正弦定理、余弦定理综合应用典型例题.doc

v1.0 可编辑可修改

正弦定理、余弦定理综合应用

例 1. 设锐角三角形

ABC 的内角 A ，B ， C 的对边分别为 a ，b ， c ， a 2bsin A ．

（Ⅰ）求 B 的大小；（Ⅱ）求 cos A sin C 的取值范围．

解：（Ⅰ）由 a 2b sin A ，根据正弦定理得 sin A

2sin B sin A ，所以 sin B

1

，

2

由 △ ABC 为锐角三角形得 B

π

．

6

（Ⅱ） cos A sin C cos A sin

A

cos A

sin

A

cos A

1

cos A

3

sin A

3 sin A

3 ．

6

2

2

由 △ ABC 为锐角三角形知，

A

B ，

B

． 2

，

2

2

6

A

3

2

2 3

3 6 所以

1

sin A

3

3 ．

由此有

3

3sin A

3

3

3 ，

2

2

2

2

所以， cos A

sin C 的取值范围为

3 3 ．

2

，

2

例 2. 已知 △ ABC 的周长为 2 1，且 sin A sin B

2 sin C ．

（ I ）求边 AB 的长；

（ II ）若 △ ABC 的面积为 1

sin C ，求角 C 的度数．

6

解：（ I ）由题意及正弦定理，得 AB BC AC

2 1，

BC AC

2AB ，

两式相减，得 AB 1．

（ II ）由 △ ABC 的面积

1

BC AC sin C

1

sin C ，得 BC AC

1 ，

2

6

3

由余弦定理，得 cosC AC 2 BC 2

AB 2

( AC BC )2 2AC BC AB 2

1 ，

2AC BC

2AC BC

2

所以 C 60 ．

例 3. 已知 a ，b ，c 为△ ABC 的三个内角 A ，B ，C 的对边，向量 m ＝

（

3, 1 ），n ＝（ cos A ,sin A ）. 若 m ⊥ n ，

且 a cos B +b cos A =c sin C ，则角 B ＝

π

.

6

例 4. 设 ABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别

为

a b c ，且 A 60 ， c b. 求 a

的值；

, ,

=

=3

c

1

v1.0可编辑可修改

解：由余弦定理得 a2 b2 c2 2b cos A ＝(1

c)2 c2 2

1

c c

1 7

c2 ,故 a 7 .

3 3 2 9 c 3

例 5. 在△ABC中，三个角A, B, C的对边边长分别为 a 3, b 4, c 6 ,

则 bccos A ca cosB ab cosC 的值为. 61 2

例 6. 在△ ABC中，角 A、 B、C 所对的边分别为 a 、b、c ，若3b c cos A a cosC ，

则 cos A _________________.

3 3

例 7.(2009 年广东卷文) 已知ABC中，A, B, C 的对边分别为 a, b,c 若 a c 62 且

A 75 ，则b

【解析】 sin A sin 750 sin(300 450 ) sin 300 cos 450 sin 450 cos300 2 6

4

由 a c 6 2可知, C 750,所以 B 300, sin B 1 由正弦定理得 b a sin B 2 ,

2 sin A

例 8. （ 2009 湖南卷文）在锐角ABC 中，BC 1, B 2A,则AC 的值等于 2 ，

cos A

AC 的取值范围为( 2, 3) .

解:设A , B 2 .由正弦定理得AC BC , AC 1 AC 2.

sin 2 sin 2cos cos

由锐角ABC得0 2 90 0 45 ，

又 0 180 3 90 30 60 ，故 30 45 2

cos

3

，2 2

AC 2cos ( 2, 3).

例 9. （ 2009 全国卷Ⅰ理）在ABC 中，内角A、B、C的对边长分别为 a 、b、 c ，已知 a2 c2 2b ，且sin AcosC 3cos Asin C , 求 b

解法一：在ABC 中sin A cosC 3cos Asin C ,则由正弦定理及余弦定理有:

a2 b2 c2

3 b2 c2 a2

c, 化简并整理得： 2(a

2 2

)

2

a 2a

b 2b

c c b .

又由已知 a2 c2 2b 4b b2 . 解得b 4或 b 0(舍）.

解法二 : 由余弦定理得 : a2 c2 b2 2bc cos A .又 a2 c2 2b ,b 0 。

所以 b 2c cos A 2 ①又 sin AcosC 3cos Asin C ，sin A cosC cosA sinC 4cos A sinC 2

sin( A C )

4cos Asin C ，即 sin B 4cos Asin C

由正弦定理得 sin B

b

sin C ，故 b

4c cosA ②

由①，②解得 b

4 。

c

10. 设△ ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边长分别为

a 、

b 、

c ， cos( A C ) cos B

3 , b 2 ac ，求 B.

2

解：由

cos

（ A C ） +cosB= 3

及 B=π （ A+C ）得 cos （ A C ） cos （ A+C ）=

3

，

2

2 cosAcosC+sinAsinC

（ cosAcosC sinAsinC ） = 3

,

sinAsinC=

3 .

2

4

又由 b 2 =ac 及正弦定理得 sin 2 B sin A sin C ,

故

sin 2 B 3 ，

sin B

3

或

sin B

3 （舍去），

4

2

2

于是 B=

π

或 B=

2π

.

又由 b

2

ac 知 b a 或 b c

所 以 B=

π

。

3

3

3

例11.在

ABC 中， BC

5, AC 3, sin C

2 sin A （Ⅰ）求 AB 的值。 （Ⅱ）求 sin(2 A

) 的值。

4

【解析】（ 1）解：在

ABC 中，根据正弦定理，

AB BC ，于是 AB

sin C BC

2BC 2 5

sin C sin A sin A

（ 2）解：在

ABC 中，根据余弦定理，得

cos A AB 2

AC 2

BC 2

2AB ? AC

于是 sin A

1 cos 2

A =

5 ， 从而 sin 2 A 2 sin A cos A 4

, cos2 A cos 2 A sin 2 A 3

5 5 5

sin( 2A

) sin 2A cos

cos2 Asin

2

4

10

4

4

例 12. 在△ ABC 中，内角 A 、B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ，若 a 2

b 2

3bc ， sinC=2 3 sinB ，则 A=

【解析】由 sinC=2

3 sinB 结合正弦定理得： c

2 3b ，所以由于余弦定理得： cos A b 2 c 2 a 2

b 2

c 2 (b 2

3bc) c 2

3bc

2bc

cos A

2bc

2bc

(2 3b) 2

2 3b 2 3b

3

，所以 A=30° .

2b 3b

2

例 13．（ 2010 年高考广东卷理科 11）已知 a,b,c

分别是△ ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边， 若 a=1,b= 3 ,

A+C=2B,则 sinC= .

【解析】由 A +C =2B 及 A + B+ C =180°知， B =60°．由正弦定理知，

1

3 ，即 sin A

1

sin A

．

sin 60

2

3

由 a b 知， A B 60 ，则 A 30 ，C 180 A B 90 ， sin C sin90 1.

例 14. 在△ ABC 中， D 为边 BC 上一点， BD=1

DC ，

ADB=120°， AD=2，若△ ADC 的面积为 3

3 ，则

2

BAC=_______.

解析：设 BD

a ，则 DC 2a ，由已知条件有

S

ADC

1

AD DC sin ADC

1 2 2a sin 600

3a 3 3

a 3 1，再由余弦定理分别

2

2

得到 AB 2

6, AC 2

24 12 3 ，再由余弦定理得 cos BAC 1 ，所以 BAC 600 ．

2

例 15．（ 2010 年高考北京卷理科 10）在△ ABC 中，若 b = 1 ， c = 3 ，

2 ，则 a =

。

C

3

1 3

0 ，解得 sin B

1 2

，所以

A 【解】由正弦定理

sin120 ，又 C

sin B

2

3

6

，所以 a = b = 1。

例 16．在△ ABC 中， a, b, c

分别为内角 A,B,C

的对边，且 2asin A (2 a c)sin B (2 c

b)sin C .

（Ⅰ）求 A 的大小；（Ⅱ）求 sin B sinC 的最大值 .

解：（Ⅰ）由已 知，根据正弦定理得 2a 2 (2b c)b (2 c b)c

即

a 2

b 2

c 2 bc

由余弦定理得

a 2

b 2

c 2

2bc cos A 故 cos A

1 ， A=120°

2

（Ⅱ）由（Ⅰ）得： sin B sin C sin B sin(60

B)

3

cos B

1

sin B sin(60

B)

2

2

故当 B=30°时， sinB+sinC 取得最大值 1。

例 17．（ 2010 年高考浙江卷理科 18）在 ABC 中，角 A ，B,C 所对的边分别为 a ，b ，c ，已知 cos2C= - 1

。

4

（Ⅰ）求 sinC 的值；（Ⅱ）当 a=2， 2sinA=sinC ，求 b 及 c 的长。

解：（Ⅰ）因为 cos2C=1-2sin 2C=

1 ，及 0＜ C ＜π

所以 sinC=

10 .

4

4

（Ⅱ）解：当

a=2， 2sinA=sinC 时，由正弦定理 a

c ，得 c=4

sin A

sin C

由 cos2C=2cos 2C-1=

1 ， J 及 0＜ C ＜π 得 cosC= ± 6

4 4

2

2

2

2

b-12=0

由余弦定理 c =a +b -2abcosC ，得 b ± 6

解得 b=

6 或 2 6

所以 b=

6 c=4 或 b= 6

c=4

4