中考数学真题
2019年福建省中考数学试题及答案
一、选择题(每小题4分,共40分) 1.计算22+(-1)°的结果是( ).
A.5
B.4
C.3
D.2
2.北京故宫的占地面积约为720 000m 2,将720 000用科学记数法表示为( ). A.72×104 B.7.2×105 C.7.2×106 D. 0.72×106
3.下列图形中,一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ). A.等边三角形 B.直角三角形 C.平行四边形 D.正方形
4.右图是由一个长方体和一个球组成的几何体,它的主视图是( ).
5.已知正多边形的一个外角为36°,则该正多边形的边数为( ). A.12 B.10 C.8 D.6
6.如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图,则下列判断错误的是( ).
A.甲的数学成绩高于班级平均分,且成绩比较稳定
B.乙的数学成绩在班级平均分附近波动,且比丙好
C.丙的数学成绩低于班级平均分,但成绩逐次提高
D.就甲、乙、丙三个人而言,乙的数学成绩最不稳 7.下列运算正确的是( ).
A.a ·a 3= a 3
B.(2a )3=6a 3
C. a 6÷a 3= a 2
D.(a 2)3-(-a 3)2=0
8.《增删算法统宗》记载:“有个学生资性好,一部孟子三日了,每日增添一倍多,问若每日读多少?”其大意是:有个学生天资聪慧,三天读完一部《孟子》,每天阅读的字数是前一天的两倍,问他每天各读多少个字?已知《孟子》一书共有34 685个字,设他第一天读x 个字,则下面所列方程正确的是( ).
A. x +2x +4x =34 685
B. x +2x +3x =34 685
C. x +2x +2x =34 685
D. x +
21x +4
1
x =34 685 9.如图,PA 、PB 是⊙O 切线,A 、B 为切点,点C 在⊙O 上,
O
P
B A
(第9题)
主视方向
■
▲
■
▲
▲
■
▲
■
■
▲
■
▲
60708090
100数学成绩/分
班级平均分
丙
乙甲
且∠ACB =55°,则∠APB 等于( ). A.55° B.70° C.110° D.125°
10.若二次函数y =|a |x 2+bx+c 的图象经过A(m ,n )、B(0,y 1)、C(3-m ,n )、D(2, y 2)、E(2,y 3),则y 1、y 2、y 3的大小关系是( ).
A. y 1< y 2< y 3
B. y 1 < y 3< y 2
C. y 3< y 2< y 1
D. y 2< y 3< y 1 二、填空题(每小题4分,共24分)
11.因式分解:x 2-9=__( x +3)( x -3)_____.
12.如图,数轴上A 、B 两点所表示的数分别是-4和2, 点C 是线段AB 的中点,则点C 所表示的数是__-1_____.
13.某校征集校运会会徽,遴选出甲、乙、丙三种图案.为了解何种图案更受欢迎,随机调查了该校100名学生,其中60名同学喜欢甲图案,若该校共有2000人,根据所学的统计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有__1200_____人.
14.中在平面直角坐标系xOy 中,□OABC 的三个顶点O (0,0)、A (3,0) 、 B (4,2),则其第四个顶点是是__(1,2)_____.
15.如图,边长为2的正方形ABCD 中心与半径为2的⊙O 的圆心重合,
E 、
F 分别是AD 、BA 的延长与⊙O 的交点,则图中阴影部分的面积 是__π-1_____.(结果保留π)
16.如图,菱形ABCD 顶点A 在例函数y =x
3
(x >0)的图象上,函数
y =x
k
(k >3,x >0)的图象关于直线AC 对称,且经过点B 、D
两点,若AB =2,∠DAB =30°,则k 的值为_6+23______. 三、解答题(共86分) 17. (本小题满分8分)
解方程组:?
??=+=-425
y x y x
解:??
?-==2
3y x
18. (本小题满分8分)
如图,点E 、F 分别是矩形ABCD 的边 AB 、CD 上的一点,且DF =BE . 求证:AF=CE .
解:(略)
(第15题)
D
C
E F A B
O F
E
D C
B
A
(第16题)
y
x
D
C
B
A
O
2
-4
C
B A
(第12题)
19. (本小题满分8分)
先化简,再求值:(x -1)÷(x -
x
x 1
2-),其中x =2+1 解:原式=
1
-x x
, 1+22
20. (本小题满分8分)
如图,已知△ABC 为和点A'.
(1)以点A'为顶点求作△A'B'C',使△A'B'C'∽△ABC ,S △A'B'C'=4S △ABC ; (尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)设D 、E 、F 分别是△ABC 三边AB 、BC 、AC 的中点,D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、A'C'的中点,求证:△DEF ∽△D'E'F'.
(2)证明(略)
21. (本小题满分8分)
在Rt △ABC 中,∠ABC =90°,∠BAC =30°,将△ABC 绕点A 顺时针旋转一定的角度α得到△AED ,点B 、C 的对应点分别是E 、D .
(1)如图1,当点E 恰好在AC 上时,求∠CDE 的度数; (2)如图2,若α=60°时,点F 是边AC 中点,求证:四边形BFDE 是平行四边形.
A'C
B A (图1)
E
D
C B A (图2)
F E
D C B
A
C B A
22.(本小题满分10分)
某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念,投资组建了日废水处理量为m 吨的废水处理车间,对该厂工业废水进行无害化处理. 但随着工厂生产规模的扩大,该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务,需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理. 已知该车间处理废水,每天需固定成本30元,并且每处理一吨废水还需其他费用8元;将废水交给第三方企业处理,每吨需支付12元.根据记录,5月21日,该厂产生工业废水35吨,共花费废水处理费370元. (1)求该车间的日废水处理量m ;
(2)为实现可持续发展,走绿色发展之路,工厂合理控制了生产规模,使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨,试计算该厂一天产生的工业废水量的范围. 解:(1)∵处理废水35吨花费370,且
3530370 =7
68
>8,∴m <35, ∴30+8m +12(35-m )=370,m =20
(2)设一天生产废水x 吨,则
当0< x ≤20时,8x +30≤10 x , 15≤x ≤20
当x >20时,12(x -20)+160+30≤10x , 20 某种机器使用期为三年,买方在购进机器时,可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务,每次维修服务费为2000元.每台机器在使用期间,如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数,每次实际维修时还需向维修人员支付工时费500元;如果维修次数超过机时购买的维修服务次数,超出部分每次维修时需支付维修服务费5000元,但无需支付工时费某公司计划购实1台该种机器,为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务,搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内 10”的概率; (2)试以这100机器维修费用的平均数作为决策依据,说明购买1台该机器的同时应一次性额外购10次还是11次维修服务? 解: (1)0.6 此时这100台机器维修费用的平均数 y 1= 100 1 (24000×10+24500×20+25000×30+30000×30+35000×10)=27300 y 2= 100 1 (26000×10+26500×20+27000×30+27500×30+32500×10)=27500 所以,选择购买10次维修服务. 24. (本小题满分12分) 如图,四边形ABCD 内接于⊙O ,AB=AC ,BD ⊥AC ,垂足为E ,点F 在BD 的延长线上,且DF =DC ,连接AF 、CF . (1)求证:∠BAC =2∠DAC ; (2)若AF =10,BC =45,求tan ∠BAD 的值. 解: (1)∵BD ⊥AC ,CD=CD , ∴∠BAC =2∠CBD =2∠CAD ; (2)∵DF =DC , ∴∠BFC = 21∠BDC =2 1 ∠BAC =∠FBC , ∴CB=CF , 又BD ⊥AC , ∴AC 是线段BF 的中垂线,AB= AF =10, AC =10. 又BC = 45, 设AE =x , CE =10-x , AB 2-AE 2=BC 2-CE 2, 100-x 2=80-(10-x )2, x =6 ∴AE =6,BE =8,CE =4,("1,2,5";"3,4,5";Rt △组合) ∴DE = BE CE AE ?=8 4 6?=3, 作DH ⊥AB ,垂足为H ,则 DH=BD ·sin ∠ABD =11×53= 533, BH= BD ·cos ∠ABD =11×54=5 44 ∴AH =10- 544=5 6 ∴tan ∠BAD =AH DH =633=2 11 25.已知抛物y=ax 2+bx+c (b <0)与轴只有一个公共点. (1)若公共点坐标为(2,0),求a 、c 满足的关系式; (2)设A 为抛物线上的一定点,直线l :y=kx+1-k 与抛物线交于点B 、C 两点,直线BD 垂直于 直线y =-1,垂足为点D .当k =0时,直线l 与抛物线的一个交点在 y 轴上,且△ABC 为等腰直角三角形. ①求点A 的坐标和抛物线的解析式; ②证明:对于每个给定的实数 k ,都有A 、D 、C 三点共线. 解:(1) y=a (x -2)2, c =4a ; (2) y=kx+1-k = k (x -1)+1过定点(1,1), 且当k =0时,直线l 变为y =1平行x 轴,与轴的交点为(0,1) 又△ABC 为等腰直角三角形,∴点A 为抛物线的顶点 ①c =1,顶点A (1,0) 抛物线的解析式: y = x 2-2x +1. F E D C B A H F E D C B A ②???-+=+-=k kx y x x y 1122 x 2-(2+k)x +k =0, x = 2 1 (2+k ±42+k ) x D =x B =21(2+k -42+k ), y D =-1; D ??? ? ??-+-+1,2412k k y C = 2 1 (2+k 2+k 42+k , C ??? ? ??++++++ 2)4(1,24122k k k k k , A (1,0) ∴直线AD 的斜率k AD =4 2 2+--k k =242++k k , 直线AC 的斜率k AC =2 4 2++k k ∴k AD = k AC , 点A 、C 、D 三点共线.