结构动力学中的常用数值方法

第五章 结构动力学中的常用数值方法

5．1．结构动力响应的数值算法

...

.

0()(0)(0)M x c x kx F t x a x v ?

++=??=??=??

当c 为比例阻尼、线性问题→模态叠加最常用。但当C 无法解耦，有非线性存在，有

冲击作用（激起高阶模态，此时模态叠加法中的高阶模态不可以忽略）。此时就要借助数值积分方法，在结构动力学问题中，有一类方法称为直接积分方法最为常用。所识直接是为模态叠加法相对照来说，模态叠加法在求解之前，需要对原方程进行解耦处理，而本节的方法不用作解耦的处理，直接求解。（由以力学，工程中的力学问题为主要研究对象的学者发展出来的）

中心差分法的解题步骤

1. 初始值计算

（1） 形成刚度矩阵K ，质量矩阵M 和阻尼矩阵C 。

（2） 定初始值0x ，.

0x ，..

0x 。

（3） 选择时间步长t ?，使它满足cr t t ?

1()

a t =

?，112a t

=

?，202a a =

（4） 计算.

..

001

1122t x x x x a a -?=-

+

（5） 形成等效质量阵01M a M a C -

=+ （6） 对M -阵进行三角分解T M LDL -

= 2．对每一时间步长

（1） 计算时刻t 的等效载荷

2

1

()(

)t t t t

t Q Q K a M x a M

a C x -

-?=--

-- （2） 求解t t +?时刻的位移 ()T

t t t L D L x Q -

+?=

（3） 如需要计算时刻t 的速度和加速度值，则

.

1()t t t t t x a x x +?-?=-

..

0(2)t t t t t t x a x x x +?-?=-+

若系统的质量矩阵和阻尼矩阵为对角阵时，则计算可进一步简化。

纽马克法的解题步骤

1.初始值计算

（1）形成系统刚度矩阵K ，质量矩阵M 和阻尼矩阵C

（2）定初始值0x ，.

0x ，..

0x 。

（3）选择时间步长t ?，参数γ、σ。并计算积分常数

0.5γ≥，20.25(0.5)δγ≥+ 02

1

a t

δ=?，1a t

γδ=

?，21

a t

δ=

?

3112a δ

=

-，41a γδ

=-，5(2)2t a γ

δ

?=

- 6(1)a t γ=?-，7a t γ=?

（4）形成等效刚度矩阵K -

01K K a M a C -

=++

（5）K -

矩阵进行三角分解 T K L D L -

= 2. 对第一时间步长

（1）计算t t +?时刻的等效载荷

.

..

.

..

623145()()

t t t t t t t t t Q Q M a x a x a x C a x a x a x -

+?=++++++ （2）求解t t +?时刻的位移 ()T

t t t t L D L x Q -

+?+?=

（3）计算t t +?时刻的加速度和速度

..

.

..

023()t t t t t t t x a x x a x a x +?+?=---

.

.

..

..

67t t t t t t x x a x a x +?+?=++

威尔逊-θ法的解题步骤

1. 初始值计算

（1）形成系统刚度矩阵K ，质量矩阵M 和阻尼矩阵C

（2）定初始值0x ，.

0x ，..

0x 。

（3）选择时间步长t ?，并计算积分常数

1.4θ= 02

6()

a t θ=?，13

a t

θ=

?，212a a =

32t

a θ?=

，0

4a a θ

=

，2

5a a θ-=

63

1a θ

=-

，72

t a ?=，2

86

t a ?=

（4）形成等效刚度K -

01K K a M a C -

=++

（5）将等效刚度K -

进行三角分解 T K L D L -

= 2.对每一个时间步长

（1）计算t t +?时刻的等效载荷

.

..

02()(2)t t t t t t t t t R Q Q Q M a x a x x θθ-

+?+?=+-+++

.

..

13(2)t t t C a x x a x +++ （2）求解t t +?时刻的位移

()T

t t t t L D L x R θθ-

+?+?=

（3）计算在t t +?时刻的加速度、速度和位移

..

.

..

456()t t t t t t t x a x x a x a x θ+?+?=-++

5．2 结构动力响应数值算法性能分析

对公式（5.1）描述的线性系统结构动力学问题，已经有证明对整个多自由度的积分，等价于将模态分解后对单自由度的积分的结果进行模态叠加，因此可以通过对单自由度问题的分析，来说明算法的特性，其中阻尼均假设为比例阻尼，这样，模态分解后的单自由度结构动力学方程为：

)(22t f x x x

=++ωξω （5-29） 以下算法的性能分析，均将算法用于这个方程。

5．2．1 算法用于结构动力学方程的有限差分表示

将数值计算方法应用于（5-29）, 即分别在相邻的不同时刻应用算法可得如下一般形式

k k k L Ay y +=+1 （5-30）

A 为放大矩阵或称逼近算子，k L 为载荷逼近算子。

{}{}

T

m k k k k T

m k k k k x x x y x x x y -+++--== ,,,

,,1111

例如将Newmak 方法应用于方程（5-29）有：

d t A A A 1-= （5-33）

??

??+=2

2

21γω

δωh h A t

?

?

??

+γξωδξωh h 2122

，????

?----

=22

2)1()21(2

1ωγωδh h

A d

?

?

?

----ξωγξωδ)1(21])21(1[h h h

矩阵A 的特征多项式为

02)det(212

=+-=--A A I A λλλ （5-34）

其中A 1，A 为该矩阵的两个特征向量，分别为矩阵的迹的一半和矩阵的行列式

)(2

12

122111A A traceA A +=

=

（5-35） 211222112det A A A A A A -==

（5-36）

2

2

112,1A A A -±=λ （5-37）

对Newmak 方法有：

D

v A ]

)412

()12(1[2

1Ω--+Ω-+=

δξγ,

D

A ]

)2

1()22(1[2

2Ω+

-+Ω-+=

γδξγ （5-38）

其中 h 为时间步长，221,Ω+Ω+==ΩδγξωD h 。Newmak 方法放大矩阵的规模是二维的，因此特征值也只有两个，可以根据它们进行分析。

有的算法放大矩阵是三维的，例如Wilson-θ方法,在无阻尼情况下放大矩阵为：

?

????-+Ω-=Ω-2

2366)1(13ω

θθω

D A ωθ

θ

θθθΩ+-ΩΩ-Ω+h h 6)

6)3(()

6(2

22

32

???

?

??-Ω-Ω+Ω--Ω+Ω--Ω

+)636)2/336()

26(2

2322

2232

2232θθθθθθθθθh h （5-39）

θ

θ

)6(2

2

+Ω=D

放大矩阵A 的特征多项式为：

2)det(322

13

=-+-=--A A A I A λλλλ （5－40）

其中A 1，A 2，A 3为该矩阵的三个特征向量，分别为矩阵的迹的一半、各阶主子式的和以及矩阵的行列式，对Wilson-θ方法有

????

?

?

??

???+ΩΩ+Ω+Ω-Ω-+-=+Ω-+Ω-Ω+Ω=+ΩΩ-Ω-Ω-Ω+-=)6(3366)6(1218634)6(23336182223222232

22232222

22222321θθ

θθθθθθθθθθ

θθc A A c c A （5-41）

此外，在几个不同时刻应用数值算法，然后将方程中的速度和加速度项消去，可得数值算法关于位移的差分方程，例如Newmak 方法，有

n

n x x ])4

12

()12(1[2)21(2

12

Ω-

-

+Ω-+-Ω+Ω++γ

δξγδγξ

])2

1()22(1[12

=Ω+

-+Ω-++-n x γδξγ （5-42）

很显然，其特征方程与其放大矩阵A 的特征方程是相同的，使用关于位移的线性多步方式和放大矩阵来说明算法性能是一样的，只不过各有方便之处。 5．2．2 算法的稳定性分析

设m i i 2,1,=λ为放大矩阵A 的特征值，则i λρmax =定义为A 的谱半径，若

特征值互异，则1≤ρ的算法是稳定的，但若有重特征根，则要求1<ρ。如果算法的稳定性要求对步长的选取有限制，称算法是有条件稳定的，反之为无条件稳定的。放大矩阵的谱半径小于等于1成立的充分条件是

??

?

??≥-≥++≥+-0

10210

2122121A A A A A （5-43）

对33?的放大矩阵

?????

??

??≥-+-≥+++≥--+≥+--≥-+-0

)2(10

21032303230

22131323

21321321321A A A A A A A A A A A A A A A A （5-44）

上两式是关于算法自由参数Ω,ξ的不等式，由它可以判断算法是否无条件稳定，若不是，将给出稳定条件。

例5－1分析Newmak 方法、Wilson-θ方法的稳定性 解： 将（5-38）代入（5-43）有

)2

1(22

≥-

Ω+Ωγξ

1)21()2

(

2

≤-Ω-+-Ωξγδγ

显然，当

2

,21γ

δγ≥

≥

（5-45）

算法无条件稳定。

当2,21γ

δγ

<

≥且

δ

γ

γξδγ

γξ--

+-+-

=

Ω≤Ω2

])2

1(2

[

)2

1(2

1

2

2

c （5-46）

算法稳定，但为条件稳定，其中c Ω为临界采样频率。由于（5-43）式仅仅是充分条件，所以可进一步按照稳定性的定义得到5.1.2节叙述的无条件稳定条件。 对Wilson-θ方法，将（5-41）代入（5-44）得

????

???

??≥-+Ω≥-+Ω-+≥-+-Ω+≥-Ω≥Ω0)312(01224)614(0

)661(120)12(606242

232

22

2c c c θθθθθ （5-47）

容易看出，其中第一，二，五不等式恒成立，对第三，四不等式若希望对任意的Ω均成立，则有：

?????≥+-≥-+-0

1640

6612

3

2θθθθ

求解上述不等式得

37

.1231≈+≥

θ （5-48）

实际使用中通常选取θ=1.4 5.2.3 算法的相容性和收敛性

直接积分算法的相容性、收敛性分析同样要使用其位移型的差分方程，或对应的单步多值形式。在算法（5-30）式中，用精确解代替近似解，即可得到局部截断误差表达式，用符号)(k t e 表示

)()()(1k k k k t he L t Ay t y ++=+

（5-49）

局部截断误差表达式用放大矩阵的特征量以最常用的线性三步法为例可表示为

2

321/)]2()()(2)([)(h

h t x A h t x A t x A h t x t e k k k k k ---+-+= （5-50）

其中321,,A A A 分别为对应的33?的放大矩阵的三个特征向量，然后将),(h t x k - )2(h t x k -在k t 点进行泰勒展开，然后利用运动平衡方程化简即可。若局部截断误差表达式为步长的s （s>0）阶小量，则称算法是s 阶相容的。对22?的放大矩阵，可仿照上述步骤，来验证算法的相容性。

在经典的数值算法收敛性分析理论中，一个重要的结论就是相容加稳定等于收敛，其相容的阶数就是算法的精度阶。收敛性的含义也是当时间步长趋于零，算法的数值解趋于精确解。对直接积分算法该定理同样可以证明是成立的。

例5－2分析Newmak 法的相容性和精度 解：其局部误差仿照(5－50)式得：

2

21)]

()(2)([)(h

h t A t x A h t x t e k k k k -+-+=

(5-51)

也可以由(5-42)是直接求得，即将)(),(h t x h t x k k -+在k t 点泰勒展开，并注意到在k t 时刻的运动方程有：

h

x

t e k )

3(2

)]2

1()6

12()21[()(-

-Ω-+-+Ω

-

=γξγδγ

)

(])4

12

(12

112

12)6

12

[(3

2

)

4(2

h o h

x +Ω+

-

+

Ω-+-+

-+γ

δξγγ

δ （5-52）

显然，当物理阻尼为零时，选择2

1=γ算法是二阶的，即截断误差是步长的二阶小量。物理

阻尼的存在，使算法精度降了一阶，但若同时选择6

1=δ，算法精度仍然是二阶的，一般称

为Newmak 线加速度法。显然Newmak 方法中有两个参数待定，每种特定的选取都是一个特定的算法，最常用的几个算法见表5-1

表5-1： 常用的Newmak 族直接积分算法

γ

δ

方法名称 稳定条件 无阻尼问

题精度阶 有阻尼问题精度阶

类型 1/2 1/4 平均加速度方法 （梯形法） 无条件

2

1

隐式

1/2 1/6 线性加速度方法 46

.332==Ω≤Ωc

2 2 隐式 1/2 0

中心差分方法

2=Ω≤Ωc

2

1

显式

如果在一个时间步内需要求解一个隐式的方程组，则称算法是隐式的，反之不需要求解方程，直接计算即可得到下一时刻的值，则称算法是显示的。从5.1节的Newmak 方法的计算步骤可以看出，这类方法是隐式的，但对于中心差分方法，若质量矩阵和阻尼矩阵都是对角矩阵

就可以显示地计算。显然显示方法计算量要小得多。读者可自行分析Wilson-θ方法的精度，不难分析，无论是无阻尼还是有阻尼其精度都是2阶的，它也是隐式方法。 5.2.4 算法耗散和弥散特性

算法的精度，在小步长的情况下可以通过局部截断误差分析来说明比较，但是，在实际计算过程中，步长的选取可能不是很小，此时如何来度量算法的计算精度，当然可以针对有解析解的问题进行大量的数值计算，将数值解与解析解进行比较来分析算法的计算精度。理论上还可以通过数值耗散(disspation)和弥散（dispersion ）来辅助度量与分析，为引出这两个概念的含义，我们仍然以单自由度有阻尼自由振动问题为例，该问题的解析解为：

)sin cos ()(21t c t c e

t x d d t

ωωξω+=- (5-53)

当直接积分算法用于这样的问题，前小节已经讲述过它可以写成形如(5-42)的关于位移的有限差分形式，就是可以得到一个关于位移的有限差分方程，对于一个收敛的且有一定精度的算法，这个差分方程通常有一对共扼复根，

h

i d e

)(2,1ωωξλ±-= (5-54)

其中21ξωω-=d ，该两根称为主根，其它根称为寄生根(spurious roots)。解的一般形式可写为

n

i

m

i i

n d n d t n c t c t c e

x n

λ

ωωωξ∑=-+

+=3

21)s i n c o s ( (5-55)

式中的ξ称为算法阻尼比，当有物理阻尼存在时，它还包括了物理阻尼的影响，ω称为算法频率，对应的ωπ/2=T 称为算法周期。可以看到上式前两项与(5-53)式形式是相同的，这给了我们与精确解进行比较的可能，如果 1） 寄生根的影响较小，即 2,13λλ<<=m

i i

。

2） 解表达式中得常数2121,,c c c c 与差别不太大。

这样，我们就可以通过比较不同算法的算法阻尼比和相对周期误差，来比较算法的计算精度。此时，对无阻尼问题，可以很明显看到算法阻尼比会使得数值解曲线的幅值与解析解相比要降低而产生振幅衰减，这就是所谓的算法的数值耗散。同时，不同的算法的算法周期与精确的周期会有一定的误差，这个误差一般用相对周期误差来表示T

T T /)(-，它会使得数值解

曲线上产生周期的延长或缩短，即所谓的数值弥散。

实际分析时，可以首先通过求解放大矩阵的特征方程得到特征方程的主根和寄生根，若主根可以表示为：

bi

a ±=2

,1λ (5-56)

并注意到式(5-54)有

)/arctan(a b d =ω (5-57) 2

1/)/arctan(ξ

ω-=a b (5-58)

2

2

b

a

+=ρ (5-59)

)(212

2

b a

Ln +-

=ω

ξ

(5-60)

对结构动力学问题，一般总希望算法在低频段有较小的耗散和弥散，而且在低频段，当

0→Ω时，可以很方便地获得它们的近似解析表达式。在高频段算法的耗散特性，用谱半径

来说明更适合，一般用)(lim A ρρ∞

→Ω∞=来度量算法对高频分量的耗散特性，特别地，当0

=∞ρ时，称算法具有高频渐进消去特性，即当算法计算一步以后高频极限完全地被耗散掉，而其它高频分量由高到低渐进地被耗散。由前面的叙述可以看到，算法放大矩阵的特征向量

32121,,,A A A A A 或决定了算法对应特征方程的根，也就决定了算法的稳定性，同时确定了谱

半径、以及算法耗散和弥散特性。这些特性有时也称算法的谱特性。放大矩阵相同的不同算法，称为互相相同的，放大矩阵不同但特征值相同，称算法互相相似，或称算法频谱等价的。

对于算法的耗散特性，应该说明的是高频耗散特性对实际的结构动响应求解是有益的，因为实际结构进行有限元离散以后计算出的高频行为并不真正代表系统的物理行为，它是结构系统在空间进行有限元离散的结果，是虚假的行为，而不具备高频耗散特性的算法，是将所有频率上的响应全部进行了积分，尽管步长取得相对较大时，高频的积分不准确，这样的计算结果显然与系统实际的反应不一致。但是同时要注意，它在低频也不同程度地引入了数值耗散，这样这些算法就不适合进行长时间的计算，因为长时间以后应该精确计算的低频响应，由于耗散特性的存在，已经被耗散得面目全非，因此，有耗散特性的直接积分方法只适合计算瞬态的、短时间内的低频动力响应。

例5-3 分析Newmak 族算法频谱特性 解：对Newmak 族算法来说，当2

1=

γ时，算法才可能有二阶精度，我们仅讨论这一

种情况。此时算法放大矩阵的两个特征量为：

22

11)21(1Ω

+Ω+Ω

-+=

δξδA

2

2211Ω

+Ω+Ω+Ω-=

δξδξA (5-61)

ib a A A i A ±=-±=2

1212,1λ

则谱半径

2

2

2

A b

a

=

+=

ρ

不考虑物理阻尼时，对任意的Ω有

,0,1==ξρ (5-62)

1)]

)21(1/()4

1(1arctan[12

2

-Ω-

+Ω

-

+ΩΩ=

-Ω

Ω=

-δδT

T T

(5-63)

就是无阻尼时，Newmak 族算法不存在数值耗散，但有一定的相对周期误差。 对有阻尼问题，

1=∞ρ，)(02

Ω+=ξξ (5-64)

5.2.4 算法的超调特性

谱半径这个指标对算法性能的影响还需要进一步说明的是，它只决定算法的长期特性，即1≤ρ可以保证随着算法计算步数的增加计算过程是数值稳定的。但对无条件稳定的算法，由于步长大小选择没有限制，一般在满足指定精度的条件下，尽可能取较大的时间步长，对于非零初始条件问题，在计算开始的几步可能会出现初始数据及其误差（如初始位移，速度的测量误差，初始加速度的计算误差）被放大的现象，这称为超调(overshoot)。这种现象是放大矩阵A 病态，有较大的条件数而产生的。实际应用时，由于当0→Ω算法是收敛的，

不会出现超调。一般为简单起见，只分析当∞

→Ω

时，在计算的第一步是否会出现超调。

例5－4 分析Newmak 平均加速度法的超调特性

为分析简便起见，将Newmak 平均加速度法用于无阻尼自由振动问题，此时其放大矩阵为：

??

??Ω+Ω-Ω-Ω

+=

2/44413

2

2

ωωA

??

?

?

Ω-2244h

,

444402

0221v h x x Ω++

Ω

+Ω-=

2

2

02

3

142442

/4v x v Ω

+Ω-+

Ω

+Ω+Ω-=

ωω

在∞→Ω时，可得近似等式

00101)1()(,)1(v o x o v x o x +Ω==

(5-65)

其中)(),1(Ωo o 分别表示关于Ω的零次和一次关系式。由此可知算法在位移上无超调，但由于初位移的影响，在速度上有关于Ω线性超调现象。

前面提过Wilson-θ方法有很强的超调现象，对无阻尼问题，从放大矩阵的各元素的表达式中，很容易得到

2

222

022

2

24

2

16)

6)1((21212

)62()(v h x x Ω++Ω

-+Ω

++Ω

-+Ω

-=

θθ

θθ

θ

θ

02

2

22

02

2

3

2

166

)3(21212)23(v x v Ω

++Ω

-+

Ω

+Ω-Ω

-=

θθ

θω

ωθ

θ

在∞→Ω时，可得近似等式

02

1)()(v h o x o x +Ω= (5-66)

01)1()(x o v o v +?Ω= (5-67)

其中)(),(2ΩΩo o 分别表示关于Ω的二次和一次关系式。由此可知Wilson-θ方法在位移上关于初位移有二次超调，同时关于初始速度有一次超调。在速度上有关于初位移一次超调。 另外，也可以用数值计算的方法对指定的初始条件，计算出近似解11,v x ，然后与精确解比较，或计算系统能量范数：

2

2

2

n n

n Kx Mv

E +=

(5-68)

然后将10E E 与比较。

显然，由于直接积分方法适合于短时间的瞬态问题计算，因此超调现象也是必须加以注意的。

综上所述，对一个数值积分算法理论上要分析其相容性，稳定性，数值的耗散与弥散特性，对无条件稳定的算法还要分析其超调特性。这样才可能对算法的本质有深入的了解，进而指导数值计算结果的解释与分析。

此外，由于直接积分方法对结构运动平衡方程进行数值积分的目的在于估计结构真实的动力响应。为了精确地预计结构的动力响应，要求模态分解以后所有的单自由度平衡方程都必须被精确地积分，但在直接积分法中，对所有的方程积分都相当于采用相同的步长h ，所以时间步长的选择必须针对系统的最小周期。如果n T 是系统的最小周期的话，则h 选为

n T n /，其中一般

n ＝10。对条件稳定的算法，当然还要同时考虑这个选取是否满足算法稳

定性的要求。对有条件稳定的算法，要求c

n Ω>π2，若n 取10，多数的条件稳定算法的稳定

条件都满足，不难验证表5－1中的条件稳定算法全都满足。但需要注意的是，对于大型、复杂的实际结构，经过有限元离散以后通常都有上万，甚至几十万个自由度，其最大固有频率通常都很大，也就是系统的最小周期非常小，此时，按10/n T 来选取步长就非常小，这会大大增加计算量。而实际工程上只关心较低阶的固有频率，同时结构的响应也主要由若干较低阶的响应构成，因此在计算时高频可以不用精确积分，就积分出那些主要的，感兴趣的低频响应就可以了。也就是步长可选择为10/p T ，比10/n T 大n p T T /倍。由于实际情况中n p T T /可能会非常大，这样条件稳定算法的稳定条件就可能无法满足，而无条件稳定算法对步长的选取就没有稳定性的限制，因此对于实际的结构动力响应计算，多数都使用无条件稳定算法。

5.3 矩阵特征值问题及解法 5．3．1 .问题分类 2()0K M ωφ-= 2K M φωφ=

这原本是广义特征值问题，但可以化为标准特征值问题，前乘1M -，得 1

2

()M K I ωφ--=

令1

A M

K -=，则有

2()A I ωφ-=

这是代数里的标准的矩阵特征值问题，对结构动力学问题而言 M 对角 → 1

M

K A

-= 对称 M 对称非对角 → 1

M K A -= 不一定对称

非对称矩阵的结构特征值问题计算量很大，此时作如下处理： 1 对M 进行Cholesky 分解（因为M 对称正定）

M L U = L （下三角阵）T U L =（上三角阵） 代入方程

22()()K M K LU ωφωφ-=- 前乘1L -得

1

2

()0L K U ωφ--= 提出U 得

1

1

2

()0L K U I U ω

φ---=

令 11

A L KU

-

--=，T

L φφ-

= 则有

2

()0A I ωφ-

-

-=

可以征明A -

与A 有相同的特征值，因为它们是相似的矩阵，但A -

是对称的

因为 111()T

T T T T

T

A L KL L K L

L KL

A --

------====

所以A -

对称。

只不过特征向量有所变化，求出φ-

以后 T

L

φφ-

-=

至于Cholesky 分解，可直接由M （或K ）的元素计算得到 1121221

2

0...............

n n nn l l l L l l l ??????=??????

的各非零元素

1

2

1/2

1

1

1()

()/j jj jj jr r j ij ij ir jr jj r l m l l m l l l -=-=?=-????

=-??∑∑ i=j+1,j+2,…….,n 上式依次取j=1,2,….,n ，即可求得L 的下三角部分各列元素。又若记 11

12221

1

2

0...............

n n nn v v v L

v v v -??????=??????

则其下三角之i=1,2,….,n 行元素，依次为

1/ii ii v l =

1

1

(/)i ij ir rj ii r v l v l -==-∑ j=1,2,……,i-1

5.3.2 特征值、特征向量的一些特性

1.对角阵、三角阵、块对角阵、块三角阵

对角阵和三角阵的特征值就是这些矩阵对角元素的数值。

块对角阵和块三角阵的特征值就是这些矩阵的对角线上各个子块的特征值。 2.几种特殊矩阵

（1）实对称矩阵的特征值必为实数，其特征向量也可选为实向量。 （2）反对称矩阵的特征值或者为纯虚数，或者为零。 （3）正定对称矩阵的特征值全部大于零。

（4）对称矩阵对应于不同特征值的特征向量彼此正交。 3.与原矩阵A 相关联的几种矩阵

设矩阵A 的特征值是λ，其对应的特征向量是x ，则 （1）()A u I +阵的特征值是λμ+，特征向量是x ； （2）a A 阵的特征值是a λ（0a ≠），特征向量x ； （3）T

A 是A 的转置矩阵，则T

A 的特征值就是λ；

（4）m A 阵的特征值是m λ，特征向量仍为x,m 为整数；

（5）若A 非奇异，则A 的逆矩阵存在，记为1A -，是1A -的特征值为1/λ，特征向量为x ；

（6）若矩阵B 与A 相似，即有可逆阵P 存在，使 1B P A P -=

则B 的特征值也是λ，特征向量是1P x - 4.特征值的积与积

若矩阵A 的特征值为1λ、2λ、.....，n λ，则有

121

....n

n ii

i a

λλλ=+++=

∑

12det()n A λλλ??????=

它们可作为校核、估计甚至计算特征值的手段，读者可以自行验证。 5．3．3 特征值问题的基本计算方法

由于高于四次的一元代权方程无法求精确解，所以必然要采用迭代方法求计算求近似解。目前的迭代方法，只不过迭代的方法和技巧不同。已有很多成熟方法。

方法选择时主要取决于 1) 所要求的特征对数目 2）K 、M 的阶，3）K 、M 的带宽以及是否带状。

根据用到的基本关系大致可分四类

1.向量迭代法（幂迭代法Power iteration method ） 基本关系 i i i

K M φλφ= 根据迭代格式不同又分： 正向迭代 （幂迭代）

逆迭代 （反幂迭代）主要用于求特征向量。 2.变换法

基本关系：T K ΦΦ=Λ T M I ΦΦ=

Φ质量归化为的模态矩阵

123(,,,.....,)n diag λλλλΛ=

雅可比迭代（Jacobi ）（小模型实对称阵标准特征值问题的全部特征对方法） 广义雅可比迭代（求全部特征对，小模型的广义特征值问题，或者有大量非对角线零元素和少量对角线零元素问题）

豪斯霍尔德（Householder ） 3.多项式迭代法（不单独使用） 基本关系：()det()K M ρλλ=- 显式多项式迭代

隐式多项式迭代 4.斯图姆（Sturm ）序列法

利用()det()K M ρλλ=-的Sturm 序列性质来求解。

实际工程结构的动力学问题绝大多数使用有限元法方法离散求解。随着计算机存储和速度能力的成倍提高，所建模型越来越精确，几十万、上百万个自由度的计算成为可能。为此发展了一些针对大型特征值问题的方法，它们综合上述典型方法和技巧，常用的有：

多项式迭代 行列式探索法（带宽较窄的低阶特征值问题。

子空间迭代法（Subspace iteration ）(与行列式法相似，但计算量小) 兰索斯（Lanczos ）法

向量迭代 HQRI(Householder —QR 迭代方法)（针对大型满阵的大多数或全部的特征值和向量）

逆迭代方法

任意给定初始的第一阶振型向量和第一阶特征值，一般常用的选取为

1[1,1,......,1]T x =，1

1λ= 利用关系式K x M x λ=

按下列方式实施迭代

1）选1[1,1,......,1]T

x =，11λ=

2）令K ＝1，2，......

i) 1k k K x M x -

+=

K 正定利用K 的乔莱斯基分解，进行线性代数代权方程组的求解，解出1k x -

+

ii)对1k x -

+实施对M 的正定化，得新的下一次迭代向量

1

11

2

11()k k T

k k x x x M x -

++-

-

++=

1k λ+=

然后返回i)使1k k →+进行下轮迭代，直至相邻的两次迭代值的差 6

110

k k λλε-+-<=

norm 6

110k k x x ε-+-<=

雅可比（Jacbi ）法

雅可比（Jacbi ）法是求解实对称矩阵全部特征值和特征向量的简单有效方法。该法自1864年问世以来，至今仍被广泛应用。

雅可比（Jacbi ）法概念清楚，方法简单，易于编程，对低阶实对称矩阵求解效率较高，精度可以控制，所以在求高阶矩阵时将它和其它的求解方法联合使用。下面给出其计算步骤。

（1） 记0A A =，0S I =，给定精度指标0v >，按式（5-47）和（5-48）算出m v （m=1,2..） （2） 巡视1k A -中的上三角非对角元素，若对所有1,()k i j m A v j i -<>，则转入（6），若对

i=p,j=q ，有1,k i j m A v -≥，则记下p,q ；

（3） 按（4-45）式计算θ及cos θ，sin θ； （4） 按（4-44）计算k A 的各元素；

（5） 按（4-46）式计算k S 的各元素，将k 加上1，返加（2）；

（6） 若m v v ≥，则令1m m +?，k+1，返回（2）；若m v v <，则迭代结束。 最后k A 的对角线位置获得A 的近似特征值，从k S 中获得对应的特征向量。

5．2．4 广义特征值问题解法简介 子空间迭代法

当要求一个复杂系统的固有频率和固有振型时，常归结为解一个阶数很高的广义特征值问题，这是非常困难的。但工程中有用的是低频或某一频段内的固有频率和固有振型。此时，子空间迭代法是极其有效的，不但可以节省计算时间，而且所需的计算机内存也大为减少。下面先简单地介绍一下子空间迭代法的基本概念。

子空间迭代实质上就是对一组试验向量反复地使用里兹法和反迭代。 此时可按下列步骤进行：

（1） 形成系统的刚度矩阵K ，质量矩阵M ； （2） 形成初始迭代向量矩阵0X ；

（3） 求解1

k

k K X

M X

--=；

（4） 计算*

()k

k

T

K X K X --= *

()k

k

T

M X M X --= （5） 求*

*

2

()k

k

k

K A M A =Ω的特征值问题； （6） 计算 k

k

k

X

X A -=

科研常用的实验数据分析与处理方法

科研常用的实验数据分析与处理方法 对于每个科研工作者而言，对实验数据进行处理是在开始论文写作之前十分常见的工作之一。但是，常见的数据分析方法有哪些呢？常用的数据分析方法有：聚类分析、因子分析、相关分析、对应分析、回归分析、方差分析。 1、聚类分析(Cluster Analysis) 聚类分析指将物理或抽象对象的集合分组成为由类似的对象组成的多个类的分析过程。聚类是将数据分类到不同的类或者簇这样的一个过程，所以同一个簇中的对象有很大的相似性，而不同簇间的对象有很大的相异性。聚类分析是一种探索性的分析，在分类的过程中，人们不必事先给出一个分类的标准，聚类分析能够从样本数据出发，自动进行分类。聚类分析所使用方法的不同，常常会得到不同的结论。不同研究者对于同一组数据进行聚类分析，所得到的聚类数未必一致。 2、因子分析(Factor Analysis) 因子分析是指研究从变量群中提取共性因子的统计技术。因子分析就是从大量的数据中寻找内在的联系，减少决策的困难。因子分析的方法约有10多种，如重心法、影像分析法，最大似然解、最小平方法、阿尔发抽因法、拉奥典型抽因法等等。这些方法本质上大都属近似方法，是以相关系数矩阵为基础的，所不同的是相关系数矩阵对角线上的值，采用不同的共同性□2估值。在社会学研究中，因子分析常采用以主成分分析为基础的反覆法。

3、相关分析(Correlation Analysis) 相关分析(correlation analysis)，相关分析是研究现象之间是否存在某种依存关系，并对具体有依存关系的现象探讨其相关方向以及相关程度。相关关系是一种非确定性的关系，例如，以X和Y 分别记一个人的身高和体重，或分别记每公顷施肥量与每公顷小麦产量，则X与Y显然有关系，而又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这就是相关关系。 4、对应分析(Correspondence Analysis) 对应分析(Correspondence analysis)也称关联分析、R-Q 型因子分析，通过分析由定性变量构成的交互汇总表来揭示变量间的联系。可以揭示同一变量的各个类别之间的差异，以及不同变量各个类别之间的对应关系。对应分析的基本思想是将一个联列表的行和列中各元素的比例结构以点的形式在较低维的空间中表示出来。 5、回归分析 研究一个随机变量Y对另一个(X)或一组(X1，X2，…，Xk)变量的相依关系的统计分析方法。回归分析(regression analysis)是确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。运用十分广泛，回归分析按照涉及的自变量的多少，可分为一

结构动力学心得汇总

结构动力学学习总结

通过对本课程的学习，感受颇深。我谈一下自己对这门课的理解： 一．结构动力学的基本概念和研究内容 随着经济的飞速发展，工程界对结构系统进行动力分析的要求日益提高。我国是个多地震的国家，保证多荷载作用下结构的安全、经济适用，是我们结构工程专业人员的基本任务。结构动力学研究结构系统在动力荷载作用下的位移和应力的分析原理和计算方法。它是振动力学的理论和方法在一些复杂工程问题中的综合应用和发展，是以改善结构系统在动力环境中的安全和可靠性为目的的。高老师讲课认真负责，结合实例，提高了教学效率，也便于我们学生寻找事物的内在联系。这门课的主要内容包括运动方程的建立、单自

由度体系、多自由度体系、无限自由度体系的动力学问题、随机振动、结构抗震计算及结构动力学的前沿研究课题。既有线性系统的计算，又有非线性系统的计算；既有确定性荷载作用下结构动力影响的计算，又有随机荷载作用下结构动力影响的随机振动问题；阻尼理论既有粘性阻尼计算，又有滞变阻尼、摩擦阻尼的计算，对结构工程最为突出的地震影响。 二．动力分析及荷载计算 1.动力计算的特点 动力荷载或动荷载是指荷载的大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。如果从荷载本身性质来看，绝大多数实际荷载都应属于动荷载。但是，如果荷载随时间变化得很慢，荷载对结构产生的影响与

静荷载相比相差甚微，这种荷载计算下的结构计算问题仍可以简化为静荷载作用下的结构计算问题。如果荷载不仅随时间变化，而且变化很快，荷载对结构产生的影响与静荷载相比相差较大，这种荷载作用下的结构计算问题就属于动力计算问题。 荷载变化的快与慢是相对与结构的固有周期而言的，确定一种随时间变化的荷载是否为动荷载，须将其本身的特征和结构的动力特性结合起来考虑才能决定。 在结构动力计算中，由于荷载时时间的函数，结构的影响也应是时间的函数。另外，结构中的内力不仅要平衡动力荷载，而且要平衡由于结构的变形加速度所引起的惯性力。结构的动力方程中除了动力荷载和弹簧力之外，还要引入因其质量产生的惯性力和耗散能量的阻尼力。而

粘弹性结构动力学分析的一种数值方法

粘弹性结构动力学分析中的一种数值方法 彭 凡 傅 衣 铭 (湖南大学工程力学系, 长沙 410082, 中国) 摘要：针对材料具积分型本构关系，及松弛模量为Prony 级数形式的粘弹性结构动力学问题，本文结合Newmark 方法与Taylor 方法，建立了计算该类问题的一种数值算法。且以简支梁为例，应用该方法具体地分析了考虑线性与非线性粘弹性时梁的强迫振动响应。 关键词：粘弹性 动力学 数值方法 响应 1 引言 随着人们对结构材料物理与力学性质了解的不断深入，以及新型材料的广泛应用，粘弹性结构的动力学研究受得了愈来愈多的重视，数值计算已成为一种主要的分析手段。文[1]基于Newmark 方法建立了粘弹性结构动力学响应的有限元法，但只涉及到线性问题，而且在每一计算步，卷积积分的计算量较大。桂洪斌等[2]提出将粘弹性结构的动力学方程进行Laplace 变换，然后在相域中求解问题，显然这种处理方式同样只适应于线性情况。当考虑几何，物理包括损伤等非线性因素时，粘弹性结构动力学的数值分析就变得十分复杂与困难了。文[3,4]通过将微分－积分型非线性动力学方程化成高阶的微分方程，最终由Runge-Kutta 法来获得数值解，但只有当材料为标准线性固体或Prony 级数取较少项数时，这种方法才比较容易实现。本文针对材料服从积分型本构关系，且松弛模量为Prony 级数形式的粘弹性结构动力学问题，建立了从时域内直接求解的数值算法，它是基于Newmark 方法与Taylor 方法而得出的。其中Taylor 方法为卷积积分的递规算法，能使计算量显著降低[5]。文中通过对粘弹性梁的受迫振动分析来说明方法的应用。 2 简支粘弹性梁受迫振动的动力学方程 考虑一简支梁，其跨度为L ，高为h ，中点受横向周期激励t H θsin 。设材料具非线性粘弹性，可由Leaderman [6]本构关系描叙，则有 00 () ()(())(())()t E t t E g t g d t τσεεττ τ?-=+?-? (1) 式中)0(0E E =，)(t E 为松弛函数，)(εg 为应变ε的非线性函数： 23()g εεβεγε=++ (2) 其中β与γ为常数。在小挠度情况下，梁的受迫振动方程为： ()3 23452202422 334522422 0(,)(,)(,) 1280()(,)(,) sin ()1280t w x t h w x t h w x t A E t x x x E t h w x h w x d H x L t t x x x ργτττγτδθτ?? ????????++ ????????????? ???-?????++=- ??-????????? ? （3） 式中A ,ρ分别为梁的质量密度及横截面面积，δ为Dirac 函数， 满足两个简支端条件，即,,(0,)(0,)(,)(,)0xx xx w t w t w L t w L t ====的挠度),(t x w 取为 1(,)()sin k k k x w x t f t L π∞ ==∑ （4） 为说明问题起见，式(4)中只考虑1=k 的项，且令)()(1t f t f =。将式(4)代入式(3)后，作Galerkin 积分，并记

结构动力学读书笔记

《结构动力学》读书报告 学院 专业 学号 指导老师 2013 年 5月 28日

摘要：本书在介绍基本概念和基础理论的同时，也介绍了结构动力学领域的若干前沿研究课题。既注重读者对基本知识的掌握，也注重读者对结构振动领域研究发展方向的掌握。主要容包括运动方程的建立、单自由度体系、多自由度体系、无限自由度体系的动力学问题、随机振动、结构动力学的前沿研究课题。侧重介绍单自由度体系和多自由度体系，重点突出，同时也着重介绍了在抗震中的应用。 1 概述 1.1结构动力学的发展及其研究容： 结构动力学，作为一门课程也可称作振动力学，广泛地应用于工程领域的各个学科，诸如航天工程，航空工程，机械工程，能源工程，动力工程，交通工程，土木工程，工程力学等等。作为固体力学的一门主要分支学科，结构动力学起源于经典牛顿力学，就是牛顿质点力学。质点力学的基本问题是用牛顿第二定律来建立公式的。牛顿质点力学，拉格朗日力学和哈密尔顿力学是结构动力学基本理论体系组成的三大支柱。 经典动力学的理论体系早在19世纪中叶就已建立，。但和弹性力学类似，理论体系虽早已建立，但由于数学求解上的异常困难，能够用来解析求解的实际问题实在是少之又少，能够通过手算完成的也不过仅仅限于几个自由度的结构动力体系。因此，在很长一段时间，动力学的求解思想在工程实际中并未得到很好的应用，人们依然习惯于在静力学的畴用静力学的方法来解决工程实际问题。 随着汽车，飞机等新时代交通工具的出现，后工业革命时代各种大型机械的创造发明，以及越来越多的摩天大楼的拔地而起，工程界日新月异的发展和变化对工程师们提出了越来越高的要求，传统的只考虑静力荷载的设计理念和设计方法显然已经跟不上时代的要求了。也正是从这个时候起，结构动力学作为一门学科，也开始受到工程界越来越高的重视，从而带动了结构动力学的快速发展。 结构动力学这门学科在过去几十年来所经历的深刻变革，其主要原因也正是由于电子计算机的问世使得大型结构动力体系数值解的得到成为可能。由于电子计算机的超快速度的计算能力，使得在过去凭借手工根本无法求解的问题得到了解决。目前，由于广泛地应用了快速傅立叶变换（FFT），促使结构动力学分析发生了更加深刻地变化，而且使得结构动力学分析与结构动力试验之间的相互关系也开始得以沟通。总之，计算机革命带来了结构动力学求解方法的本质改变。 作为一门课程，结构动力学的基本体系和容主要包括以下几个部分：单自由度系统结构动力学，；多自由度系统结构动力学，；连续系统结构动力学。此外，如果系统上所施加的动力荷载是确定性的，该系统就称为确定性结构动力系统；而如果系统上所施加的动力荷载是非确定性的，该系统就称为概率性结构动力系统。 1.2主要理论分析 结构的质量是一连续的空间函数，因此结构的运动方程是一个含有空间坐标和时间的偏微分方程，只是对某些简单结构，这些方程才有可能直接求解。对于绝大多数实际结构，在工程分析中主要采用数值方法。作法是先把结构离散化成为一个具有有限自由度的数学模

16种常用数据分析方法

一、描述统计描述性统计是指运用制表和分类，图形以及计筠概括性数据来描述数据的集中趋势、离散趋势、偏度、峰度。 1、缺失值填充：常用方法：剔除法、均值法、最小邻居法、比率回归法、决策 树法。 2、正态性检验：很多统计方法都要求数值服从或近似服从正态分布，所以之前需要进行正态性检验。常用方法：非参数检验的K-量检验、P-P图、Q-Q图、W 检验、动差法。 二、假设检验 1、参数检验 参数检验是在已知总体分布的条件下（一股要求总体服从正态分布）对一些主要的参数（如均值、百分数、方差、相关系数等）进行的检验。 1）U验使用条件：当样本含量n较大时，样本值符合正态分布 2）T检验使用条件：当样本含量n较小时，样本值符合正态分布 A 单样本t检验：推断该样本来自的总体均数卩与已知的某一总体均数卩0 （常为理论值或标准值）有无差别； B 配对样本t 检验：当总体均数未知时，且两个样本可以配对，同对中的两者在可能会影响处理效果的各种条件方面扱为相似； C 两独立样本t 检验：无法找到在各方面极为相似的两样本作配对比较时使用。 2、非参数检验 非参数检验则不考虑总体分布是否已知，常常也不是针对总体参数，而是针对总体的某些一股性假设（如总体分布的位罝是否相同，总体分布是否正态）进行检验。 适用情况：顺序类型的数据资料，这类数据的分布形态一般是未知的。 A 虽然是连续数据，但总体分布形态未知或者非正态； B 体分布虽然正态，数据也是连续类型，但样本容量极小，如10 以下； 主要方法包括：卡方检验、秩和检验、二项检验、游程检验、K-量检验等。 三、信度分析检査测量的可信度，例如调查问卷的真实性。 分类： 1、外在信度：不同时间测量时量表的一致性程度，常用方法重测信度 2、内在信度；每个量表是否测量到单一的概念，同时组成两表的内在体项一致性如何，常用方法分半信度。 四、列联表分析用于分析离散变量或定型变量之间是否存在相关。对于二维表，可进行卡 方检验，对于三维表，可作Mentel-Hanszel 分层分析列联表分析还包括配对计数资料的卡方检验、行列均为顺序变量的相关检验。 五、相关分析 研究现象之间是否存在某种依存关系，对具体有依存关系的现象探讨相关方向及相关程度。 1、单相关：两个因素之间的相关关系叫单相关，即研究时只涉及一个自变量和一个因变量； 2、复相关：三个或三个以上因素的相关关系叫复相关，即研究时涉及两个或两个以

二年级下册数学数据收集整理教学

第一单元数据收集整理教学计划 教学目标： 1、使学生经历数据的收集、整理、描述和分析的过程，能利用统计表的数据提出问题并回答问题。 2、了解统计的意义，学会用简单的方法收集和整理数据。 3、能根据统计图表中的数据提出并回答简单的问题，并能够进行简单的分析。 4、通过对周围现实生活中有关事例的调查，激发学生的学习兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。 教学重点：使学生初步认识简单的统计过程，能根据统计表中的数据提出问题、回答问题，同时能够进行简单的分析。 教学难点：使学生亲历统计的过程，在统计中发展数学思考，提高学生解决问题的能力。 课时安排：3课时 1．数据收集整理………………………………2课时 2．练习一………………………………………１课时 第1课时数据收集整理（一） 教学目标：

1、体验数据收集、整理、描述和分析的过程，了解统计的意义。 2、能根据统计表中的数据提出并回答简单的问题，同时能够进行简单的分析。根据统计表的数据提出有价值的数学问题及解决策略。 教学重点：使学生初步认识简单的统计过程，能根据统计表中的数据提出问题、回答问题，同时能够进行简单的分析。 教学难点：引导学生通过合作讨论找到切实可行的解决统计问题的方法。 教学准备：各种图形卡片。 教学方法：谈话、指导相结合法。 学法指导：引导学生通过对情境问题的探讨，师生互动，在具体的生活情境中让学生亲身经历发现问题、提出问题、解决问题的过程。 课型：新授课 教学过程： 一、情境引入 教师引导提问：同学们，你们入学都要穿上我们学校的校服，你们喜欢我们校服的颜色吗？（指名3～5个学生说一说）。 师：有的同学喜欢这个颜色，有的同学不喜欢，如果我们学校要给一年级的新生订做校服，有下面4种颜色，请你们当参谋，给服装厂建议下该选哪种颜色合适。（指名学生回答，并说明理由。） 教师引导：张三喜欢红色，学校就决定将校服做成红色的，怎么样？你有什么意见？ 教师小结：你们刚才说的只是根据自己的喜好来决定你想穿的校服的颜色，不能代表学校大多数同学想穿的，那如何知道哪种颜色是大多数同学喜欢的呢？（学生可能回答，调查全校学生喜欢的颜色。） 教师追问：如果我们现在要马上把信息反馈给服装厂，你觉得调查全校的学生这个方法怎么样？（学生自由发言。）教师小结：全校学生那么多，要调查全校的学生，范围太广

(完整版)结构动力学历年试题

结构动力学历年试题（简答题） 1.根据荷载随时间的变化规律，动力荷载可以划分为哪几类？每一类荷载包括哪几种，请 简述每一种荷载的特点。P2 2.通过与静力问题的对比，试说明结构动力计算的特点。P3 3.动力自由度数目计算类 4.什么叫有势力？它有何种性质。P14 5.广义力是标量还是矢量？它与广义坐标的乘积是哪个物理量的量纲？P16 6.什么是振型的正交性？它的成立条件是什么？P105 7.在研究结构的动力反应时，重力的影响如何考虑？这样处理的前提条件是什么？P32 8.对于一种逐步积分计算方法，其优劣性应从哪些方面加以判断？P132 9.在对结构动力反应进行计算的思路上，数值积分方法与精确积分方法的差异主要表现在 哪里？第五章课件 10.利用Rayleigh法求解得到的振型体系的基本振型和频率及高阶振型和频率与各自的精确 解相比有何特点？造成这种现象的原因何在？P209 11.根据荷载是否预先确定，动荷载可以分为哪两类？它们各自具有怎样的特点？P1 12.坐标耦联的产生与什么有关，与什么无关？P96 13.动力反应的数值分析方法是一种近似的计算分析方法，这种近似性表现在哪些方面？ P132及其课件 14.请给出度哈姆积分的物理意义？P81 15.结构地震反应分析的反应谱方法的基本原理是什么？P84总结 16.某人用逐步积分计算方法计算的结构位移，得到如下的位移时程的计算结果：。。。 17.按照是否需要联立求解耦联方程组，逐步积分法可以分为哪两类？这两类的优劣性应该 如何进行判断？P132 18.根据荷载随时间的变化规律，动力荷载可以划分为哪几类？每一类荷载又包括哪些类型， 每种类型请给出一种实例。P2 19.请分别给出自振频率与振型的物理意义？P103 20.振型叠加法的基本思想是什么？该方法的理论基础是什么？P111参考25题 21.在振型叠加法的求解过程中，只需要取有限项的低阶振型进行分析，即高阶振型的影响 可以不考虑，这样处理的物理基础是什么？P115 22.我们需要用数值积分方法求解一座大型的高坝结构的地震反应时程，动力自由度的总数 为25000个，我们如何缩短计算所耗费的机时？P103 23.什么是结构的动力自由度？动力自由度与静力自由度的区别何在？P11及卷子上答案 24.一台转动机械从启动到工作转速正好要经过系统的固有频率（又称为转子的临界转速）， 为减小共振，便于转子顺利通过临界转速，通常采用什么措施比较直接有效？简要说明理由。详解见卷子上答案 25.简述用振型叠加法求解多自由度体系动力响应的基本原理及使用条件分别是什么？若 振型叠加法不适用，可采用何种普遍适用的方法计算体系响应？详解见卷子上答案 26.振型函数边界条件。。。 27.集中质量和一致质量有限元的差异和优缺点，采用这两种有限元模型给出的自振频率与 实际结构自振频率相比有何种关系？P242及卷子上答案 28.人站在桥上可以感觉到桥面的震动，简述当车辆行驶在桥上和驶离桥面的主要振型特征 有何不同？ 29.简述用Duhamel积分法求体系动力响应的基本原理，以及积分表达式中的t和τ有何差

常用的数理统计及数据处理方法

常用的数理统计及数据处理方法 水泥厂生产中的质量控制和分析都是以数据为基础的技术活动。如果没有数据的定量分析，就无法形成明确的质量概念。因此，必须通过对大量数据的整理和分析，才能发现事物的规律性和生产中存在的问题，进而作出正确的判断并提出解决的方法。 第一节数理统计的有关概念 一、个体、母体与子样 在统计分析中，构成研究对象的每一个最基本的单位称为个体。 研究对象的所有个体的集合即全部个体称为母体或总体，它可以无限大，也可以是有限的，如一道工序或一批产品、半成品、成品，可根据需要加以选择。 进行统计分析，通常是从母体中随机地选择一部分样品，称为子样（又称样本）。用它来代表母体进行观察、研究、检验、分析，取得数据后加以整理，得出结论。取样只要是随机和足够的数量，则所得结论能近似地反映母体的客观实际。抽取样本的过程被称作抽样；依据对样本的检测或观察结果去推断总体状况，就是所谓的统计推断，也叫判断。 例如，我们可将一个编号水泥看成是母体，每一包水泥看成是个体，通过随机取样（连续取样或从20个以上不同部位取样），所取出的12kg检验样品可称为子样，通过检验分析，即可判断该编号水泥（母体）的质量状况。 二、数据、计量值与计数值 1，数据 通过测试或调查母体所得的数字或符号记录，称为数据。在水泥生产中，无任对原材料、半成品、成品的检验，还是水泥的出厂销售，都要遇到很多报表和数据，特别是评定水泥质量好坏时，更要拿出检验数据来说明，所以可用与质量有关的数据来反映产品质量的特征。 根据数据本身的特征、测试对象和数据来源的不同，质量检验数据可分为计量值和计算值两类。 2，计量值 凡具有连续性或可以利用各种计量分析一起、量具测出的数据。如长度、质量、温度、化学成分、强度等，多属于计量值数据。计量值也可以是整数，也可以是小数，具有连续性。

数据收集方法

数据收集方法

数据收集的方法 和其他领域的研究一样，当我们选定了相应的研究设计之后，一个重要的问题就是如何能准确有效地收集数据，以客观而全面地反映所要研究的心理行为问题的真实状况。在心理学的研究中，通常收集数据的方法包括观察法、访谈法、问卷法、测验法、语义分析法、内容分析法等等，作为心理学研究的一个领域，学校心理学研究通常也采用这些方法，特别是观察法、访谈法、问卷法、测验法、个案研究等。 一、观察法 观察法是研究者通过感官或一定的仪器设备，有目的、有计划地观察儿童的心理和行为表现，并由此分析儿童心理和行为特征和规律的一种方法。 儿童的心理活动有突出的外显性，通过观察其外部行为，可以了解他的心理特征。因此，观察法是学校心理学研究的最基本、最普遍的一种方法。 (一)观察的类型 由于观察的目的不同，可以将观察法分为不同的类型。 1. 自然观察与实验观察 根据观察的数据是在自然条件下取得的，还是在人为干预条件下获得的，观察法可以分为自然观察和实验观察。所谓自然观察法是指在自然的状态下，对儿童的各种心理和行为表现进行观察，搜集研究资料的一种方法。它能够收集到观察对象在日常生活中的真实、典型、一般的行为表现，但这种方法使观察者比较被动，也难于揭示儿童的许多在自然状态下不易表现出来的心理特点。实验观察法指通过人为地改变和控制一定的条件，有目的地引起被研究者的某些心理和行为表现，以便在最有利的条件下对它们进行观察，收集有关研究资料的一种方法。比如，要研究儿童的助人行为，单靠自然观察显然是很困难的，研究者常会创设一定的情境，观察儿童在这种情境下的助人行为的状况，实际上，实验观察法就是我们常说的实验法。 2. 参与观察与非参与观察

结构动力学简答题

结构力学简答题 1、结构动力分析的目的：是确定结构在动力荷载作用下的内力和变形，并通过动力分析确定结构的动力特性。 1、动力荷载的类型：（1）是否随时间变化:静荷载和动荷载（2）是否已预先确定：确定性荷载和非确定性荷载（3）随时间变化的规律：周期荷载：简谐荷载和非简谐周期荷载；非周期荷载：冲击荷载和一般任意荷载。 2、结构动力计算的特点：（1）动力反应要计算全部时间点上的一系列解，比静力计算复杂且要消耗很多的计算时间。（2）由于动力反应中结构的位置随时间迅速变化，从而产生惯性力，惯性力对结构的反应又产生重要影响。 3、结构离散化的方法：集中质量法、广义坐标法、有限元法。本质是无限自由度问题转化为有限自由度的过程。 4、有限元法：（1）与广义坐标法相似，有限元法采用了形函数的概念，但不同于广义坐标法在全部体系上插值，而是采用了分片的插值，因此形函数的表达式可以相对简单。（2）与集中质量法相比，有限元法中的广义坐标也采用了真实的物理量，具有直接、直观的优点，与集中质量法相同。 5、广义坐标：能决定质点系几何位置的彼此独立的量。选择原则：解题方便。 6、动力自由度：结构体系在任意瞬时的一切可能的变形中，决定全部质量位置所需的独立参数的数目。动力自由度不完全取决于质点的数目，也与结构是否静定有关。静力自由度：确定体系在空间中的位置所需的独立参数的数目。前者是由于系统的弹性变形而引起的各质点的位移分量，后者是指结构中的刚体由于约束不足而产生的刚体位移。 7、有势力：（1）每一个力的大小和方向只决定于体系所有各质点的位置。（2）体系从某一位置到另一位置所做的功只决定于质点的始末位置，而与路径无关。（3）沿任何封闭路线所作的功为零。 8、实位移：如果位移不仅满足约束方程，而且满足运动方程和初始条件，则称为体系的实位移。可能位移：满足所有约束方程的位移称为体系的可能位移。虚位移：在某一固定时刻，体系在约束许可的情况下产生的任意组微小位移。三者关系：实位移即为体系的真实位移，它必是可能位移中的一员。虚位移与可能位移的区别在于虚位移是约束冻结后许可产生的微小位移。当对于约束方程中不显含时间的稳定约束体系中虚位移与可能位移相同时，实位移必与某一虚位移重合。 9、广义力：广义力是标量而非矢量，广义力与广义坐标的乘积具有功的量纲。 10、阻尼力：引起结构能量的耗散，使结构振幅逐渐变小的这种作用。 产生原因：（1）固体材料变形时的内摩擦，或材料快速应变引起的热耗散。 （2）结构连接部位的摩擦，结构与非结构之间的摩擦。（3）结构周围外部介质引起的阻尼。 11、四种建立运动方程方法的特点 （1）达朗贝尔原理：矢量方法，直观，建立了动平衡概念。 （2）虚位移原理：半矢量方法，可处理复杂分布质量和弹性问题。 （3）哈密顿原理：标量方法，表达简洁。 （4）拉格朗日方法：标量方法，运用面广。 13、进行结构动力分析计算时，重力的影响如何考虑？这样处理的前提条件是什么？ 如果重力在动荷载作用前被弹簧预先平衡，则在研究结构的动力反应时可以完全不考虑重力的影响。建立体系的运动方程，直接解出体系的动力解。若未被预先平衡，则需考虑重力的影响，应用叠加原理将动静问题分开计算，将结果相加即得到结构的真实反应。这样做的前提条件是结构是线弹性且处于小变形范围之内。重力问题的分析和动力问题的分析可以分开讨论。

16种常用的数据分析方法汇总

一、描述统计 描述性统计是指运用制表和分类，图形以及计筠概括性数据来描述数据的集中趋势、离散趋势、偏度、峰度。 1、缺失值填充：常用方法：剔除法、均值法、最小邻居法、比率回归法、决策树法。 2、正态性检验：很多统计方法都要求数值服从或近似服从正态分布，所以之前需要进行正态性检验。常用方法：非参数检验的K-量检验、P-P图、Q-Q图、W检验、动差法。 二、假设检验 1、参数检验 参数检验是在已知总体分布的条件下（一股要求总体服从正态分布）对一些主要的参数(如均值、百分数、方差、相关系数等）进行的检验。 1）U验使用条件：当样本含量n较大时，样本值符合正态分布 2）T检验使用条件：当样本含量n较小时，样本值符合正态分布 A 单样本t检验：推断该样本来自的总体均数μ与已知的某一总体均数μ0 (常为理论值或标准值)有无差别； B 配对样本t检验：当总体均数未知时，且两个样本可以配对，同对中的两者在可能会影响处理效果的各种条件方面扱为相似；

C 两独立样本t检验：无法找到在各方面极为相似的两样本作配对比较时使用。 2、非参数检验 非参数检验则不考虑总体分布是否已知，常常也不是针对总体参数，而是针对总体的某些一股性假设（如总体分布的位罝是否相同，总体分布是否正态）进行检验。适用情况：顺序类型的数据资料，这类数据的分布形态一般是未知的。 A 虽然是连续数据，但总体分布形态未知或者非正态； B 体分布虽然正态，数据也是连续类型，但样本容量极小，如10以下； 主要方法包括：卡方检验、秩和检验、二项检验、游程检验、K-量检验等。 三、信度分析 检査测量的可信度，例如调查问卷的真实性。 分类： 1、外在信度：不同时间测量时量表的一致性程度，常用方法重测信度 2、内在信度；每个量表是否测量到单一的概念，同时组成两表的内在体项一致性如何，常用方法分半信度。 四、列联表分析 用于分析离散变量或定型变量之间是否存在相关。

收集数据的主要方法

收集数据的主要方法： 收集数据的方法主要有普查和抽样调查两种方式，当对要求数据非常非常准确的时候可以采取普查的方式，如为了制做校服，要了解学生的身高，胸围，裤长等数据，而取得这些数据的方式应逐人调查，这就是普查方式，普查得到的数据比较准确。但是当要调查的总体比较多时普查又比较费时，费力，消耗大量财力，并且有时也是无法做到的，如要了解一批灯泡的使用寿命，不可能将这批灯泡逐个使用到用坏为止。 因此抽样调查是收集数据的又一种方式。抽样调查就是在被调查的数据中随机地抽取一些数据组成一个样本，通过对样本中数据的分析去估计全体数据的情况。抽样调查是统计工作的重要方式，这种方式是切实可行的，做好抽样调查的关键是“随机抽样”，也就是不要有目的地挑选数据，而是用某一规律在全体被调查的数据中取得数据。一般地抽取数据的方式不同，得到的统计数据不同，但是只要做到随机抽样，所得数据就具有代表性。 平均数的应用： (一) 算术平均数 算术平均数应用最广, 其原因在于在经济现象中, 总体的标志总虽常常等于总体单位的标志数量的总和, 算术平均数恰好适应这种情况。而且算术平均数可以使∑(X 一灭)∧ 2 为m i n V a lu e , 在一般情况下, 其数值代表性较好。 算术平均数虽然只受极端数值的影响, 但可以通过组平均数、分组法、数列分布等方法 来弥补这一缺陷, 所以算术平均数在平均数中占主要地位, 只有在一些特定场合, 才用到其他平均数。 (二) 调和平均数X H 一般来说, 在需要计算倒数的平均数值时, 需要应用调和平均数。 在m = X f时, 如果已知m , 均用调和平均数计算。 (三) 几何平均数了 几何平均数有一重要数学性质: 小于平均数的变量对jL何平均数之比的乘积等于儿何平均数对大于平均数的变量之比的 乘积。 这个性质表明, 当我们要表现变量与变量之间相对差异程度时; 用儿何平均数比用其他 一 平均数代表性更好, 而且, 儿何平均数在标志值平均数中受极端数值影响最小, 几何平均数常用来计算平均发展速度。 (四) 平方平均数Xq 平方平均数适用于需要将变量平方以后再求平均数的场合。比如, 在农产量调查中, 求 面积因子的平均数时, 就要用平方平均数。又如标准差计算也要用平方平均数计算: (五) 中位平均数M e 卜位平均数适用性比较强, 对于两端开放的数列, 也可以计算中位平均数; 对于不带有 观测值的事物(品质现象) 也可以计算中位平均数, 而且中位平均数有习X 一M e卜m in V a lu e 的性质, 故可用于最佳地址选择问题, 中位平均数还可用于工厂质量检查和季节比率计算等方面。

常用数据分析方法详细讲解

常用数据分析方法详解 目录 1、历史分析法 2、全店框架分析法 3、价格带分析法 4、三维分析法 5、增长率分析法 6、销售预测方法 1、历史分析法的概念及分类 历史分析法指将与分析期间相对应的历史同期或上期数据进行收集并对比，目的是通过数据的共性查找目前问题并确定将来变化的趋势。 *同期比较法：月度比较、季度比较、年度比较 *上期比较法：时段比较、日别对比、周间比较、 月度比较、季度比较、年度比较 历史分析法的指标 *指标名称： 销售数量、销售额、销售毛利、毛利率、贡献度、交叉比率、销售占比、客单价、客流量、经营品数动销率、无销售单品数、库存数量、库存金额、人效、坪效 *指标分类： 时间分类 ——时段、单日、周间、月度、季度、年度、任意 多个时段期间 性质分类 ——大类、中类、小类、单品 图例 2框架分析法 又叫全店诊断分析法 销量排序后，如出现50/50、40/60等情况，就是什么都能卖一点但什么都不 好卖的状况，这个时候就要对品类设置进行增加或删减，因为你的门店缺少 重点，缺少吸引顾客的东西。 如果达到10/90，也是品类出了问题。 如果是20/80或30/70、30/80，则需要改变的是商品的单品。 *单品ABC分析（PSI值的概念） 销售额权重（0.4）×单品销售额占类别比＋销售数量权重（0.3） × 单品销售数量占类别比＋毛利额权重（0.3）单品毛利额占类别比 *类别占比分析（大类、中类、小类） 类别销售额占比、类别毛利额占比、 类别库存数量占比、类别库存金额占比、

类别来客数占比、类别货架列占比 表格例 3价格带及销售二维分析法 首先对分析的商品按价格由低到高进行排序，然后 *指标类型：单品价格、销售额、销售数量、毛利额 *价格带曲线分布图 *价格带与销售对数图 价格带及销售数据表格 价格带分析法 4商品结构三维分析法 *一种分析商品结构是否健康、平衡的方法叫做三维分析图。在三维空间坐标上以X、Y、Z 三个坐标轴分别表示品类销售占有率、销售成长率及利润率，每个坐标又分为高、低两段，这样就得到了8种可能的位置。 *如果卖场大多数商品处于1、2、3、4的位置上，就可以认为商品结构已经达到最佳状态。以为任何一个商品的品类销售占比率、销售成长率及利润率随着其商品生命周期的变化都会有一个由低到高又转低的过程，不可能要求所有的商品同时达到最好的状态，即使达到也不可能持久。因此卖场要求的商品结构必然包括：目前虽不能获利但具有发展潜力以后将成为销售主力的新商品、目前已经达到高占有率、高成长率及高利润率的商品、目前虽保持较高利润率但成长率、占有率趋于下降的维持性商品，以及已经决定淘汰、逐步收缩的衰退型商品。 *指标值高低的分界可以用平均值或者计划值。 图例 5商品周期增长率分析法 就是将一段时期的销售增长率与时间增长率的比值来判断商品所处生命周期阶段的方法。不同比值下商品所处的生命周期阶段(表示) 如何利用商品生命周期理论指导营运(图示) 6销售预测方法[/hide] 1.jpg (67.5 KB) 1、历史分析法

(完整版)常用数据分析方法论

常用数据分析方法论 ——摘自《谁说菜鸟不会数据分析》 数据分析方法论主要用来指导数据分析师进行一次完整的数据分析，它更多的是指数据分析思路，比如主要从哪几方面开展数据分析？各方面包含什么内容和指标？ 数据分析方法论主要有以下几个作用： ●理顺分析思路，确保数据分析结构体系化 ●把问题分解成相关联的部分，并显示它们之间的关系 ●为后续数据分析的开展指引方向 ●确保分析结果的有效性及正确性 常用的数据分析理论模型 用户使用行为STP理论 SWOT …… 5W2H 时间管理生命周期 逻辑树 金字塔SMART原则 …… PEST分析法 PEST分析理论主要用于行业分析 PEST分析法用于对宏观环境的分析。宏观环境又称一般环境，是指影响一切行业和企业的各种宏观力量。 对宏观环境因素作分析时，由于不同行业和企业有其自身特点和经营需要，分析的具体内容会有差异，但一般都应对政治、经济、技术、社会，这四大类影响企业的主要外部环境因素进行分析。

以下以中国互联网行业分析为例。此处仅为方法是用实力，并不代表互联网行业分析只需要作这几方面的分析，还可根据实际情况进一步调整和细化相关分析指标：

5W2H分析法 5W2H分析理论的用途广泛，可用于用户行为分析、业务问题专题分析等。 利用5W2H分析法列出对用户购买行为的分析：（这里的例子并不代表用户购买行为只有以下所示，要做到具体问题具体分析）

逻辑树分析法 逻辑树分析理论课用于业务问题专题分析 逻辑树又称问题树、演绎树或分解树等。逻辑树是分析问题最常使用的工具之一，它将问题的所有子问题分层罗列，从最高层开始，并逐步向下扩展。 把一个已知问题当成树干，然后开始考虑这个问题和哪些相关问题有关。 （缺点：逻辑树分析法涉及的相关问题可能有遗漏。）

数据收集方法

数据收集的方法 和其他领域的研究一样，当我们选定了相应的研究设计之后，一个重要的问题就是如何能准确有效地收集数据，以客观而全面地反映所要研究的心理行为问题的真实状况。在心理学的研究中，通常收集数据的方法包括观察法、访谈法、问卷法、测验法、语义分析法、内容分析法等等，作为心理学研究的一个领域，学校心理学研究通常也采用这些方法，特别是观察法、访谈法、问卷法、测验法、个案研究等。 一、观察法 观察法是研究者通过感官或一定的仪器设备，有目的、有计划地观察儿童的心理和行为表现，并由此分析儿童心理和行为特征和规律的一种方法。 儿童的心理活动有突出的外显性，通过观察其外部行为，可以了解他的心理特征。因此，观察法是学校心理学研究的最基本、最普遍的一种方法。 (一) 观察的类型 由于观察的目的不同，可以将观察法分为不同的类型。 1. 自然观察与实验观察 根据观察的数据是在自然条件下取得的，还是在人为干预条件下获得的，观察法可以分为自然观察和实验观察。所谓自然观察法是指在自然的状态下，对儿童的各种心理和行为表现进行观察，搜集研究资料的一种方法。它能够收集到观察对象在日常生活中的真实、典型、一般的行为表现，但这种方法使观察者比较被动，也难于揭示儿童的许多在自然状态下不易表现出来的心理特点。实验观察法指通过人为地改变和控制一定的条件，有目的地引起被研究者的某些心理和行为表现，以便在最有利的条件下对它们进行观察，收集有关研究资料的一种方法。比如，要研究儿童的助人行为，单靠自然观察显然是很困难的，研究者常会创设一定的情境，观察儿童在这种情境下的助人行为的状况，实际上，实验观察法就是我们常说的实验法。 2. 参与观察与非参与观察 根据观察者是否直接参与到被观察者所进行的活动之中，观察法可分为参与性观察与非参与性观察。参与性观察就是观察者参与到被观察者的实际环境之中，并通过与被观察者的共同活动，从内部进行观察，故又称之为局

结构动力学：理论及其在地震工程中的应用

5章 动力反应的数值计算 如果激励[作用力)(t p 或地面加速度)(t u g ]是随时间任意变化的，或者体系是非线性的，那么对单自由度体系的运动方程进行解析求解通常是不可能的。这类问题可以通过数值时间步进法对微分方程进行积分来处理。在应用力学广阔的学科领域中，有关各种类型微分方程数值求解方法的文献（包括几部著作中的主要章节）浩如烟海，这些文献包括这些方法的数学进展以及它们的精度、收敛性、稳定性和计算机实现等问题。 然而，本章仅对在单自由度体系动力反应分析中特别有用的很少几种方法进行简要介绍，这些介绍仅提供这些方法的基本概念和计算算法。尽管这些对许多实际问题和应用研究已经足够了，但是读者应该明白，有关这个主题存在大量的知识。 5.1 时间步进法 对于一个非弹性体系，欲采用数值求解的运动方程为 )(),(t p u u f u c u m s =++ 或者 )(t u m g - (5.1.1) 初始条件 )0(0u u = )0(0u u = 假定体系具有线性粘滞阻尼，不过，也可以考虑其他形式的阻尼（包括非线性阻尼），后面会明显看到这一点。然而由于缺乏阻尼信息．因此很少这样做，特别是在大振幅运动时。作用力)(t p 由一系列离散值给出: )(i i t p p = ,0=i 到N 。时间间隔 i i i t t t -=?+1 （5.1.2）

图5.1.1 时间步进法的记号 通常取为常数，尽管这不是必需的。在离散时刻i t （表示为i 时刻）确定反 应，单自由度体系的位移、速度和加速度分别为i u 、i u 和i u 。假定这些值是已知的，它们在i 时刻满足方程 i i s i i p f u c u m =++)( （5.1.3） 式中，i s f )(是i 时刻的抗力，对于线弹性体系，i i s ku f =)(，但是如果体系是非弹性的，那么它会依赖于i 时刻以前的位移时程和速度。将要介绍的数值方 法将使我们能够确定i +1时刻满足方程(5.1.1)的反应1+i u 、1+i u 和1+i u ，即在i +1时刻 1111)(++++=++i i s i i p f u c u m （5.1.4） 对于i =0，1，2，3，…，连续使用时间步进法，即可给出i =0，l ，2，3，… 所有瞬时所需的反应。已知的初始条件)0(0u u =)0(0u u =和提供了起动该方法的必要信息。 从i 时刻到i +1时刻的步进一般不是精确的方法，许多在数值上可以实现的近似方法是可能的。对于数值方法，有三个重要的要求：(1)收敛性一随着时间步长的减少，数值解应逼近精确解；(2)稳定性一在存在数值舍入误差的情况下，数值解应是稳定的；(3)精度一数值方法应提供与精确解足够接近的结果。这些重要的问题在本书中均作简要的讨论，全面的论述可在着重微分方程数值解法的书中找到。 本章介绍三种类型的时间步进法：(1)基于激励函数插值的方法；(2)基于速度和加速度有限差分表达的方法；(3)基于假设加速度变化的方法。前两类中各

调查收集数据的过程与方法

1．（2015?徐州校级模拟）在“5?18世界无烟日”来临之际，小明和他的同学为了解某街道大约有多少成年人吸烟，于是随机调查了该街道1000个成年人，结果有180个成年人吸烟．对于这个数据的收集与处理过程，下列说法正确的是（） A．调查的方式是普查 B．该街道约有18%的成年人吸烟 C．该街道只有820个成年人不吸烟 D．样本是180个吸烟的成年人 考点：调查收集数据的过程与方法；全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量．专题：常规题型． 分析：由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似． 解答：解：根据题意，随机调查1000个成年人，是属于抽样调查，这1000个人中180人吸烟不代表本地区只有180个成年人吸烟，样本是1000个成年人， 所以本地区约有18%的成年人吸烟是对的． 故选B． 点评：本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 2．（2015春?万州区期末）下面获取数据的方法不正确的是（） A．我们班同学的身高用测量方法 B．快捷了解历史资料情况用观察方法 C．抛硬币看正反面的次数用实验方法 D．全班同学最喜爱的体育活动用访问方法 考点：调查收集数据的过程与方法． 分析：根据实际问题逐项判断即可得到答案． 解答：解：A、我们班同学的身高用测量方法是长度工具，可信度比较高； B、快捷了解历史资料情况用观察方法的可信度很低； C、抛硬币看正反面的次数用实验方法是事实事件，所以可信度很高； D、全班同学最喜爱的体育活动用访问方法是事实事件，可信度很高． 故选：B． 点评：本题考查了调查收集数据的过程与方法，通过本题也使学生了解了获得信息的方式方法． 3．（2015春?石家庄期末）某学习小组将要进行一次统计活动，下面是四位同学分别设计的活动序号，其中正确的是（） A．实际问题→收集数据→表示数据→整理数据→统计分析合理决策 B．实际问题→表示数据→收集数据→整理数据→统计分析合理决策 C．实际问题→收集数据→整理数据→表示数据→统计分析合理决策 D．实际问题→整理数据→收集数据→表示数据→统计分析合理决策

结构动力学 期末复习重点

一 1、结构动力学计算的特点？ （对比静力问题）○ 1动力反应要计算全部时间点上的一系列的解，比静力问题复杂要消耗更多的计算时间。○ 2与静力问题相比，由于动力反应中结构的位置随时间迅速变化，从而产生惯性力，惯性力对结构的反应又产生重要的影响。 2、结构动力学是研究什么的？包含什么内容？ 结构动力学：是研究结构体系的动力特性及其在动力荷载作用下的动力反应分析原理和 方法的一门理论和技术学科。 目的：在于为改善工程结构体系在动力环境中的安全性和可靠性提供坚实的理论基础。 二、 1、动力系数（有阻尼、无阻尼。简谐、半功率点法、位移计……） 2、动力系数和哪些因素有关 动力放大系数受阻尼比控制，Rd 曲线形状可以反映出阻尼比的影响。主要有两点：其一是峰值大小；其二是曲线的胖瘦。 3、动力系数在工程（隔震、调频减震）的应用 4、如何用动力系数测阻尼比 三、 1、阻尼 阻尼也称阻尼力，是引起结构能量的耗散，使结构振幅逐渐变小的作用。 阻尼的来源：1固体材料变形时的内摩擦，或材料快速反应引起的热耗散；2结构连接部位的摩擦；3结构周围外部介质引起的阻尼。 2.阻尼比常用的测量方法及其优缺点： （1）对数衰减率法：相邻振动峰值比的自然对数值称为对数衰减率。采用自由振动试验，测一阶振型的阻尼比较容易。测量高阶振型阻尼比的关键是能激发出按相应振型的自由振动。 （2） 共振放大法：采用强迫振动试验，通过共振得到（Rd ）max 由于静荷载下的位移较难确定，应用上存在一定的技术困难，但通过一定数学上的处理还是可以用的。（Ust 是零频 时的静位移，不容易测得。） （3） 半功率点（带宽）法：采用强迫振动试验，测出Rd-w/wn 图上振 幅值等于倍最大振幅的点，对应的长度的1/2即为阻尼比。不但能用于单自由度体系，也可以用于多自由度体系，对多自由度体系要求共振频率稀疏，即多个自振频率应相隔较远，保证在确定相应于某一自振频率的半功率点时不受相邻自振频率的影响。 3、等效粘滞阻尼比 ○1、粘性阻尼是一种理想化的阻尼，具有简单和便于分析计算的优点。○ 2工程中结构的阻尼源于多方面，其特点和数学描述更为复杂，这时可以将复杂的阻尼在一定的意义上等效 成粘性阻尼。○3一般采用基于能量等效的原则。○4阻尼耗散能量的大小可以用阻尼力的滞回曲线反映。 m st d u u R 0max 2)(21=≈ζn k k ln 21+≈y y n πξn a b f f f 2-=ζ