1.4晶体学基础(晶向指数与晶面指数)

晶向指数和晶面指数

一晶向和晶面

1 晶向

晶向：空间点阵中各阵点列的方向（连接点阵中任意结点列的直线方向）。晶体中的某些方向，涉及到晶体中原子的位置，原子列方向，表示的是一组相互平行、方向一致的直线的指向。

2 晶面

晶面：通过空间点阵中任意一组阵点的平面（在点阵中由结点构成的平面）。晶体中原子所构成的平面。

不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。材料的许多性质和行为（如各种物理性质、力学行为、相变、X光和电子衍射特性等）都和晶面、晶向有密切的关系。所以，为了研究和描述材料的性质和行为，首先就要设法表征晶面和晶向。为了便于确定和区别晶体中不同方位的晶向和晶面，国际上通用密勒（Miller）指数来统一标定晶向指数与晶面指数。

二晶向指数和晶面指数的确定

1 晶向指数的确定方法

三指数表示晶向指数[uvw]的步骤如图1所示。

(1)建立以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a，b，c，坐标原点在待标晶向上。

(2)选取该晶向上原点以外的任一点P(xa，yb，zc)。

(3)将xa，yb，zc化成最小的简单整数比u，v，w，且u∶v∶w = xa∶yb∶zc。

(4)将u，v，w三数置于方括号内就得到晶向指数[uvw]。

图1 晶向指数的确定方法

图2 不同的晶向及其指数

当然，在确定晶向指数时，坐标原点不一定非选取在晶向上不可。若原点不在待标晶向上，那就需要选取该晶向上两点的坐标P(x1，y1，z1)和Q(x2，y2，z2)，然后将(x1-x2)，(y1-y2)，

(z 1-z 2)三个数化成最小的简单整数u ，v ，w ，并使之满足u ∶v ∶w =(x 1-x 2)∶(y 1-y 2)∶(z 1-z 2)。则[uvw ]为该晶向的指数。

显然，晶向指数表示了所有相互平行、方向一致的晶向。若所指的方向相反，则晶向指数的数字相同，但符号相反，如图3中[001]与[010]。 说明：

a 指数意义：代表相互平行、方向一致的所有晶向。

b 负值：标于数字上方，表示同一晶向的相反方向。

c 晶向族：晶体中原子排列情况相同但空间位向不同的一组晶向。用表示，数字相同，但排列顺序不同或正负号不同的晶向属于同一晶向族。晶体结构中那些原子密度相同的等同晶向称为晶向轴，用表示。 <100>：[100] [010] [001] [001] [010] [100]

<111>：[111] [111] [111] [111] [111] [111] [111] [111]

图3 正交点阵中的几个晶向指数 2 晶面指数的确定

国际上通用的是密勒指数，即用三个数字来表示晶面指数（h k l ）。图4中的红色晶面为待确定的晶面，其确定方法如下。

图4 晶面指数的确定

(1)建立一组以晶轴a ，b ，c 为坐标轴的坐标系，令坐标原点不在待标晶面上，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a ，b ，c 。

(2)求出待标晶面在a ，b ，c 轴上的截距xa ，yb ，zc 。如该晶面与某轴平行，则截距为∞。(3)取截距的倒数1/xa ，1/yb ，1/zc 。

(4)将这些倒数化成最小的简单整数比h ，k ，l ，使h ∶k ∶l = 1/xa ∶1/yb ∶1/zc 。 (5)如有某一数为负值，则将负号标注在该数字的上方，将h ，k ，l 置于圆括号内，写成(hkl )，则(hkl )就是待标晶面的晶面指数。

说明：晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而是代表着一组相互平行的晶面。

a 指数意义：代表一组平行的晶面；

b 0的意义：面与对应的轴平行；

c 平行晶面：指数相同，或数字相同但正负号相反；

d 晶面族：晶体中具有相同条件（原子排列和晶面间距完全相同），空间位向不同的各组晶面，用{hkl}表示。

在立方系中，{100}：（100）（010）（001），{110}：（110）（101）（011）（110）（101）（011），{111}：（111）（111）（111）（111）

e 若晶面与晶向同面，则hu+kv+lw=0;

f 若晶面与晶向垂直，则u=h, k=v, w=l。

立方系常用晶面指数图5。

图5 立方系常用晶面指数

例子：请确定图6中的晶面的晶面指数，并在图7中画出这些晶面指数所代表的晶面。

首先选定坐标系，如图所示。然后求出待标晶面在a，b，c轴上的截距，分别为a/2，2b/3，c/2。取倒数后得到2，3/2，2。再将其化成最小的简单整数比，得到4，3，4三个数。

于是该面的晶面指数为(434)。

图6

图7 晶面指数的标注

所有相互平行的晶面在三个晶轴上的截距虽然不同，但它们是成比例的，其倒数也仍然是成比例的，经简化可以得到相应的最小整数。因此，所有相互平行的晶面，其晶面指数相

同，或者三个符号均相反。可见，晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而且代表着一组相互平行的晶面。

图8立方晶胞的{110}、{111}晶面族

3 关于晶面指数和晶向指数的确定方法还有以下几点说明：

(1)参考坐标系通常都是右手坐标系。坐标系可以平移（因而原点可置于任何位置）。但不能转动，否则，在不同坐标系下定出的指数就无法相互比较。

(2)晶面指数和晶向指数可为正数，亦可为负数，但负号应写在数字上方，如（231），[112]等。

(3)若各指数同乘以不等于零的数n ，则新晶面的位向与旧晶面的一样，新晶向与旧晶向或是同向(当n >0)，或是反向(当n <0)。但是，晶面距（两个相邻平行晶面间的距离）和晶向长度（两个相邻结点间的距离）一般都会改变，除非n =1。

从以上各例可以看出，立方晶体的等价晶面具有“类似的指数”，即指数的数字相同，只是符号（正负号）和排列次序不同。这样，我们只要根据两个（或多个）晶面的指数，就能判断它们是否为等价晶面。另一方面，给出一个晶面族符号{hkl }，也很容易写出它所包括的全部等价晶面。

对于非立方晶系，由于对称性改变，晶面族所包括的晶面数目就不一样。例如正交晶系，

晶面(100)，(010)和(001)并不是等同晶面，不能以{100}族来包括。

与晶面族类似，晶体中因对称关系而等同的各组晶向可归并为一个晶向族，用表示。仿照上例，读者可以写出在立方晶系中的<100>，<110>，<111>，<112>和<123>等晶向族所包括的等价晶向。

以后，在讨论晶体的性质(或行为)时,若遇到晶面族或晶向族符号，那就表示该性质（或行为）对于该晶面族中的任一晶面或该晶向族中的任一晶向都同样成立，因而没有必要区分具体的晶面或晶向。

另外，在立方晶系中，具有相同指数的晶向和晶面必定是相垂直的，即[hkl]⊥(hkl)。

4.六方晶系指数表示

上面我们用三个指数表示晶面和晶向。这种三指数表示方法，原则上适用于任意晶系。对六方晶系，取a，b，c为晶轴，而a轴与b轴的夹角为120°，c轴与a，b轴相垂直，如图9所示。

图9 六方晶体的等价晶面和晶向指数

但是，用三指数表示六方晶系的晶面和晶向有一个很大的缺点，即晶体学上等价的晶面和晶向不具有类似的指数。这一点可以从图9看出。图中六棱柱的两个相邻表面（红面和绿

1）和(100)。图中夹角为60°的面）是晶体学上等价的晶面，但其密勒指数却分别是（10

两个密排方向D1和D2是晶体学上的等价方向，但其晶向指数却分别是[100]和[110]。

由于等价晶面或晶向不具有类似的指数，人们就无法从指数判断其等价性，也无法由晶面族或晶向族指数写出它们所包括的各种等价晶面或晶向，这就给晶体研究带来很大的不便。为了克服这一缺点，或者说，为了使晶体学上等价的晶面或晶向具有类似的指数，对六方晶体来说，就得放弃三指数表示，而采用四指数表示（密勒-布拉菲指数）。

四指数表示是基于4个坐标轴：a1，a2，a3和c轴，如图10所示，其中，a1，a2和c轴就是原胞的a，b和c轴，而a3=-(a1+a2)。下面就分别讨论用四指数表示的晶面及晶向指数。

图10 六方晶体的四轴系统 （1）六方晶系晶面指数的标定

六方晶系晶面指数的标定原理和方法同立方晶系中的一样，从待标晶面在a 1，a 2，a 3和c 轴上的截距可求得相应的指数h ，k ，i ，l ，于是晶面指数可写成(hkil )。

根据几何学可知，三维空间独立的坐标轴最多不超过三个。应用上述方法标定的晶面指数形式上是4个指数，但是不难看出，前三个指数中只有两个是独立的，它们之间有以下的关系：i = -( h + k )，因此，可以由前两个指数求得第三个指数。

六方晶体中常见晶面及其四指数（亦称六方指数）标于图11中。从图看出，采用四指数后，同族晶面（即晶体学上等价的晶面）就具有类似的指数。例如：

共6

个等价面(Ⅰ型棱柱面)。

共6个等价面(Ⅱ型棱柱面)。

而{0001}只包括(0001)一个晶面，称为基面。六方晶体中比较重要的晶面族还有

，请读者写出其全部等价面。

图11 六方晶体中常见的晶面 （2）六方晶系晶向指数的标定

采用四轴坐标，六方晶系晶向指数的标定方法如下：当晶向通过原点时，把晶向沿四个轴分解成四个分量，晶向OP 可表示为：OP=ua 1+va 2+ta 3+wC ，晶向指数用[uvtw]表示，其中t=-(u+v)。原子排列相同的晶向为同一晶向族，图12中a 1轴为[0112]，a 2轴[0121]，a 3轴[2011]均属〈0112〉，其缺点是标定较麻烦。可先用三轴制确定晶向指数[UVW]，再利用公式转换为[uvtw]。采用三轴坐标系时。C 轴垂直底面，a 1、a 2轴在底面上，其夹角

为120o

，如图12，确定晶向指数的方法同前。采用三轴制虽然指数标定简单，但原子排列相同的晶向本应属于同一晶向族，其晶向指数的数字却不尽相同，例如[100]，[010]，[011]，见图12。

图12 六方晶系的一些晶面与晶向指数

六方晶系按两种晶轴系所得的晶向指数可相互转换如下)2(31V U u -=，

)2(31U V v -=，)(v u t +-=，W w =。例如，[011]→[2011]，[100]→[0112]，

[010]→[0121]，这样等同晶向的晶向指数的数字都相同。

标定方法通常采用行走法。用行走法确定六方晶体的四轴晶向指数时，会遇到一个新的问题，即解是不唯一的。例如，a 1轴的指数可以是，也可以是[2000]；a 2轴的指数可

以是

，也可以是[0200]。分析各种等价晶向的四指数后发现，要想使等价晶向具有

类似的四指数，就需要人为地附加一个条件，即前三个指数之和为零。若将晶向指数写成[UVTW ]，则上述附加条件可写成：U+V+T=0，或T =-(U+V )。按照这个附加条件，上述a 1轴的指数就应该是

，而不是[2000]；同样，a 2和a 3轴的指数分别是

和。 图13中标出了六方晶体中各重要晶向的四指数，它们是[0001]，，

等

等。

图13 六方晶体中常见的晶向

除上述几个特殊晶向外，对一般的晶向，很难直接求出四指数[UVTW]，因为很难保证在沿a1，a2，a3和c轴分别走了U，V，T和W步后既要到达晶向上的另一点，又要满足条件T=-(U+V)。比较可靠的标注指数方法是解析法。该法是先求出待标晶向在a1，a2和c三个轴下的指数u，v，w（这比较容易求得），然后按以下公式算出四指数U，V，T，W。

(1-1)

T = - (U + V)

W = w

此公式可证明如下。

由于三指数和四指数均描述同一晶向，故：

U a1+ V a2+ T a3+ W c= u a1+v a2+w c

(1-2)又由几何关系：

a1+ a2= - a3

(1-3)再由等价性要求：

T = - (U+V)

(1-4)解以上三个联立方程，即得到：

u = 2U+V，v = 2V+U，w = W

(1-5) (1-5)式和(1-1)式可用矩阵表示如下： ?

=

=

下面举两个例子。

例1 请写出a1轴的晶向指数。

解：从晶胞图直接得到：u=1，v=0，w=0，按(1-1)式算得：

故

。

例2 请写出a2和-a3交角的平分线D的晶向指数。

解：从晶胞图可看出：D=a1+(-a3)=2a1+a2，得u=2，v=1，w=0，代入(1-1)式得到：U=1，V=0，T=-1，W=0，故。

5 立方和六方晶体中重要晶向的快速标注

在以后各章将多次遇到立方和六方晶体中的一些低指数重要晶向，需要迅速确定其指数。根据上述标定指数的方法，我们归纳出一条快速标定晶向指数的口诀，即：“指数看特征，正负看走向”。就是说，根据晶向的特征，决定指数的数值；根据晶向是“顺轴”（即与轴的正向成锐角）还是“逆轴”（即与轴的正向成钝角），决定相应于该轴的指数的正负。下面具体讨论立方和六方晶体中的各重要晶向。

（1）立方晶体

立方晶体中各重要晶向的特征如下：

(1)<100> 是晶轴。若沿着a轴，则第一指数为1，依次类推；如果“逆轴”（如沿-a 轴），则相应指数为。

(2)<110> 是立方体面对角线。若面对角线在a面（即(100)面）上，则第一指数为零，其余两个指数为1或（取决于所讨论的对角线是“顺着”还是“逆着”相应的晶轴）。

(3)<111> 是体对角线。三个指数都是1或，取决于该对角线与相应轴的交角（锐角为1，钝角为)。

(4)<112> 是顶点到对面（即不通过该顶点的{100}面）面心的连线。如果对面是a面，则第一指数为2或，其余两个指数为1或。

（2）六方晶体

六方晶体中各重要晶向的特征如下：

(1)[0001] c轴。

(2)和a1，a2或a3轴平行的晶向。和哪个轴正（或反）平行，则相应的指数就是2（或），其余三个指数就是，，0（或1，1，0）。

(3)两个晶轴±a i 和a j 交角的平分线（i 、j =1，2，3，i ≠j ）。例如，

是+a 1轴和-a 3轴交角的平分线；是-a 2轴和+a 3轴交角的平分线等等。

根据以上几类晶向指数，还可以迅速求得某些不平行于基面的重要晶向。方法是先求该晶向在基面上的投影线的指数[UVT 0]，而w 可从晶胞图中直观看出。例如，求图1-19中MN 的指

数时，先将MN 平移至原点，找出其投影ON'的指数，从图1-19中可直观看出

W=1，故MN 的指数，化整后得到。

6 晶带

相交于某一晶向直线或平行于此直线的晶面构成一个晶带，此直线称为晶带轴。设晶带轴的指数为[uvw]，则晶带中任何一个晶面的指数（hkl ）都必须满足：hu+kv+lw=0，满足此关系的晶面都属于以[uvw]为晶带轴的晶带，已知两个非平行的晶面指数为（h 1k 1l 1）和（h 2k 2l 2）则其交线即为晶带轴的指数[uvw]：1221l k l k u -=，1221h l h l v -=，1221k h k h w -=。

图14 晶带轴 7 晶面间距

一组平行晶面中，相邻两个平行晶面之间的距离叫晶面间距。两近邻平行晶面间的垂直距离，用d hkl 表示。对于不同的晶面族{hkl}其晶面间距也不同。总的来说，低指数晶面的面间距较大，高指数晶面的面间距较小。

图15 晶面间距

22

)

22(3

4)

(1

c l a k hk h hkl

d +++=

图16 晶面间距公式的推导

由晶面指数的定义，可用数学方法求出晶面间距，（简单立方）：d=a/(h 2+k 2+l 2)1/2

，正交系：2

22)

()()(1

c l b k k h hkl

d ++=

，立方系：2

2

2

l

k h a hkl d ++=

，六方系：22

)

22(3

4

)

(1

c l a

k hk h hkl d +++=

。此公

式用于复杂点阵（如体心立方，面心立方等）时要考虑晶面层数的增加。例如，体心立方（001）

面之间还有同一类的晶面，可称为（002）面，故晶面间距应为简单晶胞001d 的一半，等于2a 。由公式也可看出低指数晶面的面间距大。 三 晶体的极射赤面投影

采用立体图难以做到清晰表达晶体的各种晶向、晶面及它们之间的夹角。通过投影图可将立体图表现于平面上。晶体投影方法很多，广泛应用的是极射赤面投影。 1 参考球与极射赤面投影 （1）参考球

设想将一很小的晶体或晶胞置于一个大圆球的中心，由于晶体很小，可认为各晶面均通过球心，由球心作晶面的法线与球面的交点称为极点，这个球称参考球，如图17。球面投影用点表示相应的晶面，两晶面的夹角可在参考球上量出，如图17，(110)与(010)夹角为45o

。但使用上仍不方便。可在此基础上再作一次极射赤面投影。

图17 参考球与立方系球面投影 （2）极射赤面投影

以球的南北极为观测点，赤道面为投影面。连结南极与北半球的极点，连线与投影面的交点即为晶面的投影，如图18。投影图的边界大圆与参考球直径相等叫基圆。位于南半球的极点应与北极连线，所得投影点可另选符号，使之与北半球的投影点相区分。也可选与赤道平行的其他平面作投影面，所得投影图形状不变，只改变其比例。对于立方系，相同指数的晶面和晶向互相垂直、所以立方系标准投影图的极点即代表了晶面又代表了晶向。若将参考球比拟为地球，以地球的两极为投影点，将球面投影投射到赤道平面上，就叫极射赤面投影。

图18 极射赤面投影

2 标准投影图

以晶体的某个晶面平行于投影面，作出全部主要晶面的极射投影图称为标准投影图。一般选择一些重要的低指数晶面作投影面，如立方系(001)，(011)，(111)及六方系(0001)等。例如(001)标准投影图是以(001)为投影面，进行极射投影而得到的，如图19。

图19 立方系（001）标准投影图

3 吴氏网

吴氏网是球网坐标的极射平面投影，分度为2 o，具有保角度的特性。其读数由中心向外读，分东，南，西，北。吴氏网如图20所示。

图20 吴氏网（分度为2o）

使用吴氏网时，投影图大小与吴氏网必须一致。利用吴氏网可方便读出任一极点的方位，并可测定投影面上任意两极点间的夹角，是研究晶体投影，晶体取向等问题的有力工具。在测量时，用透明纸画出直径与吴氏网相等的基圆，并标出晶面的极射赤面投影点。将透明纸

盖于吴氏网上。两圆圆心始终重合，转动透明纸、使所测两点落在赤道线上，子午线上，基因上，同一经线上。两点纬度差(在赤道上为经度差)就等于晶面夹角。不能转到某一纬线去测夹角，因为此时所测得的角度不是实际夹角。

例题

1.已知纯钛有两种同素异构体，低温稳定的密排六方结构和高温稳定的体心立方结

构，其同素异构转变温度为℃，计算纯钛在室温（20℃）和900℃时晶体中（112）

和（001）的晶面间距（已知a a20℃=, c a20℃=, aβ900℃=）。

答案

20℃时为α-Ti：hcp结构

当h+2k=3n (n=0,1,2,3…) ，l=奇数时，有附加面。

；

900℃时为β-Ti： bcc结构

当奇数时，有附加面。

内容提要

晶胞是能反映点阵对称性、具有代表性的基本单元（最小平行六面体），其不同方向的晶向和晶面可用密勒指数加以标注，并可采用极射投影方法来分析晶面和晶向的相对位向关系。

重点与难点

1 晶向指数与晶面指数的标注；

2 晶面间距的确定与计算；

3 极射投影与Wulff网。

重要概念与名词

晶向指数，晶面指数，晶向族，晶面族，晶带轴，晶面间距，极射投影，极点，吴氏网，标准投影。

[U V W]与[u v t w]之间的互换关系：

晶带定律：

立方晶系晶面间距计算公式：

六方晶系晶面间距计算公式：

习题

1 标出具有下列密勒指数的晶面和晶向：a) 立方晶系,,,,

；b) 六方晶系，，，，

2 在立方晶系中画出晶面族的所有晶面，并写出{123}晶面族和﹤221﹥晶向族中的全部等价晶面和晶向的密勒指数。

3 在立方晶系中画出以为晶带轴的所有晶面。

4 试证明在立方晶系中，具有相同指数的晶向和晶面必定相互垂直。

5 已知纯钛有两种同素异构体，低温稳定的密排六方结构和高温稳定的体心立方结

构，其同素异构转变温度为℃，计算纯钛在室温（20℃）和900℃时晶体中（112）和（001）的晶面间距（已知a a20℃=, c a20℃=,

aβ900℃=）。

答案

晶面间距及晶包参数计算公式

空间点阵必可选择3个不相平行的连结相邻两个点阵点的单位矢量a，b，c，它们将点阵划分成并置的平行六面体单位，称为晶面间距。空间点阵按照确定的平行六面体单位连线划分，获得一套直线网格，称为空间格子或晶格。点阵和晶格是分别用几何的点和线反映晶体结构的周期性，它们具有同样的意义。 1概述 空间点阵必可选择3个不相平行的连结相邻两个点阵点的单位矢量a，b，c，它们将点阵划分成并置的平行六面体单位，称为晶面间距。空间点阵按照确定的平行六面体单位连线划分，获得一套直线网格，称为空间格子或晶格。点阵和晶格是分别用几何的点和线反映晶体结构的周期性，它们具有同样的意义。 2 计算 不同的{hkl}晶面（标准卡片可读出hkl为衍射指数），其面间距(即相邻的两个平行晶面之间的距离)各不相同。总的来说，低指数的晶 面其面间距较大，而高指数面的面间距小。以图1-22所示的简单立 方点阵为例，可看到其{100}面的晶面间距最大，{120}面的间距较小，而{320}面的间距就更小。但是，如果分析一下体心立方或面心立方 点阵，则它们的最大晶面间距的面分别为{110}或{111}而不是{100}，说明此面还与点阵类型有关。此外还可证明，晶面间距最大的面总是阵点(或原子)最密排的晶面，晶面间距越小则晶面上的阵点排列就越

稀疏。正是由于不同晶面和晶向上的原子排列情况不同，使晶体表现为各向异性。 简单立方点阵晶面间距d与点阵常数之间的关系： 。 面心立方晶体（FCC）晶面间距与点阵常数a之间的关系： 若h、k、l 均为奇数，则 ；否则， 。 体心立方晶体（BCC）晶面间距与点阵常数a之间的关系： 若h+k+l=偶数，则 ；否则，

材料科学基础-晶体缺陷

材料科学基础-晶体缺陷 (总分：430.00，做题时间：90分钟) 一、论述题(总题数：43，分数：430.00) 1.设Cu中空位周围原子的振动频率为1013S-1，△E v为0.15×10-18J，exp(△S m/k)约为1，试计算在700K和室温(27℃)时空位的迁移频率。 （分数：10.00） __________________________________________________________________________________________ 正确答案：(空位的迁移频率 [*] [*]) 解析： 2.Nb的晶体结构为bcc，其晶格常数为0.3294nm，密度为8.57g/cm3，试求每106Nb中所含的空位数目。 （分数：10.00） __________________________________________________________________________________________ 正确答案：(设空位之粒子数分数为x， [*] 106×7.1766×10-3=7176.6(个) 所以，106个Nb中有7176.6个空位。) 解析： 3.Pt的晶体结构为fcc，其晶格常数为0.3923nm，密度为21.45g/cm3，试计算其空位粒子数分数。 （分数：10.00） __________________________________________________________________________________________ 正确答案：(设空位所占粒子数分数为x， [*]) 解析： 4.若fcc的Cu中每500个原子会失去1个，其晶格常数为0.3615nm，试求Cu的密度。 （分数：10.00） __________________________________________________________________________________________ 正确答案：( [*]) 解析： 5.由于H原子可填入α-Fe的间隙位置，若每200个铁原子伴随着1个H原子，试求α-Fe理论的和实际的密度与致密度(已知α-Fe的a=0.286nm，r Fe=0.1241nm，r H=0.036nm)。 （分数：10.00） __________________________________________________________________________________________ 正确答案：( [*])

晶体学习题与答案

一、 名词解释 （1）阵点；（2）（空间）点阵；（3）晶体结构；（4）晶胞；（5）晶带轴； 二、填空 （1）晶体中共有 种空间点阵，属于立方晶系的空间点阵有 三种。 （2）对于立方晶系，晶面间距的计算公式为 。 （3）{110}晶面族包括 等晶面。 （4）{h 1k 1l 1}和{h 2k 2l 2}两晶面的晶带轴指数[u v w]为 。 （5）(110)和(11-0)晶面的交线是 ；包括有[112]和[123]晶向的晶面是 。 三、计算及简答 （1）原子间的结合键共有几种？各自有何特点？ （2）在立方晶系的晶胞中，画出（111）、（112）、（011）、（123）晶面和[111]、[101]、[111-] 晶向。 （3）列出六方晶系{101-2} 晶面族中所有晶面的密勒指数，并绘出（101-0）、（112-0）晶面 和〔112-0〕晶向。 （4）试证明立方晶系的〔111〕晶向垂直于（111）晶面。 （5）绘图指出面心立方和体心立方晶体的（100）、（110）、及（111）晶面，并求其面间距； 试分别指出两种晶体中，哪一种晶面的面间距最大？ （6）在立方晶系中，（1-10）、（3-11）、（1-3- 2）晶面是否属于同一晶带？如果是，请指出其晶 带轴；并指出属于该晶带的任一其他晶面。 （7）写出立方晶系的{111}、{123}晶面族和<112>晶向族中的全部等价晶面和晶向的具体指 数。 （8）计算立方晶系中（111）和〔111-〕两晶面间的夹角。

（9）若采用四轴坐标系标定六方晶体的晶向指数，应该有什么约束条件？为什么？ 答 案 二、填空 (1)14 简单、体心、面心 (2)222hkl d h k l =++ (3) (110)、(101)、(011)、(1-10)、(1-01) 、(01-1) (4)1122k l u k l =；1122l h v l h =；11 22 h k w h k = (5)〔001〕 （111-） 三、简答及计算 （1）略 （2） （3）{101-2}晶面的密勒指数为（101-2）、（1-012）、（01-12）、（011-2）、 （ 1-102）、（11-02）。要求绘出的晶面和晶向如下图1-9所示。

第一章晶体学基础

第一章晶体学基础引言——晶体 钻石

香港富豪郑裕彤3530万美元购507克拉巨钻(图) 来源：人民网; 2010年02月28日11:37 ;201011:37 香港富豪郑裕彤拥有的周大福集团旗下周大福珠宝金行，26日成功以2亿7500万港元(约3530万美元)购得一颗全球罕有、属顶级IIA型晶莹通透的507 克拉南非裸钻TheCullinanHeritage，为世界至今开采得最高质量的钻石之， ，为世界至今开采得最高质量的钻石之一，亦创造裸钻售价历史最高纪录。 珠宝专家形容该裸钻颜色和净度极高可说世间罕有无与伦比郑裕彤珠宝专家形容该裸钻颜色和净度极高，可说世间罕有无与伦比。郑裕彤在接受访问时表示，拟用一年时间将此裸钻打造成125克拉以上的圆形钻石，缔造世界最大颗超完美圆形美钻。

如今的中国钻石消费现已超越日本， 成为仅次于美国的全球第二大钻石 成为仅次于美国的全球第大钻石 消费国，据国际钻石行业专家预测， 至2020年中国将替代美国成为世界 第一大钻石消费大国。而这一切不 能不说与一句“神级翻译”的广告 语在中国的推广有着某种密切的关 联。 在中国推广始于1990年的“钻石恒 久远，一颗永流传”，流传的不仅 是钻石的价值，更是钻石的永恒品"A Diamond is forever" 质。

新研究发现钻石并非恒久远: 强光照射下蒸发 2011年07月21日09:35:53 据美国物理学家组织网报道，澳大利亚麦考瑞大学的研究人员发现，地球 上最坚硬的天然物质钻石并非人们想象的那样“恒久远”。在强光照射下，上最坚硬的天然物质钻石并非人们想象的那样“恒久远”在强光照射下钻石也会蒸发。研究发现刊登在美国《光学材料快报》杂志上。 麦考瑞大学光子学研究中心副教授理查德-米德伦和同事经研究发现，钻石暴露在光照条件下会蒸发。米德伦说：“一些物质都有光照导致的蒸钻石暴露在光照条件下会蒸发米德伦说“些物质都有光照导致的蒸发现象，观察到钻石也有这种现象还是第一次。”当暴露在强紫外-C线(臭氧层过滤后的强紫外线)条件下，钻石表面的小凹坑会在短短几秒钟内 消失。钻石质量损失的速度随着光线强度的降低快速降低，但蚀刻过程仍然继续，只是速度越来越慢。

测定晶体的晶面间距

测定晶体的晶面间距 ——X射线衍射法（布拉格法） 一、前言 X射线的波长非常短，与晶体的晶面间距基本上在同一数量级。因此，若把晶体的晶面间距作为光栅，用X射线照射晶体，就有可能产生衍射现象。科学家们深入研究了X射线在晶体中的衍射现象，得出了著名的劳厄晶体衍射公式、布拉格父子的布拉格定律等等。在他们的带领下，人们的视野深入到了晶体的内部，开辟了X射线理论和应用的广阔天地。他们也因自己的卓越研究，都获得了诺贝尔奖。 今天，X射线的衍射原理和方法在物理、化学、地质学、生命科学、……、尤其是在材料科学等各个领域都有了成熟的应用，而且仍在继续兴旺发展，特别是在材料的微观结构认识与缺陷分析上仍在不断揭示新的奇妙现象，正吸引着科学家们致力于开创新的理论突破！ 二、实验目的： 1）掌握X射线衍射仪分析法（衍射仪法）的基本原理和方法； 2）了解Y-2000型Ｘ射线衍射仪的结构、工作原理和使用方法。 三、实验原理 1912年英国物理学家布拉格父子（W. H. B ragg & W. L. B ragg）通过实验，发现了单色X射线与晶体作用产生衍射的规律。利用这一规律，发明了测定晶格常数（晶面间距）d的方法，这一方法也可以用来测定X射线的波长λ。在用X射线分析晶体结构方面，布拉格父子作出了杰出贡献，因而共同获得1915年诺贝尔物理学奖。 晶面间距与X射线的波长大致在同一数量级。当用一束单色X射线以一定角度θ照射晶体时，会发生什么现象呢？又有何规律呢？见图1： 图1 晶体衍射原理图

用单色X射线照射晶体： 1）会象可见光照射镜面一样发生反射，也遵从反射定律：即入射线、衍（反）射线、法线三线共面；掠射角θ与衍射角相等。 2）但也有不同：可见光在0°~180°都会发生反射，X射线却只在某些角度有较强的反射，而在其余角度则几乎不发生反射，称X射线的这种反射为“选择反射”。 选择性反射实际上是X射线1与X射线2互相干涉加强的结果，如图1（b）所示。当X射线1与2的光程差2 δ是波长λ的整数倍时，即 2 δ = n λ（n∈Z﹢）时，会发 生干涉： ∵δ = d Sin θ 2 δ = 2 d Sinθ ∴ 2 d Sin θ = n λ( 1 ) 此即著名的布拉格公式。 布拉格公式指出，用波长为λ的X射线射向晶体表面时，当在某些角度的光程差正好为波长λ的整数倍时，会发生干涉加强。让试样和计数器同步旋转（即转过扫查角度范围），用记数器记录下单位时间发生衍射的光量子数CPS，用测角仪测出发生衍射的角度（2 θ），如图2所示。 图2 测量衍射示意图 用CPS（CPS–C ounts P er S econd ）作纵坐标，2 θ作横坐标，描绘出所记录到的光量子数与角度的关系曲线，就可以得到如下衍射波形图： 图3 S i的衍射波形图

第一章 晶体学基础

固态物质 晶 体 非晶体 规则排列不规排列 各向异性各向同性 有确定的熔点无确定的熔点 规则排列不规则排列 突变 不规则排列不规则排列 渐变 1.2 晶体学基础 Fundamentals of crystallogphy 一、晶体与非晶体（Crystals versus non-crystals）

1.晶体的定义 物质的质点(分子、原子或离子)在三维空间作有规律的 周期性重复排列所形成的物质叫晶体。具有各向异性。可分为金属晶体、离子晶体、共价晶体和分子晶体四种。 2. 非晶体 非晶体在整体上是无序的；近程有序。实际为一种过 冷液体。具有各向同性。

图 材料中原子的排列 隋性气体无规则排列表示有些材料包括水蒸气和玻璃的短程有序 表示有些材料包括水蒸气和玻璃的短程有序 金属及其他许多材料的长程有序排列 二氧化硅结构示意图a)晶态 b)非晶态

3. 晶体的特征 （1）周期性（不论沿晶体的哪个方向看去，总是相隔一定的距离就出现相同的原子或原子集团。这个距离称为周期）液体和气体都是非晶体。 （2）有固定的凝固点和熔点. （3）各向异性（沿着晶体的不同方向所测得的性能通常是不同的：晶体的导电性、导热性、热膨胀性、弹性、强度、光学性质）。

4.晶体与非晶体的区别 a.根本区别：质点是否在三维空间作有规则的周期性重复排列 b.晶体熔化时具有固定的熔点,而非晶体无明显熔点,只存在一个软化温度范围 c.晶体具有各向异性，非晶体呈各向同性（多晶体也呈各向同性，称“伪各向同性”）

5.晶体与非晶体的相互转化 玻璃经高温长时间加热后能形成晶态玻璃 通常呈晶体的物质如果将它从液态快速冷却下来也可能得到非晶态 获得非晶态的金属和合金（采用特殊的制备方法）

晶体学基本(晶向指数与晶面指数)

1.4 晶向指数和晶面指数 一晶向和晶面 1 晶向 晶向：空间点阵中各阵点列的方向（连接点阵中任意结点列的直线方向）。晶体中的某些方向，涉及到晶体中原子的位置，原子列方向，表示的是一组相互平行、方向一致的直线的指向。 2 晶面 晶面：通过空间点阵中任意一组阵点的平面（在点阵中由结点构成的平面）。晶体中原子所构成的平面。 不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。材料的许多性质和行为（如各种物理性质、力学行为、相变、X光和电子衍射特性等）都和晶面、晶向有密切的关系。所以，为了研究和描述材料的性质和行为，首先就要设法表征晶面和晶向。为了便于确定和区别晶体中不同方位的晶向和晶面，国际上通用密勒（Miller）指数来统一标定晶向指数与晶面指数。 二晶向指数和晶面指数的确定 1 晶向指数的确定方法 三指数表示晶向指数[uvw]的步骤如图1所示。 (1)建立以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a，b，c，坐标原点在待标晶向上。 (2)选取该晶向上原点以外的任一点P(xa，yb，zc)。 (3)将xa，yb，zc化成最小的简单整数比u，v，w，且u∶v∶w = xa∶yb∶zc。 (4)将u，v，w三数置于方括号内就得到晶向指数[uvw]。

图1 晶向指数的确定方法 图2 不同的晶向及其指数 当然，在确定晶向指数时，坐标原点不一定非选取在晶向上不可。若原点不在待标晶向上，那就需要选取该晶向上两点的坐标P (x 1，y 1，z 1)和Q (x 2，y 2，z 2)，然后将(x 1-x 2)，(y 1-y 2)，(z 1-z 2)三个数化成最小的简单整数u ，v ，w ，并使之满足u ∶v ∶w =(x 1-x 2)∶(y 1-y 2)∶(z 1-z 2)。则[uvw ]为该晶向的指数。 显然，晶向指数表示了所有相互平行、方向一致的晶向。若所指的方向相反，则晶向指数的数字相同，但符号相反，如图3中[001]与[010]。 说明： a 指数意义：代表相互平行、方向一致的所有晶向。 b 负值：标于数字上方，表示同一晶向的相反方向。 c 晶向族：晶体中原子排列情况相同但空间位向不同的一组晶向。用表示，数字相同，但排列顺序不同或正负号不同的晶向属于同一晶向族。晶体结构中那些原子密度相同的等同晶向称为晶向轴，用表示。 <100>：[100] [010] [001] [001] [010] [100]

第一章晶体学基础

第一章晶体学基础 注：本教案中相关图片均可点击放大显示。 第一节晶体和点阵的定义 1.1 晶体及其基本性质 晶体的定义 ?晶体是原子或者分子规则排列的固体； ?晶体是微观结构具有周期性和一定对称性的固体； ?晶体是可以抽象出点阵结构的固体; ?在准晶出现以后，国际晶体学联合会在 1992年将晶体的定义改为：“晶体是能够给出明锐衍射的固体。” 下图为晶体的电子衍射花样，其中图a为一般晶体的电子衍射花样，而图b则是一种具有沿[111]p方向具有六倍周期的有序钙钛矿的电子衍射花样，由这些衍射花样可以看出来，无论是无序还是有序晶体，其倒空间都具有平移周期对称的特点（相应的正空间也应该具有平移对称的特点）。事实上在准晶发现以前，平移周期对称被当作晶体在正空间中的一个本质的特点，晶体学中的点群和空间群就是以晶体的平移对称为基础推导出来的。 晶体的分类 从成健角度来看，晶体可以分成： ?离子晶体； ?原子晶体； ?分子晶体； ?金属晶体。

面角守衡定律：（由丹麦的斯丹诺于1669年提出） 在相同的热力学条件下，同一物质的各晶体之间比较，相应晶面的大小、形状和个数可以不同，但相应晶面间的夹角不变，一组特定的夹角构成这种物质所有晶体的共同特征。 下图是自然界存在的具有规则外形的几种常见的晶体，分别是方解石、萤石、食盐和石英，它们的面角关系完全符合面角守衡定律。事实上，自然界中的晶体，当其形成条件比较接近平衡条件时，它们往往倾向于长成与其晶体对称性相应的外形。 非晶体的定义 非晶体是指组成物质的分子（或原子、离子）不呈空间有规则周期性排列的固体。它没有一定规则的外形，如玻璃、松香、石蜡等。它的物理性质在各个方向上是相同的，叫“各向同性”。它没有固定的熔点。所以有人把非晶体叫做“过冷液体”或“流动性很小的液体”。 准晶的定义 准晶是准周期晶体的简称，它是一种无平移周期性但有位置序的晶体；也有人将其定义为具有非公度周期平移对称的晶体。准晶可以具有一般晶体禁止出现的五次、八次、十次和十二次旋转对称，但非公度周期平移对称才是其本质特点。下图中为准晶的电子衍

晶体学课后习题参考答案

创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* 第一章习题 1.晶体与非晶体最本质的区别是什么?准晶体是一种什么物态? 答：晶体和非晶体均为固体，但它们之间有着本质的区别。晶体是具有格子构造的固体，即晶体的内部质点在三维空间做周期性重复排列。而非晶体不具有格子构造。晶体具有远程规律和近程规律，非晶体只有近程规律。准晶态也不具有格子构造，即内部质点也没有平移周期，但其内部质点排列具有远程规律。因此，这种物态介于晶体和非晶体之间。 2.在某一晶体结构中，同种质点都是相当点吗?为什么? 答：晶体结构中的同种质点并不一定都是相当点。因为相当点是满足以下两个条件的点：a.点的内容相同；b.点的周围环境相同。同种质点只满足了第一个条件，并不一定能够满足第二个条件。因此，晶体结构中的同种质点并不一定都是相当点。 3.从格子构造观点出发，说明晶体的基本性质。 答：晶体具有六个宏观的基本性质，这些性质是受其微观世界特点，即格子构造所决定的。现分别叙述： a.自限性晶体的多面体外形是其格子构造在外形上的直接反映。晶面、晶棱与角顶分别与格子构造中的面网、行列和结点相对应。从而导致了晶体在适当的条件下往往自发地形成几何多面体外形的性质。 b.均一性因为晶体是具有格子构造的固体，在同一晶体的各个不同部分，化学成分与晶体结构都是相同的，所以晶体的各个部分的物理性质与化学性质也是相同的。 c.异向性同一晶体中，由于内部质点在不同方向上的排布一般是不同的。因此，晶体的性质也随方向的不同有所差异。 d.对称性晶体的格子构造本身就是质点周期性重复排列，这本身就是一种对称性；体现在宏观上就是晶体相同的外形和物理性质在不同的方向上能够有规律地重复出现。 e.最小内能性晶体的格子构造使得其内部质点的排布是质点间引力和斥 力达到平衡的结果。无论质点间的距离增大或缩小，都将导致质点的相对势能增加。因此，在相同的温度条件下，晶体比非晶体的内能要小；相对于气体和液体来说，晶体的内能更小。 f.稳定性内能越小越稳定，晶体的稳定性是最小内能性的必然结果。 4.找出图1-2a中晶体平面结构中的相当点并画出平面空间格子（即面网）。

X光实验LiF晶体晶面间距测量的改进

X 光实验LiF 晶体晶面间距测量的改进 ●摘要（Abstract ） The paper analyzes the reason that how the measurement inaccuracy come out and estimate its impact. In the latter part, a method is given to correct the inaccuracy to make the conclusion more accurate. ●关键词 X 光、LiF 晶体、晶面间距、布拉格衍射、误差 ●引言 实验测量中免不了误差的出现，误差分为三种：系统误差、随机误差和疏忽误差。本文所涉及的晶面间距的测量误差属于随机误差，是同一条件下多次测量后仍不可预测的。需要设法消除。 本文对原测量方法进行分析，发现误差的出现是由于k=1时的衍射角的测量值有偏差。之后给出了解决这种偏差的方法，即利用k=2与k=3时和k=3与k=4时的两个衍射角夹角结合布拉格公式来求得k=1时的衍射角。之后再进行换算和拟合。 ●正文 测量所得图像如下 首先我们回顾一下测量方法： 布拉格公式中，令2sin X,k =Y,Y=A+BX,B=d βλ=，其中d 为晶面间距，有下表

k 1 1 2 2 3 X 0.310 0.347 0.621 0.700 1.080 Y 6.32 7.11 12.64 14.22 21.33 即可得LiF 晶面间距为0.1952nm 。已知本实验取向LiF 晶体晶面间距为0.2104nm ，存在3.2%的误差。 这个误差是怎么来的呢？ 按照原理上图中不应出现截距，我们将各点分别与原点相连求斜率，将不同k 1 2 d 0.2039 0.2035 上表对应波长26.3210nm λ-=? k 1 2 3 d 0.2049 0.2031 0.1975 上表对应波长27.1110nm λ-=? 可以发现，两组数据都呈现递减趋势。很容易联想到这种误差是由晶体表面并不水平造成的。看下图

晶体学课后习题参考答案

第一章习题 1.晶体与非晶体最本质的区别是什么?准晶体是一种什么物态? 答：晶体和非晶体均为固体，但它们之间有着本质的区别。晶体是具有格子构造的固体， 即晶体的内部质点在三维空间做周期性重复排列。而非晶体不具有格子构造。晶体具有 远程规律和近程规律，非晶体只有近程规律。准晶态也不具有格子构造，即内部质点也 没有平移周期，但其内部质点排列具有远程规律。因此，这种物态介于晶体和非晶体之 间。 2.在某一晶体结构中，同种质点都是相当点吗?为什么? 答：晶体结构中的同种质点并不一定都是相当点。因为相当点是满足以下两个条件的点：a.点的内容相同；b.点的周围环境相同。同种质点只满足了第一个条件，并不一定能够满 足第二个条件。因此，晶体结构中的同种质点并不一定都是相当点。 3.从格子构造观点出发，说明晶体的基本性质。 答：晶体具有六个宏观的基本性质，这些性质是受其微观世界特点，即格子构造所决定 的。现分别变述： a.自限性晶体的多面体外形是其格子构造在外形上的直接反映。晶面、晶棱与角顶分别 与格子构造中的面网、行列和结点相对应。从而导致了晶体在适当的条件下往往自发地 形成几何多面体外形的性质。 b.均一性因为晶体是具有格子构造的固体，在同一晶体的各个不同部分，化学成分与晶 体结构都是相同的，所以晶体的各个部分的物理性质与化学性质也是相同的。 c.异向性同一晶体中，由于内部质点在不同方向上的排布一般是不同的。因此，晶体的 性质也随方向的不同有所差异。 d.对称性晶体的格子构造本身就是质点周期性重复排列，这本身就是一种对称性；体现 在宏观上就是晶体相同的外形和物理性质在不同的方向上能够有规律地重复出现。 e.最小内能性晶体的格子构造使得其内部质点的排布是质点间引力和斥力达到平衡的 结果。无论质点间的距离增大或缩小，都将导致质点的相对势能增加。因此，在相同的 温度条件下，晶体比非晶体的内能要小；相对于气体和液体来说，晶体的内能更小。 f.稳定性内能越小越稳定，晶体的稳定性是最小内能性的必然结果。 4.找出图1-2a中晶体平面结构中的相当点并画出平面空间格子（即面网）。 答：取其中一个Si原子为研究对象，找出其相当点并画出其空间格子（见下图）

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【 第一章习题 1.晶体与非晶体最本质的区别是什么准晶体是一种什么物态 答：晶体和非晶体均为固体，但它们之间有着本质的区别。晶体是具有格子构造的固体，即晶体的内部质点在三维空间做周期性重复排列。而非晶体不具有格子构造。2晶体具有远程规律和近程规律，非晶体只有近程规律。准晶态也不具有格子构造，即内部质点也没有平移周期，但其内部质点排列具有远程规律。因此，这种物态介于晶体和非晶体之间。 2.在某一晶体结构中，同种质点都是相当点吗为什么 ? 答：晶体结构中的同种质点并不一定都是相当点。因为相当点是满足以下两个条件的点：a.点的内容相同；b.点的周围环境相同。同种质点只满足了第一个条件，并不一定能够满足第二个条件。因此，晶体结构中的同种质点并不一定都是相当点。 3.从格子构造观点出发，说明晶体的基本性质。 答：晶体具有六个宏观的基本性质，这些性质是受其微观世界特点，即格子构造所决定的。现分别叙述： a.自限性晶体的多面体外形是其格子构造在外形上的直接反映。晶面、晶棱与角顶分别与格子构造中的面网、行列和结点相对应。从而导致了晶体在适当的条件下往往自发地形成几何多面体外形的性质。 b.均一性因为晶体是具有格子构造的固体，在同一晶体的各个不同部分，化学成分与晶体结构都是相同的，所以晶体的各个部分的物理性质与化学性质也是相同的。 c.异向性同一晶体中，由于内部质点在不同方向上的排布一般是不同的。因此，晶体的性质也随方向的不同有所差异。 d.对称性晶体的格子构造本身就是质点周期性重复排列，这本身就是一种对称性；体现在宏观上就是晶体相同的外形和物理性质在不同的方向上能够有规律地重复出现。 — e.最小内能性晶体的格子构造使得其内部质点的排布是质点间引力和斥力达到平衡的结果。无论质点间的距离增大或缩小，都将导致质点的相对势能增加。因此，在相同的温度条件下，晶体比非晶体的内能要小；相对于气体和液体来说，晶体的内能更小。

晶面指数

引用晶面指数、晶向指数、晶面间距 第二章X射线衍射方向 【教学内容】 1．晶体几何学基础。 2．X射线衍射的概念与布拉格方程（布拉格定律、衍射矢量方程、爱瓦德图解、劳埃方程）。 3．布拉格方程的应用与衍射方法。 【重点掌握内容】 1．晶体几何学的基本概念，包括布拉菲点阵，晶面和晶向指数等。 2．布拉格方程，这是本章的重中之重。 3．关于反射级数，X射线衍射与可见光反射的区别，以及衍射产生的条件及其在实际分析工作应用。 【了解内容】 1．复习晶体几何学的某些概念，如晶体、空间格子、晶带、晶带定律和晶面间距和晶面夹角的计算。 2．布拉格方程的应用和主要的衍射分析方法。 【教学难点】 1．倒易点阵。 2．衍射矢量方程、爱瓦德图解。 【教学目标】 1．熟练掌握X射线衍射的基本原理，尤其是布拉格方程。 2．培养学生善于利用这些理论去指导实际分析工作的能力。 【教学方法】 1．以课堂教学为主，通过多媒体教学手段，使学生掌握较抽象的几何结晶学的概念和布拉格方程。 2．通过做习题加深对X射线衍射理论的理解。 一、X射线衍射的发现 上章已经X射线的波动本质。我们对X射线的应用很大程度依赖于它的波动性。 第一个成功对X射线波动性进行的研究是德国物理学家劳厄（M. V. Laue）(照片)。1912年，劳厄是德国慕尼黑大学非正式聘请的教授。在此之前，人们对光的波动性已经进行了很多的研究，有关的理论已相当成熟。比如，光的衍射作用。人们知道，当光通过与其波长相当的光栅时会发生衍射作用。另一方面，人们对晶体的研究也达到相当的水平，认为晶体内部的质点是规则排列的，且质点间距在1-10A之间。当时，同校的一名博士研究生厄瓦耳（P. P. Eward）正在研究关于“各向同性共振体按各向异排列时的光学散射性质”。一天，他去向劳厄请教问题。劳厄问他，如果波长比晶体的原子间距小，而不象可见光波