A
圆的总结
一 集合:
圆:圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
二 轨迹:
1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是:以定点为圆心,定长为半径的圆;
2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是:线段的中垂线;
3、到角两边距离相等的点的轨迹是:角的平分线;
4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线
三 位置关系: 1点与圆的位置关系:
点在圆内 d
2 直线与圆的位置关系:
直线与圆相离 d>r 无交点
图5
直线与圆相切 d=r 有一个交点 直线与圆相交 3 圆与圆的位置关系:外离(图1) 外切(图2) 相交(图3) 有两个交点 R-r 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中, BC BD =AC AD = D B 只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即: ①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤ 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即:在⊙O 五 圆心角定理 六 圆周角定理 圆周角定理:同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的 角的一半 即:∵∠AOB 和∠ACB 是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB 圆周角定理的推论: 推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧 即:在⊙O 中,∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 B A B A O ∴∠C=∠D 推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径 即:在⊙O 中,∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠C=90° ∴AB 是直径 推论3:三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形 即:在△ABC 中,∵OC=OA=OB ∴△ABC 是直角三角形或∠C=90° 注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。 七 圆内接四边形 圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。 即:在⊙O 中,∵四边形ABCD 是内接四边形 ∴∠C+∠BAD=180° B+∠D=180° ∠DAE=∠C 八 切线的性质与判定定理 (1)判定定理:过半径外端且垂直于半径 P 的直线是切线 两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 即:∵MN⊥OA且MN过半径OA外端 ∴MN是⊙O的切线 (2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图) 推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点 推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心 以上三个定理及推论也称二推一定理: 即:过圆心过切点垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件∵MN是切线 ∴MN⊥OA 切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线, 它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分 两条切线的夹角。 即:∵PA、PB是的两条切线 ∴PA=PB PO平分∠BPA 九圆内正多边形的计算 (1)正三角形 在⊙O中 △ABC是正三角形,有关计算在Rt△BOD OD:BD:OB= 1::2