2021年中考数学总复习资料

广东省云浮市郁南县东坝镇龙塘初级中学

数学

2021年中考一轮复习

广东省云浮市郁南县东坝镇龙塘初级中学数学组编写

目录：

第一部分数与代数

第一章数与式

第1讲实数

第2讲代数式

第3讲整式与分式

第1课时整式

第2课时因式分解

第3课时分式

第4讲二次根式

第二章方程与不等式

第1讲方程与方程组

第1课时一元一次方程与二元一次方程组

第2课时分式方程

第3课时一元二次方程

第2讲不等式与不等式组

第三章函数

第1讲函数与平面直角坐标系

第2讲一次函数

第3讲反比例函数

第4讲二次函数

第二部分空间与图形第四章三角形与四边形

第1讲相交线和平行线

第2讲三角形

第1课时三角形

第2课时等腰三角形与直角三角形

第3讲四边形与多边形

第1课时多边形与平行四边形

第2课时特殊的平行四边形

第五章圆

第1讲圆的基本性质

第2讲与圆有关的位置关系

第3讲与圆有关的计算

第六章图形与变换

第1讲图形的轴对称、平移与旋转

第2讲视图与投影

第3讲尺规作图

第4讲图形的相似

第5讲解直角三角形

第三部分统计与概率第七章统计与概率

第1讲统计

第2讲概率

第一部分 数与代数

第一章 数与式 第1讲 实数 考点一、实数的概念及分类 1、实数的分类

正有理数

有理数 零 有限小数和无限循环小数

实数 负有理数

正无理数

无理数 无限不循环小数

负无理数 2、无理数

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等；

（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如

3

π

+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；

（4）某些三角函数，如sin60o

等

考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数

实数与它的相反数时一对数（零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a= -b ，反之亦成立。 2、绝对值

一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数

如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根

如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方根）。 一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。正数a 的平方根记做“a ±”。 2、算术平方根

正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

a （a ≥0） 0≥a ==a a 2

； 注意a 的双重非负性：

-a （a <0） a ≥0 3、立方根

如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 考点四、科学记数法和近似数 1、有效数字

一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。

2、科学记数法

把一个数写做n

a 10?±的形式，其中101<≤a ，n 是整数，这种记数法叫做科学记数法。 考点五、实数大小的比较 1、数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 2、实数大小比较的几种常用方法

（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （2）求差比较：设a 、b 是实数，

,0b a b a >?>-,0b a b a =?=- b a b a

（3）求商比较法：设a 、b 是两正实数，

;1;1;1b a b

a

b a b a b a b a ?> （4）绝对值比较法：设a 、b 是两负实数，则b a b a 。

（5）平方法：设a 、b 是两负实数，则b a b a 2

2

。 考点六、实数的运算 （做题的基础，分值相当大） 1、加法交换律 a b b a +=+

2、加法结合律 )()(c b a c b a ++=++

3、乘法交换律 ba ab =

4、乘法结合律 )()(bc a c ab =

5、乘法对加法的分配律 ac ab c b a +=+)(

6、实数的运算顺序

先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。

A 级 基础题

1．在－1,0,1,2这四个数中，既不是正数也不是负数的是( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2

2．－2的绝对值等于( ) A ．2 B ．－2 C.1

2

D ．±2

3．－4的倒数的相反数是( ) A ．－4 B ．4 C ．－14 D.1

4

4．－3的倒数是( ) A ．3 B ．－3 C.13 D ．－1

3

5．无理数－3的相反数是( ) A ．－ 3 B. 3 C.13 D ．－1

3

6．下列各式，运算结果为负数的是( )

A ．－(－2)－(－3)

B ．(－2)×(－3)

C ．(－2)2

D ．(－3)－

3

7．某天最低气温是－5 ℃，最高气温比最低气温高8 ℃，则这天的最高气温是________℃.

8．如果x －y ＜0，那么x 与y 的大小关系是x ____y (填“＜”或“＞”)．

9．(山东泰安)已知一粒米的质量是0.000 021千克，这个数字用科学记数法表示为( )

A ．21×10－4千克

B ．2.1×10－6千克

C ．2.1×10－5千克

D ．2.1×10－

4千克

10．(河北)计算：|－5|－(2－3)0＋6×1132??

- ???

＋(－1)2.

B 级 中等题

11．实数a ，b 在数轴上的位置如图X1－1－1所示，下列式子错误的是( ) A ．a |b | C ．－a <－b D ．b －a >0 12．北京时间2011年3月11日，日本近海发生9.0级强烈地震．本次地震导致地球当天自转快了0.000

001 6秒．这里的0.000 001 6秒请你用科学记数法表示________________________秒．

13．将1，2，3，6按下列方式排列．若规定(m ，n )表示第m 排从左向右第n 个数，则(5,4)与(14,5)表示的两数之积是________．

14．计算：|－3 3|－2cos30°－2－2＋(3－π)0. 15．计算：－22＋-1

13?? ???

－2cos60°＋|－3|. C 级 拔尖题

16．如图X1－1－2，矩形ABCD 的顶点A ，B 在数轴上，CD ＝6，点A 对应的数为－1，则点B 所对应的数为__________．

图X1－1－2

17．观察下列等式：

第1个等式：a 1＝11×3＝12×113??- ???； 第2个等式：a 2＝13×5＝12×1135??

- ???；

第3个等式：a 3＝15×7＝12×1157??- ???； 第4个等式：a 4＝17×9＝12×1179??

- ???；

…

请解答下列问题：

(1)按以上规律列出第5个等式：

a 5＝______________＝______________； (2)用含有n 的代数式表示第n 个等式：

a n ＝______________＝______________(n 为正整数)； (3)求a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100的值．

选做题

18．请你规定一种适合任意非零实数a ，b 的新运算“a ⊕b ”，使得下列算式成立：

1⊕2＝2⊕1＝3，(－3)⊕(－4)＝(－4)⊕(－3)＝－76，(－3)⊕5＝5⊕(－3)＝－4

15

，…

你规定的新运算a ⊕b ＝________(用a ，b 的一个代数式表示)．

第2讲 代数式

考点一、整式的有关概念 1、代数式

用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 2、单项式

只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。

注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如b a 2

3

14-，这种表示

就是错误的，应写成b a 2

3

13-

。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如c b a 235-是6次单项式。 考点二、多项式 1、多项式

几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 单项式和多项式统称整式。

用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。 注意：（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。 （2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入。 2、同类项

所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。

3、去括号法则

（1）括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号一起去掉，括号里各项都不变号。 （2）括号前是“﹣”，把括号和它前面的“﹣”号一起去掉，括号里各项都变号。 4、整式的运算法则 整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。 整式的乘法：1.),(都是正整数n m a

a a n

m n

m

+=? 2. ),(都是正整数）（n m a a mn n

m =

3.)()(都是正整数n b a ab n

n n = 4.2

2

))((b a b a b a -=-+

5.222

2)(b ab a b a ++=+ 6.2

222)(b ab a b a +-=-

整式的除法：)0,,(≠=÷-a n m a

a a n

m n m 都是正整数 注意：（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。

（2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。

（3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号。 （4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。 （5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。

（6）),0(1

);0(10

为正整数p a a a

a a p

p

≠=

≠=- （7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。

A 级 基础题

1．某省初中毕业学业考试的同学约有15万人，其中男生约有a 万人，则女生约有( )

A ．(15＋a )万人

B ．(15－a )万人

C ．15a 万人 D.15

a

万人

2．若x ＝m －n ，y ＝m ＋n ，则xy 的值是( )

A ．2 m

B 。2 n

C ．m ＋n

D ．m －n

3．若x ＝1，y ＝12，则x 2＋4xy ＋4y 2的值是( ) A ．2 B ．4 C.32 D .1

2

4．已知a －b ＝1，则代数式2a －2b －3的值是( ) A ．－1 B ．1 C ．－5 D ．5

5．已知实数x ，y 满足x －2＋(y ＋1)2＝0，则x －y 等于( ) A ．3 B ．－3 C ．1 D ．－1

6．若|x －3|＋|y ＋2|＝0，则x ＋y 的值为__________．

7．通信市场竞争日益激烈，某通信公司的手机市话费标准按原标准每分钟降低a 元后，再次下调了20%，现在收费标准是每分钟b 元，则原收费标准每分钟是____________元．

8．已知代数式2a 3b n ＋1与－3a m ＋

2b 2是同类项，2m ＋3n ＝________.

9．如图X1－2－1，点A ，B 在数轴上对应的实数分别为m ，n ，则A ，B 间的距离是________(用含m ，n 的式子表示)．

图X1－2－1

10．已知2x －1＝3，求代数式(x －3)2＋2x (3＋x )－7的值．

B 级 中等题

11．若a 2－b 2＝14，a －b ＝1

2

，则a ＋b 的值为( )

A ．－12 B.1

2 C ．1 D ．2

12．化简m 2－16

3m －12

得____________ ；当m ＝－1时，

13．原式的值为________ ． 13．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片[如图X1－2－1(1)]不重叠的放在一个底面为长方形(长为m cm ，宽为n cm)的盒子底部[如图X1－2－1(2)]，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图X1－2－1(2)中两块阴影部分的周长和是( )

A ．4m cm

B ．4n cm

C ．2(m ＋n ) cm

D ．4(m －n ) cm

14．若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a ＋b ＋c 就是完全对称式．下列三个代数式：

①(a －b )2；②ab ＋bc ＋ca ；③a 2b ＋b 2c ＋c 2a . 其中是完全对称式的是( )

A ．①②

B ．①③

C ．②③

D ．①②③ 15．已知A ＝2x ＋y ，B ＝2x －y ，计算A 2－B 2.

C 级 拔尖题

16．若3x ＝4,9y ＝7，则3x －

2y 的值为( ) A.47 B.74 C ．－3 D.27

17．一组按一定规律排列的式子(a ≠0)：

－a 2

，a 52，－a 83，a 114

，…，

则第n 个式子是________(n 为正整数)．

选做题

18．已知，x ＝2 009，y ＝2 010，求代数式x －y x ÷22xy y x x ??

-- ???的值．

19．如图X1－2－3，从边长为(a ＋1)cm 的正方形纸片中剪去一个边长为(a －1)cm 的正方形(a ＞1)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则该矩形的面积是( )

A ．2 cm 2

B ．2a cm 2

C ．4a cm 2

D ．(a 2－1)cm 2

第3讲 整式与分式 第1课时 整式

A 级 基础题 1．计算(－x )2·x 3的结果是( ) A ．x 5

B ．－x 5

C ．x 6

D ．－x 6

2．下列运算正确的是( ) A ．3a －a ＝3 B ．a 2·a 3＝a 5 C ．a 15÷a 3＝a 5(a ≠0)D ．(a 3)3＝a 6

3．下列运算正确的是( )A ．a ＋a ＝a 2 B ．(－a 3)2＝a 5C ．3a ·a 2＝a 3 D ．(2a )2＝2a 2

4．在下列代数式中，系数为3的单项式是( )A ．xy 2 B ．x 3＋y 3 C ．x 3y D ．3xy

5．下列计算正确的是( )

A ．(－p 2q )3＝－p 5q 3

B ．(12a 2b 3c )÷(6ab 2)＝2ab

C ．3m 2÷(3m －1)＝m －3m 2

D ．(x 2－4x )x －

1＝x －4

6．下列等式一定成立的是( )

A ．a 2＋a 3＝a 5

B ．(a ＋b )2＝a 2＋b 2

C ．(2ab 2)3＝6a 3b 6

D ．(x －a )(x －b )＝x 2－(a ＋b )x ＋ab

7．计算(－5a 3)2的结果是( ) A ．－10a 5 B ．10a 6 C ．－25a 5 D ．25a 6

8．(湖北荆州)将代数式x 2＋4x －1化成(x ＋p )2＋q 的形式为( )

A ．(x －2)2＋3

B ．(x ＋2)2－4

C ．(x ＋2)2－5

D ．(x ＋2)2＋4 9．计算：

(1)(3＋1)(3－1)＝____________； (2)(山东德州)化简：6a 6÷3a 3＝________.

(3)(－2a )·3114a ??

- ???

＝________.

10．化简：(a ＋b )2＋a (a －2b )．

B 级 中等题

11．已知一个多项式与3x 2＋9x 的和等于3x 2＋4x －1，则这个多项式是( ) A ．－5x －1 B ．5x ＋1 C ．13x －1 D ．13x ＋1

12．(安徽芜湖)如图X1－3－1，从边长为(a ＋4) cm 的正方形纸片中剪去一个边长为(a ＋1) cm 的正方形(a >0)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为( )．

A ．(2a 2＋5a ) cm 2

B ．(3a ＋15) cm 2

C ．(6a ＋9) cm 2

D ．(6a ＋15) cm 2 13．(湖南株洲)先化简，再求值：(2a －b )2－b 2，其中a ＝－2，b ＝3.

14．(吉林)先化简，再求值：(a ＋b )(a －b )＋2a 2，其中a ＝1，b ＝ 2.

15．(山西)先化简，再求值：(2x ＋3)(2x －3)－4x (x －1)＋(x －2)2，其中x ＝－ 3.

C 级 拔尖题

16．(四川宜宾)将代数式x 2＋6x ＋2化成(x ＋p )2＋q 的形式为( )

A ．(x －3)2＋11

B ．(x ＋3)2－7

C ．(x ＋3)2－11

D ．(x ＋2)2＋4 17．若2x －y ＋|y ＋2|＝0，求代数式[(x －y )2＋(x ＋y )(x －y )]÷2x 的值． 选做题

18．观察下列算式：

①1×3－22＝3－4＝－1； ②2×4－32＝8－9＝－1； ③3×5－42＝15－16＝－1； ④__________________________. ……

(1)请你按以上规律写出第4个算式； (2)把这个规律用含字母的式子表示出来；

(3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．

19．(江苏苏州)若3×9m ×27m ＝311，则m 的值为____________．

第2课时 因式分解 考点三、因式分解 1、因式分解

把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 2、因式分解的常用方法

（1）提公因式法：)(c b a ac ab +=+ （2）运用公式法：))((2

2

b a b a b a -+=- 2

2

2

)(2b a b ab a +=++ 2

2

2

)(2b a b ab a -=+-

（3）分组分解法：))(()()(d c b a d c b d c a bd bc ad ac ++=+++=+++

（4）十字相乘法：))(()(2q a p a pq a q p a ++=+++ 3、因式分解的一般步骤：

（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。

（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式

（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。

A 级 基础题

1．(四川凉山州)下列多项式能分解因式的是( )

A ．x 2＋y 2

B ．－x 2－y 2

C ．－x 2＋2xy －y 2

D ．x 2－xy ＋y 2 2．(年山东济宁)下列式子变形是因式分解的是( )

A ．x 2－5x ＋6＝x (x －5)＋6

B ．x 2－5x ＋6＝(x －2)(x －3)

C ．(x －2)(x －3)＝x 2－5x ＋6

D ．x 2－5x ＋6＝(x ＋2)(x ＋3) 3．(内蒙古呼和浩特)下列各因式分解正确的是( )

A ．－x 2＋(－2)2＝(x －2)(x ＋2)

B ．x 2＋2x －1＝(x －1)

C ．4x 2－4x ＋1＝(2x －1)2

D ．x 2－4x ＝x (x ＋2)(x －2)

4．(湖南邵阳)因式分解：a 2－b 2＝______ 5．(辽宁沈阳)分解因式：m 2－6m ＋9＝______.

6．(广西桂林)分解因式：4x 2－2x ＝________.7．(浙江丽水)分解因式：2x 2－8＝ ________.

8．(贵州六盘水)分解因式：2x 2＋4x ＋2＝________.

9．在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形(a >b )[如图X1－3－2(1)]，把余下的部分拼成一个矩形[如图X1－3－2(2)]，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证( )

图X1－3－2

A ．(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2

B ．(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2

C ．a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )

D ．(a ＋2b )(a －b )＝a 2＋ab －2b 2 10．若m 2－n 2＝6且m －n ＝3，则m ＋n ＝________.

B 级 中等题

11．对于任意自然数n ，(n ＋11)2－n 2是否能被11整除，为什么？

12．(山东临沂)分解因式：a －6ab ＋9ab 2＝____________.

13．(四川内江)分解因式：ab 3－4ab ＝______________.

14．(山东潍坊)分解因式：x 3－4x 2－12x ＝______________.

15．(江苏无锡)分解因式(x －1)2－2(x －1)＋1的结果是( )

A ．(x －1)(x －2)

B ．x 2

C ．(x ＋1)2

D ．(x －2)2

16．(山东德州)已知：x ＝3＋1，y ＝3－1，求x 2－2xy ＋y 2

x 2－y 2

的值．

C 级 拔尖题

17．(江苏苏州)若a ＝2，a ＋b ＝3，则a 2＋ab ＝________.

18．(湖北随州)设a 2＋2a －1＝0，b 4－2b 2－1＝0，且1－ab 2≠0，则5

2231ab b a a ??

+-+ ???＝________.

选做题

19．分解因式：x 2－y 2－3x －3y ＝______________.

20．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，且满足a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断△ABC 的形状．

21．(贵州黔东南州)分解因式x 3－4x ＝______________________. 第3课时 分式 考点一、分式 1、分式的概念

一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成

B A 的形式，如果B 中含有字母，式子B

A

就叫做分式。其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。

2、分式的性质

（1）分式的基本性质：

分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 （2）分式的变号法则：

分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。 3、分式的运算法则

（1）;;bc ad c d b a d c b a bd ac d c b a =?=÷=? （2）);()(为整数n b a b a n n

n =

（3）;c b a c b c a ±=± （4）bd

bc

ad d c b a ±=±

A 级 基础题

1．(浙江湖州)要使分式1

x

有意义，x 的取值范围满足( )

A ．x ＝0

B ．x ≠0

C ．x ＞0

D ．x ＜0

2．(四川德阳)使代数式x

2x －1有意义的x 的取值范围是( )

A ．x ≥0

B ．x ≠12

C ．x ≥0且x ≠1

2

D ．一切实数

3．在括号内填入适当的代数式，是下列等式成立：

(1)2ab ＝( )

2xa 2b 2 b (2)a 3－ab 2(a －b )2＝a ( )a －b

4．约分：56x 3yz 4

48x 5y 2z ＝____________； x 2－9x 2－2x －3

＝____________.

5．已知a －b a ＋b ＝15，则a

b ＝__________. 6．当x ＝______时，分式x 2－2x －3x －3的值为零．

7．(福建漳州)化简：x 2－1x ＋1÷x 2－2x ＋1

x 2－x

.

8．(浙江衢州)先化简x 2x －1＋1

1－x

，再选取一个你喜欢的数代入求值．

9．先化简，再求值：x －2x 2－4－x

x ＋2

，其中x ＝2.

10．(山东泰安)化简：222m

m m m ??- ?+-??

÷m m 2－4＝____________________.

B 级 中等题

11．若分式x －1

(x －1)(x －2)

有意义，则x 应满足的条件是( )

A ．x ≠1

B ．x ≠2

C ．x ≠1且x ≠2

D ．以上结果都不对

12．先化简，再求值：234

211x x x +??- ?--??÷x ＋2x 2

－2x ＋1

.

13．(湖南常德)先化简，再求值.

2212111x x x x ??-++ ?+-??

÷x －1

x ＋1，其中x ＝2. 14．(四川资阳)先化简，再求值：a －2a 2－1÷2111a a a -??-- ?+??，其中a 是方程x 2

－x ＝6的根．

C 级 拔尖题

15．先化简再求值：ab ＋a b 2－1＋b －1

b 2－2b ＋1，其中b －2＋36a 2＋b 2－12ab ＝0.

选做题

16．已知x 2－3x －1＝0，求x 2＋1

x

2的值．

第4讲 二次根式

考点一、二次根式 （初中数学基础，分值很大） 1、二次根式

式子)0(≥a a 叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“

”；被开方数a 必须是非负数。

2、最简二次根式

若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。

化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：

（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。

（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。 3、同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 4、二次根式的性质

（1）)0()(2≥=a a a

)0(≥a a （2）==a a 2

)0(<-a a （3）)0,0(≥≥?=b a b a ab （4）

)0,0(≥≥=b a b

a

b a

5、二次根式混合运算

二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。

A 级 基础题

1．下列二次根式是最简二次根式的是( )

A.12

B. 4

C. 3

D.8

2．下列计算正确的是( )

A.20＝2 10

B.2·3＝6

C.4－2＝ 2

D.(－3)2＝－3

3．若a ＜1，化简(a －1)2－1＝( )

A ．a －2

B ．2－a

C ．a

D ．－a

4．(广西玉林)计算：3 2－2＝( ) A ．3 B. 2 C ．2 2 D ．4 2

5．如图X1－3－3，数轴上A 、B 两点表示的数分别为－1和3，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数为( )

A ．－2－ 3

B ．－1－3

C ．－2＋ 3

D ．1＋ 3

6．(湖南衡阳)计算：12＋3＝__________.7．(辽宁营口)计算18－2 1

2

＝________.

8．已知一个正数的平方根是3x －2和5x ＋6，则这个数是__________．

9．若将三个数－3，7，11表示在数轴上，其中能被如图X1－3－4所示的墨迹覆盖的数是__________．

10．(四川内江)计算：3tan30°－(π－2 011)0＋8－|1－2|.

B 级 中等题

11．(安徽)设a ＝19－1，a 在两个相邻整数之间，则这两个整数是( ) A ．1和2 B ．2和3 C ．3和4 D ．4和5

12．(山东烟台)如果(2a －1)2＝1－2a ，则( )

A ．a ＜12

B ．a ≤12

C ．a ＞12

D ．a ≥1

2

13．(浙江)已知m ＝1＋2，n ＝1－2，则代数式m 2＋n 2－3mn 的值为( ) A ．9 B ．±3 C ．3 D ．5

14．(福建福州)若20n 是整数，则正整数n 的最小值为________．

15．(贵州贵阳)如图X1－3－5，矩形OABC 的边OA 长为2，边AB 长为1，OA 在数轴上，以原点O 为圆心，对角线OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是( )

A ．2.5

B ．2 2 C. 3 D. 5

16．(四川凉山州)计算：(sin30°)－

2＋0

52

?-??－|3－18|＋83×(－0.125)3.

C 级 拔尖题

17．(湖北荆州)若x －2y ＋9与|x －y －3|互为相反数，则x ＋y 的值为( ) A ．3 B ．9 C ．12 D ．27

18．(山东日照)已知x ，y 为实数，且满足1＋x －(y －1)1－y ＝0，那么x 2 011－y 2 011＝______. 选做题

19．(四川凉山州)已知y ＝2x －5＋5－2x －3，则2xy 的值为( )

A ．－15

B ．15

C ．－152 D.15

2

第二章 方程与不等式

第1讲 方程与方程组

第1课时 一元一次方程与二元一次方程组 考点一、一元一次方程的概念 1、方程

含有未知数的等式叫做方程。 2、方程的解

能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。 3、等式的性质

（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。 （2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。 4、一元一次方程

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，（0a x 0≠=+b ax 叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数x 的系数，b 是常数项。

考点二、二元一次方程组 1、二元一次方程

含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是（ 2、二元一次方程的解

使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。 3、二元一次方程组

两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。 4二元一次方程组的解

使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。

5、二元一次方正组的解法 （1）代入法（2）加减法

6、三元一次方程

把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。 7、三元一次方程组

由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组

A 级 基础题

1．(山东枣庄)“五一”节期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折(标价的80%)销售，售价为2 080元．设该电器的成本价为x 元，根据题意，下面所列方程正确的是( ) A ．x (1＋30%)×80%＝2 080 B ．x ×30%×80%＝2 080 C ．2 080×30%×80%＝x D ．x ×30%＝2 080×80%

2．(广西桂林)二元一次方程组 3.

24

x y x +=??=?的解是( )

A. 3,0x y =??=?

B.1,2x y =??=?

C. 5,2x y =??=-?

D.2,1x y =??=?

3．(湖南衡阳)为了丰富同学们的课余生活，体育委员小强到体育用品商店购羽毛球拍和乒乓球拍，若

购1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，小强一共用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍．若设每副羽毛球拍为x 元，每副乒乓球拍为y 元，列二元一次方程组得( )

A. 50,6()320x y x y +=??+=?

B.50,610320x y x y +=??+=?

C.50,6320x y x y +=??+=?

D.50,106320

x y x y +=??+=?

4．(贵州铜仁)铜仁市对城区主干道进行绿化，计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完．设原有树苗x 棵，则根据题意列出方程正确的是( )

A ．5(x ＋21－1)＝6(x －1)

B ．5(x ＋21)＝6(x －1)

C ．5(x ＋21－1)＝6x

D ．5(x ＋21)＝6x

5．已知关于x 的方程3x －2m ＝4的解是x ＝m ，则m 的值是________．

6．方程组2,

21

x y x y -=??+=?的解是__________．

7．(湖南湘潭)湖南省2011年赴台旅游人数达7.6万人．我市某九年级一学生家长准备中考后全家3人去台湾旅游，计划花费20 000元．设每人向旅行社缴纳x 元费用后，共剩5 000元用于购物和品尝台湾美食．根据题意，列出方程为__________________．

8．(年江苏苏州)我国是一个淡水资源严重缺乏的国家．有关数据显示，中国人均淡水资源占有量仅为

美国人均淡水资源占有量的1

5

，中、美两国人均淡水资源占有量之和为13 800 m 3.问中、美两国人均淡水资

源占有量各为多少(单位：m 3)?

B 级 中等题

9．(贵州黔西南)已知－2x m －1y 3与12

x n y m ＋

n 是同类项，那么(n －m )2 012＝______.

10．(山东菏泽)已知2,1x y =??=?是二元一次方程组的解8,

1,mx ny nx my +=??-=?

则2m －n 的算术平方根为( ) A ．±

2 B.2 C ．2 D ．4

11．(湖北咸宁)某宾馆有单人间和双人间两种房间，入住3个单人间和6个双人间共需1 020元，入住1个单人间和5个双人间共需700元，则入住单人间和双人间各5个共需____________元．

12．(内蒙古呼和浩特)解方程组： 4(1)3(1)2,2.23

x y y x y

--=--??

?+=??

C 级 拔尖题

13．如图X2－1－1，直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1，b )． (1)求b 的值．

(2)不解关于x ，y 的方程组1,

,y x y mx n =+??=+?

请你直接写出它的解．

(3)直线l 3：y ＝nx ＋m 是否也经过点P ？请说明理由．

14．(江西南昌)小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤．

妈妈说：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两样菜只要36元”； 爸爸说：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨的单价上涨20%”；

小明说：“爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？” 请你通过列方程(组)求解这天萝卜、排骨的单价(单位：元/斤)．

选做题

15．(上海)解方程组：22

2,

230.x y x xy y -=??--=?

16．若关于x ，y 的二元一次方程组5,

9x y k x y k

+=??-=?的解也是二元一次方程2x ＋3y ＝6的解，则k 的值为( )

A ．－34 B.34 C.43 D ．－43

第2课时 分式方程 考点一、分式方程 1、分式方程

分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 2、分式方程的一般方法

解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是：

（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母 （2）解所得的整式方程

（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。 3、分式方程的特殊解法 换元法：

换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。

A 级 基础题

1．(广西北海)分式方程7

x －8

＝1的解是( ) A ．－1 B ．1 C ．8 D ．15

2．(浙江丽水)把分式方程2x ＋4＝1

x

化为一元一次方程时，方程两边需同乘以( )

A ．x

B ．2x

C ．x ＋4

D ．x (x ＋4)

3．(湖北随州)分式方程10020＋v ＝60

20－v

的解是( )

A ．v ＝－20

B ．v ＝5

C ．v ＝－5

D ．v ＝20

4．(四川成都)分式方程32x ＝1

x －1

的解为( )

A ．x ＝1

B ．x ＝2

C ．x ＝3

D ．x ＝4

5．(四川内江)甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用的时间相同．已知乙车每小时比甲车多行驶15千米，设甲车的速度为x 千米/时，依题意列方程正确的是( )

A.30x ＝40x －15

B.30x －15＝40x

C.30x ＝40x ＋15

D.30x ＋15＝40x

6．方程 x 2－1

x ＋1

＝0的解是________．

7．(江苏连云港)今年6月1日起，国家实施了《中央财政补贴条例》，支持高效节能电器的推广使用．某款定速空调在条列实施后，每购买一台，客户可获财政补贴200元，若同样用1万元所购买的此款空调台数，条例实施后比条例实施前多10%，则条例实施前此款空调的售价为 __________元．

8．(山东德州)解方程：2x 2－1＋1

x ＋1

＝ 1.

9．(江苏泰州)当x 为何值时，分式3－x 2－x 的值比分式1

x －2

的值大3?

10．(北京)据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1 000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同．求

一片国槐树叶一年的平均滞尘量．

B 级 中等题

11．(山东莱芜)对于非零实数a ，b ，规定a ⊕b ＝1b －1

a

.若2⊕(2x －1)＝1，则x 的 值为( )

A.56

B.54

C.32 D ．－16

12．(四川巴中)若关于x 的方程2

x －2＋x ＋m 2－x

＝2有增根，则m 的值是________．

13．(山东菏泽改编)我市某校为了创建书香校园，去年购进一批图书．经了解，科普书的单价比文学书的单价多4元，用12 000元购进的科普书与用8 000元购进的文学书的本数相等． C 级 拔尖题

15．(江苏无锡)某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：

投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购．投资者可在以下两种购铺方案中做出选择：

方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可以获得的租金为商铺标价的10%；

方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可以获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用．

(1)请问：投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？为什么(注：投资收益率＝投资收益

实际投资额

×100%)?

(2)对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元？

选做题

14．(山东日照)某学校后勤人员到一家文具店给九年级的同学购买考试用文具包，文具店规定一次购买400个以上，可享受8折优惠．若给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1 936元；若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1 936元．请问该学校九年级学生有多少人？

15．(湖北黄冈)某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作8 800 件投入市场，服装厂有A ，B 两个制衣车间，A 车间每天加工的数量是B 车间的1.2 倍，A ，B 两车间共同完成一半后，A 车间出现故障停产，剩下全部由B 车间单独完成，结果前后共用20 天完成，求A ，B 两车间每天分别能加工多少件．

第3课时 一元二次方程 考点一、一元二次方程 1、一元二次方程

含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式

)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其

中2

ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 考点二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如

b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。

2、配方法

配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式2

22)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有2

22)(2b x b bx x ±=+±。 3、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程)0(02

≠=++a c bx ax 的求根公式：

)04(2422≥--±-=ac b a

ac b b x

4、因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

考点三、一元二次方程根的判别式 根的判别式

一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42

-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判

别式，通常用“?”来表示，即ac b 42

-=?

考点四、一元二次方程根与系数的关系 （3分）

如果方程)0(02

≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -

=+21，a

c

x x =21。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；

两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

A 级 基础题

1．(江苏泰州)一元二次方程x 2＝2x 的根是( )

A ．x ＝2

B ．x ＝0

C ．x 1＝0，x 2＝2

D ．x 1＝0，x 2＝－2

2．方程x 2－4＝0的根是( )

A ．x ＝2

B ．x ＝－2

C ．x 1＝2，x 2＝－2

D ．x ＝4

3．(安徽)一元二次方程x (x －2)＝2－x 的根是( )

A ．－1

B ．2

C ．1和2

D ．－1和2

4．(贵州安顺)已知1是关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋x ＋1＝0的一个根，则m 的值是( )

A ．1

B ．－1

C ．0

D ．无法确定

5．(湖北武汉)若x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则x 1＋x 2的值是( )

A ．－2

B ．2

C ．3

D ．1

6．(湖南常德)若一元二次方程x 2＋2x ＋m ＝0有实数解，则m 的取值范围是( )

A ．m ≤－1

B ．m ≤1

C ．m ≤4

D ．m ≤1

2

7．(江西南昌)已知关于x 的一元二次方程x 2＋2x －a ＝0有两个相等的实数根，则a 的值是( )