解问题，大体上可以按以下几步： 1. 根据实际要求确定要研究的量(自变量、未知函数、必要的参数等)并确定坐标系。 2. 找出这些量所满足的基本规律(物理的、几何的、化学的或生物学的等等)。 3. 运用这些规律列出方程和定解条件。基本模型 1. 发射卫星为什么用三级火箭 2. 人口模型 3. 战争模型 4. 放射性废料的处理通常需要求出方程的解来说明实际现象，并加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以得到这样的解，而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来” 的于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十分重要的手段。 1. 改进Euler 法： 2. 龙格—库塔( Runge—Kutta )方法： 【源程序】 1. 改进Euler 法： function [x,y]=eulerpro(fun,x0,x1,y0,n);%fun 为函数，(xO, x1)为x 区间，yO 为初始值，n 为子 区间个数 if nargin<5,n=5O;end h=(x1-xO)/n; x(1)=xO;y(1)=yO; for i=1:n x(i+1)=x(i)+h; y1=y(i)+h*feval(fun,x(i),y(i)); y2=y(i)+h*feval(fun,x(i+1),y1); y(i+1)=(y1+y2)/2; end 调用command 窗口 f=i nlin e('-2*y+2*x A2+2*x') [x,y]=eulerpro(f,O,,1,1O) 2 x +2x , (0 < x < , y(0) = 1 求解函数y'=-2y+2 2. 龙格—库塔( Runge—Kutta )方法： [t,y]=solver('F',tspan ，y0) 这里solver为ode45, ode23, ode113，输入参数F是用M文件定义的微分方程y'= f (x, y)右端的函数。tspan=[t0,tfinal]是求解区间，y0是初值。 注：ode45和ode23变步长的，采用Runge-Kutta算法。 ode45表示采用四阶-五阶Runge-Kutta算法，它用4阶方法提供候选解，5阶方法控制误差，是一种自适应步长(变步长)的常微分方程数值解法，其整体截断误差为(△ 口人5解 决的是Nonstiff(非刚性)常微分方程。