高中物理八大解题方法之四：导数法(可编辑修改word版)
- 1 -
l 2 + y 2
高中物理解题方法之导数法
江苏省特级教师 戴儒京
在物理解题中用导数法，首先要把物理问题化归为数学问题。在分析物理状态和物理过程的基础上，找到合适的物理规律，即函数，再求函数的导数，从而求解极值问题或其他问题，然后再把数学问题回归到物理问题，明确其物理意义。 例 1、两等量同种电荷在两点电荷连线的中垂线上电场的分布
图 1.两等量正点电荷的电场强度在 y 坐标轴上的点的合成
以两点电荷的连线的中点为原点，以两点电荷的连线的中垂线为 y 轴，则各点的电场强度可表示为：
E = 2k ( Q
l 2 + y 2 ) ? cos = 2k (
Q ) ? y l 2 + y 2
因为原点的电场强度 E 0 = 0 ，往上或往下的无穷远处的电场强度也为 0，所以，从 O 点
向上或向下都是先增大后减小，这是定性的分析。那么，在哪儿达到最大呢，需要定量的计算。
方法 1.用三角函数法求导数
E = 2k ( Q l 2 + y 2
) ? cos 中把 y =
l tan
代入得 E = 2kQ ? sin 2 cos 。
l 2
令 z = sin 2 cos ，求导数 z ' = 2 s in cos 2 - sin 3= sin （2 cos 2 - sin 2 ) ，欲使
z ' = 0 ，需sin
= 0 （舍去）或2 c os 2 - s in 2 = 0 即tan = ，此处， y =
2l ， 2
将其代入得 E =
4 max 9 3 ? kQ 。
l 2
2
- 2 -
4 3 2l 方法 2. 用代数法求导数
E = 2k ( Q l 2 + y 2 ) ? y ， 令 l 2 + y 2
z = y ? (l 2 + y 2 ) - 3
2 ,对 z 求 导 数 得
z ' = (l 2 + y 2 )
3. 图象
- 3
2
- 3y 2 (l 2 + y 2
) - 5 2
,令其分子为 0，得
y =
，代入得 E
2
max = 9 ? kQ 。 l 2 用 Excel 作图，得到关于等量同种电荷的电场在其中垂线上的分布的图象，图象的横轴 y 表示各点到原点的距离（以两点电荷的连线的中点为原点），纵轴表示中垂线上各点的电场强度。
图 2.两等量正点电荷的电场强度在 y 坐标轴上的分布
此图象也验证了以上所得的结果：图象中令l = 5 ，则当 y =
= 2 = 3.5 处电场
2
强度最大。
例 2、电源输出功率最大问题的研究
例题．如图所示，R 为电阻箱，○
V 为理想电压表．当电阻箱读数为 R 1=2Ω 时，电压表读数为 U 1=4V ； 当电阻箱读数为 R 2=5Ω 时，电压表读数为 U 2=5V ．求：
(1) 电源的电动势 E 和内阻 r 。
图 3 电路图
(2) 当电阻箱 R 读数为多少时，电源的输出功率最大?最大值 P m 为多少? E
2
1.5
1
0.5
-22 -21 -20 -19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
-0.5
-1
-1.5
-2
E
2l 2 ? 5
- 3 -
E E E
2
【解析】由闭合电路欧姆定律： E = U 1 +
U 1
r R 1 E = U 2 + U
2 r
R 2
联立上两式并代入数据解得： E = 6V ， r = 1Ω （ 2） 解法 1.代 数法 ， 电功率表达式： P =
E R
将上式变形为：
(R + r )2
2 P = (R - r )2 R
+ 4r 2 ，由上式可知 R = r = 1Ω 时 P 有最大值 P m = 4r
E
2
= 9W
u
u 'v - uv ' 解法 2.导数法，电功率表达式： P = (R + r )2
R ，根据求导公式( v
)' = ， v 2
得导数： P '(R ) = E 2 ? (R + r )2 - E 2 R ? 2(R + r ) (R + r )4 E 2
? (R + r ) ? (r - R )
= ，当 R = r 时， (R + r )4
2
导数的分子为零，即此时有极大值，将 R = r = 1Ω 代入 P 式得最大值 P m = 4r
= 9W
本题的物理意义可用图 4 图象说明：
图 4 电源输出功率与外电路电阻的关系
图象的最高点为电源的输出功率最大，其余的，对同一个输出功率，可以有两个电阻值。
例 3.证明：在碰撞中，完全非弹性碰撞动能损失最大
大家知道，碰撞分弹性碰撞和非弹性碰撞两类。弹性碰撞，动能和动量都守恒，非弹性碰撞，动能不守恒了,但动量还是守恒的。在非弹性碰撞中，有一种叫完全非弹性碰撞， 两个物体相碰后不分开，连在一起了，动能损失最大，动能不守恒,但动量还是都守恒的。
为什么在完全非弹性碰撞中，动能损失最大呢？很多同学知其然不知其所以然，本文解决知其所以然的问题。
弹性形变是指撤去外力后能够恢复原状的形变，能够发生弹性形变的物体我们说它具有弹性。碰撞是在极短的时间内发生的，满足相互作用的内力大于大于外力的条件，因此不管系统是否受到外力，一般都满足动量守恒。因此弹性碰撞是同时满足动量守恒和动能守恒的碰撞。
一般意义上的碰撞，仅满足动量守恒，碰撞过程中物体往往会发生形变，还会发热、发声，系统有动能损失，由于一般只研究碰撞发生在同一水平直线上的情况，系统在碰撞前后的重力势能不变，因此动能损失也对应着机械能的损失，通常情况下是机械能转化为内能。非弹性碰撞即物体发生碰撞后不反弹，区别于大多数的弹性碰撞，碰撞过程中会有动能损失。
如图1 所示，设质量为m1的小球，速度为
v1，与质量为m2的小球，速度为v2，发生碰
撞，
图 5 碰撞
碰撞后两球的速度分别为v1’、v2’，取向右为矢量的正方向。由系统的动量守恒定律得m1v1+m2v2=m1v1’+m2v2’……①
则碰撞中动能损失为?E =1
mv 2+
1
m v 2-
1
m v '2-
1
m v '21 ②
k 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2
由①得v
2' =
m
1
v
1
+m
2
v
2
-m
1
v
1
'
③
m
2
1 1 1 (m v +m v -m v ')2
③代入②得?E = m v 2+m v 2- m v '2 - 1 1 2 2 1 1 ，求?E对v '
k 2 1 1 2 2 2 2 1 12m
2
的导数，得?E '(v ') =-m v '+(m1v1 +m2 v2 -m1v1 ') ?m1
k 1 1 1
2
令?E ' (v ') =0，解得v'=m
1
v
1
+m
2
v
2，④ 即当v'=
m
1
v
1
+m
2
v
2时，?E有最大值。
k 1 1 m
1 +m
2
m
1
+m
2
将④代入③解得v ' =m
1
v
1
+m
2
v
2 ，即v ' =v ' ，两小球粘合在一起时，也就是完全非
m
1
+m
2
k 1
m
1k
2 1 2
- 4 -
- 5 -
弹 性 碰 撞 情 况 下 ， 动 能 损 失 最 大 。 将 ④代 入 ②解 得 动 能 损 失 最 大 为
m m (v - v )2
?E = 1 2 1 2 。
k max
2(m 1 + m 2 )
例题.某同学利用如图6所示的装置研究碰撞问题。图中两摆摆长相同l = 1m ，悬挂于同一高度， A 、 B 两摆球均很小，质量相等皆为m 。当两摆均处于自由静止状态时，其侧 面刚好接触。向右上方拉动 B 球使其摆线伸直并与竖直方向成450角，然后将其由静止释放。求A 球上升最大高度的最大值和最小值各是多少？上摆的最大角度的最大值和最小各值各是多少？
解： B 球的初始高度为h 1 ，碰撞前 B 球的速度为v B .在不考虑摆线质量的情况下，根据
题意及机械能守恒定律得：
h 1 = l (1- c os 45?)
① 1 mv 2
= mgh
②
2 B
1
弹性碰撞时，动量守恒有mv B = mv A '+mv B ' ③
图 6
动能守恒有 1 mv 2 = 1
mv '2 + 1
mv '2 ④
2
B
2
A
2
B
解得v A ' = v B ， v B ' = 0 ，
根据mgh = 1
mv '2 ，得h = h ，为A 球上升的最高高度。
2
2
A 2 1
根据h = l (1 - cos
) ，得 = = 450 ，为A 球上摆的最大角度。
2
2
2
1
完全非弹性碰撞，即A 、B 两球粘合在一起时，动量守恒有mv B = 2mv ' ，解得v ' = v B
，
2
根据mgh = 1 mv '2 = 1 mgh ，得h = 1
h ，为A 球上升的最大高度的最小值。
3
2 4 2 3
4
1
根据h = l (1 - cos ) ，得 = 220 ，为A 球上摆的最大角度的最小值。
3
3
3
例4.电磁感应问题
如图，质量为 M 的足够长金属导轨 abcd 放在光滑的绝缘水平面上。一电阻不计，质量为 m 的导体棒 PQ 放置在导轨上，始终与导轨接触良好，PQbc 构成矩形。棒与导轨间动摩擦因数为 μ，棒左侧有两个固定于水平面的立柱。导轨 bc 段长为 L ，开始时 PQ 左侧导轨的总电阻为 R ，右侧导轨单位长度的电阻为 R 0。以 ef 为界，其左侧匀强磁场方向竖直向上，右侧匀强磁场水平向左，磁感应强度大小均为 B 。在 t =0 时，一水平向
左- 6 -
- 7 -
0 0
= B L at
的拉力 F 垂直作用在导轨的 bc 边上，使导轨由静止开始做匀加速直线运动，加速度为 a 。
（1） 求回路中感应电动势及感应电流随时间变化的表达式； （2） 经过多长时间拉力 F 达到最大值，拉力 F 的最大值为多少？
（3） 某过程中回路产生的焦耳热为 Q ，导轨克服摩擦力做功为 W ，求导轨动能的增加量。
【答案】
（1） 感应电动势= BLv
导轨做初速为零的匀加速运动， v = at ， s = 1
at 2
2
= BLat
回路中感应电流随时间变化的表达式
I = BLv =
R 总 BLat R + 2R ( 1 0 2
= at 2 ) BLat R + R 0
at 2
（2） 导轨受外力 F ，安培力 F A ，摩擦力 F f 。其中
B 2 L 2at F A = BIL =
R + R at
2
B 2 L 2at
F f = F N = (mg + BIL ) = (mg +
)
R + R at 2
由牛顿定律 F - F A - F f = Ma
F = Ma + F A + F f 2 2
Ma +
mg + (1 + )
R + R at 2
上式中，当 R
= R at ，即t =
时外力 F 取极大值。
t
R aR 0
- 8 -
B 2 L 2
2 a
RR 0
(1 + )B 2 L 2
a
2 RR 0
∴ F max = Ma +
mg +
(3) 设在此过程中导轨运动距离 s ，由动能定理
W 合 = ?E W 合 = Mas
由于摩擦力 F f =
(mg + F A ) ，所以摩擦力做功
W = mgs + W A
=
mgs +
Q
∴ s =
W - Q
mg
?E K = Mas =
Ma
mg
(W - Q ) 。
【点评】本题考查电磁感应，匀变速运动，牛顿定律等知识点以及分析判断能力及极值的计算等数学方法。难度：难。
在式子 y = B 2 L 2at R + R at 2
的极值的计算中，答案用了变形 y = B 2 L 2a R + R at
，然后根据两式之 t
积一定时，两式相等时其和最小的数学方法，因分母最小，分式取最大值。
也可以用导数法求极值。设上式的分母为 x = R + R at ，取导数： x '(t ) = - R
+ R a ，
t
t
2
令其等于 0，解得极值条件为t =
∴ 。代入得 x = 2 ，此时， y =
， F max
= Ma + m g +
。
例5.交流电
如图（a ），在同一平面内固定有一长直导线 PQ 和一导线框 R ，R 在 PQ 的右侧。导线 PQ
中通有正弦交流电流 i ，i 的变化如图（b ）所示，规定从 Q 到 P 为电流的正方向。导线框 R 中的感应电动势
(1 + )B 2 L 2
a 2
RR 0
R aR 0
aRR 0
- 9 -
A. 在t = T
时为零 4 B. 在t =
T 时改变方向
2 C. 在t =
T 时最大，且沿顺时针方向
2
D. 在t = T 时最大，且沿顺时针方向
【解析】根据法拉第电磁感应定律，感应电动势 E =
?Φ ，即 E 为Φ 的导数，有
?t
Φ = BS ,S 不变， Φ 与 B 成正比，所以，E 与 i 的导数成正比，据此可以画出 E-t 图象
如下：
从图象可以看出：
A. 在t = T
时为零，正确； 4 B. 在t = T 时改变方向，错误；
2 C. 在t =
T 时为负最大，且沿顺时针方向，正确；
2
D. 在t = T 时为正最大，且沿逆时针方向，D 错误。
【答案】20．
AC
- 10 -
【点评】 E - t 图象是正弦函数（或余弦函数）图象，说明电动势 E 随时间非均匀变化。
E - t 函数是Φ - t 函数的导数函数。
例 6.带电粒子在磁场中的运动
粒子速度选择器的原理图如图所示，两水平长金属板间有沿水平方向、磁感应强度为 B 0 的匀强磁场和方向竖直向下、电场强度为 E 0 的匀强电场。一束质量为 m 、电荷量 为 q 的带电粒子，以不同的速度从小孔 0 处沿中轴线射入此区域。研究人员发现有些粒子能沿中轴线运动 并从挡板上小孔 P 射出此区域，其他还有些带电粒子也能从小孔 P 射出，射出时的速度与预期选择的速度的最大偏差量为?,通过理论分析知道，这些带电粒子的运动可以看作沿中轴线方向以速度为1 的匀速直线运动和以速率2 在两板间 的匀强磁场中做匀速圆周运动的合运动，1 、2 ；均为未知量，不计带电粒子重力及
粒子间相互作用。
(1) 若带电粒子能沿中轴线运动，求其从小孔 O 射入时的速度
；
(2) 增加磁感应强度后，使带电粒子以（1)中速度
射入，要让所有带电粒子均不能打
到水平金属板，两板间距 d 应满足什么条件？
(3) 磁感应强度为 B 0 时，为了减小从小孔 P 处射出粒子速度的最大偏差量?
，从而提
高速度选择器的速度分辨本领，水平金属板的长度 L 应满足什么条件？
例 1 题图
【解答】（1）带电粒子能沿中轴线运动受力平衡，则
qv 0 B 0 = qE ，解得v = E 0
B 0
(2) 设磁感应强度增为 B ，对速度为v 1 的匀速直线分运动，有
- 11 -
0 0 2
0 0 0
0 0 qv 1 B = qE 0 ，解得v 1 =
E 0
B
< v 0
匀速圆周分运动的速率v 2 = v 0 - v 1
mv 2 mE 1 1 由向心力公式qv B = 2 ，解得r =
( - ) 2 r q B B B 0
当 B = 2B 0 时，半径有最大值r m =
mE 0
4qB 2
要让所有带电粒子都不能打到金属板，应满足 d
2
> 2r m
，即d > mE 0
qB 2
(3) 要提高速度选择器的速度分辨率，就要使不能沿轴线运动的偏离轴线有最大的距离，
圆周运动完成半周期的奇数倍，则
L = v 0 (2n - 1) T
(n = 1，
2,3， )
圆周运动的周期T =
2m qB 0
故应满足的条件 L =
(2n - 1)mE 0
qB 2
(n = 1，2,3， )
【拓展】从此题目谈起，笔者提出并回答以下问题，以进一步理解此题。
在得出 r = mE 0
( q 1 - B 0 B 1 ) 后，即有当 B = 2B B 2 0 时，半径有最大值 r m = mE 0 4qB 2
，这是
为什么？
【解答】这个是求极值问题，本来是数学问题，在物理题中，物理老师也要解答。这就是高考要求的“用数学方法处理物理问题的能力”。 这里要用导数法求极值：令 y =
1
-
1
B 0 B B
= B - B 0
B B 2
u u 'v - u v ' B B 2
- (B - B ) ? 2BB B B ? (-B + 2B ) 根据求导公式( )' =
，得r ' = 0 0 0 = 0 0
， 令 v v 2
B 2 B 4 B 2 B 4
其分子为 0，得 r = mE 0 ( q 1 - B 0 B 1
) 式取极值的条件是 B = 2B B
2 0
，将此条件代入则得 2
2
- 12 -
0 r m
mE 0 。
4qB 2
例 7.振动和波问题
图甲为一列简谐横波在 t=0．10s 时的波形图，P 是平衡位置为 x=1m 处的质点，Q 是平衡位置为 x=4m 处的质点，图乙为质点 Q 的振动图像，则（ ）
A. t=0．15s 时，质点 Q 的加速度达到正向最大
B. t=0．15s 时，质点 P 的运动方向沿 y 轴负方向
C. 从 t=0．10s 到 t=0．25s ，该波沿 x 轴正方向传播了 6m
D. 从 t=0．10s 到 t=0．25s ，质点 P 通过的路程为 30cm
答案：AB
分析法：题考查振动图像和波动图像的综合应用。由图乙可知 t=0．15s 时，质点 Q 到达波谷，其加速度达到正向最大，A 选项正确；图甲表示 0．10s 时的波形图，t=0．10s 时由图乙可知质点 Q 正经过平衡位置向下振动，结合图甲可知这列波向左传播（因为波向左传播，Q 才处在“上坡”的位置，其运动方向才向下）。又由图甲可知波长为 8m ， 由图乙可知周期为 0．20s ，波速 v=λ/T=40m/s,从 0．10s 到 0．15s 时间段内，波向左平移 s=vt=2m 。画出此时的波形如下图（将波向左平移 2m ）
从图可以发现，此时质点 P 的运动方向沿 y 轴负方向，B 选项正确；从 t=0．10s 到 t=0．25s ，该波沿 x 轴负方向传播的距离 s=vt=6m ，C 选项方向判断错误；从 t=0．10s
到t=0．25s，经过的时间为0．15s，等于即0．05s 的3 倍，质点P 做变速运动，通
过的路程不能用来计算（从平衡位置或正负最大位移处开始计时，才能这样算），实际路程不等于30cm（此处有的同学禁不住问：不是30cm,是多少呢？且往下看）。答案选择AB。
【函数导数法】
因为时刻波方程是，波函数基本函数式是
（因为本题波向左传播，所以式中负号改为正号）
由图甲可知波长为8m，振幅为A=10cm,由图乙可知周期为T=0．20s，所以本题波函数可以写为= ①
A 选项：Q 点的振动方程是②
对②式求导数得速度函数= ③
对③式求导数得加速度函数1000④
将t=0．15s 代入④式得1000，是正最大，所以A 正确；
B 选项：
P 点的振动方程是⑤
对⑤式求导数得速度函数 = ⑥
将t=0．15s 代入⑥式得 = ，为负，所以B 正确；
C 选项：
- 13 -
t=0．10s 时的波函数可以写为= cm= =
⑦
t=0．25s 时的波函数可以写为= cm= =
⑧
根据⑦⑧两式，用电子计算机Excel 分别画出t=0．10s 时和t=0．25s 时的图象如
下图：
从图可以看出，从t=0．10s 到t=0．15s，该波的波形从y1变成y2，该波沿x 轴负
方向传播了6m，例如波峰从10 到4，所以C 错误。
D 选项：
从上图可以看出，t=0．10s 时刻，质点P（x=1）的位移为7cm，t=0．15s 时刻，
质点P（x=1）的位移为-7cm，因为t=0．10s 时刻和t=0．25s 时刻质点P 的运动方向都
是向上，所以t=0．10s 到t=0．25s，质点P 通过的路程为3+10+10+3cm=26cm，所以D
错误。
注意：此处算出了从t=0．10s 到t=0．25s，质点P 通过的路程，回答了同学的疑问。- 14 -
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