2005年高考试题——数学( 江 苏卷)
2005年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（江苏卷）
第一卷（选择题共60分）
参考公式：
三角函数的和差化积公式
2
cos
2
sin
2sin sin β
αβ
αβα-+=+ 2
sin
2
cos
2sin sin β
αβ
αβα-+=-
2
cos
2
cos
2cos cos β
αβ
αβα-+=+ 2
sin
2
sin
2cos cos β
αβ
αβα-+-=-
若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概
率P n （k ）=k n k
k n p p C --)1(
一组数据n x x x ,,,21 的方差])()()[(1
222212
x x x x x x n
S n -++-+-= 其中x 为这组数据的平均值
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题意要求的。
1．设集合A={1，2}，B={1，2，3}，C={2，3，4}则=C B A )( （ ）
A ．{1，2，3}
B ．{1，2，4}
C ．{2，3，4}
D ．{1，2，3，4} 2．函数)(31R x x y x ∈+=-的反函数的解析表达式为
（ ）
A ．32
log 2-=x y B ．23
log 2-=x y
C ．2
3log 2
x
y -= D ．x
y -=32log 2
3．在各项都为正数的等比数列}{n a 中，首项31=a ，前三项和为21，则=++543a a a （ ）
A ．33
B ．72
C ．84
D ．189
4．在正三棱柱中ABC —A 1B 1C 1，若AB=2，AA 1=1，则点A 到平面A 1BC 的距离为（ ）
A ．
4
3
B ．
2
3 C ．
4
3
3 D ．3
5．ABC BC A ABC ?==?则中,3,3
,π
的周长为
（ ）
A ．3)3
sin(34++π
B B ．3)6
sin(34++π
B
C ．3)3
sin(6++
π
B
D ．3)6
sin(6++
π
B
6．抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 （ ）
A ．
16
17
B ．
16
15 C ．
8
7 D ．0
7．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为 （ ）
A ．9.4，0.484
B ．9.4，0.016
C ．9.5，0.04
D ．9.5，0.016
8．设γβα,,为两两不重合的平面，n m l ,,为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①若βαγβγα//,,则⊥⊥；
②若βαββαα//,//,//,,则n m n m ??； ③若βαβα//,,//l l 则?；
④若.//,//,,,n m l n m l 则γαγγββα=== 其中真命题的个数是 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 9．设5
)2(,5,4,3,2,1+=x k 则的展开式中k
x 的系数不可能是 （ ）
A ．10
B ．40
C ．50
D ．80 10．若=+=-)232cos(,31)6sin(απ
απ
则
（ ）
A ．9
7- B ．31-
C ．
3
1
D ．
9
7 11．点P （－3，1）在椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左准线上. 过点P 且方向为a =（2，－5）
的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为 （ ）
A ．
3
3
B ．
3
1 C ．
2
2 D ．
2
1 12．四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一
仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱多代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打 算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法 种数为 （ ）
A ．96
B ．48
C ．24
D ．0
第二卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在答题卡相应位置. 13．命题“若122,->>b
a
b a 则”的否命题为 . 14．曲线13
++=x x y 在点（1，3）处的切线方程是 . 15．函数)34(log 25.0x x y -=
的定义域为 .
16．函数=+∈=k k k a a
则),1,[,618.03 .
17．已知a ，b 为常数，若=-++=+++=b a x x b ax f x x x f 5,2410)(,34)(2
2
则 .
18．在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则OA （OB +OC ）的最小值是
.
三、解答题：本大小题共5小题，共66分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．（本小题满分12分）
如图,圆O 1与圆O 2的半径都是1,O 1O 2=4,过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、
PN （M 、N 为切点），使得PN PM 2
试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程.
20．(本小题满分12分，每小问满分4分)
甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是
4
3
32和.假设两人射击是否击中目 标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响. (Ⅰ)求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率;
(Ⅱ)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率;
(Ⅲ)假设某人连续2次未击中目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率
是多少?
21． (本小题满分14分，第一小问满分6分,第二、第三小问满分各4分) 如图，在五棱锥S—ABCDE中，SA⊥底面ABCDE，
120.
SA=AB=AE=2，BC=DE=3，∠BAE=∠BCD=∠CDE=
(Ⅰ)求异面直线CD与SB所成的角(用反三角函数值表示);
(Ⅱ)证明BC⊥平面SAB
(Ⅲ)用反三角函数值表示二面角B-SC-D的大小(本小问不必写出解答过程)
22． (本小题满分14分，第一小问满分4分,第二小问满分10分)
已知R a ∈，函数.||)(2
a x x x f -=
(Ⅰ)当a =2时,求f(x)=x 使成立的x 的集合; (Ⅱ)求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值.
23． (本小题满分14分，第一小问满分2分, 第二、第三小问满分各6分)
设数列｛a n ｝的前n 项和为n S ,已知a 1=1, a 2=6, a 3=11,且n n S n S n )25()85(1+--+
,,3,2,1, =+=n B An 其中A ，B 为常数.
(Ⅰ)求A 与B 的值;
(Ⅱ)证明数列｛a n ｝为等差数列;
(Ⅲ)证明不等式15>-n m mn a a a 对任何正整数m 、n 都成立.
数学试题参考答案
一、选择题：本题考查基本概念和基本运算，每小题5分，满分60分。
1.D
2.A
3.C
4.B
5.D
6.B
7.D
8.B
9.C 10.A 11.A 12.B 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分24。
13．若122,-≤≤b
a b a 则 14．014=--y x
15．]1,4
3
()0,41[?-
16．－1 17．2 18．－2
三、解答题：
19．本小题主要考查求轨迹方程的方法及基本运算能力。满分12分。
解：以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，线段O 1O 2的垂直平分线为y 轴，建
立如图所示的平面直角坐标系，则O 1（－2，0），O 2（2，0）。
由已知PM=222,2PN PM PN =得， 因为两圆的半径均为1，所以
PO 12
－1=2（PO 22
－1）， 设则),,(y x P
]1)2[(21)2(2222-+-=-++y x y x ，
即,33)6(22=+-y x 所以所求轨迹方程为
)0312.(33)6(2222=+-+=+-x y x y x 或
20．本小题主要考查相互独立事件同时发生或互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分12分. 解：（Ⅰ）记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击4次，
相当于4次独立重复试验，故 81
65)3
2
(1)(1)(4
11=-=-=A P A P 答：甲连续射击4次至少有1次未击中目标的概率为
.8165 （Ⅱ）记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击4次，恰有3次击中目
标”为事件B 2，则 .27
8)
3
21()32()(2
42
2
42=-??=-C A P .64
27)4
31()43()(2
422
42=-??=-C B P 由于甲、乙射击相互独立，故 .8
16427278)()()(2221=?=
=B P A P B A P 答：两人各射击4次，甲恰有2次击中目标乙恰有3次击中目标的概率为8
1
。
（Ⅲ）记“乙恰好射击5次后被中止射击”为事件A 3,“乙第i 次射击未击中”为事件D i ）
（i =1，2，3，4，5），则4
1
)(),(123453==i D P D D D D D A 且，由于各事件相互独立，故 ))(()()()(123453D D D P D P D P A P =
.1024
45)41411(434141=?-???=
答：乙恰好射击5次后被中止射击的概率为
.1024
45
21．本小题主要考查异面直线所成角、线面垂直、二面角等基础知识以及空间线面位置关系
的证明、角和距离的计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力，满分14分。 解：（Ⅰ）连结BE ，延长BC 、ED 交于点F ， 则∠DCF=∠CDF=60°，
∴△CDF 为正三角形，∴CF=DF. 又BC=DE ，∴BF=EF ，
因此，△BFE 为正三角形，
∴∠FBE=∠FCD=60°，
∴BE//CD ，所以∠SBE （或其补角）就是
异面直线CD 与SB 所成的角。
∵SA ⊥底面ABCDE ，且SA=AB=AE=2，
∴SB=.22,22=SE 同理
又∠BAE=120°，所以BE=32，从而,4
6cos =
∠SBE ∴∠SBE=.4
6arccos
所以异面直线CD 与SB 所成的角为.4
6arccos
（Ⅱ）由题意，△ABE 是等腰三角形，∠BAE=120° 所以∠ABE=30°，又∠FBE=60°. ∴∠ABC=90°，所以BC ⊥BA.
∵SA ⊥底面ABCDE ，BC ?底面ABCDE ， ∴SA ⊥BC ，又SA ∩BA=A ∴BC ⊥平面SAB.
（Ⅲ）二面角B —SC —D 的大小为.82
82
7arccos
-π 向量解法
（Ⅰ）连结BE ，延长BC 、ED 交于点F ，则∠DCF=∠CDF=60° ∴△CDF 为正三角形，∴CF=DE ，又BC=E ，∴BF=EF 。 故△BFE 为正三角形，
因为△ABE 是等腰三角形，且?=∠∴?=∠90,120ABC BAE .
以A 为原点，AB 、AS 边所在的直线分别为x 轴、z 轴，以平面ABC 内垂直于AB 的直 线为y 轴，建立空间直角坐标系（如图），则
),0,2
33,21(),0,3,2(),2,0,0(),0,0,2(),0,0,0(D C S B A 且
于是)2,0,2(),0,23,23(-=-
=BS CD ，则 ,4
62
233|
|||),cos(=?=
=
BS CD ,4
6arccos
),(=∴
∴异面直线CD 与SB 所成的角为.4
6arccos
（Ⅱ）),2,0,0(),0,0,2(),0,3,0(-===
,0)2,0,0()0,3,0(,0)0,0,2()0,3,0(=-?=?=?=?∴ .,.
,SAB BC A SA AB SA BC AB BC 平面⊥∴=⊥⊥∴
（Ⅲ）二面角B —SC —D 的大小为.82
82
7arccos
-π 22．本小题主要考查运用导数研究函数性质的方法，考查分数讨论的数学思想和分析推理能
力.满分14分.
解：（Ⅰ）由题意，.|2|)(2-=x x x f
当,)2()(,22x x x x f x =-=<时解得;10==x x 或 当21,)2()(,22+==-=≥x x x x x f x 解得时. 综上，所求解集为}.21,1,0{+ （Ⅱ）设此最小值为m.
①当.)(,]2,1[,12
3ax x x f a -=≤上在区间时 因为 ),2,1(,0)3
2
(323)(2
∈>-
=-='x a x x ax x x f 则)(x f 是区间[1，2]上的增函数，所以.1)1(a f m -==
②当0)(,0||)(,]2,1[,212=≥-=≤ 2 (332)(,)(,]2,1[,22 3 2 x a x x ax x f x ax x f a -=-='-=>上在区间时 若]2,1[)(,0)()2,1(,3为区间从而内在区间x f x f a >'≥上的增函数， 由此得.1)1(-==a f m 若.23 2 1,32<< < ,1[)(,0)(,321a x f x f a x 为区间从而时>'<<上的增函数； 当]2,3 2 [)(,0)(,232a x f x f x a 为区间从而时<'<<上的减函数. 因此，当),2(4)2(1)1(,32--=-==< 当)2(4,1)2(4,3 7 2-=-≤-≤ 1),2(41,33 7