高三数学二轮复习专题五第1讲直线与圆教案
专题五 解析几何第1讲 直线与圆
自主学习导引
真题感悟
1．(2012·浙江)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 解析 先求出两条直线平行的充要条件，再判断．
若直线l 1与l 2平行，则a (a ＋1)－2×1＝0，即a ＝－2或a ＝1，所以a ＝1是直线l 1与直线l 2平行的充分不必要条件． 答案 A
2．(2012·福建)直线x ＋3y －2＝0与圆x 2
＋y 2
＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长度等于
A ．2 5
B ．2 3
C. 3
D ．1
解析 利用平面几何中圆心距、半径、半弦长的关系求解．∵圆心到直线x ＋3y －2＝0的距离d ＝|0＋3×0－2|
12＋3
2
＝1，半径r ＝2， ∴弦长|AB |＝2r 2
－d 2
＝222
－12
＝2 3. 答案 B
考题分析
圆在高考命题中多以直线与圆的位置关系为主，考查直线与圆位置关系的判定、弦长的求法等，题目多以小题为主，难度中等，掌握解此类题目的通性通法是重点．
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考点一：直线方程及位置关系问题
【例1】(2012·江西八所重点高中联考)“a＝0”是“直线l1：(a＋1)x＋a2y－3＝0与直线l2：2x＋ay－2a－1＝0平行”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[审题导引] 求出l1∥l2的充要条件，利用定义判定．
[规范解答] 当a＝0时，l1：x－3＝0，l2：2x－1＝0，此时l1∥l2，
所以“a＝0”是“直线l1与l2平行”的充分条件；
当l1∥l2时，a(a＋1)－2a2＝0，解得a＝0或a＝1.
当a＝1时，l1：2x＋y－3＝0，l2：2x＋y－3＝0，此时l1与l2重合，
所以a＝1不满足题意，即a＝0.
所以“a＝0”是“直线l1∥l2”的充要条件．
[答案] C
【规律总结】
直线与直线位置关系的判断方法
(1)平行：当两条直线l1和l2的斜率存在时，l1∥l2?k1＝k2；如果直线l1和l2的斜率都不存在，那么它们都与x轴垂直，则l1∥l2.
(2)垂直：垂直是两直线相交的特殊情形，当两条直线l1和l2的斜率存在时，l1⊥l2?k1·k2
＝－1；若两条直线l 1，l 2中的一条斜率不存在，另一条斜率为0时，则它们垂直． (3)相交：两直线相交的交点坐标可由方程组的解求得．
[易错提示] 判断两条直线的位置关系时要注意的两个易错点：一是忽视直线的斜率不存在的情况，二是忽视两直线重合的情况．解答这类试题时要根据直线方程中的系数分情况进行讨论，求出结果后再反代到直线方程中进行检验，这样能有效地避免错误． 【变式训练】
1．(2012·泰安一模)过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为 A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0 D ．x －2y ＋5＝0
解析 由题意可设所求直线方程为：x －2y ＋m ＝0，将A (2,3)代入上式得2－2×3＋m ＝0，即m ＝4，所以所求直线方程为x －2y ＋4＝0. 答案 A
2．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (0，－1)，B (－3，－4)两点，若点C 在∠AOB 的平分线上，且|OC →
|＝10，则点C 的坐标是________．
解析 设C (a ，b )(a ＜0，b ＜0)．
OB 所在直线方程为4x －3y ＝0，
则????
?
|4a －3b |5＝|a |，a 2＋b 2＝10，解得???
?
?
a ＝－1，
b ＝－3.
∴C (－1，－3)． 答案 (－1，－3) 考点二：圆的方程
【例2】(2012·镇江模拟)以双曲线x 29－y 2
16＝1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆
的方程是________．
[审题导引] 求出双曲线的右焦点与渐近线方程，利用圆心到渐近线的距离等于半径求得半径，可得方程．
[规范解答] 双曲线的右焦点为(5,0)，
即为圆心，双曲线的渐近线方程为y ＝±4
3x ，
即4x ±3y ＝0，∴r ＝
|4×5±3×0|42
＋±3
2
＝4，
∴所求圆的方程为(x －5)2
＋y 2
＝16. [答案] (x －5)2＋y 2＝16 【规律总结】
圆的方程的求法
(1)几何法，即通过研究圆的性质进而求出圆的基本量；如圆中弦所在的直线与圆心和弦中点的连线相互垂直；设圆的半径为r ，弦长为|AB |，弦心距为d ，则r 2
＝d 2
＋?
??
??|AB |22等．
(2)代数法：即设出圆的方程，用待定系数法求解．在求圆的方程时，要根据具体的条件选用合适的方法，但一般情况下，应用几何法运算简捷． 【变式训练】
3．(2012·徐州模拟)若圆心在x 轴上、半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________．
解析 设圆心为(a,0)(a ＜0)，则r ＝|a ＋2×0|
12＋12
＝2， 解得a ＝－2， 即(x ＋2)2
＋y 2
＝2. 答案 (x ＋2)2＋y 2＝2 考点三：直线与圆的位置关系
【例3】(2012·临沂一模)直线l 过点(4,0)且与圆(x －1)2＋(y －2)2＝25交于A 、B 两点，如果|AB |＝8，那么直线l 的方程为________．
[审题导引] 讨论直线的斜率是否存在，利用弦长为8求出斜率，可得所求直线的方程．
[规范解答] 圆心坐标为M (1,2)，半径r ＝5，因为|AB |＝8，所以圆心到直线l 的距离d ＝r 2－42＝52－42
＝3.当直线斜率不存在时，即直线方程为x ＝4，圆心到直线的距离为3满足条件，所以x ＝4成立．若直线斜率存在，不妨设为k ，则直线方程y ＝k (x －4)，即kx
－y －4k ＝0，圆心到直线的距离为d ＝|k －2－4k |1＋k 2＝|2＋3k |1＋k 2
＝3，解得k ＝5
12，所以直线方程为y ＝5
12
(x －4)，即5x －12y －20＝0.综上满足条件的直线方程为5x －12y －20＝0或x ＝4.
答案 5x －12y －20＝0或x ＝4 【规律总结】
求圆的弦长的方法
(1)直接求出直线与圆的交点坐标，利用两点间的距离公式求得；
(2)不求交点坐标，利用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k ，直线与圆联立消去y 后得到的方程的两根为x 1、x 2，则弦长d ＝1＋k 2
|x 1－x 2|；
(3)利用半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求．
【变式训练】
4．(2012·肇庆二模)从点P (m,3)向圆C ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2
＝1引切线，则切线长的最小值为
A ．2 6 B.26 C ．4＋ 2 D ．5
解析 利用切线长与圆半径的关系加以求解．设切点为M ，则CM ⊥MP ， 于是切线MP 的长|MP |＝|CP |2
－|MC |2
＝
m ＋2
2
＋3＋2
2
－1，
显然，当m ＝－2时，|MP |有最小值24＝2 6.
答案 A
名师押题高考
【押题1】若过点A (－2，m )，B (m,4)的直线与直线2x ＋y ＋2＝0平行，则m 的值为________．
解析 当m ＝－2时，
直线AB 与2x ＋y ＋2＝0不平行； 当m ≠－2时，据题意知， k AB ＝4－m m ＋2
＝－2，得m ＝－8.
答案 －8
[押题依据] 本题考查直线的斜率的概念以及直线的位置关系，这类问题在高考中属基础题，常以选择题或填空题的形式出现．考查形式有直接判定位置关系，根据位置关系求参数值等．解答此类题目值得注意的是含参数时，一般要根据直线的斜率是否存在对参数进行讨论，以避免漏解．
【押题2】直线y ＝kx ＋3与圆(x －1)2
＋(y ＋2)2
＝4相交于M 、N 两点，若|MN |≥23，则
k 的取值范围是
A.? ????－∞，－125
B.? ????－∞，－125
C.? ????－∞，125
D.?
????－∞，125
解析 圆心(1，－2)到直线y ＝kx ＋3的距离为
d ＝|k ＋5|1＋k
2
，圆的半径r ＝2，
∴|MN |＝2r 2
－d 2
＝2 4－k ＋52
1＋k
2
≥23， 解得k ≤－12
5
.
答案 B
[押题依据] 高考在考查直线被圆截得的弦长问题时，有两种题型：一是直接求弦长；二是讨论参数的取值范围．本题属第二种题型，难度中等，表达形式新颖有一定的区分度，故押此题．