三角函数倍角公式
三角函数倍角公式
复习重点:二倍角公式 二倍角的正弦公式： sin2A ＝2sinAcosA 二倍角的余弦公式：
cos2A ＝cos 2A －sin 2A ＝2cos 2A －1＝1－2sin 2A 二倍角的正切公式：
tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga 对公式的再认识：
(1) 适用X 围：二倍角的正切公式有限制条件： A ≠kπ＋2
π且A ≠k 2
π＋4
π (k ∈Z)；
(2) 公式特征：二倍角公式是两角和的正弦、余弦和正切公式之特例；二倍角关系是相对的。
(3) 公式的灵活运用：正用、逆用、变形用。
复习难点:倍角公式的应用 复习内容: 小结： 倍角公式： sin2A ＝2sinAcosA
cos2A ＝cos 2A －sin 2A ＝2cos 2A －1＝1－2sin 2A tan2A ＝2
2tan A 1tan A
－
化“1”公式（升幂公式） 1＋sin2A ＝(sinA ＋cosA)2， 1－sin2A ＝(sinA －cosA)2 1＋cos2A ＝2cos 2A 1－cos2A ＝2sin 2A 降幂公式 cos 2A ＝1cos 2A 2
＋
sin 2A ＝1cos 2A 2
－
二倍角公式是两角和公式的特殊情况，即:
由此可继续导出三倍角公式.观察角之间的联系应该是解决三角变换的一个关键.二倍角公式中余弦公式有三种形式，采用哪种形
式应根据题目具体而定.
倍角和半角相对而言，两倍角余弦公式的变形可引出半角公式.推导过程中可得到一组降次公式，即，
进一步得到半角公式:
降次公式在三角变换中应用得十分广泛，“降次”可以作为三角变换中的一个原则.半角公式在运用时一定要注意正、负号的选取，而是正是负取决于所在的象限.而半角的正切可用α的正弦、余弦表示，即:.这个公式可由二倍角公式得出，这个公式不存在符号问题，因此经常采用.反之用tan也可表示sinα, cosα, tanα，即:
，，这组公式叫做“万能”公式.
教材中只要求记忆两倍角公式，其它公式并没有给出，需要时可根据二倍角公式及同角三角函数公式推出.
例1．推导三倍角的正弦、余弦公式
解:sin3α=sin(2α+α)
cos3α=cos(2α+α)
例2．利用三倍角公式推导sin18°的值.
解:∵sin36°=cos54°,∴
2sin18°cos18°=4cos318°-3cos18°
∵cos18°≠0∴ 2sin18°=4cos218°-3 ∴
2sin18°=4-4sin218°-3
∴ 4sin218°+2sin18°-1=0
∴. 本题还可根据二倍角公式推出cos36°.
即.
例3．化简求值:(1) csc10°-sec10°(2)
tan20°+cot20°-2sec50°
解:(1) csc10°-sec10°
(2) tan20°+cot20°-2sec50°
例4．求:sin220°+cos250°+sin30°sin70°解:sin220°+cos250°+sin30°sin70°
例5．已知:.求: cos4θ+sin4θ的值. 解:∵,
∴, 即，
即，∴ cos4θ+sin4θ
例6．求cos36°·cos72°的值.
解:cos36°·cos72°
例7．求:的值.
解:
上述两题求解方法一致，都是连续应用二倍角的正弦公式.而能
采用这种方法求值的题目要求也是严格的，要满足（1）余弦相乘，（2）后一个角是前一个角的两倍，（3）最大角的两倍与最小值的和（或差）是π.满足这三个条件即可采用这种方法.
例8．已知:2cosθ=1+sinθ，求.
方法一: ∵2cosθ=1+sinθ，∴
∴或，∴,
∴,∴或=2.
方法二:∵ 2cosθ=1+sinθ，∴,
∴,
∴或,∴或=2.
例9．已知:，求:tanα的值. 解:∵，∴
，
∵0≤α≤π, ∴,∴
(1)当时, ，
则有,∴，∴，∴，
∴.
(2)当，则有
，
∴，∴，∴.
注意:1与sinα在一起时，1往往被看作，而1与cosα在一起时，往往应用二倍角余弦公式把1去掉.
例10．已知:sinθ, sinα, cosθ为等差数列;sinθ,sinβ, cosθ为等比数列.求证:2cos2α=cos2β.
证明:∵，∴
∴ 4sin2α=1+2sin2β∴ 2-4sin2α=2-1-2sin2β∴2cos2α=cos2β.
课后练习:
1．若，
则（）.
A、P Q
B、P Q
C、P=Q
D、P∩Q=
2．若A为ΔABC的内角，，则cos2A=（）.
A、B、C、D、
3．若，则sin2θ=（）.
A、B、C、D、
4．若，则sinθ=（）.
A、B、C、D、-
5．若，则=（）.
A、B、C、1 D、-1
6．若，则cosα=________.
7. 若θ为第二象限角，且，则
=_____.8．已知sinA+cosA=2sinB. 求证:cos2B=cos2.
参考答案
1.C
2.B
3.C
4.C
5.B
6.
7. 6