【压轴题】高中必修二数学下期末第一次模拟试题(带答案)

【压轴题】高中必修二数学下期末第一次模拟试题(带答案)

一、选择题

1．已知向量a v ，b v 满足4a =v

，b v 在a v 上的投影（正射影的数量）为-2，则2a b -v v 的最

小值为（ ） A ．43

B ．10

C ．10

D ．8

2．已知不等式()19a x y x y ??

++ ???

≥对任意实数x 、y 恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A ．8

B ．6

C ．4

D ．2

3．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ，则()y f x =在[0,]π上的图象大致为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

4．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （ ） A ．若l m ⊥，m α?，则l α⊥ B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥ C ．若//l α，m α?，则//l m D ．若//l α，//m α，则//l m

5．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图

如图所示，则它的表面积为（ ）

A ．2

B ．422+

C ．442+

D ．642+

6．当x ∈R 时，不等式210kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞

B ．[)0,+∞

C ．[)0,4

D ．（0，4）

7．已知{}n a 的前n 项和2

41n S n n =-+，则1210a a a +++=L （ ）

A ．68

B ．67

C ．61

D ．60

8．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）

A ．20

B ．10

C ．30

D ．60

9．函数223()2x

x x

f x e +=的大致图像是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

10．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]

0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ）

A ．()20202019201832f f f ????<< ? ?????

B ．()20202019201832f f f ????

<< ? ?????

C ．()20192020201823f f f ????

<<

? ?????

D ．()20192020201823f f f ????

<<

? ?????

11．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生

B ．200号学生

C ．616号学生

D ．815号学生

12．将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2

＋y 2

＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为( ) A ．－3或7 B ．－2或8 C ．0或10

D ．1或11

二、填空题

13．已知ABC V ，135B o ∠=，22,4AB BC ==，求AB AC ?=u u u r u u u r

______．

14．若,a b 是函数()()2

0,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个

数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于________． 15．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.

16．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(]

,0-∞上是减函数,则不等式

()()1ln f f x <的解集是________.

17．设

，则

________

18．已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，点E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，则

①棱AB 与PD 所在直线垂直； ②平面PBC 与平面ABCD 垂直； ③△PCD 的面积大于△PAB 的面积； ④直线AE 与直线BF 是异面直线．

以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)

19．过点1(,1)2

M 的直线l 与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为_____．

20．在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=o ，12AA =，1AC BC ==，则异面直线

1A B 与1AC 所成角的余弦值是_____________．

三、解答题

21．已知函数31()log 1

a m x

f x x -=-（0a >，且1a ≠）的图象关于坐标原点对称．

（1）求实数m 的值；

（2）比较()2f 与()3f 的大小，并请说明理由．

22．如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，3AB AD AC ===，

4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点． （I ）证明MN ∥平面PAB ； （II ）求四面体N BCM -的体积.

23．为了解某地区某种产品的年产量x （单位：吨）对价格y （单位：千元/吨）和利润z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：

（1）求y 关于x 的线性回归方程???y

bx a =+； （2）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少

时，年利润z 取到最大值？（保留两位小数）

参考公式：1

2

1

()()()?n i

i

i n

i i x x y y b

x x ==--=-∑∑1

22

1

n

i i

i n

i

i x y nxy

x

nx ==-=

-∑∑ ，

^^y x a b

=- 24．设ABC ?的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且4

cos ,25

B b ==. （1）当π

6

A =

时，求a 的值； （2）当ABC ?的面积为3时，求a+c 的值．

25．已知数列{}n a 的前n 和为n S ，若0n a >

，1n a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若3

n

n n a b =

，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 26．已知数列{a n }满足a 1＝1，11

14n n

a a +=-，其中n ∈N *． （1）设221

n n b a =-，求证：数列{b n }是等差数列，并求出{a n }的通项公式．

（2）设41

n

n a c n =

+，数列{c n c n +2}的前n 项和为T n ，是否存在正整数m ，使得11n

m m T c c +<对于n ∈N *，恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】

b r 在a r

上的投影（正射影的数量）为2-可知||cos ,2b a b <>=-r r r ，可求出||2b ≥r ，求2

2a b -r r 的最小值即可得出结果.

【详解】

因为b r 在a r

上的投影（正射影的数量）为2-，

所以||cos ,2b a b <>=-r r r

，

即2

||cos ,b a b =-

<>

r r r ，而1cos ,0a b -≤<>

，

因为222222

2(2)44||4||||cos ,4||a b a b a a b b a a b a b b -=-=-?+=-<>+r r r r r r r r r r r r r r

22

=1644(2)4||484||b b -??-+=+r r

所以2

2484464a b -≥+?=r r ，即28a b -≥r r ，故选D.

【点睛】

本题主要考查了向量在向量上的正射影，向量的数量积，属于难题.

2．C

解析：C 【解析】 【分析】

由题意可知，(

)min 19a x y x y ????++≥?? ????

?，将代数式()1a x y x y ??++ ???展开后利用基本不等式求出该代数式的最小值，可得出关于a 的不等式，解出即可. 【详解】

()11a ax y

x y a x y y x

??++=+++ ???Q .

若0xy <，则0y

x

<，从而

1ax y a y x +++无最小值，不合乎题意； 若0xy >，则0y

x

>，0x y >.

①当0a <时，

1ax y

a y x

+++无最小值，不合乎题意； ②当0a =时，111ax y y a y x x +++=+>，则()19a x y x y ??

++ ???

≥不恒成立； ③当0a >时，

(

))

2

11111a ax y x y a a a x y y x

??++=+++≥+=+= ?

??，

当且仅当=y 时，等号成立.

所以，

)

2

19≥，解得4a ≥，因此，实数a 的最小值为4.

故选：C. 【点睛】

本题考查基本不等式恒成立问题，一般转化为与最值相关的不等式求解，考查运算求解能

力，属于中等题.

3．B

解析：B 【解析】 【分析】

计算函数()y f x =的表达式，对比图像得到答案. 【详解】 根据题意知：

cos cos OM OP x x ==

M 到直线OP 的距离为：sin cos sin OM x x x = 1

()cos sin sin 22

f x x x x ==

对应图像为B 故答案选B 【点睛】

本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的应用能力.

4．B

解析：B 【解析】 【分析】

利用,l α可能平行判断A ，利用线面平行的性质判断B ，利用//l m 或l 与m 异面判断

C ，l 与m 可能平行、相交、异面，判断

D . 【详解】

l m ⊥，m α?，则,l α可能平行，A 错；

l α⊥，//l m ，由线面平行的性质可得m α⊥，B 正确； //l α，m α?，则//l m ， l 与m 异面；C 错，

//l α，//m α，l 与m 可能平行、相交、异面，D 错，.故选B. 【点睛】

本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.

5．D

解析：D 【解析】 【分析】

根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面

积公式求出几何体的表面积． 【详解】

根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边

,斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，

∴几何体的表面积1

2222262

S =?+??=+ 故选D ． 【点睛】

本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．

6．C

解析：C 【解析】

当0k =时，不等式210kx kx -+>可化为10>，显然恒成立；当0k ≠时，若不等式

2

10kx kx -+>恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与x 轴无交点，则2

40k k k >??

=-

V 解得：04k <<，综上k 的取值范围是[

)0,4，故选C. 7．B

解析：B 【解析】 【分析】

首先运用11,1

,2n n

n S n a S S n -=?=?-≥?求出通项n a ，判断n a 的正负情况，再运用1022S S -即可

得到答案． 【详解】

当1n =时，112S a ==-；

当2n ≥时，()

()()2

2

141141125n n n a S S n n n n n -??=-=-+----+=-??

， 故2,1

25,2n n a n n -=?=?

-≥?

；

所以，当2n ≤时，0n a <，当2n >时，0n a >. 因此，

()()()12101234101022612367a a a a a a a a S S +++=-+++++=-=-?-=L L .

故选：B ． 【点睛】

本题考查了由数列的前n 项和公式求数列的通项公式，属于中档题，解题时特别注意两点，第一，要分类讨论，分1n =和2n ≥两种情形，第二要掌握()12n n n a S S n -=-≥这

一数列中的重要关系，否则无法解决此类问题，最后还要注意对结果的处理，分段形式还是一个结果的形式.

8．B

解析：B 【解析】 【分析】

根据三视图还原几何体，根据棱锥体积公式可求得结果. 【详解】

由三视图可得几何体直观图如下图所示：

可知三棱锥高：4h =；底面面积：1155322

S =

??= ∴三棱锥体积：1115

410332

V Sh ==??=

本题正确选项：B 【点睛】

本题考查棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图还原几何体，从而准确求解出三棱锥的高和底面面积.

9．B

解析：B 【解析】

由()f x 的解析式知仅有两个零点3

2

x =-

与0x =，而A 中有三个零点，所以排除A ，又()223

2x

x x f x e

-++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ． 10．C

解析：C 【解析】 【分析】

根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ????

=

? ?????，

20207312f f ????

= ? ?????

然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结

果. 【详解】

∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），

2019122f f ????= ? ?????,20207 312f f ????= ? ?????

∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ??

??? ＜712f ?? ??? ∴()20192020201823f f f ????

<< ? ?????

,故选C. 【点睛】

本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.

11．C

解析：C 【解析】 【分析】

等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】

详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，

所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =， 所以610n a n

=+()n *∈N ，

若8610n =+，则1

5

n =

，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】

本题主要考查系统抽样.

12．A

解析：A 【解析】

试题分析：根据直线平移的规律，由直线2x ﹣y+λ=0沿x 轴向左平移1个单位得到平移后直线的方程，然后因为此直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式列出关于λ的方程，求出方程的解即可得到λ的值．

解：把圆的方程化为标准式方程得（x+1）2+（y ﹣2）2=5，圆心坐标为（﹣1，2），半径为

，

直线2x ﹣y+λ=0沿x 轴向左平移1个单位后所得的直线方程为2（x+1）﹣y+λ=0， 因为该直线与圆相切，则圆心（﹣1，2）到直线的距离d=

=r=

，

化简得|λ﹣2|=5，即λ﹣2=5或λ﹣2=﹣5， 解得λ=﹣3或7 故选A

考点：直线与圆的位置关系．

二、填空题

13．16【解析】【分析】由正余弦定理可得由平面向量的数量积公式有：得解【详解】由余弦定理可得：所以由正弦定理得：所以所以即故答案为16【点睛】本题考查了余弦定理正弦定理及向量的数量积属简单题

解析：16 【解析】 【分析】

由正余弦定理可得cos A ∠，

由平面向量的数量积公式有：

cos 16AB AC AB AC A u u u r u u u r u u u r u u u r ?=∠==，得解．

【详解】

由余弦定理可得：2222cos13540AC AB BC AB BC =+-?=o ，

所以AC = 由正弦定理得：sin sin135BC AC

A =∠o

，

所以sin A ∠=

所以cos A ∠=

，

即cos 16AB AC AB AC A u u u r u u u r

u u u r u u u r

?=∠==， 故答案为16 【点睛】

本题考查了余弦定理、正弦定理及向量的数量积，属简单题

14．9【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=pab=q 再由ab ﹣2这三个数可适当排序后成等差数列也可适当排序后成等比数列列关于ab 的方程组求得ab 后得答案【详解】由题意可得：a+b=p

解析：9 【解析】 【分析】

由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p ，ab=q ，再由a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a ，b 的方程组，求得a ，b 后得答案．

【详解】

由题意可得：a+b=p ，ab=q ， ∵p＞0，q ＞0， 可得a ＞0，b ＞0，

又a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列， 也可适当排序后成等比数列， 可得①或②． 解①得：

；解②得：

．

∴p=a+b=5，q=1×4=4， 则p+q=9． 故答案为9．

点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题． 【思路点睛】

解本题首先要能根据韦达定理判断出a ，b 均为正值，当他们与-2成等差数列时，共有6种可能，当-2为等差中项时，因为

，所以不可取，则-2只能作为首项或者末

项，这两种数列的公差互为相反数；又a,b 与-2可排序成等比数列，由等比中项公式可知-2必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列方程组求解p ，q ．

15．2米【解析】【分析】【详解】如图建立直角坐标系设抛物线方程为将A （2-2）代入得m=-2∴代入B 得故水面宽为米故答案为米考点：抛物线的应用

解析：26米 【解析】 【分析】 【详解】

如图建立直角坐标系，设抛物线方程为2

x my =， 将A （2，-2）代入2

x my =， 得m=-2，

∴2

2x y =-，代入B ()0,3x -得06x =

故水面宽为266 考点：抛物线的应用

16．【解析】由定义在实数集上的偶函数在区间上是减函数可得函数在区间上

是增函数所以由不等式得即或解得或即不等式的解集是;故答案为

解析：()10,e,e ∞??

?+ ???

【解析】

由定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(]

,0-∞上是减函数,可得函数()f x 在区间

()0+∞，

上是增函数,所以由不等式()()1ln f f x <得ln 1x >,即ln 1x >或ln 1x <-,解得x e >或10e x <<

,即不等式()()1ln f f x <的解集是()10,e,e ∞??

?+ ???

;故答案为()10,e,e ∞??

?+ ???

. 17．-1【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出f(-2)的值并判定符号从而可得f(f(-2))的值【详解】∵fx=1-xx≥0x2x<0-2<0∴f-2=-22=4>0所以f(f(-2))=f4=1- 解析：-1 【解析】 【分析】

由分段函数的解析式先求出的值并判定符号，从而可得

的值.

【详解】

， ，

所以，故答案为-1. 【点睛】

本题主要考查分段函数的解析式，属于简单题. 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外

依次求值．

18．①③【解析】由条件可得AB⊥平面PAD∴AB⊥PD 故①正确；若平面PBC⊥平面ABCD 由PB⊥BC 得PB⊥平面ABCD 从而PA∥PB 这是不可能的故②错；S△PCD＝CD·PDS△PAB＝AB·PA 由

解析：①③ 【解析】

由条件可得AB ⊥平面PAD ， ∴AB ⊥PD ，故①正确；

若平面PBC ⊥平面ABCD ，由PB ⊥BC ，

得PB ⊥平面ABCD ，从而PA ∥PB ，这是不可能的，故②错；S △PCD ＝

1

2

CD ·PD ，S △PAB ＝

1

2

AB ·PA ， 由AB ＝CD ，PD >PA 知③正确； 由E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点， 可得EF ∥CD ，又AB ∥CD ， ∴EF ∥AB ，故AE 与BF 共面，④错．

19．2x ﹣4y+3＝0【解析】【分析】要∠ACB 最小则分析可得圆心C 到直线l 的距离最大此时直线l 与直线垂直即可算出的斜率求得直线l 的方程【详解】由题得当∠ACB 最小时直线l 与直线垂直此时又故又直线l 过点

解析：2x ﹣4y +3＝0 【解析】 【分析】

要∠ACB 最小则分析可得圆心C 到直线l 的距离最大,此时直线l 与直线CM 垂直,即可算出CM 的斜率求得直线l 的方程. 【详解】

由题得,当∠ACB 最小时,直线l 与直线CM 垂直,此时

10

2112

CM k -=

=-- ,又1CM l k k ?=-,故12l k =

,又直线l 过点1

(,1)2M ,所以11:1()22l y x -=-,即2430x y -+= . 故答案为：2430x y -+=

【点睛】

本题主要考查直线与圆的位置关系,过定点的直线与圆相交于两点求最值的问题一般为圆心到定点与直线垂直时取得最值.同时也考查了线线垂直时斜率之积为-1,以及用点斜式写出直线方程的方法.

20．【解析】【分析】先找出线面角运用余弦定理进行求解【详解】连接交于点取中点连接则连接为异面直线与所成角在中同理可得异面直线与所成角的余弦值是故答案为【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角考查了空间想象 解析：

3010

【解析】

【分析】

先找出线面角，运用余弦定理进行求解 【详解】

连接1AB 交1A B 于点D ，取11B C 中点E ，连接DE ，则1DE AC P ，连接1A E

1A DE ∴∠为异面直线1A B 与1AC 所成角

在111Rt AC B n 中，111AC =，11111

22

C E C B =

= 15

A E ∴=

同理可得16A D =

5DE =2

2

2

165530cos 65

2A DE +-?

?????∠==??

, ∴异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值是3010

30【点睛】

本题主要考查了异面直线所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于基础题．

三、解答题

21．（1）1m =-；（2）当1a >时， ()()23f f >；当01a <<时， ()()23f f <，理由见解析 【解析】 【分析】

（1）将图象关于坐标原点对称转化为函数为奇函数，从而有()()f x f x -=-在函数的定义域内恒成立，进而求得m 的值，再进行检验；

（2）根所在（1）中求得的m 值，得到1

()log 1

a

x f x x +=-，再求得()()2,3f f 的值，对 a 分两种情况讨论，从而得到()()2,3f f 的大小关系.

【详解】

解：（1）31()log 1a m x f x x -=-Q ，31()

()log 1

a m x f x x -?-∴-=--．

又Q 函数()f x 的图象关于坐标原点对称，()f x ∴为奇函数，

()()f x f x ∴-=-在函数的定义域内恒成立，

331()1log log 11a a

m x m x

x x -?--∴=----， 331()1111

m x m x

x x -?--∴?=---，

()6210m x ∴-=在函数的定义域内恒成立，

1m ∴=-或1m =．

当1m =时，函数的真数为1-，不成立，

1m ∴=-．

（2）据（1）求解知，1

()log 1

a

x f x x +=-， (2)log 3a f ∴=，(3)log 2a f =．

当1a >时，函数()log a g x x =在(0,)+∞上单调递增，

23

当01a <<时，函数()log a g x x =在(0,)+∞上单调递减，

23?>．

【点睛】

本题考查利用函数的奇偶性求解析式中参数值、对数函数的单调性比较大小，考查数形结合思想、分类讨论思想的运用，在比较大小时，注意对a 分1a >和01a <<两种情况讨论. 22．(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)4

53

. 【解析】

试题分析：（Ⅰ）取PB 的中点T ，然后结合条件中的数据证明四边形AMNT 为平行四边形，从而得到MN AT P ，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）由条件可知四面体N-BCM 的高，即点N 到底面的距离为棱PA 的一半，由此可顺利求得结果． 试题解析：（Ⅰ）由已知得

，取

的中点T ，连接

，由N 为

中点知

，

.

又，故平行且等于，四边形AMNT 为平行四边形，于是

.

因为

平面

，

平面

，所以

平面

.

（Ⅱ）因为平面

，N 为

的中点，

所以N 到平面的距离为.

取的中点

，连结

.由得，.

由得到

的距离为

，故1

45252

BCM S =

??=V . 所以四面体

的体积145

323

N BCM BCM PA V S -=

??=

V . 【考点】直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积

【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又找出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解．

23．(1) 8.69 1.?23y

x =- (2) 2.72x =，年利润z 最大 【解析】

分析：（1）由表中数据计算平均数与回归系数，即可写出线性回归方程； （2）年利润函数为(2)z x y =-，利用二次函数的图象与性质，即可得到结论. 详解：（1）3x =，5y =，

5

1

15i i x ==∑

，5

1

25i

i y

==∑，51

62.7i i i x y ==∑，52

1

55i x ==∑，5

21

55i i x ==∑，

解得：^

1.23b =-，^

8.69a =， 所以：8.69 1.?23y

x =-， （2）年利润()2

8.69 1.232 1.23 6.69z x x x x x =--=-+

所以 2.72x =，年利润z 最大.

点睛：本题考查了线性回归方程以及利用回归方程预测生产问题，试题比较基础，对于线性回归分析的问题：（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数r 公式求出r ，然后根据r 的大小进行判断．求线性回归方程时在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性．

24．（1）5

3

a =（2

）a c +=【解析】

试题分析：（1）利用同角三角函数的基本关系式，求出sin B ，利用正弦定理求出a 即可．

（2）通过三角形的面积求出ac 的值，然后利用余弦定理即可求出a +c 的值． 试题解析: 解：（1）43cos ,sin 55

B B =

∴=Q . 由正弦定理得10,sin sin 3sin 6a b a A B π==

可得. 53

a ∴=

. （2）ABC ?Q 的面积13sin ,sin 25

S ac B B =

=， 3

3,1010

ac ac ∴

==. 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 得4=2

2

228

165

a c ac a c +-

=+- ,即2220a c +=. ∴()()22

220,40a c ac a c +-=+=，

∴a c +=点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：

第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.

25．（Ⅰ）21n a n =-；（Ⅱ）1

13

n n n T +=-. 【解析】

试题分析：（Ⅰ）由条件得()2

41n n S a =+，由1n =得1a ，当2n ≥时，

()2

1141n n S a --=+，两式作差得22

11422n n n n n a a a a a --=+--，整理得12n n a a --=，由

等差数列公式求通项即可； （Ⅱ）由()1

213

n n b n =-?，利用错位相减即可得解. 试题解析：

（Ⅰ）

1n a =Q ， ()2

41n n S a ∴=+． 当1n =时，()2

1141S a =+，得11a =． 当2n ≥时，()21141n n S a --=+，

()()()22

11411n n n n S S a a --∴-=+-+，

2211422n n n n n a a a a a --∴=+--，即()()()1112n n n n n n a a a a a a ---+-=+，

0,n a >Q 12n n a a -∴-=．

∴数列{}n a 是等差数列，且首项为11a =，公差为2，

()12121n a n n ∴=+-=-．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，()1213

n n b n =-?

， ()231111

135213333n n T n ∴=?+?+?+???+-?，——①

()()23111111

132********

n n n T n n +=?+?+???+-?+-?，——② ①–②得()2312

111

112213

33333n n n T n +??

=

+++???+--? ?

??

()21111

113322113313n n n ++-=+?--?-， 化简得1

13

n n n T +=-．

解法二：（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，()1213

n n b n =-?， 设()()()()11111

2112323333

n n n n n b n An B A n B An A B -??=-?

=+?--+?=-+-???， 22,321,A A B -=?∴?-=-?解得1,

1.A B =-??=-?

()()()()1111111

211133333

n n n n n n b n n n n n --∴=-?=--?--?=?-+?，

∴

()1201121111111112231133333

33n n n n n

n T b b b n n -+?????

?=++???+=?-?+?-?++?-+?=- ? ?????????L .

26．（1）1

2n n a n

+=；（2）3 【解析】 试题分析：

(1)结合递推关系可证得b n +1-b n =2，且b 1＝2，即数列{b n }是首项为2，公差为2的等差数列，据此可得数列{}n a 的通项公式为1

2n n a n

+=． (2)结合通项公式裂项有21122n n c c n n ，+??=-

?+??

求和有1

11213212n T n n ??=+--< ?++??

．据此结合单调性讨论可得正整数m 的最小值为3．

试题解析： （1）证明：b n +1-b n 12

2

2121

n n a a +=

-

--

2

2

211211

4n n a a =

-

-??

-- ??

? 42

22121

n n n a a a =

-=--． 又由a 1＝1，得b 1＝2，所以数列{b n }是首项为2，公差为2的等差数列，所以b n ＝2+(n -1)×2＝2n ，由221

n n b a =-，得1

2n n a n

+=

． （2）解：2

n c n =

，()2411222n n c c n n n n +??==- ?++??

所以

1

11213212n T n n ??=+--< ?++??

．

依题意，要使11n m m T c c +<

对于n ∈N *恒成立，只需()134

m m +≥，解得m ≥3或m ≤-4．又

m ＞0，所以m ≥3，所以正整数m 的最小值为3．