专题一 第5讲 母题突破2 恒成立问题与有解问题
母题突破2 恒成立问题与有解问题 母题 (2014·全国Ⅰ)设函数f (x )＝a ln x ＋1－a 2
x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为0.
(1)求b ；
(2)若存在x 0≥1，使得f (x 0) ，求a 的取值范围． (2)思路分析 ?存在x 0≥1，使得f (x 0) ↓ ?f (x )min < a a －1 ↓ ?求f (x )min 解 (1)f ′(x )＝a x ＋(1－a )x －b . 由题设知f ′(1)＝0，解得b ＝1. (2)f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知，f (x )＝a ln x ＋1－a 2 x 2－x ， f ′(x )＝a x ＋(1－a )x －1＝1－a x ? ?? ??x －a 1－a (x －1)． ①若a ≤12，则a 1－a ≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(1，＋∞)上单调递增． 所以，存在x 0≥1，使得f (x 0) 的充要条件为 f (1) a －1，即1－a 2－1 ②若121， 故当x ∈? ?? ??1，a 1－a 时，f ′(x )<0， 当x ∈? ????a 1－a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )在? ????1，a 1－a 上单调递减，在? ?? ??a 1－a ，＋∞上单调递增． 所以，存在x 0≥1，使得f (x 0) a －1的充要条件为f ? ????a 1－a a a －1 ， 所以不符合题意． ③若a >1，则f (1)＝1－a 2－1＝－a －12 . 综上，a 的取值范围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞)． [子题1] 已知函数f (x )＝ln x －ax ，g (x )＝x 2，a ∈R . (1)求函数f (x )的极值点； (2)若f (x )≤g (x )恒成立，求a 的取值范围． 解 (1)f (x )＝ln x －ax 的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －a . 当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0， 所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无极值点； 当a >0时，由f ′(x )＝1x －a >0，得0 ， 由f ′(x )＝1x －a <0，得x >1a ， 所以f (x )在????0，1a 上单调递增，在????1a ，＋∞上单调递减，所以函数f (x )有极大值点1a ，无极小值点． (2)由条件可得ln x －x 2－ax ≤0(x >0)恒成立， 则当x >0时，a ≥ln x x －x 恒成立， 令h (x )＝ln x x －x ，x >0，则h ′(x )＝1－x 2－ln x x 2 ， 令k (x )＝1－x 2－ln x ，x >0， 则当x >0时，k ′(x )＝－2x －1x <0， 所以k (x )在(0，＋∞)上单调递减， 又k (1)＝0，所以在(0,1)上，h ′(x )>0，在(1，＋∞)上，h ′(x )<0， 所以h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 所以h (x )max ＝h (1)＝－1，所以a ≥－1. 即a 的取值范围为a ≥－1. [子题2] (2020·北京市西城区师范大学附属实验中学模拟)已知x ＝ 1e 为函数f (x )＝x a ln x 的极值点． (1)求a 的值； (2)设函数g (x )＝kx e x ，若对?x 1∈(0，＋∞)，?x 2∈R ，使得f (x 1)－g (x 2)≥0，求k 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝ax a －1ln x ＋x a ·1x ＝x a －1(a ln x ＋1)， f ′????1e ＝????1e a －1????a ln 1e ＋1＝0，解得a ＝2， 当a ＝2时，f ′(x )＝x (2ln x ＋1)，函数f (x )在????0，1e 上单调递减，在??? ?1e ，＋∞上单调递增， 所以x ＝1e 为函数f (x )＝x a ln x 的极小值点， 因此a ＝2. (2)由(1)知f (x )min ＝f ?? ? ?1e ＝－12e ，函数g (x )的导函数g ′(x )＝k (1－x )e －x . ①当k >0时， 当x <1时，g ′(x )>0，g (x )在(－∞，1)上单调递增；当x >1时，g ′(x )<0，g (x )在(1，＋∞)上单调递减， 对?x 1∈(0，＋∞)，?x 2＝－1k ，使得g (x 2)＝g ????－1k ＝1e k -<－1<－12e ≤f (x 1)，符合题意． ②当k ＝0时，g (x )＝0，取x 1＝ 1e ，对?x 2∈R 有f (x 1)－g (x 2)<0，不符合题意． ③当k <0时， 当x <1时，g ′(x )<0，g (x )在(－∞，1)上单调递减；当x >1时，g ′(x )>0，g (x )在(1，＋∞)上单调递增， g (x )min ＝g (1)＝k e ， 若对?x 1∈(0，＋∞)，?x 2∈R ，使得f (x 1)－g (x 2)≥0，只需g (x )min ≤f (x )min ，即k e ≤－12e ，解得k ≤－12 . 综上所述，k ∈? ???－∞，－12∪(0，＋∞)． 规律方法 (1)由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略 ①求最值法，将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题． ②分离参数法，将参数分离出来，进而转化为a >f (x )max 或a (2)不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别． 跟踪演练 1．(2020·全国Ⅱ改编)已知函数f (x )＝2ln x ＋1.若f (x )≤2x ＋c ，求c 的取值范围． 解 设h (x )＝f (x )－2x －c ， 则h (x )＝2ln x －2x ＋1－c ， 其定义域为(0，＋∞)，h ′(x )＝2x －2. 当0 所以h (x )在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减． 从而当x ＝1时，h (x )取得最大值，最大值为h (1)＝－1－c . 故当－1－c ≤0，即c ≥－1时，f (x )≤2x ＋c . 所以c 的取值范围为[－1，＋∞)． 2．已知函数f (x )＝(1－x )e x －1. (1)求f (x )的极值； (2)设g (x )＝(x －t )2＋? ???ln x －m t 2，存在x 1∈(－∞，＋∞)，x 2∈(0，＋∞)，使方程f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数m 的最小值． 解 (1)f ′(x )＝－x e x ， 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )<0，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0， ∴当x ＝0时，f (x )有极大值f (0)＝e 0－1＝0，f (x )没有极小值． (2)由(1)知f (x )≤0， 又因为g (x )＝(x －t )2＋? ???ln x －m t 2≥0， 所以要使方程f (x 1)＝g (x 2)有解，必然存在x 2∈(0，＋∞)，使g (x 2)＝0，所以x ＝t ，ln x ＝m t ， 等价于方程ln x ＝m x 有解， 即方程m ＝x ln x 在(0，＋∞)上有解， 记h (x )＝x ln x ，x ∈(0，＋∞)，则h ′(x )＝ln x ＋1， 令h ′(x )＝0，得x ＝1e ， 所以当x ∈????0，1e 时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，当x ∈??? ?1e ，＋∞时，h ′(x )>0，h (x )单调递增， 所以当x ＝1e 时，h (x )min ＝－1e ， 所以实数m 的最小值为－1e . 专题强化练 1．(2020·新高考全国Ⅰ改编)已知函数f (x )＝a e x － 1－ln x ＋ln a ．若f (x )≥1，求a 的取值范围． 解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x －1－1x . 当0 当a ＝1时，f (x )＝e x －1－ln x ，f ′(x )＝e x －1－1x . 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以当x ＝1时，f (x )取得最小值，最小值为f (1)＝1， 从而f (x )≥1. 当a >1时，f (x )＝a e x －1－ln x ＋ln a ≥e x －1－ln x ≥1. 综上，a 的取值范围是[1，＋∞)． 2．设函数f (x )＝ax 2－x ln x －(2a －1)x ＋a －1(a ∈R )．若对任意的x ∈[1，＋∞)，f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围． 解 f ′(x )＝2ax －1－ln x －(2a －1)＝2a (x －1)－ln x (x >0)， 易知当x ∈(0，＋∞)时，ln x ≤x －1， 则f ′(x )≥2a (x －1)－(x －1)＝(2a －1)(x －1)． 当2a －1≥0，即a ≥12 时，由x ∈[1，＋∞)得f ′(x )≥0恒成立， f (x )在[1，＋∞)上单调递增，f (x )≥f (1)＝0，符合题意； 当a ≤0时，由x ∈[1，＋∞)得f ′(x )≤0恒成立，f (x )在[1，＋∞)上单调递减， f (x )≤f (1)＝0，显然不符合题意，a ≤0舍去； 当0 时，由ln x ≤x －1， 得ln 1x ≤1x －1，即ln x ≥1－1x ， 则f ′(x )≤2a (x －1)－????1－1x ＝? ?? ??x －1x (2ax －1)， ∵0 >1. 当x ∈??? ?1，12a 时，f ′(x )≤0恒成立， ∴f (x )在??? ?1，12a 上单调递减， ∴当x ∈??? ?1，12a 时，f (x )≤f (1)＝0， 显然不符合题意，0 舍去． 综上可得，a ∈????12，＋∞. “恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略 一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型 恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>???≤?? 在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f =，设f(x)在区间[a,b]上 的值域为A ，g(x)在区间[c,d]上的值域为B,则A ?B. 9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方； 10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方； 恒成立问题的基本类型 在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题. 函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有: 在给定区间上某关系恒成立; 某函数的定义域为全体实数R;●某不等式的解为一切实数;?某表达式的值恒大于a 等等… 恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型： ①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象。 二、恒成立问题解决的基本策略 大家知道，恒成立问题分等式中的恒成立问题和不等式中的恒成立问题。等式中的恒成立问题，特别是多项式恒成立问题，常简化为对应次数的系数相等从而建立一个方程组来解决问题的。 （一）两个基本思想解决“恒成立问题” 思路1、max )]([)(x f m D x x f m ≥?∈≥上恒成立在 思路2、min )]([)(x f m D x x f m ≤?∈≤上恒成立在 如何在区间D 上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导 高中数学专题练习-存在与恒成立问题 [题型分析·高考展望]“存在”与“恒成立”两个表示范围的词语在题目中出现是近年高考的一大热点，其本质是“特称”与“全称”量词的一个延伸，弄清其含义，适当进行转化来加以解决.此类题目主要出现在函数与导数结合的解答题中，难度高，需要有较强的分析能力和运算能力.训练时应注意破题方法的研究. 常考题型精析 题型一恒成立问题 例1(·浙江)已知函数f(x)＝x3＋3|x－a|(a>0)，若f(x)在[－1,1]上的最小值记为g(a). (1)求g(a)； (2)证明：当x∈[－1,1]时，恒有f(x)≤g(a)＋4. 点评恒成立问题一般与不等式有关，解决此类问题需要构造函数利用函数单调性求函数最值，从而说明函数值恒大于或恒小于某一确定的值. 变式训练1(·山东)设函数f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，其中a∈R. (1)讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由； (2)若?x＞0，f(x)≥0成立，求a的取值范围. 题型二存在性问题 例2(·辽宁)已知函数f(x)＝(cos x－x)(π＋2x)－8 3(sin x＋1)，g(x)＝3(x－π)cos x－4(1＋sin x)·ln(3－2x π). 证明：(1)存在唯一x0∈(0，π 2)，使f(x0)＝0； (2)存在唯一x1∈(π 2，π)，使g(x1)＝0，且对(1)中的x0，有x0＋x1<π. 点评“存在”是特称量词，即“有的”意思，证明这类问题的思路是想法找到一个“x0”使问题成立即可，必要时需要对问题进行转化.若证“存在且唯一”则需说明除“x0”外其余不能使命题成立，或利用函数单调性证明此类问题. 变式训练2(·浙江)设函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R). (1)当b＝a2 4＋1时，求函数f(x)在[－1,1]上的最小值g(a)的表达式； (2)已知函数f(x)在[－1,1]上存在零点，0≤b－2a≤1，求b的取值范围. 个性化教案 学生姓名 年级 科目 数学 授课教师 日期 时间段 课时 2 授课类型 新课/复习课/作业讲解课 教学目标 教学内容 函数专题:含参不等式恒成立问题 个性化学习问题解决 “含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，知识点多，综合性强，解法灵活等。在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用 恒成立问题的基本类型： 类型1：若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数 ),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有 1）0)(>x f 对R x ∈恒成立?? ??00a ; 2）0)( 专题训练 恒成立存在性问题 知识点梳理 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>??? ≤??在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若, D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则 ()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则 ()()x g x f max max ≤。 6、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()12=f x g x ，则()f x 在 []b a x ,1∈上的值域M 是()x g 在[]d c x ,2∈上的值域N 的子集。即：M ?N 。 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 8、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数 ()y g x =图象上方； 10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数 ()y g x =图象下方； 题型一、常见方法 1、已知函数12)(2 +-=ax x x f ，x a x g = )(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 【分析：】 1）思路、等价转化为函数0)()(>-x g x f 恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决． 2）思路、对在不同区间内的两个函数)(x f 和)(x g 分别求最值，即只需满足)()(max min x g x f >即可． 简解：（1）由1 20122 32 ++-+-x x x a x a ax x 成立，只需满足12)(23++=x x x x ?的最小值大于a 即可．对1 2)(2 3++=x x x x ?求导，0)12(12)(2224>+++='x x x x ?，故)(x ?在]2,1[∈x 是增函数，3 2)1()(min = =??x ，所以a 的取值范围是32 0< 恒成立问题 1．参变分离法 例1：已知函数()ln a f x x x =-，若()2f x x <在()1,+∞上恒成立，则a 的取值范围是 _________． 【答案】1a ≥- 【解析】233ln ln ln a x x x x a x a x x x x - -，其中()1,x ∈+∞， ∴只需要() 3max ln a x x x >-． 令()3 ln g x x x x =-，()' 2 1ln 3g x x x =+-，()' 12g =-，()2 '' 11660x g x x x x -=-=<， ()'g x ∴在()1,+∞单调递减，()()()''10g x g g x ∴<>≠对于任意的π0,4x ?? ∈ ???都成立，则实数a 的取值范围 是___________． 【答案】π,14a ?? ∈ ??? 【解析】本题选择数形结合，可先作出sin 2y x =在π0,4x ?? ∈ ??? 的图像， a 扮演的角色为对数的底数，决定函数的增减，根据不等关系可得01a <<，观察图像进一 步可得只需 π 4 x = 时，log sin 2a x x >， 即πππlog sin 21444a a >?=?>，所以π,14a ??∈ ??? ． 3．最值分析法 例3：已知函数()()ln 10f x a x a =+>，在区间()1,e 上，()f x x >恒成立，求a 的取值范围___________． 【答案】e 1a ≥- 【解析】()f x x >恒成立即不等式ln 10a x x -+>恒成立，令()ln 1g x a x x =-+， ∴只需()min 0g x >即可，()10g =， ()'1a a x g x x x -= -=，令()'00a x g x x a x ->?>?<（分析()g x 的单调性） 当1a ≤时 ()g x 在()1,e 单调递减，则()()010g x g <= (思考：为什么以1a =作为分界点讨论？因为找到()10g =，若要不等式成立，那么一定从1x =处起()g x 要增（不一定在()1,e 上恒增，但起码存在一小处区间是增的） ，所以1a ≤时导致()g x 在1x =处开始单减，那么一定不符合条件．由此请体会零点对参数范围所起的作 恒成立问题的类型和能成立问题及方法处理 函数与不等式的恒成立、能成立、恰成立问题是高中数学中的一个重点、难点问题。这类问题在各类考试以及高考中都屡见不鲜。感觉题型变化无常，没有一个固定的思想方法去处理，一直困扰着学生，感到不知如何下手。在此为了更好的准确地把握快速解决这类问题，本文通过举例说明这类问题的一些常规处理。 一、函数法 （一）构造一次函数 利用一次函数的图象或单调性来解决 对于一次函数],[),0()(n m x k b kx x f ∈≠+=有： ?? ?<>????>>?>0 )(0 )(0)(; )(0 )(0)(00)(00)(n f m f x f n f m f n f k m f k x f 恒成立或恒成立 例1 若不等式m mx x ->-2 12对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范 围。 解析：将不等式化为：0)12()1(2 <---x x m ， 构造一次型函数：)12()1()(2---=x m x m g 原命题等价于对满足22≤≤-m 的m ，使0)( 2019年高考数学专题：导数中恒成立与存在性问题（解析版） 1．设函数． （1）若函数是R上的单调增函数，求实数a的取值范围； （2）设，是的导函数．①若对任意的，求证：存在使；②若求证：． 【答案】(1) ；(2)①.证明见解析；②证明见解析. 【解析】试题分析：（1）由题意，对恒成立，对恒成立；（2）①，由题中条件得到令，则，代入表达式得到，得证；②，，即 ，，只需证，换元研究函数最值即可. ∴，从而． （2）①，则． 若，则存在，使，不合题意. ∴． 取，则． 此时． ∴存在，使． ②依题意，不妨设，令，则． ∴． 下面证明，即证明，只要证明． 设，则在恒成立． ∴在单调递减，故，从而得证． ∴，即． 2．已知函数. （1）若在处取得极值，求的值； （2）若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】试题分析：（1），由在处取到极值，可得，. 经检验，时，在处取到极小值；（2），令，讨论三种情况，分别利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值，可得当时，不满足 在上恒成立，时再分两种情况讨论可得时，在上恒成 立，当时，根据二次函数的性质可得不满足题意，进而可得结果.学 试题解析：（1） ， ∵在处取到极值， ∴，即，∴. 经检验，时，在处取到极小值. （2） ，令 ， ①当时，，在上单调递减. 又∵，∴ 时， ，不满足 在 上恒成立. ②当时，二次函数开口向上，对称轴为 ，过 . a.当，即时，在上恒成立， ∴，从而在上单调递增. 又∵，∴时， 成立，满足 在上恒成立. b.当 ，即时，存在，使 时，， 单调递减； 时， ， 单调递增，∴ . 又∵，∴，故不满足题意. ③当时，二次函数开口向下，对称轴为，在上单调递减， ，∴， 在上单调递减. 又∵，∴时，，故不满足题意. 综上所述，. 3．设函数 ()ln m f x x x =+ ， m R ∈． （1）当m e =时，求函数 () f x 的极小值； （2）讨论函数 ()()3x g x f x - '=零点的个数； （3）若对任意的0b a >>， ()() 1 f b f a b a -<-恒成立，求实数m 的取值范围． 培优点四 恒成立问题 1．参变分离法 例1：已知函数()ln a f x x x =-，若()2f x x <在()1,+∞上恒成立，则a 的取值范围是 _________． 【答案】1a ≥- 【解析】233ln ln ln a x x x x a x a x x x x - -，其中()1,x ∈+∞， ∴只需要() 3max ln a x x x >-． 令()3 ln g x x x x =-，()' 2 1ln 3g x x x =+-，()' 12g =-，()2 '' 11660x g x x x x -=-=<， ()'g x ∴在()1,+∞单调递减，()()()''10g x g g x ∴<>≠对于任意的π0,4x ?? ∈ ???都成立，则实数a 的取值范围 是___________． 【答案】π,14a ?? ∈ ??? 【解析】本题选择数形结合，可先作出sin 2y x =在π0,4x ?? ∈ ??? 的图像， a 扮演的角色为对数的底数，决定函数的增减，根据不等关系可得01a <<，观察图像进一 步可得只需 π 4 x = 时，log sin 2a x x >， 即πππlog sin 21444a a >?=?>，所以π,14a ??∈ ??? ． 3．最值分析法 例3：已知函数()()ln 10f x a x a =+>，在区间()1,e 上，()f x x >恒成立，求a 的取值范围___________． 【答案】e 1a ≥- 【解析】()f x x >恒成立即不等式ln 10a x x -+>恒成立，令()ln 1g x a x x =-+， ∴只需()min 0g x >即可，()10g =， ()'1a a x g x x x -= -=，令()'00a x g x x a x ->?>?<（分析()g x 的单调性） 当1a ≤时 ()g x 在()1,e 单调递减，则()()010g x g <= (思考：为什么以1a =作为分界点讨论？因为找到()10g =，若要不等式成立，那么一定从1x =处起()g x 要增（不一定在()1,e 上恒增，但起码存在一小处区间是增的） ，所以1a ≤时导致()g x 在1x =处开始单减，那么一定不符合条件．由此请体会零点对参数范围所起的作用） 当1a >时，分x a =是否在()1,e 中讨论（最小值点的选取） 若1e a <<，单调性如表所示 ()()10 e 1e 0 g a g ?≥?∴?≥-?≥??，e 1e a ∴-≤<． 与导数有关的“恒成立”，“能成立”问题 基础再现： 1．若函数)(x f =1)2(332 3++++x a ax x 有极大值和极小值，则a 的取值范围是 ． 2．已知)(x f =x ，)(x g =x a ln +. (1) 若),0(+∞∈?x ，总有)(x f >)(x g 成立，则实数a 的取值范围是 ． (2) 若[]2,1,21∈?x x ，总有)(1x f >)(2x g 成立，则实数a 的取值范围是 ． (3) 若[][]2,1,2,121∈?∈?x x ，使)(1x f >)(2x g 成立，则实数a 的取值范围是 ． (4) 若[][]2,1,2,121∈?∈?x x ，使)(1x f >)(2x g 成立，则实数a 的取值范围是 ． (5) 若[ ][]2,1,2,121∈?∈?x x ，使)(1x f >)(2x g 成立，则实数a 的取值范围是 ． 总结： 1．导数与不等式的问题，一般都可转化为极值最值问题解决。 练习： 1．若函数)(x f =x ax x 12 + +在?? ? ??+∞,21上是增函数，则a 的取值范围是（ ） A []0,1- B [)+∞-,1 C []3,0 D [)+∞,3 2．若函数x x x f ln 2)(2-=在其定义域内的一个子区间()1,1+-k k 内不是单调函数，则实数k 的取值范围 是 . 3．对[]2,1∈?t ，函数x x m x x g 2)22 ( )(23 -++=在区间()3,t 上不单调，则实数m 的取值范围是 . 4．已知向量k n m x f n k x e m x (//)),(,1(),ln ,( =+=为常数e ,是自然对数的底数),曲线)(x f y =在点 ))1(,1(f 处的切线与y 轴垂直)()(,x f xe x F x '=． (1)求k 的值及)(x F 的单调区间； (2)已知函数)(x g =ax x 22 +-(0>a ).若对于任意∈2x []1,0，总存在),0(1+∞∈x ，使得)()(12x F x g <，求实数a 的取值范围． 5．已知函数k x e k x x f 2 )()(-= (1)求)(x f 的单调区间； (2)若对于任意),0(+∞∈x ，都有)(x f e 1 ≤ ，求k 的取值范围. 与导数有关的“恒成立”，“能成立”问题--突破练习 1．已知函数x ax x f ln )(+=，，函数)(x g 的导函数x e x g =')(，且e g g =')1()0(． (1)求函数)(x f 的极值； (2)若?),0(+∞∈x ，使得不等式x m x x g 3 )(+-< 成立，试求实数m 的取值范围； (3)当=0时，对?),0(+∞∈x ，求证：2)()(- 高中数学不等式的恒成立问题不等式恒成立的问题既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点. 考题通常有两种设计方式：一是证明某个不等式恒成立，二是已知某个不等式恒成立，求其中的参数的取值范围.解决这类问题的方法关键是转化化归，通过等价转化可以把问题顺利解决，下面我就结合自己记得教学经验谈谈不等式的恒成立问题的处理方法。 一、构造函数法 在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，即构造函数法，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数. 例1 已知不等式对任意的都成立，求的取值范围. 解：由移项得:.不等式左侧与二次函数非常相似，于是我们可以设则不等式对满足的 一切实数恒成立对恒成立.当时， 即 解得故的取值范围是. 注：此类问题常因思维定势，学生易把它看成关于的不等式讨论，从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路，把待求的x为参数，以为变量，令 则问题转化为求一次函数（或常数函数）的值在内恒为负的问题，再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了。 二、分离参数法 在不等式中求含参数范围过程中，当不等式中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并，且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时，常用分离参数法. 例2已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数 在区间上是减函数. （Ⅰ）若对（Ⅰ）中的任意实数都有在上恒成立，求实数的取值范围. 解：由题意知，函数在区间上是减函数. 在上恒成立 注：此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于取值范围内的任一个数 都有恒成立，则；若对于取值范围内的任一个数都有 恒成立，则. 三、数形结合法 如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围. 例 3 已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 四函数、不等式中的恒成立问题 1．(2017年广东揭阳二模)已知函数f(x)＝ 2 1 3 5 21 4 1 1 4 () log() x x x x x ? -+- ?? ? ?-> ?? ≤, , g(x)＝|A－2|·sin x(x∈R)，若对任意的x1，x2∈R，都有f(x1)≤g(x2)，则实数A的取值范围为() A.???? －∞， 9 4 B.? ? ? ? 7 4，＋∞ C.???? 7 4， 9 4 D.? ? ? ? －∞， 7 4∪? ? ? ? 9 4，＋∞ 2．(2016年河北衡水调研)设过曲线f(x)＝－e x－x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g(x)＝ax＋2cos x上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为() A．[－1,2] B．(－1,2) C．[－2,1] D．(－2,1) 3．(2014年辽宁)当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是() A．[－5，－3] B.???? －6，－ 9 8 C．[－6，－2] D．[－4，－3] 4．设0＜a≤1，函数f(x)＝x＋ a2 x，g(x)＝x－ln x，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f(x1)≥g(x2)成立，则实数a的取值范围是________． 5．(2015年新课标Ⅰ)设函数f(x)＝e2x－a ln x. (1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数； (2)证明：当a＞0时，f(x)≥2a＋a ln 2 a. 6．已知f(x)＝2ax－ b x＋ln x在x＝1与x＝ 1 2处都取得极值． (1)求a，b的值； (2)设函数g(x)＝x2－2mx＋m，若对任意的x1∈???? 1 2，2，总存在x2∈? ? ? ? 1 2，2，使得g(x1)≥f(x2)－ln x2，求实数m的取值范围． 恒成立问题常见类型及解法 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：（1）一次函数型；（2）二次函数型；（3）变量分离型；（4）利用函数的性质求解；（5）直接根据函数的图象求解；（6）反证法求解。 一、一次函数型 给定一次函数()==+y f x kx b (k ≠0),若()=y f x 在[m,n]内恒有()f x >0，则根据函数的 图象（线段）可得①0()0>??>?k f m 或②0()0?k f n ，也可合并成f (m)0f (n)0>??>?， 同理，若在[,]m n 内恒有()0 及二次函数的图象求解。 典例2关于x 的方程9x +(4+a )3x +4=0恒有解，求a 的取值范围。 【解析】方法1（利用韦达定理） 设3x =t,则t>0.那么原方程有解即方程t 2 +(4+a )t+4=0有正根。 1212 Δ0 (4)040 ≥?? ∴+=-+>??=>?g x x a x x ，即2(4a)160a 4?+-≥?<-?，a 0a 8a 4≥≤-?∴?<-?或，解得a ≤-8. 方法2（利用根与系数的分布知识） 即要求t 2 +(4+a )t+4=0有正根。设f(t)= t 2 +(4+a )t+4. 当?=0时，即（4+a ）2 -16=0,∴a =0或a =-8. 当a =0时，f(t)=(t+2)2=0,得t=－2<0，不合题意； 当a =－8时，f(t)=(t-2)2 =0,得t=2>0,符合题意。∴a =-8。 当?>0，即a <-8或a >0时， ∵f(0)=4>0,故只需对称轴4a 02 +->，即a <－4.∴a <－8. 综上可得a ≤－8. 三、变量分离型 若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。 典例3设函数2 ()1f x x =-，对任意2,3x ??∈+∞????，2 4()(1)4()x f m f x f x f m m ??-≤-+ ??? 恒成立，则实数m 的取值范围是 【解析】依据题意得2 2222214(1)(1)14(1)---≤--+-x m x x m m 在3[,)2∈+∞x 上恒定成 立，即2 2213241-≤--+m m x x 在3[,)2∈+∞x 上恒成立。 当32=x 时函数2321=--+y x x 取得最小值53 -， 所以 221543-≤-m m ，即22(31)(43)0+-≥m m ，解得2≤-m 或2 ≥m 。 四、利用函数的性质解决恒成立问题 若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x,f(-x)= －f(x)，(f(-x)=f(x))恒成立；若函数y=f(x)的周期为T ，则对一切定义域中的x,有f(x)=f(x+T)恒成立；若函数 专题四函数、不等式中的恒成立问题 1．(2019年天津)已知a ∈R ，设函数f (x )x 2－2ax ＋2a ，x ≤1， x －a ln x ，x >1，若关于x 的不等式 f (x )≥0在R 上恒成立，则a 的取值范围为()A ．[0,1]B ．[0,2]C ．[0，e]D ．[1，e]2．(2016年河北衡水调研)设过曲线f (x )＝－e x －x (e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1，总存在过曲线 g (x )＝ax ＋2cos x 上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为() A ．[－1,2] B ．(－1,2) C ．[－2,1] D ．(－2,1)3．当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是() A ．[－5，－3] B.－6，－98 C ．[－6，－2] D ．[－4，－3]4．设0＜a ≤1，函数f (x )＝x ＋a 2 x ，g (x )＝x －ln x ，若对任意的x 1，x 2∈[1，e]，都有f (x 1)≥g (x 2) 成立，则实数a 的取值范围是________． 5．已知函数f (x )＝ax －ln x ＋x 2.(1)若a ＝－1，求函数f (x )的极值； (2)若a ＝1，?x 1∈(1,2)，?x 2∈(1,2)，使得f (x 1)－x 21＝mx 2－1 3mx 32(m ≠0)，求实数m 的取 值范围． 6．设函数f (x )＝x 22－a ln x －12(a ∈R )．(1)若函数f (x )在区间[1，e](e ＝2.71828…为自然对数的底数)上有唯一的零点，求实数a 的取值范围； (2)若在[1，e](e ＝2.71828…为自然对数的底数)上存在一点x 0，使得f (x 0) 专题一：恒成立与存在性（精简型） 一、 恒成立之常用模型及方法一：分离参数法-----在指定的区间下对不等式作等价变形，将参数“a ”与变量“x ”左右分离开------ 模型------ αα>?∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切αα>?∈ 三、存在性之常用模型及方法：常见方法两种，一直接法同上恒成立，二 间接法，先求其否定（恒成立），再求其否定补集即可 例5已知322)(2 +-=ax x x f ，若存在(],2,1∈x 使得()0f 1 第 讲 导数中的恒成立问题 时间： 年 月 日 刘满江老师 学生签名： 一、 兴趣导入 二、 学前测试 §1. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率 ，相应的切线 方程是 . §2.几种常见函数的导数 ①'C = ；②'()n x = ； ③'(sin )x = ； ④'(cos )x = ； ⑤'()x a = ； ⑥'()x e = ； ⑦'(log )a x = ；⑧'(ln )x = §3.导数的运算法则 （1）'()u v ±= . （2）'()uv = . （3）' ()u v = .(0)v ≠ §4.复合函数求导法则 复合函数(())y f g x =的导数和函数(),()y f u u g x ==的导数间的关系为x u x y y u '''=?，即y 对x 的 导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积. 解题步骤:分层—层层求导—作积还原. §5.函数的极值 (1)极值定义： 极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极 值； 极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＞)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极 值. (2)判别方法： ①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极 值； ②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极 值. 三、 方法培养 恒成立、能成立问题专题 一、基础理论回顾 １、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >;()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化:()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为Ｍ ()()R a f x M a f x C M ?>??? ≤?? 在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法:若A x f D x ≥∈)(,在Ｄ上恰成立，等价于)(x f 在Ｄ上的最小值 A x f =)(min ,若 ,D x ∈B x f ≤)(在Ｄ上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . ４、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈,存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥,则 ()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤,则 ()()x g x f max max ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈,存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数 ()y g x =图象上方; 9、若不等式()()f x g x <在区间Ｄ上恒成立,等价于在区间Ｄ上函数()y f x =和图象在函数 ()y g x =图象下方; ?二、经典题型解析 题型一、简单型恒成立与存在性问题的基本解题策略
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