解三角形三类经典题型
解三角形三类经典类型
类型一 判断三角形形状 类型二 求范围与最值 类型三 求值专题
类型一 判断三角形形状
例1：已知△ABC 中,bsinB=csinC,且C B A 2
22sin sin sin +=,试判断三角形的形状． 解：∵bsinB=csinC,由正弦定理得 sin 2B=sin 2
C ，∴ sinB=sinC ∴ B=C 由 C B A 222sin sin sin += 得 2
22c b a += ∴三角形为等腰直角三角形． 例２：在△ABC 中，若Ｂ=
60，２b=a+c,试判断△ABC 的形状.
解:∵２b=a+c, 由正弦定理得2sinB=sinA+sinC,由B=
60得sinA+sinC=3 由三角形内角和定理知sinA+sin(A -
120)=3,整理得 sin(A+ 30)=1
∴A+
60,9030==A 即,所以三角形为等边三角形.
例3：在△ABC 中，已知2
2
tan tan b a B A =，试判断△ABC 的形状． 解：法1：由题意得 B
A
A B B A 2
2sin sin cos sin cos sin =，化简整理得sinAcosA=sinBcosB 即sin2A=sin2B ∴2A=2B 或2A+2B=π ∴A=B 或2
π
=
+B A ，∴三角形的形状为等腰三角形或直角三角形．
法2：由已知得22cos sin cos sin b a A B B A =结合正、余弦定理得2
22222
2222b a bc
a c
b b a
c b c a a =-+?
-+?
， 整理得0))((2
2
2
2
2
=-+-c b a b a ∴ 2
2222c b a b a =+=或
即三角形为等腰三角形或直角三角形 例4：在△ABC 中，（1）已知sinA=2cosBsinC ，试判断三角形的形状； （2）已知sinA=
C
B C
B cos cos sin sin ++，试判断三角形的形状．
解：(1)由三角形内角和定理得 sin(B+C)=2cosBsinC
整理得sinBcosC －cosBsinC=0即sin(B －C)=0 ∴ B=C 即三角形为等腰三角形. (2)由已知得 sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC ，结合正、余弦定理得
c b ab
c b a a ac b c a a +=-+?+-+?22222222，化简整理得 0))((222=+--c b c b a
∴2
2
2
c b a +=即三角形为直角三角形．
例5：在△ABC 中，（1）已知a －b=ccosB －ccosA ，判断△ABC 的形状．
（2）若b=asinC,c=acosB,判断△ABC 的形状．
解：（1）由已知结合余弦定理可得bc a c b c ac b c a c b a 222
22222-+?--+?=-，整理得
0))((222=-+-c b a b a ∴222c b a b a =+=或，∴三角形为等腰三角形或直角三角形
（2）由b=asinC 可知 A
B
C a b sin sin sin ==，由c=acosB 可知ac b c a a c 2222-+?=整理得
222a c b =+，即三角形一定是直角三角形，∠A= 90，∴sinC=sinB ∴∠B=∠C ，∴△ABC
为等腰直角三角形．
例6：已知△ABC 中，5
4
cos =
A ，且3:2:1)2(::)2(=+-c b a ，判断三角形的形状． 解：由题意令)0(32,2,2>=+==-k k c k b k a ，则23,2,2-==+=k c k b k a ∵5
4cos =
A ,由余弦定理得4=k ∴ 10,8,6===c b a ∴ 2
22c b a =+即△ABC 为直角三角形．
7.在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，c
c
b A 22cos 2+=
，则△ABC 的形状为______ 8.在?ABC 中，若
tan 2,tan A c b
B b
-=，则A=
类型二 求范围与最值
1、在ABC ?中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、满足
bc a c b =-+222，0>?BC AB ,2
3
=
a ,则c
b +的取值范围是 2、在△ABC 中，AD 为BC 边上的高线，AD ＝BC ，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，
c ，则b c ＋c
b 的
最大值是________．
解析 因为AD ＝BC ＝a ，由12a 2＝12bc sin A ，解得sin A ＝a 2
bc ，再由余弦定理得cos A ＝
b 2＋
c 2－a 22bc
211(sin )22b c a b c A c b bc c b
??=+-=+- ???，得b c ＋c
b ＝2cos A ＋sin A ，又A ∈(0，π)，最大值为 5
解析几何或者几何法
1
解析几何法：,BC 2,AB ,ABC ABC ?==?求面积的最大值。 2
几何法：ABC ?，知道BC=4，B 的范围。 方程有解，利用判别式求范围。 附例：
4、已知ABC ?中，B=
3,3
=b π
，且ABC ?有两解，则边a 的取值范围是
5、借力打力型求取值范围 附例：钝角三角形中，3
B π
=
，若最大边和最小边长的比为m ，则m 的取值范围是
+-3
3
ππ
αα设钝角三角形的另外两个角是
，
6、 已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是
7、在△ABC 中若2C B ∠=∠,则AB
AC
的取值范围 8、已知ABC ?中，B=
3,3
=b π
，且ABC ?有一解，则边a 的取值范围是
9、已知ABC ?中,,2,45a x b B ===,若该三角形有两解,则x 的取值范围是 10、钝角三角形ABC 的三边长为a ,a +1,a +2(a N ∈)，则a= 11、在锐角ABC ?中，1BC =，2B A =，则AC 的取值范围为 .
12、设ABC ?的内角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，若三边的长为连续的三个正整数，且C B A >>，C A 2=，则C B A sin :sin :sin 为 14、在锐角三角形ABC ?中，B A 2=，则
c b b +的取值范围是 )2
1
,31( B
A
C
a c b
15、在锐角三角形ABC ?中，k
b a
c S 2
2)(--=，C 既不是最大角，也不是最小角，求k 值
取值范围________.
)90,45(,2
tan
4 ∈=C C
k ，)4,424(-∈k 16. 在钝角三角形ABC ?中，已知,2,1==b a 则c 的取值范围为 )3,5()3,1(?
类型三 求值专题
1、在△ABC 中，若BC=5，CA=7，AB=8，则△ABC 的最大角与最小角之和是 .
2、在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C ＝________.
3、在△ABC 中，D 为BC 边上一点，BC ＝3BD ，AD ＝2，∠ADB ＝135°，若AC ＝2AB ，则BD ＝________.
解析：∵(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，∴设b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，a ＋b ＝6k (k ＞0)，
解得a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝3
2
k ，∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.答案：7∶5∶3
4、钝角三角形边长为a ，a ＋1，a ＋2，其最大角不超过120°，则a 的取值范围是________．
5、在△ABC 中，已知a-b=4,a+c=2b 且最大内角为1200
，则a= .
6、如果满足∠ABC ＝60°，AC ＝12，BC ＝k 的三角形恰有一个，那么k 的取值范围是________．
7、在△ABC 中，若C ＝30°，AC ＝33，AB ＝3，则△ABC 的面积为________． 解析：由正弦定理得：AB sin C ＝AC sin B ，sin B ＝AC AB sin C ＝333·12＝3
2，所以B ＝60°或120°.
当B ＝60°时，S △＝12AB ×AC ＝12·3·33＝932；当B ＝120°时，S △＝1
2
AB ×AC ·sin30°
＝934
.
答案：932或934
8、 仅有一个等式作为方程求解时，注意整体思想，整体带入
附例：在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若b a ＋a b ＝6cos C ，则
tan C
tan A ＋tan C
tan B
的值是____4____ 9 海上有A 、B 两个小岛，相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60o的视角，从B 岛望C
岛和A 岛成75o的视角；则B 、C 间的距离是 海里.
10．某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，测得该渔轮在方位角45o、距离为10海里的C 处，并测得渔轮正沿方位角105o的方向、以每小时9海里的速度向附近的小岛靠拢。我海军舰艇立即以每小时21海里的速度前去营救；则舰
艇靠近渔轮所需的时间是 小时.
11、在ABC ?中，若A ＝600，a =23sin 2sin 3sin a b c
A B C
++=++__________． 4
12、在?ABC 中，三边a ，b ，c 与面积s 的关系式为2221
(),4
s a b c =+-则角C 为 .45
13、在ABC ?中，在?ABC 中，若tan 2,tan A c b
B b
-=，求A .
解：由正弦定理知C R c sin 2=，B b sin =，B B C B
B A A
sin sin sin 2cos sin cos sin -=∴1sin sin 2-=B C
B
C B A B A sin sin 21sin cos cos sin =
+∴，B C A B B A sin sin 2cos sin )sin(=+∴，B C
A B C sin sin 2cos sin sin =∴， 21cos =∴A ，3
π
=∴A .