FIR滤波器的原理及设计
选题2 实验讲义
实验名称：基于分布式算法的FIR 滤波器设计
1．数字滤波器基础知识
数字滤波是信号与信号处理领域的一个重要分支，在语音图像处理、模式识别、谱分析、无线通信等领域都有着非常广泛的应用。通过滤波运算，将一组输入数据序列转变为另一组输出数据序列，从而达到修正时域或频域中信号属性的目的。数字滤波器就是用于完成这种信号滤波功能，用有限精度算法来实现的一种离散时间线性时不变（LTI ）系统。相比于模拟滤波器，数字滤波器具有以下优点：（1）数字滤波器的频域特性容易控制，性能指标优良；（2）数字滤波器可以工作在极低的频率，可以方便地实现模拟滤波器难以实现的线性相位系统；（3）数字滤波器工作稳定，一般不会受到外部环境的影响；（4）数字滤波器的灵活性和可重用性高，只需要简单编程就可以修改滤波器的特性，设计周期短。数字滤波器的实现可以采用专用DSP 芯片，通过编写程序，利用软、硬件结合完成滤波器设计，也可以采用市面上通用的数字滤波器集成电路来实现，但这两种方法无法适应高速应用场合。随着集成电路技术的高速发展，FPGA 应用越来越普及，FPGA 器件具有芯片密度大、执行效率高，速度快，集成度高等优点，用FPGA 芯片作为滤波器的设计载体，可以实现高速信号滤波功能。
1.1 FIR 数字滤波器特点
数字滤波器通常分为IIR （无限冲激响应）和FIR(有限冲激响应)两种。FIR 滤波器具有以下特点：（1）可以做成严格的线性相位，同时又可以具有任意的幅度特性（2）单位冲激响应是有限长的，所以一定是稳定的，因此在实际中得到广泛的应用。
1.2 FIR 滤波器结构
设FIR 滤波器的单位冲激响应为)(n h ，10-≤≤N n ，
系统函数 ∑-=-=
1
)()(N n n
z
n h Z H
差分方程形式为：∑-=-=1
)()()(N k k n x k h n y （1）
基本结构（直接型）：
图（1）FIR 滤波器的基本结构
1.3 结构简化
当FIR 滤波器具有严格线性相位时，)(n h 满足)1()(n N h n h --=或
)1()(n N h n h ---=设N 为偶数，令 )]1([)()0(--±=N n x n x s )]2([)1()1(--±-=N n x n x s
)2
()]12([)12(
N n x N n x N s -±--=- 则（1）式可以简化为：
∑-=-=120
)()()(N
k k n s k h n y （2）
与（1）相比，所需乘法器数量降为原来的一半。
图（2） 简化乘法器数量的线性相位滤波器
1.4 设计规模的改进
当滤波器的长度N 增加时，可将求和分配到几个独立的M 阶并行DA 的LUT 中。以（1）式为例，设M L N ?=，
∑∑∑-=-=-=+?-+?=-=101
10
)]([)()()()(L l M m N k m l L n x m l L h k n x k h n y
这样，长度为N 的滤波器实现可以分解为L 个长度为M 的滤波器，可运用流水线加法器累加结果。
2. 分布式算法
在很多DSP 应用场合中，滤波器系数一般为常数，在这种情况下，可以利用分布式（Distributed Algorithm ，DA ）算法原理将求乘积和运算转变为移位和加法运算来实现。在滤波器规模比较小的情况下，采用DA 算法可以减少电路规模，更容易实现流水处理，从而有更高的执行效率。以（2）式为例，DA 算法的基本思想为：
在（2）式中，设)(k h 为常数，将)(k n s -表示为B+1位二进制补码形式，其中，最高位为符号位，用)(k n s B -表示，下标B 表示第B 位，数值位共有B 位，用)(k n s b -表示，其中
10-≤≤B b 。
即补B k n s k n s k n s k n s )]()()([)(01---=- 将式中各二进制位按权展开，则有下式成立，
∑-=?-+--=-1
2)()(2)(B b b b B B
k n s k n s k n s
代入（2）式，并改变式中求和的次序，可得
∑-=-=12
)()()(N k k n s k h n y
∑∑-=-=?-+--=12
1
]2)()(2)[(N k B b b b B B
k n s k n s k h
∑∑∑-=-=-=?-+--=1
120
120
2)()(])()([2B b b b N k N k B B
k n s k h k n s k h
∑∑∑-=-=-=-+--=1
120
120
)]
()([2])()([2B b b N k b N k B B
k n s k h k n s k h
∑-=-?+-=1
)](),([2)](),([2B b b b B B
k n s k h f k n s k h f
DA 算法的基本思想就是用一个LUT （查找表）来实现运算)](),([k n s k h f B -及
)](),([k n s k h f b -，则滤波结果可以相应二次幂加权并累加来实现，从而达到提高执行效
率的目的。
例：无符号DA 卷积
用分布式算法计算∑=>==<2
)()(,n n x n c x c y ，假设3位系数值分别为c(0）=2,c(1)=3和
c(2)=1,则可得LUT 如下： 0 0 0 1*0+3*0+2*0=0 0 0 1 1*0+3*0+2*1=2 0 1 0 1*0+3*1+2*0=3 0 1 1 1*0+3*1+2*1=5 1 0 0 1*1+3*0+2*0=1 1 0 1 1*1+3*0+2*1=3 1 1 0 1*1+3*1+2*0=4 1 1 1 1*1+3*1+2*1=6
步骤 Xt(2) Xt(1) Xt(0) Acc(t) 0 1 1 1 6 1 1 1 0 14 2
1
18
进行数值校验：
y=
图（3） 移位加法器DA 结构
3. FIR 滤波器的MATLAB 设计 3.1 设计函数
在MATLAB 信号处理工具箱中，提供了基于窗函数的FIR 数字滤波器设计函数。fir1是用窗函数法设计线性相位FIRDF 的工具箱函数，调用格式如下： hn=fir1(N, wc, ′ftype ′, window)
fir1实现线性相位FIR 滤波器的标准窗函数法设计。“标准”是指在设计低通、 高通、
带通和带阻FIR滤波器时，H d(ejω)分别取相应的理想低通、高通、带通和带阻滤波器，因此设计的滤波器的频率响应称为标准频率响应。
hn=fir1(N,wc)可得到6dB截止频率为wc的N阶(单位脉冲响应h(n)长度为N+1)FIR低通滤波器，默认(缺省参数windows)选用hammiing窗。其单位脉冲响应h(n)为h(n)=hn(n+1), n=0,1,2,…,N而且满足线性相位条件：h(n)=h(N-1-n)其中wc为对π归一化的数字频率，0≤wc≤1。当wc=［wc1, wc2］时，得到的是带通滤波器，其6 dB通带为wc1≤ω≤wc2。
hn=fir1(N,wc,′ftype′)可设计高通和带阻滤波器。
当ftype=high时，设计高通FIR滤波器；
当ftype=stop时，设计带阻FIR滤波器。
应当注意，在设计高通和带阻滤波器时，阶数N只能取偶数(h(n)长度N+1为奇数)。不过，当用户将N设置为奇数时，fir1会自动对N加1。
hn=fir1(N,wc,window)可以指定窗函数向量window。如果缺省window参数，则fir1默认为hamming窗。可用的其他窗函数有Boxcar, Hanning, Bartlett, Blackman, Kaiser 和Chebwin窗。这些窗函数的使用很简单(可用help命令查到)，例如：
hn=fir1(N,wc,bartlett(N+1))使用Bartlett窗设计；
hn=fir1(N,wc,chebwin(N+1,R))使用Chebyshev窗设计。
hn=fir1(N,wc,′ftype′,window)通过选择wc、 ftype和window参数(含义同上)，可以设计各种加窗滤波器。
Fir2可以指定任意形状的H d(ejω), 用help命令查阅其调用格式。
3.2 FDATOOL使用
fdatool（filter design & analysis tool）是matlab信号处理工具箱里专用的滤波器设计分析工具，fdatool可以灵活地采用不同方法设计几乎所有的经典滤波器，查看滤波器的各种指标，并得到所设计滤波器的系数。
在MATLAB的命令窗口输入：fdatool命令，会出现图（4）所示界面，界面总共分两大部分，一部分是design filter，在界面的下半部，用来设置滤波器的设计参数；另一部分则是特性区，在界面的上半部分，用来显示滤波器的各种特性。design filter部分主要分为：Response type（滤波器类型）选项，包括lowpass（低通）、highpass（高通）、ban dpass（带通）、bandstop（带阻）和特殊的fir滤波器。
design method（设计方法）选项，包括iir滤波器的butterworth（巴特沃思）法、cheby shev type i（切比雪夫i型）法、 chebyshev type ii（切比雪夫ii型）法、elliptic （椭圆滤波器）法和fir滤波器的equiripple法、least-squares（最小乘方）法、windo
w（窗函数）法。
filter order（滤波器阶数）选项，定义滤波器的阶数，包括specify order（指定阶数）和minimum order（最小阶数）。在specify order中填入所要设计的滤波器的阶数（n阶滤波器，specify order＝n-1），如果选择minimum order则matlab根据所选择的滤波器类型自动使用最小阶数。
frequency specifications选项，可以详细定义频带的各参数，包括采样频率fs和频带的截止频率。它的具体选项由filter type选项和design method选项决定，例如bandpass （带通）滤波器需要定义fstop1（下阻带截止频率）、fpass1（通带下限截止频率）、fpa ss2（通带上限截止频率）、fstop2（上阻带截止频率），而lowpass（低通）滤波器只需
要定义fstop1、fpass1。采用窗函数设计滤波器时，由于过渡带是由窗函数的类型和阶数所决定的，所以只需要定义通带截止频率，而不必定义阻带参数。
magnitude specifications选项，可以定义幅值衰减的情况。例如设计带通滤波器时，可以定义wstop1（频率fstop1处的幅值衰减）、wpass（通带范围内的幅值衰减）、wstop2（频率fstop2处的幅值衰减）。当采用窗函数设计时，通带截止频率处的幅值衰减固定为6db，所以不必定义。
window specifications选项，当选取采用窗函数设计时，该选项可定义，它包含了各种常用的窗函数类型。
图（4）滤波器设计分析界面
例：设计方法(Design Method)为FIR，采用窗口法(Window)；
?滤波器阶数(Filter Order)定制为15；
?窗口类型为Kaiser，Beta为0.5；
?Fs为48 kHz，Fc为10.8 kHz。
设置好后的界面如图（5）所示。
图（5）设计界面
计算完FIR滤波器系数后，往往需要对设计好的FIR滤波器进行相关的性能分析，以便了解该滤波器是否满足设计要求。分析操作步骤如下：
（1）选择FDATool的菜单“Analysis”→“Magnitude Response”，启动幅频响应分析。图（6）显示了滤波器的幅频响应图，x轴为频率，y轴为幅度值(单位为dB)。在图的左侧列出了当前滤波器的相关信息：滤波器类型为Direct form FIR(直接I型FIR滤波器)；滤波器阶数为15。
图（6）滤波器的幅频响应图
选择菜单“Analysis”→“Phase Response”，启动相频响应分析。图（7）显示了滤波器的相频响应。由图可以看到设计的FIR滤波器在通带内其相位响应为线性的，即该滤波器是一个线性相位的滤波器。
图（8）显示了滤波器幅频特性与相频特性的比较。这可以通过菜单选择“Analysis”→“Magnitude & Phase Response”来启动分析。
选择菜单“Analysis”→“Group Delay Response”，启动群延时分析，波形如图（9）所示。
图（7）相频响应
图（8）幅频响应与相频响应的比较
图（9） FIR滤波器的群延时
求出的FIR滤波器的系数可以通过选择菜单“Analysis”→“Filter Coefficients”来观察，见图（10）。图中列出了FDATool计算的15阶直接I型FIR滤波器的部分系数。
图（10） FIR滤波器系数
（5）量化
从图（10）可以看到，FDATool计算出的值是一个有符号小数，而FIR滤波器模型需要一个整数作为滤波器系数。所以必须进行量化，并对得到的系数进行归一化。为此，点击FDATool左下侧的工具按钮进行量化参数设置。在设置“Turn quantization on”前选择“√”，如图（11）所示。
图（12 ）中显示了量化后的部分系数值。注意在这里系数仍是用小数表示的，不同于量化前的系数，现在其二进制表示的位数已满足量化要求。
图（11）量化参数设置
设计的FIR滤波器在量化后滤波器的性能会有所改变，其幅频响应、相频响应也有所变化。量化在带来实现方便的同时也带来了量化噪声，图（）显示了量化带来的噪声分析。
图（12）量化后的噪声分析
（6）导出滤波器系数
为导出设计好的滤波器系数，选择FDATool菜单的“File”→“Export...”，打开导出(Export)对话框，如图（13）所示。在该窗口中，选择导出到工作区(Workspace)。这时滤波器系数就存入到一个一维变量Num中了，不过这时Num中的元素是以小数形式出现的： Num =-0.0742 0.0234 0.1133 0.0117 -0.1758 -0.0977 0.3594 0.8281 0.8281 0.3594 -0.0977 -0.1758 0.0117 0.1133 0.0234 -0.0742
图（13）导出系数对话框
现在若要在FIR滤波器模型中使用这些数据，还需要将它们转化为整数：在MATLAB主窗口的命令窗口中键入：
>>Num*(2^8)
得到：>>Num*(2^8)
ans=
Columns 1 through 10
-19 6 29 3 -45 -25 92 212 212 92
Columns 11 through 16
-25 -45 3 29 6 -19
计算出的系数可用于FIR滤波器设计中。
4. DDS信号发生器
DDS为直接数字频率合成技术，最初由美国学者J.Tierney等人于1971年提出，它是一种新颖的全数字实现技术，由于其具有频率转换时间短，频率分辨率高，相位噪声低以及在频率转变时保持相位连续等优点，在现代通信、雷达、航天航空等众多领域得到广泛应用。DDS的基本结构如图（14）所示。
图（14） DDS的基本结构
一个基本的DDS结构主要由相位累加器、相位调制器、正弦ROM查找表和D/A构成。图中的相位累加器、相位调制器、正弦ROM查找表是DDS结构中的数字部分，由于具有数控频率合成的功能，又合称为NCO(Numerically Controlled Oscillators)。
相位累加器是整个DDS的核心，在这里完成相位累加功能。相位累加器的输入是相位增
f是简单的线性关系,故相位累加器的输入又可称为频率字输入，量，又由于与输出频率
out
频率字输入在图(14)中还经过了一组同步寄存器，使得当频率字改变时不会干扰相位累加器的正常工作。
相位调制器接收相位累加器的相位输出，在这里加上一个相位偏移值，主要用于信号的相位调制，如PSK(相移键控)等。在不使用时可以去掉该部分，或者加一个固定的相位字输入。相位字输入也需要用同步寄存器保持同步。需要注意的是，相位字输入的数据宽度M 与频率字输入N往往是不相等的，M 正弦ROM查找表完成的查表转换，也可以理解成相位到幅度的转换，它的输入是相位调制器的输出，事实上就是ROM的地址值；输出送往D/A，转化成模拟信号。由于相位调制器的输出数据位宽M也是ROM的地址位宽，因此在实际的DDS结构中N往往很大，而M总为10位左右。M太大会导致ROM容量的成倍上升，而输出精度受D/A位数的限制未有很大改善。因此，在实际应用中，对于ROM容量的缩小，人们提出了很多解决方法。 5.SignalTap Ⅱ逻辑分析仪 随着FPGA设计任务复杂性的不断提高，FPGA设计调试工作的难度也越来越大，在设计验证中投入的时间和花费也会不断增加。为了让产品更快投入市场，设计者必须尽可能减少设计验证时间，这就需要一套功能强大且容易使用的验证工具。Altera SignalTap Ⅱ逻辑分析仪可以用来对Altera FPGA内部信号状态进行评估，帮助设计者很快发现设计中存在问题的原因。 Quartus Ⅱ软件中的SignalTap Ⅱ逻辑分析仪是非插入式的，可升级，易于操作且对Quartus Ⅱ用户免费。SignalTap Ⅱ逻辑分析仪允许设计者在设计中用探针的方式探查内部信号状态，帮助设计者调试FPGA设计。 SignalTap Ⅱ逻辑分析仪支持下面的器件系列：Stratix Ⅱ、Stratix、Stratix GX、Cyclone Ⅱ、Cyclone、APEX Ⅱ、APEX 20KE、APEX 20KC、APEX 20K、Excalibur和Mercury。在设计中嵌入SignalTap Ⅱ逻辑分析仪有两种方法：第一种方法是建立一个SignalTap Ⅱ文件(.stp)，然后定义STP文件的详细内容；第二种方法是用MegaWizard Plug-InManager 建立并配置STP文件，然后用MegaWizard实例化一个HDL输出模块。 6.FIR滤波器IP核使用 QuartusII中提供了高性能FIR滤波器的IP core供设计人员使用。用户界面如图（15）所示。 FIR IP核有丰富的控制信号，详细说明如下： 7. 实验结果 用VHDL 语言设计分布式算法FIR 滤波器，并设置DDS 信号源的频率和相位控制字，使得输入到FIR 滤波器的激励信号相当于：)200sin()100sin()(t t t s ππ+=，即频率分别为50Hz 和100Hz 的两路正弦波的和信号，则经FIR 滤波器滤波后，通过嵌入式逻辑分析仪监测到的信号波形如图（16）所示。 图（16） 滤波结果1 图（16）中filterin 端口是DDS 信号源的输入信号，filterout 端口为FIR 滤波器的输出信号。从滤波结果可以看出信号滤波前后的时域波形有了很大的不同，原始信号中的两个频 率分量经滤波后只留下一个单频的正弦波分量。而当改变频率和相位控制字，使得DDS 信号源的输出信号相当于)48sin()96sin()(t t t s ππ+=，即频率为24Hz 和48Hz 两个正弦波的和信号，通过嵌入式逻辑分析仪监测到的信号波形如图（17）所示。 图（17） 滤波结果2 从图（17）中可以直观地看出信号时域输出波形在滤波前后没有发生什么变化，原始信号中两个频率分量依然存在。建立相同数据在MATLAB 中仿真，可得到一致结果，验证了设计的正确性。