大学物理 机械波习题思考题及答案
习题8
8-1．沿一平面简谐波的波线上，有相距2.0m 的两质点A 与B ，B 点振动相位
比A 点落后
6
π
，已知振动周期为2.0s ，求波长和波速。 解：根据题意，对于A 、B 两点，m x 26
12=?=-=?，π
???，
而m 242=??=
?λλ
π
?x ，m/s 12==
T
u λ
8-2．已知一平面波沿x 轴正向传播，距坐标原点O 为1x 处P 点的振动式为
)cos(?ω+=t A y ，波速为u ，求：
（1）平面波的波动式；
（2）若波沿x 轴负向传播，波动式又如何?
解：（1）设平面波的波动式为0cos[]x
y A t u
ω?=-+（），则P 点的振动式为：
1
0cos[]P x y A t u
ω?=-
+（），与题设P 点的振动式cos()P y A t ω?=+比较， 有：10x u
ω??=+，∴平面波的波动式为：1
cos[()]x x y A t u ω?-=-+；
（2）若波沿x 轴负向传播，同理，设平面波的波动式为：
0cos[]x
y A t u ω?=++（），则P 点的振动式为：
10cos[]P x
y A t u ω?=++（），与题设P 点的振动式cos()P y A t ω?=+比较，
有：10x u
ω??=-+，∴平面波的波动式为：1
cos[()]x x y A t u ω?-=++。
8-3．一平面简谐波在空间传播，如图所示，已知A 点的振动规律为cos(2)y A t πν?=+，试写出： （1）该平面简谐波的表达式；
（2）B 点的振动表达式（B 点位于A 点右方d 处）。 解：（1）仿照上题的思路，根据题意，设以O 点为原点平面简谐波的表达式为：
0cos[2]x
y A t u
πν?=++（），则A 点的振动式：
0cos[2]A l
y A t u
πν?-=+
+（） 题设A 点的振动式cos(2)y A t πν?=+比较，有：02l
u
πν??=+， ∴该平面简谐波的表达式为：]2cos[?πν+++
=）（u
x u l t A y （2）B 点的振动表达式可直接将坐标x d l =-，代入波动方程：
]2cos[]2cos[?πν?πν++=+-++
=）（）（u
d t A u l d u l t A y
8-4．已知一沿x 正方向传播的平面余弦波，s 3
1
=
t 时的波形如图所示，且周期T 为s 2。
（1）写出O 点的振动表达式； （2）写出该波的波动表达式； （3）写出A 点的振动表达式； （4）写出A 点离O 点的距离。
解：由图可知：0.1A m =，0.4m λ=，而2T s =，则：/0.2/u T m s λ==，
2T πωπ=
=，25k ππλ
==，∴波动方程为：00.1cos(5)y t x ππ?=-+ O 点的振动方程可写成：00.1cos()O y t π?=+
由图形可知：s 31=t 时：0.05O y =，有：00.050.1cos()3π
?=+
考虑到此时0O d y d t <，∴03π?=，53
π
（舍去） 那么：（1）O 点的振动表达式：0.1cos()3
O y t π
π=+
；
（2）波动方程为：0.1cos(5)3
y t x π
ππ=-+
；
（3）设A 点的振动表达式为：0.1cos()A A y t π?=+
由图形可知：s 31=t 时：0A y =，有：cos()03A π
?+=
考虑到此时0A d y d t >，∴56A π?=-（或76
A π
?=）
∴A 点的振动表达式：50.1cos()6A y t ππ=-
，或70.1cos()6
A y t ππ=+； （4）将A 点的坐标代入波动方程，可得到A 的振动方程为：
0.1cos(5)3
A A y t x π
ππ=-+，与（3）求得的A 点的振动表达式比较，有：
5563A t t x πππππ-=-+，所以：m x A 233.030
7== 。
8-5．一平面简谐波以速度m/s 8.0=u 沿x 轴负方向传播。已知原点的振动曲线如图所示。试写出：
（1）原点的振动表达式； （2）波动表达式；
（3）同一时刻相距m 1的两点之间的位相差。 解：这是一个振动图像！
由图可知A =0.5cm ，设原点处的振动方程为：3
0510cos()O y t ω?-=?+。
（1）当0t =时，30
2.510O t y -==?，考虑到：
0O t d y d t
=>，有：03
π?=-
，
当1t =时，10O
t y ==，考虑到：10O t d y d t
=<，有：3
2
π
π
ω-
=
，56
πω=
， ∴原点的振动表达式：3
5510cos(
)63
O y t ππ-=?-； （2）沿x 轴负方向传播，设波动表达式：3
5510cos(
)63
y t k x ππ
-=?+- 而512460.825k u ωππ==?=，∴3
524510cos()6253
y t x πππ-=?+-；
（3）位相差：25
2 3.2724
x k x rad ?ππλ??==?== 。
8-6．一正弦形式空气波沿直径为cm 14的圆柱形管行进，波的平均强度为
39.010-?/()J s m ?，频率为Hz 300，波速为m/s 300。问波中的平均能量密度
和最大能量密度各是多少？每两个相邻同相面间的波段中含有多少能量？ 解：（1）已知波的平均强度为：3
9.010
I -=?/()J s m ?，由I w u =? 有：
3539.010310/300
I w J m u --?===?
53max 2610/w w J m -==?；
（2）由W w V =?，∴2
2
114
4
u
W w d w d
πλπν
=?=
5327310/(0.14)1 4.62104
J m m m J π
--=??
??=? 。
8-7．一弹性波在媒质中传播的速度310/u m s =，振幅4
1.010A m -=?，频率
310Hz ν=。若该媒质的密度为3800/kg m ，求：（1）该波的平均能流密度；（2）
1分钟内垂直通过面积2
4
m 100.4-?=S 的总能量。 解：（1）由：221
2
I u A ρω=
，有： 34232
110800102102
I π-=????（）（）
521.5810/W m =?； （2）1分钟为60秒，通过面积2
4m 100.4-?=S 的总能量为：
W I S t =5431.581041060 3.7910J -=????=? 。
8-8．1S 与2S 为左、右两个振幅相等相干平面简谐波源，它们的间距为4/5λ=d ，
2S 质点的振动比1S 超前2π，设1S 的振动方程为t T
A y π
2cos
10=，且媒质无吸收，（1）写出1S 与2S 之间的合成波动方程；（2）分别写出1S 与2S 左、右侧的合成波动方程。 解：（1）如图，以1S 为原点，有振动方程：
t T
A y π
2cos
10=， 则波源1S 在右侧产生的行波方程为：122cos(
)y A t x T ππλ
=-， 由于2S 质点的振动比1S 超前2π，∴2S 的振动方程为202cos(
)2
y A t T ππ
=+， 设以1S 为原点，波源2S 在其左侧产生的行波方程为：
222cos(
)y A t x T ππ
?λ=++，由于波源2S 的坐标为5/4λ，代入可得振动方程： 20225cos()4y A t T ππλ?λ=+?+，与202cos()2
y A t T ππ
=+比较，有：2?π=-。
??1
S x
2
S
∴22222cos(
2)cos()y A t x A t x T T πππππλλ
=+-=+。 可见，在1S 与2S 之间的任一点x 处，相当于两列沿相反方向传播的波的叠加，
合成波为：t T
x A y y y π
λπ2cos 2cos 221=+=，为驻波；
（2）∵波源1S 在左侧产生的行波方程为：122'cos()y A t x T ππλ
=+， 与222cos()y A t x T ππλ=+叠加，有：1222'2cos y y y A t x T ππ
λ
=+=+左（）
； （3）设波源2S 在其右侧产生的行波方程为：222'cos(')y A t x T ππ?λ=-+， 代入波源2S 的坐标为5/4λ，可得振动方程：20225'cos(')4
y A t T ππλ
?λ=-?+，
与20202'cos()2y y A t T ππ
==+比较，有：'3?π=。
∴22222'cos(3)cos()y A t x A t x T T ππππππλλ=-+=-+。 与122cos()y A t x T ππλ
=-叠加，有：12'0y y y =+=右。 表明两列波正好是完全反相的状态，所以合成之后为0。
8-9．设1S 与2S 为两个相干波源，相距41波长，1S 比2S 的位相超前2
π
。若两波在在1S 、2S 连线方向上的强度相同且不随距离变化，问1S 、2S 连线上在1S 外侧各点的合成波的强度如何？又在2S 外侧各点的强度如何？ 解：（1）如图，1S 、2S 连线上在1S 外侧， ∵212122()24
r r πππλ???πλλ?=--
-=--?=-， ∴两波反相，合成波强度为0；
（2）如图，1S 、2S 连线上在2S 外侧， ∵212122('')()02
4
r r π
π
π
λ
???λ
λ?=--
-=-
-
-=， ∴两波同相，合成波的振幅为2A ，
1r ??S 2S o 2r ?
?1
S 2
S 2'r 1'
r o