初中数学.相似三角形的性质与判定.学生版
中考内容
中考要求
A
B
C
图形的相似
了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，会判断四条线段是否成比例，会利用线段的比例关系求未知线段；了解黄金分割；知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似；了解图形的位似关系
会用比例的基本性质解决有关问题；会利用图形的相似解决一
些简单的实际问题；能利用位似变换将一个图形放大或缩小
相似三角形
了解两个三角形相似的概念
会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题
三角形的相似是平面几何中极为重要的内容，是北京中考数学中的重点考察内容，近几年的中考题虽然以直接证相似为结论的题目在减少，但作为一种解决问题的工具，在解题中必不可少。相似性应用广泛，与三角形、平行四边形联系紧密。
估计北京中考的填空题、选择题将注重“相似三角形的判定与性质”等基础知识的考查，将年份 2010年 2011年 2012年 题号 3 4，20 11，20 分值
4分
9分
9分
考点
相似三角形的简单计算
根据三角形相似求比例；三角形相似与圆、解直角三角形的综合
根据三角形相似求比例；三角形相似与圆、解直角三角形的综合
中考考点分析
中考内容与要求
相似三角形的 性质与判定
比例的性质 示例剖析
（1）基本性质：(0)a c
ad bc bd b d =?=≠
3223a b
a b =?= （2）反比性质：(0)a c b d
abcd b d a c =?=≠
()23
023a b ab a b =?=≠ （3）更比性质：a c a b b d c d =?=、(0)d c
abcd b a =≠
2233
a b a b =?=或()3
02b ab a =≠
※（4）合比性质：(0)a c a b c d
bd b d b d ++=?=≠
22555a a b b b ++=?=()0b ≠ （5）分比性质：(0)a c a b c d
bd b d b d --=?=≠
44333a a b b b --=?=()0b ≠ （6）合分比性质：
()a c a b c d c d a b b d a b c d
++=?=≠≠-- 443343
a a
b b a b ++=?=--()0,0b a b ≠-≠ ※（7）等比性质：312123k k
a a a a
b b b b ====
121121k k a a a a b b b b +++?=+++ （其中k 为正整数，且1230k b b b b ++++≠）
①12345123451
a b c d e a b c d e a ++++====?=++++ ②
345
a b c
==，当0a b c ++≠时 345345
a b c a b c
++===
++
模块一 成比例线段
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三、平行线分线段成比例定理及推论
定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
如图1，所示，如果123l l l ∥∥，则AB DE BC EF =，AB DE AC DF =，BC EF
AC DF
=
． 推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
如图2，所示，若DE BC ∥，则有AD AE DB EC =，AD AE AB AC =，DB EC
AB AC =
． 如图3，若AB DE ∥，则有AB AC BC
DE CE CD
==
． l 3l 2
l 1E
D F
C
A B
E
D
C
A
B
E
D C
B A
图⑴ 图⑵ 图⑶
【例1】 ⑴ 若
(0)23x y x =≠，则2x y x +=（ ） A ．12 B ．8
3 C ．73 D ．72
⑵ 已知(0)a c
abcd b d =≠，则下列等式中不成立的是（ ）
A ．b d a c =
B ．a b c d b d --=
C ．a c a b c d =++ (0a b +≠且0c d +≠)
D ．a d a b c b
+=+
⑶ 已知457
x y z
==，则x y y z +=+ ．
⑷ 在比例尺为1︰2000的地图上测得AB 两地间的图上距离为5cm ，则AB 两地间的
实际距离为 m ．
⑸ 已知b 是a 、c 的比例中项，且cm a 3=，cm c 6=，则=b _____cm .
【例2】 ⑴ 在ABC △中，DE BC ∥交AB 于D ，交AC 于E ，下列不能成立的比例式是（ ）
A ．AD AE D
B E
C = B ．AB AC A
D A
E = C ．AC EC AB DB = D ．AD AE EC DB
=
⑵ 如图，已知3
2
AB AC BC AD AE DE ===，则 ①CE AE
= ； ②若10cm BD =，则AD = cm ，
③若ADE △的周长为16cm ，则ABC △的周长为 ． ⑶ 如图，ABC △中有菱形AMPN ，如果12AM MB =，
则BP BC 的 值为 ． ⑷ 如图，已知DE BC ∥，EF AB ∥，现得到下列结论：
①AE BF EC FC =；②AD AB BF BC =；③EF DE AB BC =；④CE EA CF BF =， 其中正确比例式的个数有（ ） A ．4个 B ．3个
C ．2个
D ．1个
模块二 相似的相关知识点
夯实基础
F E D C
B A
P N
M
C B A
E D A B C
定 义
示例剖析
相似图形：形状相同的图形叫做相似图形． 两个正方形是相似图形
相似多边形：我们把形状相同，大小不同的多边形，叫做相似多边形．
放大后的图形和放大前的图形是相似多
边形．
相似三角形： 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）
相似三角形的性质：
⑴ 相似三角形的对应角相等，对应边成比例. 相似三角形对应的高线、中线、角平分线的 比等于相似比；（需要证明）
⑵ 相似三角形的周长之比等于相似比.
⑶ 相似三角形的面积比等于相似比的平方．
若ABC DEF △∽△， 则AB BC AC k DE EF DF ===（k 为相似比） ABC DEF C k C =△△，2ABC DEF
S
k S =△△
【例3】 ⑴ 手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是
她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中每个图案花 边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是 （ ）
A B C D
⑵ 如图，ABC △中，点D 在线段BC 上，且ABC DBA △∽△， 则下列结论一定正确的是（ ）
A ．A
B AD AD CD ?=? B ．2AB A
C B
D =? C ．2AB BC BD =? D ．AB AD BD BC ?=?
⑶ 如图，在平行四边形ABCD 中，10AB =，6AD =，E
是AD 的中点，在AB 上取一点F ，使CBF CDE △∽△， 则BF 的长是（ ） A. 5 B. 8.2 C. 6.4 D. 1.8
夯实基础
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D C
B A
C
B
F D
E
A
⑷如图，ABC AED △∽△，点D 、E 分别在AB 、AC 上， 且∠ABC =∠AED ．若DE =4，AE =5，BC =8；则AB 的长 为 ．
相似三角形的判定定理
⑴有两个角对应相等的两个三角形相似；
⑵两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似； ⑶三边对应成比例的两个三角形相似.
由⑴得到
① 任何两个等边三角形都相似;
② 任何顶角相等的两个等腰三角形都相似;
③ 三角形的中位线截三角形得到的小三角形与原三角形相似; ④ 一个锐角相等的两个直角三角形相似．
【例4】 ⑴如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判断△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，
不正确．．．
的是（ ） A ．∠ABD =∠C B ．∠ADB =∠ABC C ．
CD CB BD AB = D ．AC
AB
AB AD =
⑵ 给出以下条件：
①ABC △的两个角分别是58°和70°，A B C '''△的两个角分别是58°和52°.
②ABC △的两边长分别为4cm 和3cm 2，夹角为40°，
A B C '''△的两边长分别为4
cm 3
和1
cm 2
，夹角为40°. ③ABC △的边长分别是5cm 、
6cm 、8cm ，A B C '''△的边长分别是5
cm 2
、3cm 、4cm . 夯实基础
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模块三 相似三角形的判定
D
C
B
A
E D C B A
A D
E
C
B
④ABC △中，90C ∠=°，3AC =，4BC =，A B C '''△中，90C '∠=°，6A C ''=，8B C ''=.
其中能判定ABC △和A B C '''△相似的条件有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4 个
【例5】 ⑴ 如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①ABC △，②BCD △，③BDE △，④
BFG △，⑤FGH △，⑥EFK △，其中②～⑥中，与三角形①相似的是（ ）
A ．②③④
B ．③④⑤
C ．④⑤⑥
D ．②③⑥ ⑵ 如图，在已建立直角坐标系的4×4正方形方格纸中， ABC △是格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点P 、A 、B 为顶点的三角形与ABC △相似（全等除外），则格点P 的坐标是 ． ⑶ ?=∠=∠90
E C ，3=AC ，4=BC ，2=AE ，则
=AD ．
【例6】 如图，E 是矩形ABCE 的边BC 上一点，EF ⊥AE ，EF 分别交AC 、CD 于点M 、F ，
BG ⊥AC ，垂足为G ，BG 交AE 于点H ． (1) 求证：△ABE ∽△ECF ；
(2) 找出与△ABH 相似的三角形，并证明；
(3) 若E 是BC 中点，AB BC 2=，2=AB ，求EM 的长．
C B
E
H M
G F
D A
能力提升
432
1C
B A x
K H F
E
D
C
B A ⑥⑤
④③②①
【例7】 类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案
例，请补充完整．
(1) 如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延
长线交射线CD 于点G ．若
m EF AF =，求
CG
CD
的值． (2) 拓展迁移：如图2，梯形ABCD 中，DC //AB ，点E 是BC 的延长线上一点，AE 和
BD 相交于点F ．若a CD AB =，b BE BC
=()0 0＞，
＞b a ，则EF
AF 的值是__________(用含a ，b 的代数式表示) ．
探索创新
图1
D G
F C
E B
A
图2
B
A
F
C
E
D
下列命题中，假命题是 （ ）
A ．若两个直角三角形中，各有一个角是50°，则两三角形相似
B ．若两个等腰三角形中，各有一个角是60°，则两三角形相似
C ．若两个等腰三角形中，各有一个角是70°，则两三角形相似
D ．若两个等腰三角形中，各有一个角是110°，则两三角形相似
_____________________
如图，F 是ABC △的AB 边上一点，那么下面四个命题中错误的命题是（ ）
A ．若AFC AC
B ∠=∠，则ACF AB
C △∽△ B ．若ACF B ∠=∠，则ACF ABC △∽△ C ．若2AC AF AB =?，则ACF ABC △∽△
D ．若::AC CF AB BC =，则ACF ABC △∽△
_____________________
训练1. ⑴ 已知243
a b c b c a c a b
+-+-+-==
，则4::2a b c = ．
⑵ 已知：
a b b c c a
x c a b
+++===，求x 的值．
训练2. 如图所示，在ABC △中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于
点O ． ⑴当12AE AC =时，求
AO AD
的值； ⑵当13AE AC =、14时，求
AO AD
的值； ⑶试猜想11AE AC n =+时AO
AD
的值，并证明你的猜想． 思维拓展训练(选讲)
F C
B
A
E D C A
O
B
E
C
A
D
训练3.已知：如图，Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，DE∥AB．
⑴当△CDE的面积与四边形DABE的面积相等时，求CD的长；
⑵当△CDE的周长与四边形DABE的周长相等时，求CD的长．
训练4.已知：AD平分BAC
∠，AD的垂直平分线交AD于E，交BC延长线于F，求证：2
FD FB FC
=?．
E
F
C
D
B
A
知识模块一成比例线段课后演练
【演练1】如图，在ABC
△中，AB AC
<，延长AB到D，在AC上取CE BD
=，连结DE与BC 交于F，求证：
AB EF
AC FD
=．
A
B
C
E
D
F
实战演练
知识模块二 相似的相关知识点 课后演练 【演练2】 如图，在ABC △中，D 、E 两点分别在AB 、AC 边上，DE BC ∥．若
23DE BC =∶∶，则ADE ABC S S △△∶为（ ）
A ．49∶
B ．94∶
C ．23∶
D ．32∶
知识模块三 相似三角形的判定 课后演练
【演练3】 如图，D 、E 是ABC △的边AC 、AB 上的点，且AD AC ?=AE AB ?，
求证：ADE B ∠=∠.
【演练4】 梯形ABCD 中，AB CD ∥，2AB DC =，E 、F 分别为AB 与BC 中点．
求证：⑴ EDM FBM △∽△； ⑵ 9BD =，求BM 的长．
【演练5】 直线DE 与ABC △的AB 边相交于点D ，与AC 边相交于点E ，下列条件：
①DE BC ∥；②AED B ∠=∠；③AE AC AD AB ?=?；④AE ED
AC BC
=
中，能使ADE △ 与ABC △相似的条件有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
E D
C
B
A
M F D C B E A E D C
B A