《高等数学.同济五版》讲稿WORD版-第03章-中值定理与导数的应用
第三章 中值定理与导数的应用
教学目的：
1、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理,了解柯西中值定理和泰勒中值定理。
2、 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数
最大值和最小值的求法及其简单应用。
3、 会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐
近线，会描绘函数的图形。
4、 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
5、 知道曲率和曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径。
6、 知道方程近似解的二分法及切线性。 教学重点：
1、罗尔定理、拉格朗日中值定理；
2、函数的极值 ，判断函数的单调性和求函数极值的方法;
3、函数图形的凹凸性;
4、洛必达法则。 教学难点:
1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用；
2、极值的判断方法;
3、图形的凹凸性及函数的图形描绘；
4、洛必达法则的灵活运用。 §3. 1 中值定理
一、罗尔定理
费马引理
设函数f (x )在点ｘ0的某邻域U (x ０)内有定义, 并且在x ０处可导, 如果对任意x ∈U (x 0), 有 f （x ）≤f (ｘ0) (或f （x )≥f (ｘ0）), 那么f '（x ０)=0.
罗尔定理 如果函数ｙ=f (x )在闭区间[a ， b ]上连续, 在开区间(a , ｂ)内可导, 且有ｆ(a )=f (b ), 那么在(a , b ）内至少在一点ξ , 使得f '(ξ)=0.
简要证明: (1）如果f (x ）是常函数, 则f '（ｘ）≡0, 定理的结论显然成立. (2)如果f (x )不是常函数, 则f (x )在(ａ, ｂ）内至少有一个最大值点或最小值点, 不妨设有一最大值点ξ∈(ａ, b ). 于是
0)
()(lim )()(≥--='='-
→-
ξξξξξx f x f f f x ,
0)
()(lim )()(≤--='='+
→+
ξ
ξξξξx f x f f f x ,
所以f '（x )＝０.
罗尔定理的几何意义:
二、拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理 如果函数f (x )在闭区间[ａ, b ]上连续, 在开区间（a , b )内可导, 那么在(a , b )内至少有一点ξ(a ＜ξ
ｆ（ｂ）-f (ａ)=f '(ξ)(b -a )
成立.
拉格朗日中值定理的几何意义:
f '(ξ)=
a
b a f b f --)
()(,
定理的证明: 引进辅函数 令 ?(x )=f (x )-f (a )-
a
b a f b f --)
()((ｘ-ａ).
容易验证函数ｆ（ｘ)适合罗尔定理的条件: ?（a )=?(b )=0, ?（x ）在闭区间[a , b ] 上连续在开区间(a , b )内可导, 且
? '(x ）=f '(x )-
a
b a f b f --)
()(.
根据罗尔定理, 可知在开区间(ａ, b )内至少有一点ξ, 使? '（ξ)=0, 即
ｆ '（ξ)-
a
b a f b f --)
()(=０.
由此得
a
b a f b f --)
()(= f '（ξ） ,
即 f (b )-f （a )=f '(ξ)(ｂ-a ). 定理证毕.
f (ｂ)-ｆ(a )=f '(ξ)(b -a ）叫做拉格朗日中值公式. 这个公式对于b ＜a 也成立. 拉格朗日中值公式的其它形式:
设ｘ 为区间[a , b ］内一点, ｘ+?ｘ 为这区间内的另一点(?x ＞０或?ｘ<0), 则在［x , x +?x ] (?x >0)或[x +?ｘ, x ] (?x <0）应用拉格朗日中值公式, 得
f (ｘ+?ｘ）-f (x )=f '(x +θ?x ) ??x （0<θ<１）.
如果记ｆ(x )为y , 则上式又可写为
?ｙ=f '(x +θ?x ) ??ｘ (0<θ<1）.
试与微分d y =f '（ｘ） ??ｘ 比较: ｄ y =f '(x ) ??x 是函数增量?y 的近似表达式, 而 f '(x +θ?x ) ??x 是函数增量?y 的精确表达式.
作为拉格朗日中值定理的应用, 我们证明如下定理:
定理 如果函数f （x )在区间I 上的导数恒为零, 那么f (x )在区间I 上是一个常数. 证 在区间I 上任取两点x 1, x 2(x 1 f （ｘ２)-f (x 1)=f '(ξ)(x 2 - x １) (x １＜ξ< x 2). 由假定, ｆ '(ξ)=0, 所以f (ｘ２)-f (x １)=０, 即 f (x ２）=f （ｘ１）. 因为x 1, x ２是I 上任意两点, 所以上面的等式表明: ｆ(x )在I 上的函数值总是相等的, 这就是说, f (ｘ)在区间Ｉ上是一个常数. 例2. 证明当x >0时, x x x x <+<+)1ln(1. 证 设ｆ(ｘ）=ln(1+x ), 显然ｆ(x )在区间［0, ｘ]上满足拉格朗日中值定理的条件, 根据定理, 就有 f (x )-ｆ(0)=f '（ξ）（x -0), ０<ξ x f +='11)(, 因此上式即为 ξ+=+1)1ln(x x . 又由0<ξ x x x x <+<+)1ln(1. 三、柯西中值定理 设曲线弧C 由参数方程 ? ??==)() (x f Y x F X (ａ≤ｘ≤ｂ) 表示, 其中x 为参数. 如果曲线C 上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线, 那么在曲线Ｃ上必有一点x =ξ , 使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦ＡB , 曲线C 上点ｘ=ξ 处的切线的斜率为 )() (ξξF f dX dY ''=, 弦AB 的斜率为 ) ()() ()(a F b F a f b f --. 于是 )() ()()()()(ξξF f a F b F a f b f ''= --. 柯西中值定理 如果函数ｆ(x )及F (x )在闭区间［ａ, b ］上连续, 在开区间（a , b ）内可导, 且F '(x )在(ａ, ｂ)内的每一点处均不为零, 那么在(a , b )内至少有一点ξ , 使等式 )() ()()()()(ξξF f a F b F a f b f ''= --. 成立. 显然, 如果取F (x )=ｘ, 那么F (b ）-F (a )=b -a , F '(ｘ)=1, 因而柯西中值公式就可以写成: f (b )-f (a ）=f '(ξ)(b -a ) (ａ<ξ 这样就变成了拉格朗日中值公式了. §3. 3泰勒公式 对于一些较复杂的函数,为了便于研究,往往希望用一些简单的函数来近似表达.由于用多项式表示的函数,只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算,便能求出它的函数值,因此我们经常用多项式来近似表达函数. 在微分的应用中已经知道,当|x｜很小时,有如下的近似等式: e x≈1+x, ln（１+ｘ) ≈x. 这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子.但是这种近似表达式还存在着不足之处:首先是精确度不高,这所产生的误差仅是关于x的高阶无穷小;其次是用它来作近似计算时,不能具体估算出误差大小.因此,对于精确度要求较高且需要估计误差时候,就必须用高次多项式来近似表达函数,同时给出误差公式. 设函数f(x)在含有x0的开区间内具有直到（ｎ+1)阶导数,现在我们希望做的是:找出一个关于(x-x０）的n次多项式 p n(x)=ａ0+ａ１(ｘ-x0)+a２（x-x０) 2+???+ aｎ(x-x0）n 来近似表达f(ｘ),要求p n(x）与f(x)之差是比（x-x０）n高阶的无穷小,并给出误差| f（ｘ)-p n（x）|的具体表达式. 我们自然希望p n(x)与f（x)在x0的各阶导数(直到(n+１)阶导数)相等,这样就有pｎ(x)=a０+ａ1(x-x0)+ a２（ｘ-x0) 2+???+ａｎ(ｘ-ｘ0)n, p n'(x）=ａ１+2 a 2(ｘ-ｘ０)+???+na n(ｘ-x0)ｎ-１, p n''（x）=２a 2 +３?2a 3(ｘ-x０)+???+ｎ(ｎ-１)a n(x-x0)n-2, p n'''(x)=３!a 3+4?3?2a４(x-x0)+???+ｎ(n-1）(n-２)a n（x-x0)n-3, ??????, p n (n)（x)=n! a n. 于是 ｐn(ｘ0)=a０,p n'(x0)=ａ1,pｎ''（x０)=２!a２,pｎ'''(ｘ)=３!a 3 ,???,pｎ(n)(x)=n! a n. 按要求有 f(x０)=p n（x０) =a0,ｆ'(x0）= p n'（x0）= a 1,f''（ｘ0)= p n''(x0)=２! a２,ｆ'''（x0)=pｎ'''（x0)=３!a 3, ?????? f(n）(x０)= pｎ(ｎ)(ｘ0)=ｎ！a n. 从而有 a 0=ｆ(x 0 ）, a 1=f '(ｘ0 ), )(!2102x f a ''=, ? ? ? , )(!3103x f a '''=, )(! 10)(x f n a n n =. )(! 10)(x f k a k k =(k =0, 1, ２, ? ? ?, n ）. 于是就有 p n （x ）= ｆ(x ０)+ ｆ '（ｘ0) （x -x 0）)(! 210x f ''+(ｘ-x 0) ２ +? ? ? )(! 10)(x f n n +(x -x 0) n . 泰勒中值定理 如果函数f (x )在含有x 0的某个开区间(ａ, b )内具有直到（n +１)的阶导数, 则当x 在（a , b ）内时, f (ｘ）可以表示为(x -x 0 )的一个n 次多项式与一个余项R ｎ(x )之和: )())((! 1 ))((!21))(()()(00)(200000x R x x x f n x x x f x x x f x f x f n n n +-+???+-''+-'+= 其中10)1()()! 1() ()(++-+=n n n x x n f x R ξ(ξ 介于x ０与x 之间）. 这里 多项式 n n n x x x f n x x x f x x x f x f x p ))((! 1 ))((!21))(()()(0 0)(200000-+???+-''+ -'+=. 称为函数ｆ(x )按（x -ｘ０ )的幂展开的n 次近似多项式, 公式 200000))((!21))(()()(x x x f x x x f x f x f -''+-'+=+? ? ?)())((!100)(x R x x x f n n n n +-+, 称为f (ｘ）按(ｘ-x 0 )的幂展开的ｎ 阶泰勒公式, 而R n (x )的表达式 其中10)1()()! 1() ()(++-+= n n n x x n f x R ξ(ξ介于x 与x 0之间). 称为拉格朗日型余项. 当ｎ=0时, 泰勒公式变成拉格朗日中值公式: f (x ）=f (x ０ ）+f '（ξ)(x -x 0 ) (ξ在ｘ０ 与x 之间). 因此, 泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广. 如果对于某个固定的ｎ, 当x 在区间(a , b ）内变动时, ｜f （ｎ+1) (ｘ)｜总不超过一个常数 M , 则有估计式: 1010)1(||)! 1( |)()!1() (| |)(|+++-+≤-+=n n n n x x n M x x n f x R ξ, 及 0)(lim 0) (0=-→n x n x x x x R . 可见, 妆x →x ０时, 误差|R n (ｘ）|是比(ｘ-x ０ ）ｎ 高阶的无穷小, 即 R n （x ）=ｏ[(x -ｘ0 ) n ]. 在不需要余项的精确表达式时, n 阶泰勒公式也可写成 200000))((!21))(()()(x x x f x x x f x f x f -''+-'+=+? ? ?])[())((!1000)(n n n x x o x x x f n -+-+. 当ｘ0 =0时的泰勒公式称为麦克劳林公式, 就是 )(! )0( !2)0()0()0()()(2x R x n f x f x f f x f n n n ++???+''+'+=, 或 )(! )0( !2)0()0()0()()(2n n n x o x n f x f x f f x f ++???+''+'+=, 其中1 )1()! 1()()(+++= n n n x n f x R ξ. 由此得近似公式: n n x n f x f x f f x f !)0( !2)0()0()0()()(2+???+''+'+≈. 误差估计式变为: 1||)!1(|)(|++=n n x n M x R . 例1．写出函数f (x ）=ｅ ｘ 的n 阶麦克劳林公式. 解: 因为 f (x )=f '(x )=f ''（x )= ? ? ? =f （ ｎ） (ｘ)=e ｘ , 所以 f (0)=f '(0)=f ''(0)= ? ? ? =ｆ ( n ) (0)=1 , 于是 12)! 1(!1 !211++++???+++=n x n x x n e x n x x e θ（0<θ<1), 并有 n x x n x x e ! 1 !2112+???+++≈. 这时所产性的误差为 |R n (ｘ)|=|)!1(+n e x θx ｎ +1｜<)! 1(||+n e x | x | n +1. 当x =1时, 可得ｅ的近似式: ! 1 !2111n e x +???+++≈. 其误差为 ｜R n |＜ )! 1(3)!1(+<+n n e . 例2.求f (ｘ)=si ｎ x 的n 阶麦克劳林公式. 解: 因为 f '(x )=ｃｏs x , f ''(ｘ)=-sinx , f '''（x )= -cos x , x x f sin )()4(=, ? ? ? ,)2 sin()()(π?+=n x x f n , f (0)=０, f '(0)=1, f ''（0)=0 , ｆ '''（0）=-1, f （ ４) （0)=０, ? ? ?, 于是 )()! 12()1(!51!31sin 21 2153x R x m x x x x m m m +--+???++-=--. 当m =1、2、３时, 有近似公式 ｓin x ≈x , 3! 31 sin x x x -≈, 53!51!31sin x x x x +-≈. §３. ４ 函数单调性与曲线的凹凸性 一、函数单调性的判定法 如果函数ｙ=f （x )在[ａ , b ]上单调增加(单调减少）, 那么它的图形是一条沿x 轴正向上升(下降）的曲线. 这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的）, 即y '=f '（ｘ）≥0(y '=f '(x )≤0). 由此可见, 函数的单调性与导数的符号有着密切的关系. 反过来, 能否用导数的符号来判定函数的单调性呢? 定理１(函数单调性的判定法) 设函数y =f (x )在[a , b ]上连续, 在（a , ｂ)内可导. (１)如果在（a , b ）内f '(x )>0, 那么函数ｙ=ｆ(x ）在[a , ｂ]上单调增加; (2)如果在(a , b ）内f '（ｘ）<0, 那么函数y =f (x )在[ａ, ｂ］上单调减少. 证明 只证(1). 在［a , b ]上任取两点x １ , x 2 (ｘ１ <ｘ2 ), 应用拉格朗日中值定理, 得到 ｆ（x 2 )-f (x 1 ）=f '(ξ)（ｘ2-ｘ1) (x 1 <ξ 由于在上式中, x 2-ｘ1>0, 因此, 如果在(ａ, b )内导数ｆ '(ｘ)保持正号, 即ｆ '（ｘ）>０, 那么也有f '(ξ)>０. 于是 f (ｘ2 )-f （x 1 )=ｆ '(ξ）(ｘ2 -x 1 )>0, 即 ｆ(x 1 )<ｆ(ｘ2 ), 这函数y =ｆ（ｘ) 在[a , b ]上单调增加. 注: 判定法中的闭区间可换成其他各种区间. 例1 判定函数y =x -sin x 在［0, 2π］上的单调性. 解 因为在(０, 2π）内 y '=１-co ｓ ｘ >0, 所以由判定法可知函数y =x -c ｏs x 在［0, 2π]上的单调增加. 例2 讨论函数y =e x -ｘ-1的单调性. (没指明在什么区间怎么办?) 解 y '=e x -1. 函数y =ｅ x -x -1的定义域为(-∞, +∞). 因为在（-∞, 0)内y '<0, 所以函数y =e ｘ -x -1在(-∞, 0] 上单调减少; 因为在(0, +∞)内ｙ'>０, 所以函数ｙ=e x -x -1在[0, +∞）上单调增加. 例3. 讨论函数32x y =的单调性. 解: 函数的定义域为(-∞, +∞）. 当时, 函数的导数为 332x y ='(x ≠0), 函数在x =0处不可导. 当ｘ=0时, 函数的导数不存在. 因为x <０时, ｙ'<0, 所以函数在（-∞, 0] 上单调减少;