自招2017北大博雅试题及答案

2017北大博雅试题及答案

01、空间直角坐标系中，六个完全相同、均匀带电的正方形绝缘平板构成一个正方体，其中心O 位于坐标原点，各棱方向与坐标轴平等，记与z 轴平行的棱的中点为A ，正方体与x 轴的交点为B ，则A 、B 、C 三点的电场强度 D

A 、全部为0

B 、全部不为0

C 、有两个满足至少在两个方向上的分量不为0

D 、有一个满足恰好在两个方向上的分量不为

解：答案：D

根据对称性，O 点的电场为零。A 点的电场Z 分量为零，但X 、Y 分量不等于零。B 点的电场只有X 分量。

02、如图，用轻绳悬挂一带电小球A ，绳长为L ，小球质量为m ，现将一无穷远处的相同小球B 移到图示位置，原小球偏转角度为θ，求移动小球过程中外力做的功

解：答案：)cos 1(3θ-=mg W

如图位置处于平衡 2

2

2sin 2(2sin )2kq F mg l θθ==

电势能的增量 2

21E 4sin 2(1cos )22sin 2P kq mg mgl l θθθ

?===-

重力势能的增量 2E (1cos )P mgl θ?=-

则，外力做功 12W E E 3(1cos )P P mgl θ=?+?=-

03、如图，有一等腰三棱镜，底角为θ，从侧面沿平行于底边的方向射入一光束，其折射后在底面发生全反射并从另一个侧面射出。已知三棱镜的材料的折射率为2，求θ满足的条件。

解：第一次折射。入射角0190i θ=-

折射定律 11

sin sin i n r = 解得 1arcsin 2

r = 光线在底面发生全反射的临界角C 与折射率n 的关系 1sin C n

=

解得 045C =

发生全反射的条件是21i r θ=+大于临界角C ，则有 0452

cos arcsin >+θθ 04、长度分别为L 1和L 2的两根不可伸长的细绳悬挂着质量分别为m 1和m 2的两个小球，处于静止状态，如图所示，中间小球突然受到一水平方向的冲击力，瞬间获得水平向右的速度v ，求此时两绳中的拉力。

解：m 1相对于悬点O 做圆周运动，根据牛顿定律，有 2

11211

v T m g T m L --= m 2相对于m 1做圆周运动，此时m 1的向心力加速度为2

1

v L ，m 1是一个非惯性系，故m 2所受到的惯性力为2

2

v L ，方向竖直向下，根据牛顿定律，有

22

222212v v T m g m m

L L --= 由上二式可得

)(2

2

122212111L v L v m g m L v m g m T ++++= )(2

2

12222L v L v m g m T +++= 05、一平行板电容器，面积为S ，板间距为d ，与电动势为U 的恒定电源串联，现将一厚度为d ，面积为S 、相对介电常数为ε的电介质插入极板之间，求该过程中外力做的功。

解：插入电介质前电容器的电容为14S C kd π=，插入电介质后电容为24S C kd

επ= 这个过程中外力做的功是 2

222111(1)228SU W C U C U kd

επ=-=- 06、如图，真空中有四块完全相同且彼此相近的大金属板A 、B 、C 、D 平行放置，表面涂黑（可看成黑体），最外侧两块板的热力学温度各维持T 1和T 4，且T 1>T 4。当达到热稳定时，求B 板的温度。

解：温度为T 2的B 板左、右侧的单位时间内单位面积上净获得的辐射热量分别为 4412Q ()B T T σ=-左 4432Q ()B T T σ=-右

达到热稳定时，有 Q +Q 0B B =右左

由上得 4441322T T T +=

温度T 3的C 板左、右侧的单位时间内单位面积上净获得的辐射热量分别为

4423Q ()T T σ=-C 左 4443Q ()T T σ=-C 右

达到热稳定时，有 Q +Q 0C =C 右左

由上得 4442432T T T +=

由上可得 4444123

2T T T +=