对几何直观概念的几点辨析优选稿

对几何直观概念的几点

辨析

集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）

对“几何直观”概念的几点辨析

浙江省海盐县实验小学教育集团顾志能

在《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）中，“几何直观”是课程目标的核心概念。《标准》提出：“在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想……要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。”而在《义务教育数学课程标准（实验稿）》中，“几何直观”却并不是课程目标的核心概念，这预示着，几何直观将成为数学教学研究中的一个新的关注点。在这个时候，理解几何直观的含义，了解与相关概念的区别，对小学数学教师而言，就显得非常必要和迫切。为此，笔者从自己的困惑出发，结合所看到的相关资料，谈一些粗浅的认识，供老师们讨论。

一、几何直观的含义

《标准》：“几何直观主要是指利用图形描述和分析数学问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”

着名数学家徐利治先生也有过对几何直观的描述：“几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。”[1]也有学者这么描述：“几何直观是一种思维活动，是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态。”[2]

从这些描述中，我们可有以下的认识：

◆几何直观是一种运用图形认识事物的能力[3]，或者说一种解决数学问题的思维方式。

◆这种能力可外化成为一种在解决某些数学问题时的方法，这种方法区别于其它方法的典型特征在于它是以几何图形为工具的——即“几何”两字的意义。

◆用这种方法解决问题，不是运用几何中常用的论证方法，而是通过经验、观察、想象等途径，直观地感知问题的结果或方向——即“直观”两字的意义。

如三年级学生要学习同分子分数大小比较，这个知识相对比较抽象，学生较难理解。此时，学生如果能主动地采取画出（或想到）以下几何图形（图1）的方式，然后通过观察（或想象）图形的特点及联系，直观地解决问题，并理解了“分子相同的分数，分母小的反而大”的原理。学生如果具备这种解决问题的思维方式，掌握这样的方法，我们就可说学生有几何直观的能力。

二、几何直观与数形结合

在理解几何直观意义的过程中，老师们最大的困惑就是难以将几何直观与数

形结合清晰地区别开来。比如说，上文所举的分数大小比较时用几何图形来思考

图1

的例子，在以前，我们一直是视为这是用数形结合思想来解决问题的典型。而如今，这样的观念要调整，数形结合变成了几何直观，这就难免让人疑惑：数形结合与几何直观，区别到底在哪里？

近期，在笔者参与的或了解到的一些以几何直观为话题的教研活动，都呈现出了一个共同之处：教师呈现的所谓几何直观的例子，都是以前所讲的数形结合的例子。教师们更有这样的认识：几何直观，无非是数形结合的“同名词”，或

者可能只是数形结合的“升级版”而已。教师们对此的不解，甚至于表现为“用到了几何图形，就是体现了几何直观”这样的想法。当然，笔者所言的这些教研活动，大多是很基层的，或许只是代表了部分一线普通教师的认识。但是，这足以说明对数形结合与几何直观作出区分是非常必要的。

什么是数形结合？数形结合，是一种重要的数学思想方法，也是解决数学问题的有效策略。它是指解决数学问题时，可借助于“形”的直观来理解抽象的“数”，或反过来运用“数”与“式”的描述来刻画“形”的特征。[4]数形结合最基本的形式为“以形助数”和“以数解形”。如小学数学中的分数应用题，我们运用画线段图来分析其中的数量关系，这样的情况就可叫做“以形助数”。而我们在直角坐标系中，用数对来描述图形的变化（如平移、旋转），或计算两点之间的距离等，这样的情况则可叫做“以数解形”。“以形助数”，是在发挥“形”所具有的直观特点，来降低“数”的抽象度；而“以数解形”，则是在利用“数”的精确性，来准确刻画“形”，让“形”得以量化。如此，直观与抽象相互配合，取长补短，从而顺利、有效地解决问题。[5]如果用一个不太恰当的比喻来形容数形结合的特点，它就好比是架设在“数”与“形”之间的一条双向通道，起着由此及彼、相互促进的作用。

我们再来看几何直观。从几何直观的概念可知，它是指“利用图形描述和分析数学问题”。那么，我们不得不产生这样的理解：几何直观就是用“形”来解决数学问题。尽管这个“数学问题”可能并不仅仅是“数”，可以是“形”或者其它数学问题。但不管怎样，如果与数形结合做个对比，那么它就只能算是一条由“形”出发的单向通道而已。

在小学数学中，因为“以数解形”的例子极少，所以就造成了老师们谈及数形结合时，都是举了单向的由“形”出发解决“数”的例子。如此一来，我们自然就会遇到这样的情况：数形结合的例子是“以形助数”，几何直观的例子也是“以形助数”，在小学中，两者所举的例子似乎是一样的。或许就是因为这样的原因，曾有专家提出：在小学数学中，不必区分数形结合和几何直观。这样的观点，笔者觉得也不无道理。

当然，尽管有这样的观点，但并不是说几何直观就是数形结合的下位概念。笔者觉得，如果我们要将几何直观与“以形助数”作区别的话，那就必须要抛开表面的相似，而去找到两者关键的区别。

在笔者看来，几何直观的内涵最重要之处是“直接感知”（即徐利治先生所下定义中的用词）。具体地说，数形结合的“以形助数”，的确是借助于“形”来分析“数”，但是，这个“形”需要我们相对规范地得出，解释的过程更是要借助于“形”的细节严谨地开展，是带有初步的演绎推理的成分（已类似于证明）。而几何直观，也是在用“形”，但这个“形”，可以是眼睛见到的，可以是画出的，也可以是大脑想到的。更重要的是，它是要依托“形”直接地产生对数量关系及事物其它本质属性的感知，即“未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察，直接把握对象的全貌和对本质的认识。[6]”直白地讲，几何直观是一种立足于“形”却带有思维跳跃性的解决数学问题的方式，它是基于表象的、在人头脑中进行的“快捷推理”。如前文所举的分数大小比较的例子，当学生头脑中想到“一个圆平均分成四份，其中的一份与平均分成五份中的一份相比”，这时，生活经验首先介入，然后支撑表象马上建立，于是“41大于5

1”的结果直接就在学生头脑中形成了。这明显与用图形来规范严谨地进行说理是不一样的。

因此，几何直观与数形结合虽有一定联系，却并非同一意义，这往往为很多人所混淆。也正因为站在这样的角度，笔者觉得，《标准》对几何直观的文字描述还不是最理想，至少是很难让人将几何直观与数形结合中的“以形助数”区别开来。当然，这也许是笔者理解不够造成的。

三、几何直观与直观几何

谈起几何直观，我们又不得不提及大家经常听到的另一个名词——直观几何。那么，几何直观和直观几何，这两者又是怎么回事呢？

我们在初中阶段都经历过这样的几何学习——从定义、公设、公理或已证的命题出发，通过一系列严谨的步骤、严密的推理，完成对某个命题的证明。这样的几何就是论证几何，或称之为证明几何。论证几何有利于培养人的逻辑思维能力，提高人的理性思维水平，欧几里得的《几何原本》就是一个典范，它为数学的发展和人类的进步做出了卓越的贡献。但是，人除了逻辑思维能力之外，还需要形象思维能力。而在几何的学习中，如果能“从直观形象这一侧面”（希尔伯特语），通过观察、想象、操作等手段去认识图形、发现规律或解决问题，那么，人的形象思维能力就会得到良好发展，发现能力和创新精神也会得到有效培养。这种“通过图形进行观察，根据直观认识来研究图形的性质和相关问题，以这种方法为主要手段的几何学叫直观几何。[7]”

在小学数学中，由于学生的年龄特点和认知特点，他们学习几何需要更多地从经验入手，通过观察比较，或通过动手操作，从而获得对图形的认识，并发展空间观念。举些例子来说明：

如，在学习两直线相交的相关知识时，我们引导学生通过观察、比较，他们就会得出对顶角（学生叫对角）相等的结论（图2）。倘若学生有疑义，则可让他们借助工具来测量，那就一定会得出这样的结论。再如，在学习平行四边形面积时，我们也是让学生通过观察，想象到沿着平行四边形的高剪下一个三角形，拼到另一侧就可转化为一个长方形（图3），然后进行对比，找到两者之间的联系，从而得出面积计算公式。这种以观察、操作等为手段得出结论的几何学习方法，就是直观几何。在小学中，无论是几何图形的特征、性质还是求积的公式，基本上都是通过这样的直观方法得到的。（在欧氏几何中，这都是需要证明的）因此，“小学几何课程内容的性质实质上是直观几何、实验几何。[8]”

也正是因为直观几何具有诸多的论证几何所不具备的教育价值，因此，也产生了以“直观”为理念来设计几何课程的尝试，并收到显着效果，如俄罗斯的中

图2图3

学几何教材《直观几何》就是典范。

从上可见，直观几何和几何直观是两个不同的概念，直观几何是一种几何学习的方法，而几何直观则是一种解决数学问题的思维方式，是一种能力。

当然，尽管概念涵义不同，但它们之间却并非毫无关联。比如，经历直观几何的学习，必定能为几何直观能力的形成打下基础。因为学生通过直观方式学习几何的过程，就一定是一个积累几何活动经验、发展几何直觉的过程。而这种不断增强的几何经验、直觉，就会积淀并转化为学生将来用几何直观方法解决问题时可调用的丰富资源。

四、几何直观与空间观念

对几何直观的论述，《标准》中还出现在课程总体目标中的“数学思考”部分——建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维。

这样的表述，在向我们传递着几何直观是一种能力的同时，更吸引着我们去关注句中出现的另一个熟悉的名词——空间观念。之所以要拿出它们两者来进行讨论，是因为在我们的传统认识中，空间观念也是一种能力，而且这种能力的形成过程也是与几何图形紧密相关的。更重要的是，在实验稿的课标中，“能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考”，是作为空间观念的特征来描述的。而在《标准》中，这句话略作修改竟变成了几何直观的定义——几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。于是，这不禁让我们深思：几何直观和空间观念，它们到底存在怎样的关联呢？

先得说空间观念。所谓空间观念，可以看成是物体和图形的形状、大小、位置、关系等在人脑中的表象（周玉仁语）。在《标准》中，是从四个方面来具体描述空间观念特征的。发展空间观念的有效途径，经典理论认为，那就是在几何学习时多用经验、观察、操作、想象、交流等手段。

以这样的论述对比几何直观的概念，我们可以有两点认识：一，空间观念，是几何教学领域中的一个专用名词，是几何教学的一个重要目标。而几何直观，却并非是限于几何领域内的一个名词，它尽管是借助了几何，但它却跳出了几何，适用到了更宽广的领域。二，相对而言，空间观念更多地体现为教学的结果，目标性特征比较明显，而几何直观作为一种思维的方式和能力，过程性特征更加凸显。也许正是两者具有这些差异，《标准》就从实验稿课标对空间观念的

描述中剥离出一项，提升成为另一个核心的概念——几何直观。（当然，将两者做为两个能力目标区别看待，并不是新生事物，2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验稿）》早已这样提出。）

同时，我们不难想到，由于共同元素“几何”的存在，两者之间想要毫无瓜葛那也是不现实的。明显地，要清晰表象、发展空间观念，宜借助图形，采用观察、想象等直观手段，但这样的过程中就已经隐含了运用几何直观方法的元素。反之，在运用几何直观方法思考问题、解决问题的时候，观察、想象等手段也必定相伴而行，空间观念自然也在潜移默化地得到发展。因此，如果将它们两者做个比喻的话，是否有“同饮一江水，风情两相宜”的意境呢？

五、题外话

尽管笔者以较长的篇幅谈了对几何直观的粗浅思考，但事实上，对于几何直观这个《标准》中新提的名词，笔者和大多数小学数学教师一样，除了文中谈及的几个话题之外，还有很多的不明之处、疑惑之处。

如，小学数学教材中承载几何直观能力培养的内容具体有哪些我们如何教学，才可以说是正确地展现了几何直观的方法培养学生的几何直观能力到底有哪些可借鉴的策略……再如，对于小学中的几何直观，《标准》只在第二学段提了一句“感受几何直观的作用”（在第二学段“学段目标”中的“数学思考”部分）。而“感受”是一个描述过程目标的行为动词，这是否意味着，小学阶段的几何直观，只需要感受即可这是否就是史宁中教授所言的“空间观念主要是对小学来说的，几何直观是对初中来说的[9]”含义呢？

等等类似的疑问还有不少，但在我们见到的《标准》中，对这方面的阐述却很少，涉及到小学阶段的具体论述和相应案例更是没有出现。目前我们所看到的一些解读材料，也更多地是在以中学的教学内容为例说事。这对小学教师的学习、实践而言，都造成了一定的障碍。为此，笔者和老师们一样，有一种强烈的愿望：当一个新的名词（教学要求）提出来的时候，我们希望尽早见到权威部门对此作非常详尽地解读，而不是由一线教师自己作茫然地思考或资料的找寻。参考文献：

[1]徐利治.谈谈我的一些数学治学经验[J].数学通报，2000（5）

[2]蒋文蔚.几何直观思维在科学研究及数学教学中的作用[J].数学教育学报，1997（4）

[3]刘晓玫.对“几何直观”及其培养的认识与分析[J].中国数学教育，2012（1,2）

[4]顾泠沅.数学思想方法[M].北京：中央广播电视大学出版社，2004

[5]刘加霞.“数形结合”思想及其在教学中的渗透[J].小学教学，2008（5）

[6]秦德生，孔凡哲.关于几何直观的思考[J].中学数学教学参考，2005（10）

[7]贾长虹等.数学分析中的几何直观方法[J].

[8]孔凡哲，史亮.几何课程设计方式的比较分析[J].数学通报，2006（10）

[9]史宁中教授解读《数学课程标准》的“目标”及“核心词”.

初中数学几何空间与图形知识点

初中数学《几何空间与图形》知识点 初中数学《几何空间与图形》知识点 A、图形的认识 1、点，线，面 点，线，面：图形是由点，线，面构成的。面与面相交得线，线与线相交得点。点动成线，线动成面，面动成体。 展开与折叠：在棱柱中，任何相邻的两个面的交线叫做棱，侧棱是相邻两个侧面的交线，棱柱的所有侧棱长相等，棱柱的上下底面的形状相同，侧面的形状都是长方体。N棱柱就是底面图形有N条边的棱柱。截一个几何体：用一个平面去截一个图形，截出的面叫做截面。 视图：主视图，左视图，俯视图。 多边形：他们是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形。 弧、扇形：由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫扇形。圆可以分割成若干个扇形。 2、角 线：线段有两个端点。将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线只有一个端点。将线段的两端无限延长就形成了直线。直线没有端点。经过两点有且只有一条直线。 比较长短：两点之间的所有连线中，线段最短。两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。 角的度量与表示：角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点。一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。角的比较：角也可以看成是由一条射线绕着他的端点旋转而成的。一条射线绕着他的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。始边继续旋转，当他又和始边重合时，所成的角叫做周角。从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 平行：同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。如果两条直线都与第3条直线平行，那么这两条直线互相平行。

小学数学几何直观

一、什么是几何直观 几何直观指的是通过“几何”的手段，达到“直观”的目的，实现“描述和分析问题”的目标。这里的“几何”手段主要是指“利用图形”，“直观”的目的主要是将“复杂、抽象的问题变得简明、形象”。因此，几何直观对学生而言是一种有效的学习方法，对教师而言是一种有效的教学手段，它是数形结合思想的体现，在整个数学学习过程中发挥着重要作用。第二，几何直观所利用的“图形”主要是指点、线、面、体以及由以上四要素组成的其他几何图形，在小学阶段主要有正方形、长方形、三角形、平等四边形、梯形、圆以及线段、直线、射线等。几何直观所要描述和分析的问题，不仅可以是生活问题，而且可以是数学问题。第三，几何直观的意义和价值主要体现在三个方面：一是有助于把复杂、抽象的问题变得简明、形象，二是有助于探索解决问题的思路并预测结果，三是有助于帮助学生直观地理解数学。 二、对于几何直观的认识 顾名思义，几何直观所指有两点：一是几何，在这里几何是指图形；二是直观，这里的直观不仅仅是指直接看到的东西(直接看到的是一个层次)，更重要的是依托现在看到的东西、以前看到的东西进行思考、想象，综合起来，几何直观就是依托、利用图形进行数学的思考和想象。它在本质上是一种通过图形所展开的想象能力。爱因斯：tH_(Einstein，1879—1955)曾说过一句名言：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且它是知识进化的源泉。严格地说，想象力是科学研究中的实在因素。”①"数学是研究数量关系与空间形式的科学。”空间形式最主要的表现就是“图形”，除了美术，只有数学把图形作为基本的、主要的研究对象。在数学研究、学习、讲授中，不仅需要关注研究图形的方法、研究图形的结果，还需要感悟图形给我们带来的好处，几何直观就是在“数学一几何一图形”这样一个关系链中让我们体会到它所带来的最大好处。这正如20世纪最伟大的数学家希尔伯特(Hilbert，1862—1943)在其名著《直观几何》一书中所谈到的，图形可以帮助我们发现、描述研究的问题；可以帮助我们寻求解决问题的思路；可以帮助我们理解和记忆得到的结果。几何直观在研究、学习数学中的价值由此可见一斑。 从另一个角度来说，几何直观是具体的，不是虚无的，它与数学的内容紧密相连。事实上，很多重要的数学内容、概念，例如，数，度量，函数，以至于高中的解析几何，向量，等等，都具有“双重性”，既有“数的特征”，也有“形的特征”，只有从两个方面认识它们，才能很好地理解它们、掌握它们的本质意义。也只有这样，才能让这些内容、概念变得形象、生动起来，变得更容易使学生接受并运用他们去思考问题，形成几何直观能力，这也就是经常说的“数形结合”。这次课程改革中，强调几何变换不仅是内容上的变化，也是设计几何课程指导思想上的变化，这将是几何课程发展的方向。让图形“动起来”，在“运动或变换”中来研究、揭示、学习图形的性质，这样，一方面，加深了对图形性质的本质认识；另一方面，对几何直观能力也是一种提升。由此也可以看到，在义务教育阶段培养学生的几何直观是很重要的。 几何直观与“逻辑”“推理”也是不可分的。几何直观常常是靠逻辑支撑的。它不仅是看到了什么而是通过看到的图形思考到了什么想象到了什么这是数学非常重要而有价值的思维方式。几何直观会把看到的与以前学到的结合起来，通过思考、想象，猜想出一些可能的结论和论证思路，这也就是合情推理，它为严格证明结论奠定了基础。 有些数学研究的对象是可以“看得见、摸得着”的，而很多数学研究对象是“看不见，摸不着”的，是抽象的，这是数学的一个基本特点。但是，数学中那些抽象的对象绝不是无

初中数学《几何概念》汇总

初中数学《几何概念》汇总 1过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 9 同位角相等,两直线平行 10 内错角相等,两直线平行 11 同旁内角互补,两直线平行 12两直线平行,同位角相等 13 两直线平行,内错角相等 14 两直线平行,同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

24 推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上 45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方,即a+b=c 47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a+b=c,那么这个三角形是直角三角形 48定理四边形的内角和等于360°

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平面解析几何解题思路探究 台山培英中学 梁达辉 在平面解析几何学习中，许多同学感觉到对所学的基本概念已经理解，基本公式已经熟练，但解题时却力不从心，无从入手。究其原因：一是在学习中没有注意总结归纳基本题型及其解法；二是对老师归纳过的一些解法未能内化；三是缺乏对解题策略的探究。下面结合平面解析几何直线部分的内容介绍一些基本题型及其解决法。 1、关于求点P 分有几或段P 1P 2 所成的比例的问题 基本思路是：先定符号，再求数值。解题时一般要根据已知条件画出线段P 1P 2，在P 1P 2所在直线在打到分点P 的位置，并确定入的正负性，再根据P 1、P 、P 2之间的长度关系或坐标关系计算出的值，例如：已知A 、B 、C 三点共线，点C 分AB 的比为-3，求点B 分AC 所成的比。 解:（图略）设点B 分AC 所成的比为λ 点C 分AB 所成的比为点C 在AB 的延长线上 B 在线段AC 上 λ＞0 AC=-3CB |AC|=3|CB| |AB|=2|BC| AB=λBC |AB|=|λ||BC| |∵λ＞0 ∴λ=2 2、关于判断线证明平面内三点共线问题 一般方法有： （1）用分点坐标公式：λ= =只要根据三点坐标

分别求出和的值，相等则共线，否则不共线 （2）用两点间距离公式：由三点坐标计真算每两点间的距离，若最大的距离等于另两个较小距离之和，则这三点共线，否则不共线。 （3）用斜率公式：分别计真其中一点与另两点连线的斜率，若两斜率相等或两斜率都不存在，则这三点共线，否则不共线。 （4）用直线的方程：求出经过其中两点的直线方程，再判断另一点的坐标是否满足该直线方程，若满足，则这三点共线，若不满足，则这三点不共线。 3、求一点P（X o ，Y o ）关于一直线AX+By+C=O的对称点问题 （1）若直线为特殊直线Y=X，Y=-X，X轴，Y轴时，则对称点的坐标分别 为（Y 0，X O ），（-Y O ，-X O ）、（X O ，-Y O ）、（-X O ，Y O ）。 （2）当直线AX+BY+C=O一般直线时，可设对称点的坐标为：P1（X1 Y1），建立方程组 · =-1 A + +C=0

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初中数学概念课教学模式的研究 郭耀京、丁振棠、邓振新、邓燕、曾敏芝、高月、王星赞、杨桂春 一、模式研究背景 概念是思维的基本形式，具有确定研究对象和任务的作用。是用词或符号来概括事物的本质，是人对客观事物的数量关系和空间形式的本质属性在人脑中的反映。它是数学知识的基石，是数学知识的重要组成部分，人们在生活，学习，工作中时时接触概念，不断地学习概念，加深对概念的正确认识，同时运用概念进行工作，学习和生活．新的数学课程标准指出要让学生在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，而正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提．因此，数学概念教学是数学基础知识和基本技能教学的核心。 掌握数学概念是学好数学的基础，是学好定理、公式、法则和数学思想方法的前提，是提高解题能力的关键，是解决例题和练习题的依据。但在传统的数学概念课教学中，老师轻视概念的形成过程，课堂上采用的教学方式一般是学生自己看课本或教师运用讲授法进行讲解，然后学生就做例题和练习题。这种概念课的教学方式，产生的后果是学生对数学概念的感性认识很浅，理解一知半解；学习得到的概念太死板，不能灵活运用到学习中去；学生的学习能力也得不到提升和培养，学习积极性不高。为了突破这个教学难点，改变原来的教学方式，充分发挥学生的主体作用，打造切实可行的高效课堂。 新课程实施以来，我们初中数学学科一直致力于新形势下的课堂教学模式研究，取得了一定成果。结合自身学科特点，吸取先进教学理念，探索适合自身课堂教学的有效模式，真正做到了知识内容问题化、教学过程互动化、活动结论规律化、问题解决书面化、反思简记习惯化、评价方式多样化，从而学生思维的打开、飞跃、完善过程暴露无遗，使课堂教学更有针对性与实效性。 二、基本模式 数学概念教学过程是在教师指导下，调动学生认知结构中的已有感性经验和知识，去感知理解材料，经过思维加工产生认识飞跃(包括概念转变)，最后组织成完整的概念图式的过程。为了使学生掌握概念、发展认识能力，必须扎扎实实地处理好每一个环节。数学概念教学模式为：引入—形成—巩固与深化。（一）、概念的引入 概念的引入是数学概念教学的必经环节，通过这一过程使学生明确：“为什么引入这一概念”以及“将如何建立这一概念”，从而使学生明确活动目的，激发学习兴趣，提取有关知识，为建立概念的复杂智力活动做好心理准备。新课程标准提倡通过主动探究来获取知识，使学生的学习活动不再单纯地依赖于教师的讲授，教师努力成为学习的参与者、协作者、促进者和组织者。因此，在引入过程中教师要积极地为学生创设有利于他们理解数学概念的各种情境，给学生提供广阔的思维空间，让他们逐渐养成主动探究的习惯。一般可采取下述方法： 1.联系概念的现实原理引入新概念。在教学中引导学生观察有关事物、模型、图识等，让学生在感性认识的基础上，建立概念，理解概念的实际内容，搞清楚这些概念是从什么问题上提出来的。例如：在圆概念的教学时，让学生动手做实验，取一条定长的细绳，一端固定在图板上，另一端套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？学生通过动手实践，观察所画出来的图形，归纳总结出圆的定义。

新人教版初中数学中考几何的知识点大全

初中中考数学几何知识点大全 直线：没有端点，没有长度 射线：一个端点，另一端无限延长，没有长度 线段：两个端点，有长度 一、图形的认知 1、余角；补角：邻补角: 二、平行线知识点 1、对顶角性质：对顶角相等。注意：对顶角的判断 2、垂线、垂足。过一点有条直线与已知直线垂直 3、垂线段；垂线段长度==点到直线的距离 4、过直线外一点只有一条直线与已知直线平行 5、直线的两种关系：平行与相交（垂直是相交的一种特殊情况） 6、如果a∥b，a∥c，则b∥c 7、同位角、内错角、同旁内角的定义。注意从文字角度去解读。 8、两直线平行====同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 三、命题、定理 1、真命题；假命题。 4、定理：经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理。 四、平移 1、平移性质：平移之后的图形与原图形相比，对应边相等，对应角相等 五、平面直角坐标系知识点 1、平面直角坐标系： 2、象限：坐标轴上的点不属于任何象限 横坐标上的点坐标：（x，0）纵坐标上的点坐标：（0，y） 3、距离问题：点（x，y）距x轴的距离为y的绝对值，距y轴的距离为x的绝对值 坐标轴上两点间距离：点A（x1，0）点B（x2，0），则AB距离为x1-x2的绝对值 点A（0，y1）点B（0，y2），则AB距离为y1-y2的绝对值 4、角平分线：x=y x+y=0 5、若直线l与x轴平行，则直线l上的点纵坐标值相等 若直线l与y轴平行，则直线l上的点横坐标值相等 6、对称问题： 7、距离问题（选讲）：坐标系上点（x，y）距原点距离为 坐标系中任意两点（x1，y1），（x2，y2）之间距离为 8、中点坐标（选讲）：点A（x1，0）点B（x2，0），则AB中点坐标为 六、与三角形有关的线段 1、三角形分类：不等边；等腰；等边三角形

对几何直观的理解

对几何直观的理解 《课标（2011年版）》在“课程设计思路”中提出了“几何直观”这个与学习内容有关的新的核心概念，怎样理解“几何直观”？它在小学数学学习和教学中有何作用？ 一、把握十个核心概念的三个层次 第一层，主要体现在某一内容领域的核心概念，如：数感、符号意识、运算能力主要体现在数与代数领域，空间观念主要体现在图形与几何领域，数据分析观念主要体现在统计与概率领域； 第二层，体现在不同领域的核心概念，包括几何直观、推理能力和模型思想； 第三层，超越课程内容，整个小学数学课程都应特别注重培养学生的应用意识和创新意识。 二、对直观的理解 1、直观是相对的，有不同的层面和表现。眼前的美景难以描摹，我们拍下照片，这是一种直观；抽象的道理难以领悟，我们讲了一个故事，这是直观；复杂的逻辑关系难以梳理，我们画了一个流程图，这也是直观。 2、直观含有可视化的意思（英文Visual），作为一个隐喻，直观意味着是感官可以直接感知的，但并不局限于视觉。比如，相较于文字的描绘，声音、颜色、气味、图形、味道，可以直接作用于不同感官的东西都可以构成一种直观。 3、直观它是认识的浅层次阶段，是进一步抽象的基础。 三、几何直观的含义 《标准》指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题.借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果.几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用.” 著名数学家徐利治先生也有过对几何直观的描述：“几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系，产生对数量关系的直接感知.” 也有学者这么描述：“几何直观是一种思维活动，是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态.” 从这些描述中，我们可以有以下的认识： ◆几何直观是一种运用图形认识事物的能力，或者说是一种解决数学问题的思维方式。 ◆这种能力可外化为一种在解决某些数学问题时的方法，这种方法区别于其他方法的典型特征在于它是以几何图形为工具的——即“几何”两字的意义.

初中数学概念课堂教学设计

专题讲座 初中数学概念课堂教学设计 俞京宁（北京教育学院丰台分院） 学生在数学学习中有一个现象：当解决数学某一问题遇到困难时，如果追根求源，就会发现，往往是由于他们在某一个或某一些概念处产生问题，而导致思维受阻。许多事实例证了正确地理解数学概念是牢固掌握数学知识，灵活运用数学知识解决问题的金钥匙。基于此，我们就要对数学概念的本质进行分析，并且希望找到合理的概念教学的模式，以使教师的教课与学生的数学学习轻松而有成效。 一、什么是数学概念？ 概念是反映客观事物本质属性的思维形式。数学概念，就是事物在数量关系和空间形式方面的本质属性，是人们通过实践，从数学所研究的对象的许多属性中，抽出其本质属性概括而形成的。它是进行数学推理、判断的依据，是建立数学定理、法则、公式的基础，也是形成数学思想方法的出发点。 可见，数学概念是学生必须掌握的重要基础知识之一，是数学基本技能的形成与提高的必要条件，也是数学教学的重点内容。为什么学生对数学概念的理解总是停留在表层，往往知其然，并不知其所以然？教学中如何进行有效地概念教学，以使学生真正的理解概念？这是每名教师都在思考的问题。 二、目前概念教学的现状 数学概念具有抽象性、发展性、生成性等特点，它的特点以及初中学生认知的思维水平的限制性，决定了他们在学习过程中，会对一些抽象的、不常接触的概念不容易理解，需要教师进行合理的教学设计，使学生能够参与到概念的发生与形成过程中，了解概念的来龙去脉，理解概念的内涵与外延，弄清概念之间的区别与联系，在头脑中形成相关概念的网络，以达到掌握并灵活运用的程度。对于概念教学这个问题，在新课程实施以来，广大教师都有了一定的认识，加强了对概念教学的重视程度。但由于各种各样的原因，事实上，大部分教师只是停留在思想的层面上，而行动上仍然是传统的教学模式。 案例 1 ：前不久听一位教师关于“平方根”的概念教学课，上课开始，教师呈现一组面积不同的正方形，要求学生求边长x 。

最新初中数学几何所有性质和定理

初中数学几何所有性质和定理 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

学生几何直观地培养

学生几何直观的培养 绍兴县安昌镇中学倪君霞 《数学课程标准2011版》提出的十个核心概念，“几何直观”就是其中之一，从名称上就能看出它和图形与几何的学习关系比较密切。 课程标准指出：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。 直观是随着人类理性的进步而进步的。换言之,几何直观的建立和发展是一个历史过程。它并不是一个从古到今就一直存在着的永恒的人类用来认识数学现象的中性框架，几何直观是一种进化的产物，可以进行更高层次的创造性活动。因此一个人在不同年龄阶段所表现出的数学直观能力可以看作是整个人类在这方面历史发展过程的缩影。 而几何直观的教学，并不是新课程标准修改后才出现的新名词，早在建国初期首次制定的中小学数学教学大纲中已提出，中小学数学教学在能力培养方面的要求是“通过数学教学，发展学生的逻辑思维和空间想像力”，之后经历多次的教学大纲修订，对几何直观教学进行不同的诠释，由“丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维”，再到课程标准2011版的直接将“几何直观”作为十个核心概念之一。 几何直观不管是在代数当中，还是在统计概率当中，都要用到。面对一个比较复杂的、比较抽象的对象，如果我们能用直观的办法，用图形的办法，把它描述刻画出来，会使这个对象更容易理解，这是一种思维——创造性思维，是一种很重要的科学研究方式。一个学生如果能用直观的方式来进行描述、来进行刻画，那么说明他对这个对象本身的理解相当深刻。所以说培养学生的几何直观能力就是引导学生能否灵活地应用几何知识，特别是利用图形直观地进行分析，判断，而不是用测量或计算来解决问题。在平常的教学中借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。那在数学课堂教学中如何培养学生几何直观的意识与能力？怎样运用几何直观，来提高学生的学习能力？这是我们作为一线教师应该深思的问题。下面我结合自已的教学实践，来谈谈我在教学中如何培养学生的几何直观的意识和能力，并能让学生自觉地运用几何直观 一、代数中的几何直观 几何直观能启迪思路，帮助理解，因此，借助几何直观学习和理解教学．是数

初中数学几何知识点总结北师大版(供参考)

初中数学（几何）知识点总结 考点六、投影与视图 1、投影 投影的定义：用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到的影子，叫做物体的投影。 平行投影：由平行光线（如太阳光线）形成的投影称为平行投影。 中心投影：由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。 2、视图 当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫做物体的一个视图。物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。 主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图。 俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图。 左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图。 第九章三角形 考点一、三角形 1三角形的概念：由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 2、三角形中的主要线段 （1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 （2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 （3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。 3、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。 4、三角形的特性与表示 三角形有下面三个特性： （1）三角形有三条线段 （2）三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形 （3）首尾顺次相接 三角形用符号“?”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“?ABC”，读作“三角形ABC”。 5、三角形的分类 三角形按边的关系分类如下： 不等边三角形 三角形底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 三角形按角的关系分类如下： 直角三角形（有一个角为直角的三角形） 三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形） 斜三角形 钝角三角形（有一个角为钝角的三角形） 把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。 6、三角形的三边关系定理及推论 （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。推论：三角形的两边之差小于第三边。 （2）三角形三边关系定理及推论的作用： ①判断三条已知线段能否组成三角形。②当已知两边时，可确定第三边的范围。③证明线段不等关系。 7、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

平面解析几何基础练习

1. 以点A （-5,4）为圆心，且与x 轴的相切的圆标准方程是（ ） A.16)4()5(22=-++y x B.16)4()5(22=++-y x C. 25)4()5(22=-+-y x D. 25)4()5(22=+--y x 2.与椭圆 133 492 2 =+ y x 有公共焦点且离心率为3 4= e 的双曲线的标准方程为（ ） A. 1972 2 =- y x B. 19252 2 =- y x C. 179 2 2 =- y x D. 125 9 2 2 =- y x 3.当方程 15 8 2 2 =-+ -k y k x 表示焦点在y 轴上的双曲线时，k 的值是（ ） A.k<5 B.58 4.椭圆的长轴是短轴的2倍，则椭圆的离心率是（ ） A. 2 1 B. 3 1 C. 2 2 D. 2 3 5.如果直线y=x+b 与抛物线x y 42=的焦点的距离为2，那么b 等于（ ） A.22 B. -22 C. ±22-1 D. ±22 6.当e>1时，圆锥曲线表示的曲线是 7.已知圆C 和直线x-y=0相切，圆心坐标为（1,3），则圆C 的方程是 8.椭圆 1100 36 2 2 =+ y x 的交点坐标是 ，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和是 9.在抛物线x y 122 =上和焦点的距离等于9的点的坐标是 10.抛物线2 x y =与直线y=2x-4的最短距离是 11.已知双曲线 19 16 2 2=- y x ，则它的离心率是 1. 在第四象限内到原点的距离为2的点的轨迹方程是（ ） A.42 2 =+y x B 42 2 =+y x （x>0） C.2 4x y --= D. 2 4x y --=（0

初中数学概念的变式教学研究阶段报告

课题名称：初中数学概念的变式教学研究阶段报告 研究容：初三阶段数学概念的变式教学研究 关键词：数学概念变式教学 一、问题提出： （一）问题提出的背景： 十年来，我一直担任初中数学的教学工作，也做了很多全国各地中考题和辅导书上的练习题，慢慢发现很多题实际上考查的知识点都是同一个容，只是题目的立意，创设的情景不同而已。在平时的教学中，我们认为学生已经很熟知的知识，但只要对问题的背景或情景做一些改变，学生就做不出来了。现在社会需要的是创新人才，需要有独立解决问题能力的人才，为了培养学生思维习惯，提高学生的应变能力，我在实际的教学中进行了“关于初中数学概念的变式教学研究”的课题研究。 针对以上背景，也为了进一步提高我校数学教师的整体教学水平，为进一步适应时代的要求，着眼学生的终身学习，着眼学生的发展，让学生积极主动地参与学习活动，在主动参与的过程中掌握学习的方法与技能，进一步提高学生数学的综合素养，我们组全体成员以饱满的热情、高度的责任感和使命感，围绕这一研究课题展开工作。 （二）研究的目的、意义 1、研究的目的： （1）学生能够更好的理解数学中的重要概念以及相关概念的联系和区别，熟悉概念在解题中的运用。 （2）提高我校初三学生的自主探究能力，优化学生的思维能力，提高课堂教学质量。同时，提高教师的专业水平。 2、研究的意义： 数学概念的学习是学生学习数学知识的起点，变式教学是提高学生解题能力的一种重要途径，而数学概念的变式教学能够更好的帮助学生理解所学的知识，以及利用概念来解决相关的问题，使教学过程成为一种有利于学生积极探究的过程，提高学生的学习效能。 传统的数学教学模式早已不适合现代的教学节奏，一些有识之士已经对于数学变式教学进行过研究。如：形式变式、容变式和方法变式等。结合我校实际，我的研究课题，力求在数学概念的变式教学研究中，找到符合知识体系，符合学生发展认知规律的课堂教学模式。 （三）、概念界定： 1、变式教学是指在教学过程过变更概念非本质的特征、改变问题的条件或

几何直观学习心得

几何直观学习心得

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几何直观教学学习心得体会 开元小学韩金玲 ９月３0日，我们在黄山实验小学，在主持人牛向华老师的带领下，参加了《几何直观能力培养》这一教学研讨会。会议开始之前，李鹏主任给我们布置了一个作业,让我们写一写你认为几何直观是指哪些方面?你在教学中是如何培养学生的直观能力的?刚开始我的概念模糊,错以为是指几何图形的直观培养,诸如：长方形，正方形,三角形等平面图形和长方体正方体等立体图形,直观体验和空间能力的培养，所以回答的偏离了本次交流的主题。经过不断的听课研究，听取了实验二小三年级杨清秀老师的《简单的搭配问题》，开元小学梁杰老师的《植树问题》,实验一小刘元跃老师的《简单的排列》,王莹老师的《稍复杂的分数乘法应用题》,并听取了夏冬梅，赵红叶，韩梅老师的专题发言一下子就豁然开朗了,哦，原来如此。原来,我们已经尝试过不少的运用几何直观来解决复杂问题的实践,只是理解的一个概念错误而已，看来还是研究课标不够啊!以后要改变这种只是抄课标的学习方法，要在研究课标方面多下功夫,多写一些关于课标的自己的实践方面的问题或思考。我迅速联系自己的教学实践一下子想到了一年级学过的比大小、移多补少问题,二年级的倍数问题,除法问题，不少低年级的难以理解的问题不都是通过图形直观的展示出来，再让孩子们充分理解的吗？几何直观确实帮助孩子们从根本上理解了问题的内涵,明白了算理。还有倍数问题,相遇问题，等等这不都是利用几何直观解决比较难的问题吗？经过观课,听取主题发言,我的思路渐

浅谈初中数学几何证明的三种思维

浅谈初中数学几何证明的三种思维 摘要：几何证明题是初中数学非常重要的一项内容，学好几何证明题对提高数学成绩有重要作用。做好几何证明题，需要掌握多种解题的思维方法，只有灵活运用这些思维方式才能快速正确解题。主要对正向思维、逆向思维、正逆结合三种思维方式在几何证明题中的应用进行探讨。 关键词：初中数学；几何证明；思维方式 几何证明题在初中数学学习中占有重要位置，是初中数学学习的一项重要内容，几何题的证明一直是困扰学生的一个难题。要学好几何证明题，需要开阔学生的思维方式，灵活运用多种思维方式和解题方法，就能学好几何证明题。笔者结合教学初中实践对几何证明题的三种常用思维方式进 行探讨。 一、运用正向思维进行证明 运用正向思维方式进行几何题的证明是最常用的一种 方法，特别是对于一般的题目，运用正向思维就能容易解决，只有根据题目给出的已知条件，向要得到的结果方向逐步证明推理就能把题目证明好。 例1.证明：等腰△ABC两底的角平分线BD=CE。 解题分析：本题用正向思维方式进行证明，只要已知条

件，寻找三个条件来证明△BDC与△CEB全等，就能证明两条角平分线相等。 证明过程：根据图1和题目已知条件可得出AC=AB 根据等边对等角可知：∠ACB=∠ABC，∵CE与BD是角平分线，根据其定义可得出：∠BEC=∠ECA+∠A，∠CDB=∠DBA+∠A，根据角平分线的性质可得∠ECB=∠DBC∴可得出∠BEC=∠CDB，在△BCD和△CBE中，根据三个条件：BC=BC，∠BEC=∠CDB，∠ECB=∠DBC，根据角边角定理可得出：△BEC≌△CDB，∴可得出CE=BD，此题得证。 二、运用逆向思维进行证明 证明几何题还可用逆向思维方式进行证明，通过运用多种方式和方法进行几何题的证明，能培养学生的思维发散能力和创新能力。 例2.学习勾股定理时曾有这样一道几何证明题，现用逆向思维方式证明。证明：+=（a、b为两条直角边，h为斜边c上的高） 解题分析：在本题的证明中，运用逆向思维方式，从结论开始着手进行推理证明，能减少一些没有必要的运算过程，使证明过程更方便简单易行。 证明过程：将要证明的等式左边分工进行合并：+==因为在直角三角形ABC中，有a2+b2=c2∴上式可变为=，两边交叉相乘得：a2?b2=c2?h2，式子变形（ab）2=（ch）2，∵a，

平面解析几何初步一轮复习-(有答案)

第四章 平面解析几何初步 第1课时 直线的方程 1．倾斜角:对于一条与x 轴相交的直线,把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角α叫做直线的倾斜角．当直线和x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°．倾斜角的范围为________． 斜率:当直线的倾斜角α≠90°时，该直线的斜率即k ＝tanα；当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在． 2．过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式 ．若x 1＝x 2，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°． 3．名称 方程 适用范围 斜截式 点斜式 两点式 截距式 一般式 例1. 已知直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m)y ＝4m －1．① 当m ＝ 时，直线的倾斜角为45°．②当m ＝ 时，直线在x 轴上的截距为1．③ 当m ＝ 时，直线在y 轴上的截距为－2 3．④ 当m ＝ 时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝ 时，直线过原点． 解：(1) －1 ⑵ 2或－2 1 ⑶ 31或－2 ⑷－23 ⑸ 4 1 变式训练1.（1）直线3y ＋ 3 x ＋2=0的倾斜角是 （ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° （2）设直线的斜率k=2，P 1（3，5），P 2（x 2，7），P （－1，y 3)是直线上的三点，则x 2，y 3依次是 （ ） A ．－3，4 B ．2，－3 C ．4，－3 D ．4，3 （3）直线l 1与l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7 ，则l 2的斜率是 （ ） A ．7 B ．－ 77 C ．77 D ．－7 （4）直线l 经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是 ． 解：（1）D ．提示：直线的斜率即倾斜角的正切值是－3 ． （2）C ．提示：用斜率计算公式 12 12 y y x x --． （3）A ．提示：两直线的斜率互为相反数． （4）2y ＋3x ＋1=0．提示：用直线方程的两点式或点斜式 典型例题 基础过关

1、郑艳霞例谈初中数学概念教学

例谈初中数学概念教学 济源市济水一中郑艳霞 摘要：数学概念是数学教学的重点内容，也是学生必须掌握的重要基础知识之一，是数学基本技能形成与提高的必要条件。在概念教学中，教师要讲究教学方法，新课改理念下的数学概念教学较注重概念的形成过程，多启发学生，多培养学生的主动性与创造性；要帮助学生理解概念的本质，弄清概念之间的区别与联系。 关键词：数学概念；数学概念教学；数学思维 概念是客观事物本质属性在人的头脑中的反映。数学概念是反映现实世界的空间形式和数量关系的本质属性的思维形式。中国科学院数学与系统科学研究院研究员李邦河院士认为数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也！概念是最基本的思维形式，数学中的命题，都是由概念构成的，因此，数学概念的教学，是整个数学教学的一个重要环节，正确理解数学概念，是掌握数学知识的前提。学生必须深刻理解概念的内涵，准确掌握概念的外延，才能从根本上提高分析问题和解决问题的能力。因此，数学教学应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解，从而发展学生的数学思维。 任何数学概念都有它产生的背景，要让学生理解概念，首先要了解它产生的背景，通过大量实例分析概念的本质属性，让学生概括概念，完善概念，进一步巩固和应用概念，才能使学生初步掌握概念。因此，概念教学的环节应包括概念的引入--概念的形成--概括概念--明确概念--应用概念--形成认知。 一、概念的引入 学习一个新概念，首先应让学生明确学习它的意义和作用。因此，教师应设置合理的教学情景，使学生体会学习新概念的必要性。概念的引入，通常有两类：一类是从数学概念体系的发展过程引入；一类是从解决实际问题出发的引入。 从数学体系发展过程角度看，一些概念是从数学知识发展需要引入的。如乘法的引入，就是当多个相同因数相加时，为了简化运算，引入乘法；当多个相同因数相乘时，为了简化 85

全新 中考数学几何知识点全总结

初中几何公式：线 1、同角或等角的余角相等 2、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 3、过两点有且只有一条直线 4、两点之间线段最短 5、同角或等角的补角相等 6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 初中几何公式：角 9、同位角相等，两直线平行 10、内错角相等，两直线平行 11、同旁内角互补，两直线平行 12、两直线平行，同位角相等 13、两直线平行，内错角相等 14、两直线平行，同旁内角互补 初中几何公式：三角形 15、定理三角形两边的和大于第三边 16、推论三角形两边的差小于第三边 17、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18、推论1 直角三角形的两个锐角互余 19、推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20、推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21、全等三角形的对应边、对应角相等 22、边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23、角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24、推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25、边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等 26、斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27、定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28、定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 初中几何公式：等腰三角形 30、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 31、推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合 33、推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 35、推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36、推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39、定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40、逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42、定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43、定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44、定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45、逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46、勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a+b=c 47、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a+b=c，那么这个三角形是直角三角形 初中几何公式：四边形 48、定理四边形的内角和等于360° 49、四边形的外角和等于360° 50、多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)×180° 51、推论任意多边的外角和等于360° 52、平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等 53、平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等

什么是几何直观

什么是几何直观？ 数学教育宫小萍 2114163092 几何直观是依托、利用图形进行数学的思考和想象，它在本质上是一种通过图形所展开的想象能力。几何直观与逻辑、推理是不可分的，几何直观往往靠逻辑支撑，几何直观是个过程，是在把现在看到的与过去学到的结合起来，通过思考、想象，猜想出一些可能的结论和论证思路，这就是合情推理。 几何学习大致有四个步骤：直观感知——操作确认——思辨论证——度量计算。缺乏直观，实际上就是扼杀了几何。几何课程的教育价值，最主要的是两个方面，一是逻辑推理能力，二是几何直观能力。 几何直观与逻辑推理在几何学习中的作用是相辅相成的，几何直观可以从图中感知性质，从图中析出关系。在通过看到的图形思考结论时，如果让看到的图形在头脑中动起来，将看似没有关系的几何元素在有规律地移动后，建立起关系，这就是几何变换的直观视角。运动图形是动态直观，按照规律运动是逻辑支撑。 首先，怎样正确把握几何直观中的“直观”。让学生看清楚一个图形，观察到一个实物模型，是否就可以称之为几何直观了？比如我现在在教学五年级的长方体和正方体，肯定会有长方体和正方体的模型展现在学生面前，让学生观察这些个模型算不算几何直观教学呢？我们再回过头来看一看几何直观的定义：利用图形描述和分析问题。我的理解，如果教学仅仅停留在这个层面，不能称之为几何直观的教学。因为学生虽然看着这个实物，头脑中却没有形成空间的点、线、面之间的联系。那么此时的几何图形对学生而言是没有直观意义的。换言之，直观可以表现于感官的直接感知，但直接感知到的未必就有“直观”的含义，这取决于学生的认知水平和既有的经验积累。所以，直观地观察，直观的呈现，仅仅是前提和手段。而紧接着的思考和分析，或者说教学中的渗透，才是几何直观教学的核心所在和目的。 其次，几何直觉是否等同于几何直观。为什么要提到几何直觉，我先给大家分享一个最近发生的案例。在长方体和正方体这一单元的复习课上，我出示了这么一道题：一个长方体框架的长是10cm,宽是8cm,高是6cm，把它折成一个正方体框架，体积变化了吗？我的本意是想让学生通过求出两个图形各自的体积然后进行比较。但是，班上一个挺爱动脑的男同学叫徐涵，他很犹豫地说了一下，其实不求体积也是可以的，应该是正方体的体积大。我问他为什么，他说，沈老师你以前教过我们的，在周长相等的长方形和正方形中，应该是正方形的面积大，那我想，棱长总和相等，道理也一样的吧，应该会是正方体的体积大吧。我问他确定吗？有什么依据，他说不上来。只能反问我，是不是啊沈老师？老师们，徐涵的这种想法，确切地说，我觉得应该是一种推理能力，是一种合情推理。但是我也可以把他理解为一种直觉，因为他对自己的推理也没有定论，不够自信，而是凭感觉说出了自己的猜想。恰巧又在空间与几何的知识范畴之内，所以我把徐涵的这种猜想定为几何直觉似乎也无不可。那么像这样的几何直觉是否就是几何直观呢？我认为还是有差异的，几何直觉是一种感性认识，有很大程度上的猜测成分和朦胧的整体把握。而王晓东老师的报告中提到过，几何直观是一种能力和策略，这种能力建立在长期有效的观察和思考的基础之上，既有相对丰富的经验积累，也有经验基础之上的理性概括和升华，几何直观的“整体把握”往往带有明显的逻辑成分。不可否认，几何直觉也是一种数学素养，但是，如何把学生的几何直觉转换为几何直观能力，这还还需要我继续学习。也是我在学习的过程中留下的疑问之一。 二、几何直观在教学上的应用